Theorem ocvocv 21625

Description: A set is contained in its double orthocomplement. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ocvss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ocvss.o	⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ocvocv	⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝑆 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)))

Proof of Theorem ocvocv

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ocvss.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		ocvss.o	. . . . . 6 ⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
3	1, 2	ocvss 21624	. . . . 5 ⊢ ( ⊥ ‘𝑆) ⊆ 𝑉
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ( ⊥ ‘𝑆) ⊆ 𝑉)
5		simpr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝑆 ⊆ 𝑉)
6	5	sselda 3976	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑉)
7		eqid 2725	. . . . . . . . 9 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
8		eqid 2725	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
9		eqid 2725	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
10	1, 7, 8, 9, 2	ocvi 21623	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑦(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
11	10	ancoms 457	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆)) → (𝑦(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
12	11	adantll 712	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆)) → (𝑦(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
13		simplll 773	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆)) → 𝑊 ∈ PreHil)
14	4	sselda 3976	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆)) → 𝑦 ∈ 𝑉)
15	6	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆)) → 𝑥 ∈ 𝑉)
16	8, 7, 1, 9	iporthcom 21589	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((𝑦(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
17	13, 14, 15, 16	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆)) → ((𝑦(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
18	12, 17	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆)) → (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
19	18	ralrimiva 3135	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ∀𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆)(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
20	1, 7, 8, 9, 2	elocv 21622	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)) ↔ (( ⊥ ‘𝑆) ⊆ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑦 ∈ ( ⊥ ‘𝑆)(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
21	4, 6, 19, 20	syl3anbrc 1340	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)))
22	21	ex 411	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (𝑥 ∈ 𝑆 → 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆))))
23	22	ssrdv 3982	1 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝑆 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3050   ⊆ wss 3944  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  Basecbs 17188  Scalarcsca 17244  ·_𝑖cip 17246  0_gc0g 17429  PreHilcphl 21578  ocvcocv 21614

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17189  df-plusg 17254  df-mulr 17255  df-sca 17257  df-vsca 17258  df-ip 17259  df-0g 17431  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-mhm 18748  df-grp 18906  df-ghm 19181  df-mgp 20092  df-ur 20139  df-ring 20192  df-oppr 20290  df-rhm 20428  df-staf 20742  df-srng 20743  df-lmod 20762  df-lmhm 20924  df-lvec 21005  df-sra 21075  df-rgmod 21076  df-phl 21580  df-ocv 21617

This theorem is referenced by:  ocvsscon  21629  ocvlsp  21630  iscss2  21640  ocvcss  21641  mrccss  21648