MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ocvin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ocvin 21556
Description: An orthocomplement has trivial intersection with the original subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ocv2ss.o βŠ₯ = (ocvβ€˜π‘Š)
ocvin.l 𝐿 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
ocvin.z 0 = (0gβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
ocvin ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) β†’ (𝑆 ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘†)) = { 0 })

Proof of Theorem ocvin
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2724 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
2 eqid 2724 . . . . . . . . 9 (Β·π‘–β€˜π‘Š) = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
3 eqid 2724 . . . . . . . . 9 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
4 eqid 2724 . . . . . . . . 9 (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
5 ocv2ss.o . . . . . . . . 9 βŠ₯ = (ocvβ€˜π‘Š)
61, 2, 3, 4, 5ocvi 21551 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ( βŠ₯ β€˜π‘†) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯(Β·π‘–β€˜π‘Š)π‘₯) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
76ancoms 458 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ ( βŠ₯ β€˜π‘†)) β†’ (π‘₯(Β·π‘–β€˜π‘Š)π‘₯) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
87adantl 481 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ ( βŠ₯ β€˜π‘†))) β†’ (π‘₯(Β·π‘–β€˜π‘Š)π‘₯) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
9 simpll 764 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ ( βŠ₯ β€˜π‘†))) β†’ π‘Š ∈ PreHil)
10 ocvin.l . . . . . . . . 9 𝐿 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
111, 10lssel 20780 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ 𝐿 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
1211ad2ant2lr 745 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ ( βŠ₯ β€˜π‘†))) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
13 ocvin.z . . . . . . . 8 0 = (0gβ€˜π‘Š)
143, 2, 1, 4, 13ipeq0 21520 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ ((π‘₯(Β·π‘–β€˜π‘Š)π‘₯) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↔ π‘₯ = 0 ))
159, 12, 14syl2anc 583 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ ( βŠ₯ β€˜π‘†))) β†’ ((π‘₯(Β·π‘–β€˜π‘Š)π‘₯) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↔ π‘₯ = 0 ))
168, 15mpbid 231 . . . . 5 (((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ ( βŠ₯ β€˜π‘†))) β†’ π‘₯ = 0 )
1716ex 412 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ ( βŠ₯ β€˜π‘†)) β†’ π‘₯ = 0 ))
18 elin 3957 . . . 4 (π‘₯ ∈ (𝑆 ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘†)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ ( βŠ₯ β€˜π‘†)))
19 velsn 4637 . . . 4 (π‘₯ ∈ { 0 } ↔ π‘₯ = 0 )
2017, 18, 193imtr4g 296 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑆 ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘†)) β†’ π‘₯ ∈ { 0 }))
2120ssrdv 3981 . 2 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) β†’ (𝑆 ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘†)) βŠ† { 0 })
22 phllmod 21512 . . 3 (π‘Š ∈ PreHil β†’ π‘Š ∈ LMod)
231, 10lssss 20779 . . . . 5 (𝑆 ∈ 𝐿 β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
241, 5, 10ocvlss 21554 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘†) ∈ 𝐿)
2523, 24sylan2 592 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘†) ∈ 𝐿)
2610lssincl 20808 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝐿 ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘†) ∈ 𝐿) β†’ (𝑆 ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘†)) ∈ 𝐿)
2722, 26syl3an1 1160 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿 ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘†) ∈ 𝐿) β†’ (𝑆 ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘†)) ∈ 𝐿)
2825, 27mpd3an3 1458 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) β†’ (𝑆 ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘†)) ∈ 𝐿)
2913, 10lss0ss 20792 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑆 ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘†)) ∈ 𝐿) β†’ { 0 } βŠ† (𝑆 ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘†)))
3022, 28, 29syl2an2r 682 . 2 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) β†’ { 0 } βŠ† (𝑆 ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘†)))
3121, 30eqssd 3992 1 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) β†’ (𝑆 ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘†)) = { 0 })
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3940   βŠ† wss 3941  {csn 4621  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  Basecbs 17149  Scalarcsca 17205  Β·π‘–cip 17207  0gc0g 17390  LModclmod 20702  LSubSpclss 20774  PreHilcphl 21506  ocvcocv 21542
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-plusg 17215  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-0g 17392  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-grp 18862  df-minusg 18863  df-sbg 18864  df-ghm 19135  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-lmod 20704  df-lss 20775  df-lmhm 20866  df-lvec 20947  df-sra 21017  df-rgmod 21018  df-phl 21508  df-ocv 21545
This theorem is referenced by:  ocv1  21561  pjdm2  21595  pjff  21596  pjf2  21598  pjfo  21599  obselocv  21612
  Copyright terms: Public domain W3C validator