Theorem ocvin 21987

Description: An orthocomplement has trivial intersection with the original subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ocv2ss.o	⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
ocvin.l	⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
ocvin.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ocvin	⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) → (𝑆 ∩ ( ⊥ ‘𝑆)) = { 0 })

Proof of Theorem ocvin

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
3		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
4		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
5		ocv2ss.o	. . . . . . . . 9 ⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
6	1, 2, 3, 4, 5	ocvi 21982	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ( ⊥ ‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
7	6	ancoms 464	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘𝑆)) → (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
8	7	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))) → (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
9		simpll 779	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))) → 𝑊 ∈ PreHil)
10		ocvin.l	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
11	1, 10	lssel 21219	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐿 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
12	11	ad2ant2lr 761	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
13		ocvin.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
14	3, 2, 1, 4, 13	ipeq0 21951	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → ((𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ 𝑥 = 0 ))
15	9, 12, 14	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))) → ((𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ 𝑥 = 0 ))
16	8, 15	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))) → 𝑥 = 0 )
17	16	ex 418	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘𝑆)) → 𝑥 = 0 ))
18		elin 4092	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑆 ∩ ( ⊥ ‘𝑆)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘𝑆)))
19		velsn 4596	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ { 0 } ↔ 𝑥 = 0 )
20	17, 18, 19	3imtr4g 299	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) → (𝑥 ∈ (𝑆 ∩ ( ⊥ ‘𝑆)) → 𝑥 ∈ { 0 }))
21	20	ssrdv 3915	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) → (𝑆 ∩ ( ⊥ ‘𝑆)) ⊆ { 0 })
22		phllmod 21943	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
23	1, 10	lssss 21218	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐿 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
24	1, 5, 10	ocvlss 21985	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊)) → ( ⊥ ‘𝑆) ∈ 𝐿)
25	23, 24	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) → ( ⊥ ‘𝑆) ∈ 𝐿)
26	10	lssincl 21247	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝐿 ∧ ( ⊥ ‘𝑆) ∈ 𝐿) → (𝑆 ∩ ( ⊥ ‘𝑆)) ∈ 𝐿)
27	22, 26	syl3an1 1181	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿 ∧ ( ⊥ ‘𝑆) ∈ 𝐿) → (𝑆 ∩ ( ⊥ ‘𝑆)) ∈ 𝐿)
28	25, 27	mpd3an3 1491	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) → (𝑆 ∩ ( ⊥ ‘𝑆)) ∈ 𝐿)
29	13, 10	lss0ss 21231	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑆 ∩ ( ⊥ ‘𝑆)) ∈ 𝐿) → { 0 } ⊆ (𝑆 ∩ ( ⊥ ‘𝑆)))
30	22, 28, 29	syl2an2r 698	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) → { 0 } ⊆ (𝑆 ∩ ( ⊥ ‘𝑆)))
31	21, 30	eqssd 3926	1 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) → (𝑆 ∩ ( ⊥ ‘𝑆)) = { 0 })

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3896   ∩ cin 4088  {csn 4584  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422  Basecbs 17394  Scalarcsca 17438  ·_𝑖cip 17440  0_gc0g 17617  LModclmod 21142  LSubSpclss 21213  PreHilcphl 21937  ocvcocv 21973

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-er 8722  df-map 8854  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-nn 12341  df-2 12410  df-3 12411  df-4 12412  df-5 12413  df-6 12414  df-7 12415  df-8 12416  df-sets 17349  df-slot 17367  df-ndx 17379  df-base 17395  df-plusg 17448  df-sca 17451  df-vsca 17452  df-ip 17453  df-0g 17619  df-mgm 18823  df-sgrp 18915  df-mnd 18931  df-grp 19154  df-minusg 19155  df-sbg 19156  df-ghm 19435  df-cmn 20003  df-abl 20004  df-mgp 20368  df-rng 20382  df-ur 20415  df-ring 20468  df-lmod 21144  df-lss 21214  df-lmhm 21304  df-lvec 21385  df-sra 21455  df-rgmod 21456  df-phl 21939  df-ocv 21976

This theorem is used by:  ocv1  21992  pjdm2  22024  pjff  22025  pjf2  22027  pjfo  22028  obselocv  22041