Theorem ocvlss 21665

Description: The orthocomplement of a subset is a linear subspace of the pre-Hilbert space. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ocvss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ocvss.o	⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
ocvlss.l	⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ocvlss	⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑆) ∈ 𝐿)

Proof of Theorem ocvlss

Dummy variables 𝑥 𝑟 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ocvss.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		ocvss.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
3	1, 2	ocvss 21663	. . 3 ⊢ ( ⊥ ‘𝑆) ⊆ 𝑉
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑆) ⊆ 𝑉)
5		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝑆 ⊆ 𝑉)
6		phllmod 21623	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
7	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
8		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
9	1, 8	lmod0vcl 20880	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (0g‘𝑊) ∈ 𝑉)
10	7, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (0g‘𝑊) ∈ 𝑉)
11		simpll 767	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ PreHil)
12	5	sselda 3922	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑉)
13		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
14		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
15		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
16	13, 14, 1, 15, 8	ip0l 21629	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((0g‘𝑊)(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
17	11, 12, 16	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((0g‘𝑊)(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
18	17	ralrimiva 3130	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ((0g‘𝑊)(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
19	1, 14, 13, 15, 2	elocv 21661	. . . 4 ⊢ ((0g‘𝑊) ∈ ( ⊥ ‘𝑆) ↔ (𝑆 ⊆ 𝑉 ∧ (0g‘𝑊) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ((0g‘𝑊)(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
20	5, 10, 18, 19	syl3anbrc 1345	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (0g‘𝑊) ∈ ( ⊥ ‘𝑆))
21	20	ne0d 4283	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑆) ≠ ∅)
22	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))) → 𝑆 ⊆ 𝑉)
23	7	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))) → 𝑊 ∈ LMod)
24		simpr1 1196	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))) → 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
25		simpr2 1197	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))) → 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))
26	3, 25	sselid 3920	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))) → 𝑦 ∈ 𝑉)
27		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
28		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
29	1, 13, 27, 28	lmodvscl 20867	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑉)
30	23, 24, 26, 29	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))) → (𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑉)
31		simpr3 1198	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))) → 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))
32	3, 31	sselid 3920	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))) → 𝑧 ∈ 𝑉)
33		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
34	1, 33	lmodvacl 20864	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(+g‘𝑊)𝑧) ∈ 𝑉)
35	23, 30, 32, 34	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))) → ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(+g‘𝑊)𝑧) ∈ 𝑉)
36	11	adantlr 716	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ PreHil)
37	30	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑉)
38	32	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝑉)
39	12	adantlr 716	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑉)
40		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊))
41	13, 14, 1, 33, 40	ipdir 21632	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) → (((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(+g‘𝑊)𝑧)(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(·𝑖‘𝑊)𝑥)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝑧(·𝑖‘𝑊)𝑥)))
42	36, 37, 38, 39, 41	syl13anc 1375	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(+g‘𝑊)𝑧)(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(·𝑖‘𝑊)𝑥)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝑧(·𝑖‘𝑊)𝑥)))
43	24	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
44	26	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑉)
45		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘(Scalar‘𝑊)) = (.r‘(Scalar‘𝑊))
46	13, 14, 1, 28, 27, 45	ipass 21638	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) → ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (𝑟(.r‘(Scalar‘𝑊))(𝑦(·𝑖‘𝑊)𝑥)))
47	36, 43, 44, 39, 46	syl13anc 1375	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (𝑟(.r‘(Scalar‘𝑊))(𝑦(·𝑖‘𝑊)𝑥)))
48	1, 14, 13, 15, 2	ocvi 21662	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑦(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
49	25, 48	sylan 581	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑦(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
50	49	oveq2d 7377	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑟(.r‘(Scalar‘𝑊))(𝑦(·𝑖‘𝑊)𝑥)) = (𝑟(.r‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))))
51	23	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ LMod)
52	13	lmodring 20857	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
53	51, 52	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
54	28, 45, 15	ringrz 20269	. . . . . . . . 9 ⊢ (((Scalar‘𝑊) ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑟(.r‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
55	53, 43, 54	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑟(.r‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
56	47, 50, 55	3eqtrd 2776	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
57	1, 14, 13, 15, 2	ocvi 21662	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ( ⊥ ‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑧(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
58	31, 57	sylan 581	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑧(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
59	56, 58	oveq12d 7379	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(·𝑖‘𝑊)𝑥)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝑧(·𝑖‘𝑊)𝑥)) = ((0g‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))))
60	13	lmodfgrp 20858	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
61	28, 15	grpidcl 18935	. . . . . . . 8 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ∈ Grp → (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
62	28, 40, 15	grplid 18937	. . . . . . . 8 ⊢ (((Scalar‘𝑊) ∈ Grp ∧ (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
63	61, 62	mpdan 688	. . . . . . 7 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ∈ Grp → ((0g‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
64	51, 60, 63	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
65	42, 59, 64	3eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(+g‘𝑊)𝑧)(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
66	65	ralrimiva 3130	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(+g‘𝑊)𝑧)(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
67	1, 14, 13, 15, 2	elocv 21661	. . . 4 ⊢ (((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(+g‘𝑊)𝑧) ∈ ( ⊥ ‘𝑆) ↔ (𝑆 ⊆ 𝑉 ∧ ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(+g‘𝑊)𝑧) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(+g‘𝑊)𝑧)(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
68	22, 35, 66, 67	syl3anbrc 1345	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘𝑆))) → ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(+g‘𝑊)𝑧) ∈ ( ⊥ ‘𝑆))
69	68	ralrimivvva 3184	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ∀𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆)∀𝑧 ∈ ( ⊥ ‘𝑆)((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(+g‘𝑊)𝑧) ∈ ( ⊥ ‘𝑆))
70		ocvlss.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
71	13, 28, 1, 33, 27, 70	islss 20923	. 2 ⊢ (( ⊥ ‘𝑆) ∈ 𝐿 ↔ (( ⊥ ‘𝑆) ⊆ 𝑉 ∧ ( ⊥ ‘𝑆) ≠ ∅ ∧ ∀𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆)∀𝑧 ∈ ( ⊥ ‘𝑆)((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(+g‘𝑊)𝑧) ∈ ( ⊥ ‘𝑆)))
72	4, 21, 69, 71	syl3anbrc 1345	1 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑆) ∈ 𝐿)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  Basecbs 17173  +_gcplusg 17214  ._rcmulr 17215  Scalarcsca 17217   ·_𝑠 cvsca 17218  ·_𝑖cip 17219  0_gc0g 17396  Grpcgrp 18903  Ringcrg 20208  LModclmod 20849  LSubSpclss 20920  PreHilcphl 21617  ocvcocv 21653

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-plusg 17227  df-sca 17230  df-vsca 17231  df-ip 17232  df-0g 17398  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-ghm 19182  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20116  df-rng 20128  df-ur 20157  df-ring 20210  df-lmod 20851  df-lss 20921  df-lmhm 21012  df-lvec 21093  df-sra 21163  df-rgmod 21164  df-phl 21619  df-ocv 21656

This theorem is referenced by:  ocvin  21667  ocvlsp  21669  csslss  21684  pjdm2  21704  pjff  21705  pjf2  21707  pjfo  21708  ocvpj  21710  pjthlem2  25418  pjth  25419