MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ocvin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ocvin 21605
Description: An orthocomplement has trivial intersection with the original subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ocv2ss.o βŠ₯ = (ocvβ€˜π‘Š)
ocvin.l 𝐿 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
ocvin.z 0 = (0gβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
ocvin ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) β†’ (𝑆 ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘†)) = { 0 })

Proof of Theorem ocvin
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
2 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (Β·π‘–β€˜π‘Š) = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
3 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
4 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
5 ocv2ss.o . . . . . . . . 9 βŠ₯ = (ocvβ€˜π‘Š)
61, 2, 3, 4, 5ocvi 21600 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ( βŠ₯ β€˜π‘†) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯(Β·π‘–β€˜π‘Š)π‘₯) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
76ancoms 458 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ ( βŠ₯ β€˜π‘†)) β†’ (π‘₯(Β·π‘–β€˜π‘Š)π‘₯) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
87adantl 481 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ ( βŠ₯ β€˜π‘†))) β†’ (π‘₯(Β·π‘–β€˜π‘Š)π‘₯) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
9 simpll 766 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ ( βŠ₯ β€˜π‘†))) β†’ π‘Š ∈ PreHil)
10 ocvin.l . . . . . . . . 9 𝐿 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
111, 10lssel 20820 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ 𝐿 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
1211ad2ant2lr 747 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ ( βŠ₯ β€˜π‘†))) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
13 ocvin.z . . . . . . . 8 0 = (0gβ€˜π‘Š)
143, 2, 1, 4, 13ipeq0 21569 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ ((π‘₯(Β·π‘–β€˜π‘Š)π‘₯) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↔ π‘₯ = 0 ))
159, 12, 14syl2anc 583 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ ( βŠ₯ β€˜π‘†))) β†’ ((π‘₯(Β·π‘–β€˜π‘Š)π‘₯) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↔ π‘₯ = 0 ))
168, 15mpbid 231 . . . . 5 (((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ ( βŠ₯ β€˜π‘†))) β†’ π‘₯ = 0 )
1716ex 412 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ ( βŠ₯ β€˜π‘†)) β†’ π‘₯ = 0 ))
18 elin 3963 . . . 4 (π‘₯ ∈ (𝑆 ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘†)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ ( βŠ₯ β€˜π‘†)))
19 velsn 4645 . . . 4 (π‘₯ ∈ { 0 } ↔ π‘₯ = 0 )
2017, 18, 193imtr4g 296 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑆 ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘†)) β†’ π‘₯ ∈ { 0 }))
2120ssrdv 3986 . 2 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) β†’ (𝑆 ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘†)) βŠ† { 0 })
22 phllmod 21561 . . 3 (π‘Š ∈ PreHil β†’ π‘Š ∈ LMod)
231, 10lssss 20819 . . . . 5 (𝑆 ∈ 𝐿 β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
241, 5, 10ocvlss 21603 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘†) ∈ 𝐿)
2523, 24sylan2 592 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘†) ∈ 𝐿)
2610lssincl 20848 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝐿 ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘†) ∈ 𝐿) β†’ (𝑆 ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘†)) ∈ 𝐿)
2722, 26syl3an1 1161 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿 ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘†) ∈ 𝐿) β†’ (𝑆 ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘†)) ∈ 𝐿)
2825, 27mpd3an3 1459 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) β†’ (𝑆 ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘†)) ∈ 𝐿)
2913, 10lss0ss 20832 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑆 ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘†)) ∈ 𝐿) β†’ { 0 } βŠ† (𝑆 ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘†)))
3022, 28, 29syl2an2r 684 . 2 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) β†’ { 0 } βŠ† (𝑆 ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘†)))
3121, 30eqssd 3997 1 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) β†’ (𝑆 ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘†)) = { 0 })
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  {csn 4629  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17179  Scalarcsca 17235  Β·π‘–cip 17237  0gc0g 17420  LModclmod 20742  LSubSpclss 20814  PreHilcphl 21555  ocvcocv 21591
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-plusg 17245  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-sbg 18894  df-ghm 19167  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-lmod 20744  df-lss 20815  df-lmhm 20906  df-lvec 20987  df-sra 21057  df-rgmod 21058  df-phl 21557  df-ocv 21594
This theorem is referenced by:  ocv1  21610  pjdm2  21644  pjff  21645  pjf2  21647  pjfo  21648  obselocv  21661
  Copyright terms: Public domain W3C validator