Theorem ocvin 21824

Description: An orthocomplement has trivial intersection with the original subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ocv2ss.o	⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
ocvin.l	⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
ocvin.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ocvin	⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) → (𝑆 ∩ ( ⊥ ‘𝑆)) = { 0 })

Proof of Theorem ocvin

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
3		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
4		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
5		ocv2ss.o	. . . . . . . . 9 ⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
6	1, 2, 3, 4, 5	ocvi 21819	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ( ⊥ ‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
7	6	ancoms 463	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘𝑆)) → (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
8	7	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))) → (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
9		simpll 778	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))) → 𝑊 ∈ PreHil)
10		ocvin.l	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
11	1, 10	lssel 21058	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐿 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
12	11	ad2ant2lr 760	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
13		ocvin.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
14	3, 2, 1, 4, 13	ipeq0 21788	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → ((𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ 𝑥 = 0 ))
15	9, 12, 14	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))) → ((𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ 𝑥 = 0 ))
16	8, 15	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))) → 𝑥 = 0 )
17	16	ex 417	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘𝑆)) → 𝑥 = 0 ))
18		elin 3921	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑆 ∩ ( ⊥ ‘𝑆)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘𝑆)))
19		velsn 4605	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ { 0 } ↔ 𝑥 = 0 )
20	17, 18, 19	3imtr4g 299	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) → (𝑥 ∈ (𝑆 ∩ ( ⊥ ‘𝑆)) → 𝑥 ∈ { 0 }))
21	20	ssrdv 3943	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) → (𝑆 ∩ ( ⊥ ‘𝑆)) ⊆ { 0 })
22		phllmod 21780	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
23	1, 10	lssss 21057	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐿 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
24	1, 5, 10	ocvlss 21822	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊)) → ( ⊥ ‘𝑆) ∈ 𝐿)
25	23, 24	sylan2 604	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) → ( ⊥ ‘𝑆) ∈ 𝐿)
26	10	lssincl 21086	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝐿 ∧ ( ⊥ ‘𝑆) ∈ 𝐿) → (𝑆 ∩ ( ⊥ ‘𝑆)) ∈ 𝐿)
27	22, 26	syl3an1 1181	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿 ∧ ( ⊥ ‘𝑆) ∈ 𝐿) → (𝑆 ∩ ( ⊥ ‘𝑆)) ∈ 𝐿)
28	25, 27	mpd3an3 1491	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) → (𝑆 ∩ ( ⊥ ‘𝑆)) ∈ 𝐿)
29	13, 10	lss0ss 21070	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑆 ∩ ( ⊥ ‘𝑆)) ∈ 𝐿) → { 0 } ⊆ (𝑆 ∩ ( ⊥ ‘𝑆)))
30	22, 28, 29	syl2an2r 697	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) → { 0 } ⊆ (𝑆 ∩ ( ⊥ ‘𝑆)))
31	21, 30	eqssd 3954	1 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) → (𝑆 ∩ ( ⊥ ‘𝑆)) = { 0 })

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  {csn 4589  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17264  Scalarcsca 17308  ·_𝑖cip 17310  0_gc0g 17487  LModclmod 20981  LSubSpclss 21052  PreHilcphl 21774  ocvcocv 21810

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-plusg 17318  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-0g 17489  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-sbg 19000  df-ghm 19279  df-cmn 19847  df-abl 19848  df-mgp 20212  df-rng 20226  df-ur 20259  df-ring 20312  df-lmod 20983  df-lss 21053  df-lmhm 21143  df-lvec 21224  df-sra 21294  df-rgmod 21295  df-phl 21776  df-ocv 21813

This theorem is referenced by:  ocv1  21829  pjdm2  21861  pjff  21862  pjf2  21864  pjfo  21865  obselocv  21878