Theorem ocvi 21849

Description: Property of a member of the orthocomplement of a subset. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ocvfval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ocvfval.i	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
ocvfval.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
ocvfval.z	⊢ 0 = (0g‘𝐹)
ocvfval.o	⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ocvi	⊢ ((𝐴 ∈ ( ⊥ ‘𝑆) ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴 , 𝐵) = 0 )

Proof of Theorem ocvi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ocvfval.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		ocvfval.i	. . . 4 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
3		ocvfval.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
4		ocvfval.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐹)
5		ocvfval.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
6	1, 2, 3, 4, 5	elocv 21848	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ( ⊥ ‘𝑆) ↔ (𝑆 ⊆ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐴 , 𝑥) = 0 ))
7	6	simp3bi 1165	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ( ⊥ ‘𝑆) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐴 , 𝑥) = 0 )
8		oveq2 7424	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 , 𝑥) = (𝐴 , 𝐵))
9	8	eqeq1d 2767	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴 , 𝑥) = 0 ↔ (𝐴 , 𝐵) = 0 ))
10	9	rspccva 3582	. 2 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐴 , 𝑥) = 0 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴 , 𝐵) = 0 )
11	7, 10	sylan 592	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ( ⊥ ‘𝑆) ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴 , 𝐵) = 0 )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081   ⊆ wss 3906  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  Basecbs 17287  Scalarcsca 17331  ·_𝑖cip 17333  0_gc0g 17510  ocvcocv 21840

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fv 6548  df-ov 7419  df-ocv 21843

This theorem is used by:  ocvocv  21851  ocvlss  21852  ocvin  21854  lsmcss  21872  clsocv  25440