Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ocvocv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ocvocv 20367
 Description: A set is contained in its double orthocomplement. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ocvss.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
ocvss.o = (ocv‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ocvocv ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → 𝑆 ⊆ ( ‘( 𝑆)))

Proof of Theorem ocvocv
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ocvss.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 ocvss.o . . . . . 6 = (ocv‘𝑊)
31, 2ocvss 20366 . . . . 5 ( 𝑆) ⊆ 𝑉
43a1i 11 . . . 4 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥𝑆) → ( 𝑆) ⊆ 𝑉)
5 simpr 488 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → 𝑆𝑉)
65sselda 3953 . . . 4 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥𝑉)
7 eqid 2824 . . . . . . . . 9 (·𝑖𝑊) = (·𝑖𝑊)
8 eqid 2824 . . . . . . . . 9 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
9 eqid 2824 . . . . . . . . 9 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
101, 7, 8, 9, 2ocvi 20365 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑦(·𝑖𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
1110ancoms 462 . . . . . . 7 ((𝑥𝑆𝑦 ∈ ( 𝑆)) → (𝑦(·𝑖𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
1211adantll 713 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥𝑆) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆)) → (𝑦(·𝑖𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
13 simplll 774 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥𝑆) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆)) → 𝑊 ∈ PreHil)
144sselda 3953 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥𝑆) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆)) → 𝑦𝑉)
156adantr 484 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥𝑆) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆)) → 𝑥𝑉)
168, 7, 1, 9iporthcom 20331 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑦𝑉𝑥𝑉) → ((𝑦(·𝑖𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
1713, 14, 15, 16syl3anc 1368 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥𝑆) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆)) → ((𝑦(·𝑖𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
1812, 17mpbid 235 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥𝑆) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆)) → (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
1918ralrimiva 3177 . . . 4 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥𝑆) → ∀𝑦 ∈ ( 𝑆)(𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
201, 7, 8, 9, 2elocv 20364 . . . 4 (𝑥 ∈ ( ‘( 𝑆)) ↔ (( 𝑆) ⊆ 𝑉𝑥𝑉 ∧ ∀𝑦 ∈ ( 𝑆)(𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
214, 6, 19, 20syl3anbrc 1340 . . 3 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥 ∈ ( ‘( 𝑆)))
2221ex 416 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → (𝑥𝑆𝑥 ∈ ( ‘( 𝑆))))
2322ssrdv 3959 1 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → 𝑆 ⊆ ( ‘( 𝑆)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∀wral 3133   ⊆ wss 3919  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149  Basecbs 16483  Scalarcsca 16568  ·𝑖cip 16570  0gc0g 16713  PreHilcphl 20320  ocvcocv 20356 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-tpos 7888  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-map 8404  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-0g 16715  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-mhm 17956  df-grp 18106  df-ghm 18356  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-oppr 19376  df-rnghom 19470  df-staf 19616  df-srng 19617  df-lmod 19636  df-lmhm 19794  df-lvec 19875  df-sra 19944  df-rgmod 19945  df-phl 20322  df-ocv 20359 This theorem is referenced by:  ocvsscon  20371  ocvlsp  20372  iscss2  20382  ocvcss  20383  mrccss  20390
 Copyright terms: Public domain W3C validator