Theorem ocvlss 21216

Description: The orthocomplement of a subset is a linear subspace of the pre-Hilbert space. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ocvss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ocvss.o	⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
ocvlss.l	⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ocvlss	⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑆) ∈ 𝐿)

Proof of Theorem ocvlss

Dummy variables 𝑥 𝑟 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ocvss.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		ocvss.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
3	1, 2	ocvss 21214	. . 3 ⊢ ( ⊥ ‘𝑆) ⊆ 𝑉
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑆) ⊆ 𝑉)
5		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝑆 ⊆ 𝑉)
6		phllmod 21174	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
7	6	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
8		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
9	1, 8	lmod0vcl 20493	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (0g‘𝑊) ∈ 𝑉)
10	7, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (0g‘𝑊) ∈ 𝑉)
11		simpll 765	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ PreHil)
12	5	sselda 3981	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑉)
13		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
14		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
15		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
16	13, 14, 1, 15, 8	ip0l 21180	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((0g‘𝑊)(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
17	11, 12, 16	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((0g‘𝑊)(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
18	17	ralrimiva 3146	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ((0g‘𝑊)(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
19	1, 14, 13, 15, 2	elocv 21212	. . . 4 ⊢ ((0g‘𝑊) ∈ ( ⊥ ‘𝑆) ↔ (𝑆 ⊆ 𝑉 ∧ (0g‘𝑊) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ((0g‘𝑊)(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
20	5, 10, 18, 19	syl3anbrc 1343	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (0g‘𝑊) ∈ ( ⊥ ‘𝑆))
21	20	ne0d 4334	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑆) ≠ ∅)
22	5	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))) → 𝑆 ⊆ 𝑉)
23	7	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))) → 𝑊 ∈ LMod)
24		simpr1 1194	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))) → 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
25		simpr2 1195	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))) → 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))
26	3, 25	sselid 3979	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))) → 𝑦 ∈ 𝑉)
27		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
28		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
29	1, 13, 27, 28	lmodvscl 20481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑉)
30	23, 24, 26, 29	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))) → (𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑉)
31		simpr3 1196	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))) → 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))
32	3, 31	sselid 3979	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))) → 𝑧 ∈ 𝑉)
33		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
34	1, 33	lmodvacl 20478	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(+g‘𝑊)𝑧) ∈ 𝑉)
35	23, 30, 32, 34	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))) → ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(+g‘𝑊)𝑧) ∈ 𝑉)
36	11	adantlr 713	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ PreHil)
37	30	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑉)
38	32	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝑉)
39	12	adantlr 713	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑉)
40		eqid 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊))
41	13, 14, 1, 33, 40	ipdir 21183	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) → (((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(+g‘𝑊)𝑧)(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(·𝑖‘𝑊)𝑥)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝑧(·𝑖‘𝑊)𝑥)))
42	36, 37, 38, 39, 41	syl13anc 1372	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(+g‘𝑊)𝑧)(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(·𝑖‘𝑊)𝑥)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝑧(·𝑖‘𝑊)𝑥)))
43	24	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
44	26	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑉)
45		eqid 2732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘(Scalar‘𝑊)) = (.r‘(Scalar‘𝑊))
46	13, 14, 1, 28, 27, 45	ipass 21189	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) → ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (𝑟(.r‘(Scalar‘𝑊))(𝑦(·𝑖‘𝑊)𝑥)))
47	36, 43, 44, 39, 46	syl13anc 1372	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (𝑟(.r‘(Scalar‘𝑊))(𝑦(·𝑖‘𝑊)𝑥)))
48	1, 14, 13, 15, 2	ocvi 21213	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑦(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
49	25, 48	sylan 580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑦(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
50	49	oveq2d 7421	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑟(.r‘(Scalar‘𝑊))(𝑦(·𝑖‘𝑊)𝑥)) = (𝑟(.r‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))))
51	23	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ LMod)
52	13	lmodring 20471	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
53	51, 52	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
54	28, 45, 15	ringrz 20101	. . . . . . . . 9 ⊢ (((Scalar‘𝑊) ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑟(.r‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
55	53, 43, 54	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑟(.r‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
56	47, 50, 55	3eqtrd 2776	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
57	1, 14, 13, 15, 2	ocvi 21213	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ( ⊥ ‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑧(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
58	31, 57	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑧(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
59	56, 58	oveq12d 7423	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(·𝑖‘𝑊)𝑥)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝑧(·𝑖‘𝑊)𝑥)) = ((0g‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))))
60	13	lmodfgrp 20472	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
61	28, 15	grpidcl 18846	. . . . . . . 8 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ∈ Grp → (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
62	28, 40, 15	grplid 18848	. . . . . . . 8 ⊢ (((Scalar‘𝑊) ∈ Grp ∧ (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
63	61, 62	mpdan 685	. . . . . . 7 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ∈ Grp → ((0g‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
64	51, 60, 63	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
65	42, 59, 64	3eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(+g‘𝑊)𝑧)(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
66	65	ralrimiva 3146	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(+g‘𝑊)𝑧)(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
67	1, 14, 13, 15, 2	elocv 21212	. . . 4 ⊢ (((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(+g‘𝑊)𝑧) ∈ ( ⊥ ‘𝑆) ↔ (𝑆 ⊆ 𝑉 ∧ ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(+g‘𝑊)𝑧) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(+g‘𝑊)𝑧)(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
68	22, 35, 66, 67	syl3anbrc 1343	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))) → ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(+g‘𝑊)𝑧) ∈ ( ⊥ ‘𝑆))
69	68	ralrimivvva 3203	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ∀𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆)∀𝑧 ∈ ( ⊥ ‘𝑆)((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(+g‘𝑊)𝑧) ∈ ( ⊥ ‘𝑆))
70		ocvlss.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
71	13, 28, 1, 33, 27, 70	islss 20537	. 2 ⊢ (( ⊥ ‘𝑆) ∈ 𝐿 ↔ (( ⊥ ‘𝑆) ⊆ 𝑉 ∧ ( ⊥ ‘𝑆) ≠ ∅ ∧ ∀𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆)∀𝑧 ∈ ( ⊥ ‘𝑆)((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(+g‘𝑊)𝑧) ∈ ( ⊥ ‘𝑆)))
72	4, 21, 69, 71	syl3anbrc 1343	1 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑆) ∈ 𝐿)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∀wral 3061   ⊆ wss 3947  ∅c0 4321  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  +_gcplusg 17193  ._rcmulr 17194  Scalarcsca 17196   ·_𝑠 cvsca 17197  ·_𝑖cip 17198  0_gc0g 17381  Grpcgrp 18815  Ringcrg 20049  LModclmod 20463  LSubSpclss 20534  PreHilcphl 21168  ocvcocv 21204

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-ghm 19084  df-mgp 19982  df-ring 20051  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lmhm 20625  df-lvec 20706  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-phl 21170  df-ocv 21207

This theorem is referenced by:  ocvin  21218  ocvlsp  21220  csslss  21235  pjdm2  21257  pjff  21258  pjf2  21260  pjfo  21261  ocvpj  21263  pjthlem2  24946  pjth  24947