Theorem ocvocv 21977

Description: A set is contained in its double orthocomplement. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ocvss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ocvss.o	⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ocvocv	⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝑆 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)))

Proof of Theorem ocvocv

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ocvss.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		ocvss.o	. . . . . 6 ⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
3	1, 2	ocvss 21976	. . . . 5 ⊢ ( ⊥ ‘𝑆) ⊆ 𝑉
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ( ⊥ ‘𝑆) ⊆ 𝑉)
5		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝑆 ⊆ 𝑉)
6	5	sselda 3908	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑉)
7		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
8		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
9		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
10	1, 7, 8, 9, 2	ocvi 21975	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑦(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
11	10	ancoms 464	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆)) → (𝑦(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
12	11	adantll 727	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆)) → (𝑦(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
13		simplll 787	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆)) → 𝑊 ∈ PreHil)
14	4	sselda 3908	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆)) → 𝑦 ∈ 𝑉)
15	6	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆)) → 𝑥 ∈ 𝑉)
16	8, 7, 1, 9	iporthcom 21941	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((𝑦(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
17	13, 14, 15, 16	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆)) → ((𝑦(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
18	12, 17	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆)) → (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
19	18	ralrimiva 3154	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ∀𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆)(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
20	1, 7, 8, 9, 2	elocv 21974	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)) ↔ (( ⊥ ‘𝑆) ⊆ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆)(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
21	4, 6, 19, 20	syl3anbrc 1362	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)))
22	21	ex 418	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (𝑥 ∈ 𝑆 → 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆))))
23	22	ssrdv 3914	1 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝑆 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076   ⊆ wss 3895  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387  Scalarcsca 17431  ·_𝑖cip 17433  0_gc0g 17610  PreHilcphl 21930  ocvcocv 21966

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8243  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-0g 17612  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-mhm 18978  df-grp 19147  df-ghm 19428  df-mgp 20361  df-ur 20408  df-ring 20461  df-oppr 20567  df-rhm 20702  df-staf 21096  df-srng 21097  df-lmod 21137  df-lmhm 21297  df-lvec 21378  df-sra 21448  df-rgmod 21449  df-phl 21932  df-ocv 21969

This theorem is used by:  ocvsscon  21981  ocvlsp  21982  iscss2  21992  ocvcss  21993  mrccss  22000