Theorem ocvocv 21640

Description: A set is contained in its double orthocomplement. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ocvss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ocvss.o	⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ocvocv	⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝑆 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)))

Proof of Theorem ocvocv

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ocvss.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		ocvss.o	. . . . . 6 ⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
3	1, 2	ocvss 21639	. . . . 5 ⊢ ( ⊥ ‘𝑆) ⊆ 𝑉
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ( ⊥ ‘𝑆) ⊆ 𝑉)
5		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝑆 ⊆ 𝑉)
6	5	sselda 3917	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑉)
7		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
8		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
9		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
10	1, 7, 8, 9, 2	ocvi 21638	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑦(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
11	10	ancoms 458	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆)) → (𝑦(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
12	11	adantll 715	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆)) → (𝑦(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
13		simplll 775	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆)) → 𝑊 ∈ PreHil)
14	4	sselda 3917	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆)) → 𝑦 ∈ 𝑉)
15	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆)) → 𝑥 ∈ 𝑉)
16	8, 7, 1, 9	iporthcom 21604	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((𝑦(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
17	13, 14, 15, 16	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆)) → ((𝑦(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
18	12, 17	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆)) → (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
19	18	ralrimiva 3127	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ∀𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆)(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
20	1, 7, 8, 9, 2	elocv 21637	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)) ↔ (( ⊥ ‘𝑆) ⊆ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆)(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
21	4, 6, 19, 20	syl3anbrc 1345	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)))
22	21	ex 412	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (𝑥 ∈ 𝑆 → 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆))))
23	22	ssrdv 3923	1 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝑆 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3049   ⊆ wss 3885  ‘cfv 6487  (class class class)co 7356  Basecbs 17168  Scalarcsca 17212  ·_𝑖cip 17214  0_gc0g 17391  PreHilcphl 21593  ocvcocv 21629

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8165  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8632  df-map 8764  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-7 12238  df-8 12239  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-plusg 17222  df-mulr 17223  df-sca 17225  df-vsca 17226  df-ip 17227  df-0g 17393  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-mhm 18740  df-grp 18901  df-ghm 19177  df-mgp 20111  df-ur 20152  df-ring 20205  df-oppr 20306  df-rhm 20441  df-staf 20805  df-srng 20806  df-lmod 20846  df-lmhm 21006  df-lvec 21087  df-sra 21157  df-rgmod 21158  df-phl 21595  df-ocv 21632

This theorem is referenced by:  ocvsscon  21644  ocvlsp  21645  iscss2  21655  ocvcss  21656  mrccss  21663