Theorem hsmexlem9 10413

Description: Lemma for hsmex 10420. Properties of the recurrent sequence of ordinals. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
hsmexlem7.h	⊢ 𝐻 = (rec((𝑧 ∈ V ↦ (har‘𝒫 (𝑋 × 𝑧))), (har‘𝒫 𝑋)) ↾ ω)

Assertion

Ref	Expression
hsmexlem9	⊢ (𝑎 ∈ ω → (𝐻‘𝑎) ∈ On)

Distinct variable groups:   𝑧,𝑋   𝑧,𝑎

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑧, 𝑎)   𝑋(𝑎)

Proof of Theorem hsmexlem9

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0suc 7887	. 2 ⊢ (𝑎 ∈ ω → (𝑎 = ∅ ∨ ∃𝑏 ∈ ω 𝑎 = suc 𝑏))
2		fveq2 6881	. . . 4 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝐻‘𝑎) = (𝐻‘∅))
3		hsmexlem7.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (rec((𝑧 ∈ V ↦ (har‘𝒫 (𝑋 × 𝑧))), (har‘𝒫 𝑋)) ↾ ω)
4	3	hsmexlem7 10411	. . . . 5 ⊢ (𝐻‘∅) = (har‘𝒫 𝑋)
5		harcl 9517	. . . . 5 ⊢ (har‘𝒫 𝑋) ∈ On
6	4, 5	eqeltri 2859	. . . 4 ⊢ (𝐻‘∅) ∈ On
7	2, 6	eqeltrdi 2871	. . 3 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝐻‘𝑎) ∈ On)
8	3	hsmexlem8 10412	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ ω → (𝐻‘suc 𝑏) = (har‘𝒫 (𝑋 × (𝐻‘𝑏))))
9		harcl 9517	. . . . . 6 ⊢ (har‘𝒫 (𝑋 × (𝐻‘𝑏))) ∈ On
10	8, 9	eqeltrdi 2871	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ ω → (𝐻‘suc 𝑏) ∈ On)
11		fveq2 6881	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = suc 𝑏 → (𝐻‘𝑎) = (𝐻‘suc 𝑏))
12	11	eleq1d 2848	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = suc 𝑏 → ((𝐻‘𝑎) ∈ On ↔ (𝐻‘suc 𝑏) ∈ On))
13	10, 12	syl5ibrcom 250	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ ω → (𝑎 = suc 𝑏 → (𝐻‘𝑎) ∈ On))
14	13	rexlimiv 3159	. . 3 ⊢ (∃𝑏 ∈ ω 𝑎 = suc 𝑏 → (𝐻‘𝑎) ∈ On)
15	7, 14	jaoi 870	. 2 ⊢ ((𝑎 = ∅ ∨ ∃𝑏 ∈ ω 𝑎 = suc 𝑏) → (𝐻‘𝑎) ∈ On)
16	1, 15	syl 18	1 ⊢ (𝑎 ∈ ω → (𝐻‘𝑎) ∈ On)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∨ wo 860   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∃wrex 3089  Vcvv 3455  ∅c0 4286  𝒫 cpw 4562   ↦ cmpt 5192   × cxp 5659   ↾ cres 5663  Oncon0 6360  suc csuc 6362  ‘cfv 6536  ωcom 7858  reccrdg 8392  harchar 9514

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-en 8940  df-dom 8941  df-oi 9468  df-har 9515

This theorem is used by:  hsmexlem4  10417  hsmexlem5  10418