Theorem ocvocv 21631

Description: A set is contained in its double orthocomplement. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ocvss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ocvss.o	⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ocvocv	⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝑆 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)))

Proof of Theorem ocvocv

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ocvss.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		ocvss.o	. . . . . 6 ⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
3	1, 2	ocvss 21630	. . . . 5 ⊢ ( ⊥ ‘𝑆) ⊆ 𝑉
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ( ⊥ ‘𝑆) ⊆ 𝑉)
5		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝑆 ⊆ 𝑉)
6	5	sselda 3934	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑉)
7		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
8		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
9		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
10	1, 7, 8, 9, 2	ocvi 21629	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑦(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
11	10	ancoms 458	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆)) → (𝑦(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
12	11	adantll 715	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆)) → (𝑦(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
13		simplll 775	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆)) → 𝑊 ∈ PreHil)
14	4	sselda 3934	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆)) → 𝑦 ∈ 𝑉)
15	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆)) → 𝑥 ∈ 𝑉)
16	8, 7, 1, 9	iporthcom 21595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((𝑦(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
17	13, 14, 15, 16	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆)) → ((𝑦(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
18	12, 17	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆)) → (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
19	18	ralrimiva 3129	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ∀𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆)(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
20	1, 7, 8, 9, 2	elocv 21628	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)) ↔ (( ⊥ ‘𝑆) ⊆ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆)(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
21	4, 6, 19, 20	syl3anbrc 1345	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)))
22	21	ex 412	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (𝑥 ∈ 𝑆 → 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆))))
23	22	ssrdv 3940	1 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝑆 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   ⊆ wss 3902  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  Basecbs 17141  Scalarcsca 17185  ·_𝑖cip 17187  0_gc0g 17364  PreHilcphl 21584  ocvcocv 21620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7683  ax-cnex 11087  ax-resscn 11088  ax-1cn 11089  ax-icn 11090  ax-addcl 11091  ax-addrcl 11092  ax-mulcl 11093  ax-mulrcl 11094  ax-mulcom 11095  ax-addass 11096  ax-mulass 11097  ax-distr 11098  ax-i2m1 11099  ax-1ne0 11100  ax-1rid 11101  ax-rnegex 11102  ax-rrecex 11103  ax-cnre 11104  ax-pre-lttri 11105  ax-pre-lttrn 11106  ax-pre-ltadd 11107  ax-pre-mulgt0 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-tpos 8171  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-er 8638  df-map 8770  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12151  df-2 12213  df-3 12214  df-4 12215  df-5 12216  df-6 12217  df-7 12218  df-8 12219  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17142  df-plusg 17195  df-mulr 17196  df-sca 17198  df-vsca 17199  df-ip 17200  df-0g 17366  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-mhm 18713  df-grp 18871  df-ghm 19147  df-mgp 20081  df-ur 20122  df-ring 20175  df-oppr 20278  df-rhm 20413  df-staf 20777  df-srng 20778  df-lmod 20818  df-lmhm 20979  df-lvec 21060  df-sra 21130  df-rgmod 21131  df-phl 21586  df-ocv 21623

This theorem is referenced by:  ocvsscon  21635  ocvlsp  21636  iscss2  21646  ocvcss  21647  mrccss  21654