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Theorem peano5OLD 7832
Description: Obsolete version of peano5 7831 as of 3-Oct-2024. (Contributed by NM, 18-Feb-2004.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
peano5OLD ((∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑥𝐴 → suc 𝑥𝐴)) → ω ⊆ 𝐴)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem peano5OLD
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldifn 4088 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (ω ∖ 𝐴) → ¬ 𝑦𝐴)
21adantl 483 . . . . 5 (((∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑥𝐴 → suc 𝑥𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 𝐴)) → ¬ 𝑦𝐴)
3 eldifi 4087 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (ω ∖ 𝐴) → 𝑦 ∈ ω)
4 elndif 4089 . . . . . . . . 9 (∅ ∈ 𝐴 → ¬ ∅ ∈ (ω ∖ 𝐴))
5 eleq1 2822 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = ∅ → (𝑦 ∈ (ω ∖ 𝐴) ↔ ∅ ∈ (ω ∖ 𝐴)))
65biimpcd 249 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (ω ∖ 𝐴) → (𝑦 = ∅ → ∅ ∈ (ω ∖ 𝐴)))
76necon3bd 2954 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (ω ∖ 𝐴) → (¬ ∅ ∈ (ω ∖ 𝐴) → 𝑦 ≠ ∅))
84, 7mpan9 508 . . . . . . . 8 ((∅ ∈ 𝐴𝑦 ∈ (ω ∖ 𝐴)) → 𝑦 ≠ ∅)
9 nnsuc 7821 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ ω 𝑦 = suc 𝑥)
103, 8, 9syl2an2 685 . . . . . . 7 ((∅ ∈ 𝐴𝑦 ∈ (ω ∖ 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ω 𝑦 = suc 𝑥)
1110ad4ant13 750 . . . . . 6 ((((∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑥𝐴 → suc 𝑥𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 𝐴)) ∧ ((ω ∖ 𝐴) ∩ 𝑦) = ∅) → ∃𝑥 ∈ ω 𝑦 = suc 𝑥)
12 nfra1 3266 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑥 ∈ ω (𝑥𝐴 → suc 𝑥𝐴)
13 nfv 1918 . . . . . . . . . . 11 𝑥(𝑦 ∈ (ω ∖ 𝐴) ∧ ((ω ∖ 𝐴) ∩ 𝑦) = ∅)
1412, 13nfan 1903 . . . . . . . . . 10 𝑥(∀𝑥 ∈ ω (𝑥𝐴 → suc 𝑥𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (ω ∖ 𝐴) ∧ ((ω ∖ 𝐴) ∩ 𝑦) = ∅))
15 nfv 1918 . . . . . . . . . 10 𝑥 𝑦𝐴
16 rsp 3229 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑥 ∈ ω (𝑥𝐴 → suc 𝑥𝐴) → (𝑥 ∈ ω → (𝑥𝐴 → suc 𝑥𝐴)))
17 vex 3448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥 ∈ V
1817sucid 6400 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥 ∈ suc 𝑥
19 eleq2 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = suc 𝑥 → (𝑥𝑦𝑥 ∈ suc 𝑥))
2018, 19mpbiri 258 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = suc 𝑥𝑥𝑦)
21 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = suc 𝑥 → (𝑦 ∈ ω ↔ suc 𝑥 ∈ ω))
22 peano2b 7820 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ω ↔ suc 𝑥 ∈ ω)
2321, 22bitr4di 289 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = suc 𝑥 → (𝑦 ∈ ω ↔ 𝑥 ∈ ω))
24 minel 4426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥𝑦 ∧ ((ω ∖ 𝐴) ∩ 𝑦) = ∅) → ¬ 𝑥 ∈ (ω ∖ 𝐴))
25 neldif 4090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ ω ∧ ¬ 𝑥 ∈ (ω ∖ 𝐴)) → 𝑥𝐴)
2624, 25sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ω ∧ (𝑥𝑦 ∧ ((ω ∖ 𝐴) ∩ 𝑦) = ∅)) → 𝑥𝐴)
2726exp32 422 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ω → (𝑥𝑦 → (((ω ∖ 𝐴) ∩ 𝑦) = ∅ → 𝑥𝐴)))
