Theorem ocvin 21715

Description: An orthocomplement has trivial intersection with the original subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ocv2ss.o	⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
ocvin.l	⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
ocvin.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ocvin	⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) → (𝑆 ∩ ( ⊥ ‘𝑆)) = { 0 })

Proof of Theorem ocvin

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
3		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
4		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
5		ocv2ss.o	. . . . . . . . 9 ⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
6	1, 2, 3, 4, 5	ocvi 21710	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ( ⊥ ‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
7	6	ancoms 458	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘𝑆)) → (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
8	7	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))) → (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
9		simpll 766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))) → 𝑊 ∈ PreHil)
10		ocvin.l	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
11	1, 10	lssel 20958	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐿 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
12	11	ad2ant2lr 747	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
13		ocvin.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
14	3, 2, 1, 4, 13	ipeq0 21679	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → ((𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ 𝑥 = 0 ))
15	9, 12, 14	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))) → ((𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ 𝑥 = 0 ))
16	8, 15	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))) → 𝑥 = 0 )
17	16	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘𝑆)) → 𝑥 = 0 ))
18		elin 3992	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑆 ∩ ( ⊥ ‘𝑆)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘𝑆)))
19		velsn 4664	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ { 0 } ↔ 𝑥 = 0 )
20	17, 18, 19	3imtr4g 296	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) → (𝑥 ∈ (𝑆 ∩ ( ⊥ ‘𝑆)) → 𝑥 ∈ { 0 }))
21	20	ssrdv 4014	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) → (𝑆 ∩ ( ⊥ ‘𝑆)) ⊆ { 0 })
22		phllmod 21671	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
23	1, 10	lssss 20957	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐿 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
24	1, 5, 10	ocvlss 21713	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊)) → ( ⊥ ‘𝑆) ∈ 𝐿)
25	23, 24	sylan2 592	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) → ( ⊥ ‘𝑆) ∈ 𝐿)
26	10	lssincl 20986	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝐿 ∧ ( ⊥ ‘𝑆) ∈ 𝐿) → (𝑆 ∩ ( ⊥ ‘𝑆)) ∈ 𝐿)
27	22, 26	syl3an1 1163	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿 ∧ ( ⊥ ‘𝑆) ∈ 𝐿) → (𝑆 ∩ ( ⊥ ‘𝑆)) ∈ 𝐿)
28	25, 27	mpd3an3 1462	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) → (𝑆 ∩ ( ⊥ ‘𝑆)) ∈ 𝐿)
29	13, 10	lss0ss 20970	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑆 ∩ ( ⊥ ‘𝑆)) ∈ 𝐿) → { 0 } ⊆ (𝑆 ∩ ( ⊥ ‘𝑆)))
30	22, 28, 29	syl2an2r 684	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) → { 0 } ⊆ (𝑆 ∩ ( ⊥ ‘𝑆)))
31	21, 30	eqssd 4026	1 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) → (𝑆 ∩ ( ⊥ ‘𝑆)) = { 0 })

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976  {csn 4648  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  Scalarcsca 17314  ·_𝑖cip 17316  0_gc0g 17499  LModclmod 20880  LSubSpclss 20952  PreHilcphl 21665  ocvcocv 21701

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-plusg 17324  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-ghm 19253  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-lmhm 21044  df-lvec 21125  df-sra 21195  df-rgmod 21196  df-phl 21667  df-ocv 21704

This theorem is referenced by:  ocv1  21720  pjdm2  21754  pjff  21755  pjf2  21757  pjfo  21758  obselocv  21771