MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ocvin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ocvin 20879
Description: An orthocomplement has trivial intersection with the original subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ocv2ss.o = (ocv‘𝑊)
ocvin.l 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
ocvin.z 0 = (0g𝑊)
Assertion
Ref Expression
ocvin ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝐿) → (𝑆 ∩ ( 𝑆)) = { 0 })

Proof of Theorem ocvin
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2738 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2 eqid 2738 . . . . . . . . 9 (·𝑖𝑊) = (·𝑖𝑊)
3 eqid 2738 . . . . . . . . 9 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
4 eqid 2738 . . . . . . . . 9 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
5 ocv2ss.o . . . . . . . . 9 = (ocv‘𝑊)
61, 2, 3, 4, 5ocvi 20874 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥(·𝑖𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
76ancoms 459 . . . . . . 7 ((𝑥𝑆𝑥 ∈ ( 𝑆)) → (𝑥(·𝑖𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
87adantl 482 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝐿) ∧ (𝑥𝑆𝑥 ∈ ( 𝑆))) → (𝑥(·𝑖𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
9 simpll 764 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝐿) ∧ (𝑥𝑆𝑥 ∈ ( 𝑆))) → 𝑊 ∈ PreHil)
10 ocvin.l . . . . . . . . 9 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
111, 10lssel 20199 . . . . . . . 8 ((𝑆𝐿𝑥𝑆) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
1211ad2ant2lr 745 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝐿) ∧ (𝑥𝑆𝑥 ∈ ( 𝑆))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
13 ocvin.z . . . . . . . 8 0 = (0g𝑊)
143, 2, 1, 4, 13ipeq0 20843 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → ((𝑥(·𝑖𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ 𝑥 = 0 ))
159, 12, 14syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝐿) ∧ (𝑥𝑆𝑥 ∈ ( 𝑆))) → ((𝑥(·𝑖𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ 𝑥 = 0 ))
168, 15mpbid 231 . . . . 5 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝐿) ∧ (𝑥𝑆𝑥 ∈ ( 𝑆))) → 𝑥 = 0 )
1716ex 413 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝐿) → ((𝑥𝑆𝑥 ∈ ( 𝑆)) → 𝑥 = 0 ))
18 elin 3903 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝑆 ∩ ( 𝑆)) ↔ (𝑥𝑆𝑥 ∈ ( 𝑆)))
19 velsn 4577 . . . 4 (𝑥 ∈ { 0 } ↔ 𝑥 = 0 )
2017, 18, 193imtr4g 296 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝐿) → (𝑥 ∈ (𝑆 ∩ ( 𝑆)) → 𝑥 ∈ { 0 }))
2120ssrdv 3927 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝐿) → (𝑆 ∩ ( 𝑆)) ⊆ { 0 })
22 phllmod 20835 . . 3 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
231, 10lssss 20198 . . . . 5 (𝑆𝐿𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
241, 5, 10ocvlss 20877 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊)) → ( 𝑆) ∈ 𝐿)
2523, 24sylan2 593 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝐿) → ( 𝑆) ∈ 𝐿)
2610lssincl 20227 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝐿 ∧ ( 𝑆) ∈ 𝐿) → (𝑆 ∩ ( 𝑆)) ∈ 𝐿)
2722, 26syl3an1 1162 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝐿 ∧ ( 𝑆) ∈ 𝐿) → (𝑆 ∩ ( 𝑆)) ∈ 𝐿)
2825, 27mpd3an3 1461 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝐿) → (𝑆 ∩ ( 𝑆)) ∈ 𝐿)
2913, 10lss0ss 20210 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑆 ∩ ( 𝑆)) ∈ 𝐿) → { 0 } ⊆ (𝑆 ∩ ( 𝑆)))
3022, 28, 29syl2an2r 682 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝐿) → { 0 } ⊆ (𝑆 ∩ ( 𝑆)))
3121, 30eqssd 3938 1 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝐿) → (𝑆 ∩ ( 𝑆)) = { 0 })
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  cin 3886  wss 3887  {csn 4561  cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  Scalarcsca 16965  ·𝑖cip 16967  0gc0g 17150  LModclmod 20123  LSubSpclss 20193  PreHilcphl 20829  ocvcocv 20865
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-plusg 16975  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-ghm 18832  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-lmhm 20284  df-lvec 20365  df-sra 20434  df-rgmod 20435  df-phl 20831  df-ocv 20868
This theorem is referenced by:  ocv1  20884  pjdm2  20918  pjff  20919  pjf2  20921  pjfo  20922  obselocv  20935
  Copyright terms: Public domain W3C validator