MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hsmexlem9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hsmexlem9 10402
Description: Lemma for hsmex 10409. Properties of the recurrent sequence of ordinals. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
hsmexlem7.h 𝐻 = (rec((𝑧 ∈ V ↦ (harβ€˜π’« (𝑋 Γ— 𝑧))), (harβ€˜π’« 𝑋)) β†Ύ Ο‰)
Assertion
Ref Expression
hsmexlem9 (π‘Ž ∈ Ο‰ β†’ (π»β€˜π‘Ž) ∈ On)
Distinct variable groups:   𝑧,𝑋   𝑧,π‘Ž
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑧,π‘Ž)   𝑋(π‘Ž)

Proof of Theorem hsmexlem9
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0suc 7868 . 2 (π‘Ž ∈ Ο‰ β†’ (π‘Ž = βˆ… ∨ βˆƒπ‘ ∈ Ο‰ π‘Ž = suc 𝑏))
2 fveq2 6878 . . . 4 (π‘Ž = βˆ… β†’ (π»β€˜π‘Ž) = (π»β€˜βˆ…))
3 hsmexlem7.h . . . . . 6 𝐻 = (rec((𝑧 ∈ V ↦ (harβ€˜π’« (𝑋 Γ— 𝑧))), (harβ€˜π’« 𝑋)) β†Ύ Ο‰)
43hsmexlem7 10400 . . . . 5 (π»β€˜βˆ…) = (harβ€˜π’« 𝑋)
5 harcl 9536 . . . . 5 (harβ€˜π’« 𝑋) ∈ On
64, 5eqeltri 2828 . . . 4 (π»β€˜βˆ…) ∈ On
72, 6eqeltrdi 2840 . . 3 (π‘Ž = βˆ… β†’ (π»β€˜π‘Ž) ∈ On)
83hsmexlem8 10401 . . . . . 6 (𝑏 ∈ Ο‰ β†’ (π»β€˜suc 𝑏) = (harβ€˜π’« (𝑋 Γ— (π»β€˜π‘))))
9 harcl 9536 . . . . . 6 (harβ€˜π’« (𝑋 Γ— (π»β€˜π‘))) ∈ On
108, 9eqeltrdi 2840 . . . . 5 (𝑏 ∈ Ο‰ β†’ (π»β€˜suc 𝑏) ∈ On)
11 fveq2 6878 . . . . . 6 (π‘Ž = suc 𝑏 β†’ (π»β€˜π‘Ž) = (π»β€˜suc 𝑏))
1211eleq1d 2817 . . . . 5 (π‘Ž = suc 𝑏 β†’ ((π»β€˜π‘Ž) ∈ On ↔ (π»β€˜suc 𝑏) ∈ On))
1310, 12syl5ibrcom 246 . . . 4 (𝑏 ∈ Ο‰ β†’ (π‘Ž = suc 𝑏 β†’ (π»β€˜π‘Ž) ∈ On))
1413rexlimiv 3147 . . 3 (βˆƒπ‘ ∈ Ο‰ π‘Ž = suc 𝑏 β†’ (π»β€˜π‘Ž) ∈ On)
157, 14jaoi 855 . 2 ((π‘Ž = βˆ… ∨ βˆƒπ‘ ∈ Ο‰ π‘Ž = suc 𝑏) β†’ (π»β€˜π‘Ž) ∈ On)
161, 15syl 17 1 (π‘Ž ∈ Ο‰ β†’ (π»β€˜π‘Ž) ∈ On)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆƒwrex 3069  Vcvv 3473  βˆ…c0 4318  π’« cpw 4596   ↦ cmpt 5224   Γ— cxp 5667   β†Ύ cres 5671  Oncon0 6353  suc csuc 6355  β€˜cfv 6532  Ο‰com 7838  reccrdg 8391  harchar 9533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-isom 6541  df-riota 7349  df-ov 7396  df-om 7839  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-en 8923  df-dom 8924  df-oi 9487  df-har 9534
This theorem is referenced by:  hsmexlem4  10406  hsmexlem5  10407
  Copyright terms: Public domain W3C validator