MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ocvocv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ocvocv 20414
Description: A set is contained in its double orthocomplement. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ocvss.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
ocvss.o = (ocv‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ocvocv ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → 𝑆 ⊆ ( ‘( 𝑆)))

Proof of Theorem ocvocv
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ocvss.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 ocvss.o . . . . . 6 = (ocv‘𝑊)
31, 2ocvss 20413 . . . . 5 ( 𝑆) ⊆ 𝑉
43a1i 11 . . . 4 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥𝑆) → ( 𝑆) ⊆ 𝑉)
5 simpr 479 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → 𝑆𝑉)
65sselda 3820 . . . 4 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥𝑉)
7 eqid 2777 . . . . . . . . 9 (·𝑖𝑊) = (·𝑖𝑊)
8 eqid 2777 . . . . . . . . 9 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
9 eqid 2777 . . . . . . . . 9 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
101, 7, 8, 9, 2ocvi 20412 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑦(·𝑖𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
1110ancoms 452 . . . . . . 7 ((𝑥𝑆𝑦 ∈ ( 𝑆)) → (𝑦(·𝑖𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
1211adantll 704 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥𝑆) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆)) → (𝑦(·𝑖𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
13 simplll 765 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥𝑆) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆)) → 𝑊 ∈ PreHil)
144sselda 3820 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥𝑆) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆)) → 𝑦𝑉)
156adantr 474 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥𝑆) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆)) → 𝑥𝑉)
168, 7, 1, 9iporthcom 20378 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑦𝑉𝑥𝑉) → ((𝑦(·𝑖𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
1713, 14, 15, 16syl3anc 1439 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥𝑆) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆)) → ((𝑦(·𝑖𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
1812, 17mpbid 224 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥𝑆) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆)) → (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
1918ralrimiva 3147 . . . 4 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥𝑆) → ∀𝑦 ∈ ( 𝑆)(𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
201, 7, 8, 9, 2elocv 20411 . . . 4 (𝑥 ∈ ( ‘( 𝑆)) ↔ (( 𝑆) ⊆ 𝑉𝑥𝑉 ∧ ∀𝑦 ∈ ( 𝑆)(𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
214, 6, 19, 20syl3anbrc 1400 . . 3 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥 ∈ ( ‘( 𝑆)))
2221ex 403 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → (𝑥𝑆𝑥 ∈ ( ‘( 𝑆))))
2322ssrdv 3826 1 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → 𝑆 ⊆ ( ‘( 𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1601  wcel 2106  wral 3089  wss 3791  cfv 6135  (class class class)co 6922  Basecbs 16255  Scalarcsca 16341  ·𝑖cip 16343  0gc0g 16486  PreHilcphl 20367  ocvcocv 20403
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-tpos 7634  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-0g 16488  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-mhm 17721  df-grp 17812  df-ghm 18042  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-ring 18936  df-oppr 19010  df-rnghom 19104  df-staf 19237  df-srng 19238  df-lmod 19257  df-lmhm 19417  df-lvec 19498  df-sra 19569  df-rgmod 19570  df-phl 20369  df-ocv 20406
This theorem is referenced by:  ocvsscon  20418  ocvlsp  20419  iscss2  20429  ocvcss  20430  mrccss  20437
  Copyright terms: Public domain W3C validator