MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ocvlss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ocvlss 20419
Description: The orthocomplement of a subset is a linear subspace of the pre-Hilbert space. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ocvss.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
ocvss.o = (ocv‘𝑊)
ocvlss.l 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ocvlss ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → ( 𝑆) ∈ 𝐿)

Proof of Theorem ocvlss
Dummy variables 𝑥 𝑟 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ocvss.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 ocvss.o . . . 4 = (ocv‘𝑊)
31, 2ocvss 20417 . . 3 ( 𝑆) ⊆ 𝑉
43a1i 11 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → ( 𝑆) ⊆ 𝑉)
5 simpr 479 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → 𝑆𝑉)
6 phllmod 20377 . . . . . 6 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
76adantr 474 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
8 eqid 2778 . . . . . 6 (0g𝑊) = (0g𝑊)
91, 8lmod0vcl 19288 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → (0g𝑊) ∈ 𝑉)
107, 9syl 17 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → (0g𝑊) ∈ 𝑉)
11 simpll 757 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑊 ∈ PreHil)
125sselda 3821 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥𝑉)
13 eqid 2778 . . . . . . 7 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
14 eqid 2778 . . . . . . 7 (·𝑖𝑊) = (·𝑖𝑊)
15 eqid 2778 . . . . . . 7 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
1613, 14, 1, 15, 8ip0l 20383 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥𝑉) → ((0g𝑊)(·𝑖𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
1711, 12, 16syl2anc 579 . . . . 5 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥𝑆) → ((0g𝑊)(·𝑖𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
1817ralrimiva 3148 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → ∀𝑥𝑆 ((0g𝑊)(·𝑖𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
191, 14, 13, 15, 2elocv 20415 . . . 4 ((0g𝑊) ∈ ( 𝑆) ↔ (𝑆𝑉 ∧ (0g𝑊) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥𝑆 ((0g𝑊)(·𝑖𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
205, 10, 18, 19syl3anbrc 1400 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → (0g𝑊) ∈ ( 𝑆))
2120ne0d 4150 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → ( 𝑆) ≠ ∅)
225adantr 474 . . . 4 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) → 𝑆𝑉)
237adantr 474 . . . . 5 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) → 𝑊 ∈ LMod)
24 simpr1 1205 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) → 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
25 simpr2 1207 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) → 𝑦 ∈ ( 𝑆))
263, 25sseldi 3819 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) → 𝑦𝑉)
27 eqid 2778 . . . . . . 7 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
28 eqid 2778 . . . . . . 7 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
291, 13, 27, 28lmodvscl 19276 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦𝑉) → (𝑟( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑉)
3023, 24, 26, 29syl3anc 1439 . . . . 5 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) → (𝑟( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑉)
31 simpr3 1209 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) → 𝑧 ∈ ( 𝑆))
323, 31sseldi 3819 . . . . 5 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) → 𝑧𝑉)
33 eqid 2778 . . . . . 6 (+g𝑊) = (+g𝑊)
341, 33lmodvacl 19273 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑉𝑧𝑉) → ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧) ∈ 𝑉)
3523, 30, 32, 34syl3anc 1439 . . . 4 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) → ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧) ∈ 𝑉)
3611adantlr 705 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑊 ∈ PreHil)
3730adantr 474 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑟( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑉)
3832adantr 474 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑧𝑉)
3912adantlr 705 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥𝑉)
40 eqid 2778 . . . . . . . 8 (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊))
4113, 14, 1, 33, 40ipdir 20386 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑉𝑧𝑉𝑥𝑉)) → (((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧)(·𝑖𝑊)𝑥) = (((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑦)(·𝑖𝑊)𝑥)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝑧(·𝑖𝑊)𝑥)))
4236, 37, 38, 39, 41syl13anc 1440 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ 𝑥𝑆) → (((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧)(·𝑖𝑊)𝑥) = (((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑦)(·𝑖𝑊)𝑥)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝑧(·𝑖𝑊)𝑥)))
4324adantr 474 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
4426adantr 474 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑦𝑉)
45 eqid 2778 . . . . . . . . . 10 (.r‘(Scalar‘𝑊)) = (.r‘(Scalar‘𝑊))
