Theorem ocvin 21600

Description: An orthocomplement has trivial intersection with the original subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ocv2ss.o	⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
ocvin.l	⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
ocvin.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ocvin	⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) → (𝑆 ∩ ( ⊥ ‘𝑆)) = { 0 })

Proof of Theorem ocvin

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
3		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
4		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
5		ocv2ss.o	. . . . . . . . 9 ⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
6	1, 2, 3, 4, 5	ocvi 21595	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ( ⊥ ‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
7	6	ancoms 458	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘𝑆)) → (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
8	7	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))) → (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
9		simpll 766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))) → 𝑊 ∈ PreHil)
10		ocvin.l	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
11	1, 10	lssel 20859	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐿 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
12	11	ad2ant2lr 748	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
13		ocvin.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
14	3, 2, 1, 4, 13	ipeq0 21564	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → ((𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ 𝑥 = 0 ))
15	9, 12, 14	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))) → ((𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ 𝑥 = 0 ))
16	8, 15	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))) → 𝑥 = 0 )
17	16	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘𝑆)) → 𝑥 = 0 ))
18		elin 3921	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑆 ∩ ( ⊥ ‘𝑆)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘𝑆)))
19		velsn 4595	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ { 0 } ↔ 𝑥 = 0 )
20	17, 18, 19	3imtr4g 296	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) → (𝑥 ∈ (𝑆 ∩ ( ⊥ ‘𝑆)) → 𝑥 ∈ { 0 }))
21	20	ssrdv 3943	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) → (𝑆 ∩ ( ⊥ ‘𝑆)) ⊆ { 0 })
22		phllmod 21556	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
23	1, 10	lssss 20858	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐿 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
24	1, 5, 10	ocvlss 21598	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊)) → ( ⊥ ‘𝑆) ∈ 𝐿)
25	23, 24	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) → ( ⊥ ‘𝑆) ∈ 𝐿)
26	10	lssincl 20887	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝐿 ∧ ( ⊥ ‘𝑆) ∈ 𝐿) → (𝑆 ∩ ( ⊥ ‘𝑆)) ∈ 𝐿)
27	22, 26	syl3an1 1163	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿 ∧ ( ⊥ ‘𝑆) ∈ 𝐿) → (𝑆 ∩ ( ⊥ ‘𝑆)) ∈ 𝐿)
28	25, 27	mpd3an3 1464	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) → (𝑆 ∩ ( ⊥ ‘𝑆)) ∈ 𝐿)
29	13, 10	lss0ss 20871	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑆 ∩ ( ⊥ ‘𝑆)) ∈ 𝐿) → { 0 } ⊆ (𝑆 ∩ ( ⊥ ‘𝑆)))
30	22, 28, 29	syl2an2r 685	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) → { 0 } ⊆ (𝑆 ∩ ( ⊥ ‘𝑆)))
31	21, 30	eqssd 3955	1 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) → (𝑆 ∩ ( ⊥ ‘𝑆)) = { 0 })

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  {csn 4579  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  Basecbs 17139  Scalarcsca 17183  ·_𝑖cip 17185  0_gc0g 17362  LModclmod 20782  LSubSpclss 20853  PreHilcphl 21550  ocvcocv 21586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-map 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17140  df-plusg 17193  df-sca 17196  df-vsca 17197  df-ip 17198  df-0g 17364  df-mgm 18533  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-grp 18834  df-minusg 18835  df-sbg 18836  df-ghm 19111  df-cmn 19680  df-abl 19681  df-mgp 20045  df-rng 20057  df-ur 20086  df-ring 20139  df-lmod 20784  df-lss 20854  df-lmhm 20945  df-lvec 21026  df-sra 21096  df-rgmod 21097  df-phl 21552  df-ocv 21589

This theorem is referenced by:  ocv1  21605  pjdm2  21637  pjff  21638  pjf2  21640  pjfo  21641  obselocv  21654