2823, 27syl6bi 253 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = suc 𝑥 → (𝑦 ∈ ω → (𝑥𝑦 → (((ω ∖ 𝐴) ∩ 𝑦) = ∅ → 𝑥𝐴))))
2920, 28mpid 44 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = suc 𝑥 → (𝑦 ∈ ω → (((ω ∖ 𝐴) ∩ 𝑦) = ∅ → 𝑥𝐴)))
303, 29syl5 34 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = suc 𝑥 → (𝑦 ∈ (ω ∖ 𝐴) → (((ω ∖ 𝐴) ∩ 𝑦) = ∅ → 𝑥𝐴)))
3130impd 412 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = suc 𝑥 → ((𝑦 ∈ (ω ∖ 𝐴) ∧ ((ω ∖ 𝐴) ∩ 𝑦) = ∅) → 𝑥𝐴))
32 eleq1a 2829 . . . . . . . . . . . . . 14 (suc 𝑥𝐴 → (𝑦 = suc 𝑥𝑦𝐴))
3332com12 32 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = suc 𝑥 → (suc 𝑥𝐴𝑦𝐴))
3431, 33imim12d 81 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = suc 𝑥 → ((𝑥𝐴 → suc 𝑥𝐴) → ((𝑦 ∈ (ω ∖ 𝐴) ∧ ((ω ∖ 𝐴) ∩ 𝑦) = ∅) → 𝑦𝐴)))
3534com13 88 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ (ω ∖ 𝐴) ∧ ((ω ∖ 𝐴) ∩ 𝑦) = ∅) → ((𝑥𝐴 → suc 𝑥𝐴) → (𝑦 = suc 𝑥𝑦𝐴)))
3616, 35sylan9 509 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑥 ∈ ω (𝑥𝐴 → suc 𝑥𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (ω ∖ 𝐴) ∧ ((ω ∖ 𝐴) ∩ 𝑦) = ∅)) → (𝑥 ∈ ω → (𝑦 = suc 𝑥𝑦𝐴)))
3714, 15, 36rexlimd 3248 . . . . . . . . 9 ((∀𝑥 ∈ ω (𝑥𝐴 → suc 𝑥𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (ω ∖ 𝐴) ∧ ((ω ∖ 𝐴) ∩ 𝑦) = ∅)) → (∃𝑥 ∈ ω 𝑦 = suc 𝑥𝑦𝐴))
3837exp32 422 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ∈ ω (𝑥𝐴 → suc 𝑥𝐴) → (𝑦 ∈ (ω ∖ 𝐴) → (((ω ∖ 𝐴) ∩ 𝑦) = ∅ → (∃𝑥 ∈ ω 𝑦 = suc 𝑥𝑦𝐴))))
3938a1i 11 . . . . . . 7 (∅ ∈ 𝐴 → (∀𝑥 ∈ ω (𝑥𝐴 → suc 𝑥𝐴) → (𝑦 ∈ (ω ∖ 𝐴) → (((ω ∖ 𝐴) ∩ 𝑦) = ∅ → (∃𝑥 ∈ ω 𝑦 = suc 𝑥𝑦𝐴)))))
4039imp41 427 . . . . . 6 ((((∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑥𝐴 → suc 𝑥𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 𝐴)) ∧ ((ω ∖ 𝐴) ∩ 𝑦) = ∅) → (∃𝑥 ∈ ω 𝑦 = suc 𝑥𝑦𝐴))
4111, 40mpd 15 . . . . 5 ((((∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑥𝐴 → suc 𝑥𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 𝐴)) ∧ ((ω ∖ 𝐴) ∩ 𝑦) = ∅) → 𝑦𝐴)
422, 41mtand 815 . . . 4 (((∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑥𝐴 → suc 𝑥𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 𝐴)) → ¬ ((ω ∖ 𝐴) ∩ 𝑦) = ∅)
4342nrexdv 3143 . . 3 ((∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑥𝐴 → suc 𝑥𝐴)) → ¬ ∃𝑦 ∈ (ω ∖ 𝐴)((ω ∖ 𝐴) ∩ 𝑦) = ∅)
44 ordom 7813 . . . . 5 Ord ω
45 difss 4092 . . . . 5 (ω ∖ 𝐴) ⊆ ω
46 tz7.5 6339 . . . . 5 ((Ord ω ∧ (ω ∖ 𝐴) ⊆ ω ∧ (ω ∖ 𝐴) ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ (ω ∖ 𝐴)((ω ∖ 𝐴) ∩ 𝑦) = ∅)
4744, 45, 46mp3an12 1452 . . . 4 ((ω ∖ 𝐴) ≠ ∅ → ∃𝑦 ∈ (ω ∖ 𝐴)((ω ∖ 𝐴) ∩ 𝑦) = ∅)
4847necon1bi 2969 . . 3 (¬ ∃𝑦 ∈ (ω ∖ 𝐴)((ω ∖ 𝐴) ∩ 𝑦) = ∅ → (ω ∖ 𝐴) = ∅)
4943, 48syl 17 . 2 ((∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑥𝐴 → suc 𝑥𝐴)) → (ω ∖ 𝐴) = ∅)
50 ssdif0 4324 . 2 (ω ⊆ 𝐴 ↔ (ω ∖ 𝐴) = ∅)
5149, 50sylibr 233 1 ((∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑥𝐴 → suc 𝑥𝐴)) → ω ⊆ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  cdif 3908  cin 3910  wss 3911  c0 4283  Ord word 6317  suc csuc 6320  ωcom 7803
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-tr 5224  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-om 7804
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