Theorem ocvocv 21885

Description: A set is contained in its double orthocomplement. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ocvss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ocvss.o	⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ocvocv	⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝑆 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)))

Proof of Theorem ocvocv

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ocvss.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		ocvss.o	. . . . . 6 ⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
3	1, 2	ocvss 21884	. . . . 5 ⊢ ( ⊥ ‘𝑆) ⊆ 𝑉
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ( ⊥ ‘𝑆) ⊆ 𝑉)
5		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝑆 ⊆ 𝑉)
6	5	sselda 3934	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑉)
7		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
8		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
9		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
10	1, 7, 8, 9, 2	ocvi 21883	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑦(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
11	10	ancoms 464	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆)) → (𝑦(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
12	11	adantll 727	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆)) → (𝑦(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
13		simplll 787	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆)) → 𝑊 ∈ PreHil)
14	4	sselda 3934	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆)) → 𝑦 ∈ 𝑉)
15	6	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆)) → 𝑥 ∈ 𝑉)
16	8, 7, 1, 9	iporthcom 21849	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((𝑦(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
17	13, 14, 15, 16	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆)) → ((𝑦(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
18	12, 17	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆)) → (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
19	18	ralrimiva 3156	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ∀𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆)(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
20	1, 7, 8, 9, 2	elocv 21882	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)) ↔ (( ⊥ ‘𝑆) ⊆ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆)(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
21	4, 6, 19, 20	syl3anbrc 1362	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)))
22	21	ex 418	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (𝑥 ∈ 𝑆 → 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆))))
23	22	ssrdv 3940	1 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝑆 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078   ⊆ wss 3902  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  Basecbs 17305  Scalarcsca 17349  ·_𝑖cip 17351  0_gc0g 17528  PreHilcphl 21838  ocvcocv 21874

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-tpos 8227  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-ip 17364  df-0g 17530  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-mhm 18892  df-grp 19061  df-ghm 19342  df-mgp 20275  df-ur 20322  df-ring 20375  df-oppr 20479  df-rhm 20614  df-staf 21006  df-srng 21007  df-lmod 21047  df-lmhm 21207  df-lvec 21288  df-sra 21358  df-rgmod 21359  df-phl 21840  df-ocv 21877

This theorem is used by:  ocvsscon  21889  ocvlsp  21890  iscss2  21900  ocvcss  21901  mrccss  21908