Theorem hsmexlem9 10426

Description: Lemma for hsmex 10433. Properties of the recurrent sequence of ordinals. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
hsmexlem7.h	⊢ 𝐻 = (rec((𝑧 ∈ V ↦ (har‘𝒫 (𝑋 × 𝑧))), (har‘𝒫 𝑋)) ↾ ω)

Assertion

Ref	Expression
hsmexlem9	⊢ (𝑎 ∈ ω → (𝐻‘𝑎) ∈ On)

Distinct variable groups:   𝑧,𝑋   𝑧,𝑎

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑧,𝑎)   𝑋(𝑎)

Proof of Theorem hsmexlem9

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0suc 7890	. 2 ⊢ (𝑎 ∈ ω → (𝑎 = ∅ ∨ ∃𝑏 ∈ ω 𝑎 = suc 𝑏))
2		fveq2 6891	. . . 4 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝐻‘𝑎) = (𝐻‘∅))
3		hsmexlem7.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (rec((𝑧 ∈ V ↦ (har‘𝒫 (𝑋 × 𝑧))), (har‘𝒫 𝑋)) ↾ ω)
4	3	hsmexlem7 10424	. . . . 5 ⊢ (𝐻‘∅) = (har‘𝒫 𝑋)
5		harcl 9560	. . . . 5 ⊢ (har‘𝒫 𝑋) ∈ On
6	4, 5	eqeltri 2828	. . . 4 ⊢ (𝐻‘∅) ∈ On
7	2, 6	eqeltrdi 2840	. . 3 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝐻‘𝑎) ∈ On)
8	3	hsmexlem8 10425	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ ω → (𝐻‘suc 𝑏) = (har‘𝒫 (𝑋 × (𝐻‘𝑏))))
9		harcl 9560	. . . . . 6 ⊢ (har‘𝒫 (𝑋 × (𝐻‘𝑏))) ∈ On
10	8, 9	eqeltrdi 2840	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ ω → (𝐻‘suc 𝑏) ∈ On)
11		fveq2 6891	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = suc 𝑏 → (𝐻‘𝑎) = (𝐻‘suc 𝑏))
12	11	eleq1d 2817	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = suc 𝑏 → ((𝐻‘𝑎) ∈ On ↔ (𝐻‘suc 𝑏) ∈ On))
13	10, 12	syl5ibrcom 246	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ ω → (𝑎 = suc 𝑏 → (𝐻‘𝑎) ∈ On))
14	13	rexlimiv 3147	. . 3 ⊢ (∃𝑏 ∈ ω 𝑎 = suc 𝑏 → (𝐻‘𝑎) ∈ On)
15	7, 14	jaoi 854	. 2 ⊢ ((𝑎 = ∅ ∨ ∃𝑏 ∈ ω 𝑎 = suc 𝑏) → (𝐻‘𝑎) ∈ On)
16	1, 15	syl 17	1 ⊢ (𝑎 ∈ ω → (𝐻‘𝑎) ∈ On)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 844   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∃wrex 3069  Vcvv 3473  ∅c0 4322  𝒫 cpw 4602   ↦ cmpt 5231   × cxp 5674   ↾ cres 5678  Oncon0 6364  suc csuc 6366  ‘cfv 6543  ωcom 7859  reccrdg 8415  harchar 9557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-en 8946  df-dom 8947  df-oi 9511  df-har 9558

This theorem is referenced by:  hsmexlem4  10430  hsmexlem5  10431