4613, 14, 1, 28, 27, 45ipass 20392 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦𝑉𝑥𝑉)) → ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑦)(·𝑖𝑊)𝑥) = (𝑟(.r‘(Scalar‘𝑊))(𝑦(·𝑖𝑊)𝑥)))
4736, 43, 44, 39, 46syl13anc 1440 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑦)(·𝑖𝑊)𝑥) = (𝑟(.r‘(Scalar‘𝑊))(𝑦(·𝑖𝑊)𝑥)))
481, 14, 13, 15, 2ocvi 20416 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑦(·𝑖𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
4925, 48sylan 575 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑦(·𝑖𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
5049oveq2d 6940 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑟(.r‘(Scalar‘𝑊))(𝑦(·𝑖𝑊)𝑥)) = (𝑟(.r‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))))
5123adantr 474 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑊 ∈ LMod)
5213lmodring 19267 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
5351, 52syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ 𝑥𝑆) → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
5428, 45, 15ringrz 18979 . . . . . . . . 9 (((Scalar‘𝑊) ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑟(.r‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
5553, 43, 54syl2anc 579 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑟(.r‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
5647, 50, 553eqtrd 2818 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑦)(·𝑖𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
571, 14, 13, 15, 2ocvi 20416 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑧(·𝑖𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
5831, 57sylan 575 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑧(·𝑖𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
5956, 58oveq12d 6942 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ 𝑥𝑆) → (((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑦)(·𝑖𝑊)𝑥)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝑧(·𝑖𝑊)𝑥)) = ((0g‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))))
6013lmodfgrp 19268 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
6128, 15grpidcl 17841 . . . . . . . 8 ((Scalar‘𝑊) ∈ Grp → (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
6228, 40, 15grplid 17843 . . . . . . . 8 (((Scalar‘𝑊) ∈ Grp ∧ (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
6361, 62mpdan 677 . . . . . . 7 ((Scalar‘𝑊) ∈ Grp → ((0g‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
6451, 60, 633syl 18 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ 𝑥𝑆) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
6542, 59, 643eqtrd 2818 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ 𝑥𝑆) → (((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧)(·𝑖𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
6665ralrimiva 3148 . . . 4 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) → ∀𝑥𝑆 (((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧)(·𝑖𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
671, 14, 13, 15, 2elocv 20415 . . . 4 (((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧) ∈ ( 𝑆) ↔ (𝑆𝑉 ∧ ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥𝑆 (((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧)(·𝑖𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
6822, 35, 66, 67syl3anbrc 1400 . . 3 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) → ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧) ∈ ( 𝑆))
6968ralrimivvva 3154 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → ∀𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ ( 𝑆)∀𝑧 ∈ ( 𝑆)((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧) ∈ ( 𝑆))
70 ocvlss.l . . 3 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
7113, 28, 1, 33, 27, 70islss 19331 . 2 (( 𝑆) ∈ 𝐿 ↔ (( 𝑆) ⊆ 𝑉 ∧ ( 𝑆) ≠ ∅ ∧ ∀𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ ( 𝑆)∀𝑧 ∈ ( 𝑆)((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧) ∈ ( 𝑆)))
724, 21, 69, 71syl3anbrc 1400 1 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → ( 𝑆) ∈ 𝐿)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2107  wne 2969  wral 3090  wss 3792  c0 4141  cfv 6137  (class class class)co 6924  Basecbs 16259  +gcplusg 16342  .rcmulr 16343  Scalarcsca 16345   ·𝑠 cvsca 16346  ·𝑖cip 16347  0gc0g 16490  Grpcgrp 17813  Ringcrg 18938  LModclmod 19259  LSubSpclss 19328  PreHilcphl 20371  ocvcocv 20407
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11379  df-2 11442  df-3 11443  df-4 11444  df-5 11445  df-6 11446  df-7 11447  df-8 11448  df-ndx 16262  df-slot 16263  df-base 16265  df-sets 16266  df-plusg 16355  df-sca 16358  df-vsca 16359  df-ip 16360  df-0g 16492  df-mgm 17632  df-sgrp 17674  df-mnd 17685  df-grp 17816  df-ghm 18046  df-mgp 18881  df-ring 18940  df-lmod 19261  df-lss 19329  df-lmhm 19421  df-lvec 19502  df-sra 19573  df-rgmod 19574  df-phl 20373  df-ocv 20410
This theorem is referenced by:  ocvin  20421  ocvlsp  20423  csslss  20438  pjdm2  20458  pjff  20459  pjf2  20461  pjfo  20462  ocvpj  20464  pjthlem2  23648  pjth  23649
  Copyright terms: Public domain W3C validator