Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmcss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsmcss 20390
 Description: A subset of a pre-Hilbert space whose double orthocomplement has a projection decomposition is a closed subspace. This is the core of the proof that a topologically closed subspace is algebraically closed in a Hilbert space. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmcss.c 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
lsmcss.j 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsmcss.o = (ocv‘𝑊)
lsmcss.p = (LSSum‘𝑊)
lsmcss.1 (𝜑𝑊 ∈ PreHil)
lsmcss.2 (𝜑𝑆𝑉)
lsmcss.3 (𝜑 → ( ‘( 𝑆)) ⊆ (𝑆 ( 𝑆)))
Assertion
Ref Expression
lsmcss (𝜑𝑆𝐶)

Proof of Theorem lsmcss
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsmcss.3 . . . . . . 7 (𝜑 → ( ‘( 𝑆)) ⊆ (𝑆 ( 𝑆)))
21sseld 3952 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ( ‘( 𝑆)) → 𝑥 ∈ (𝑆 ( 𝑆))))
3 lsmcss.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ PreHil)
4 phllmod 20328 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
53, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
6 lsmcss.2 . . . . . . 7 (𝜑𝑆𝑉)
7 lsmcss.j . . . . . . . . 9 𝑉 = (Base‘𝑊)
8 lsmcss.o . . . . . . . . 9 = (ocv‘𝑊)
97, 8ocvss 20368 . . . . . . . 8 ( 𝑆) ⊆ 𝑉
109a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ( 𝑆) ⊆ 𝑉)
11 eqid 2824 . . . . . . . 8 (+g𝑊) = (+g𝑊)
12 lsmcss.p . . . . . . . 8 = (LSSum‘𝑊)
137, 11, 12lsmelvalx 18767 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑉 ∧ ( 𝑆) ⊆ 𝑉) → (𝑥 ∈ (𝑆 ( 𝑆)) ↔ ∃𝑦𝑆𝑧 ∈ ( 𝑆)𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)))
145, 6, 10, 13syl3anc 1368 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑆 ( 𝑆)) ↔ ∃𝑦𝑆𝑧 ∈ ( 𝑆)𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)))
152, 14sylibd 242 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ( ‘( 𝑆)) → ∃𝑦𝑆𝑧 ∈ ( 𝑆)𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)))
163ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ (𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ ( ‘( 𝑆))) → 𝑊 ∈ PreHil)
176ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ (𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ ( ‘( 𝑆))) → 𝑆𝑉)
18 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ (𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ ( ‘( 𝑆))) → 𝑦𝑆)
1917, 18sseldd 3954 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ (𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ ( ‘( 𝑆))) → 𝑦𝑉)
20 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ (𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ ( ‘( 𝑆))) → 𝑧 ∈ ( 𝑆))
219, 20sseldi 3951 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ (𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ ( ‘( 𝑆))) → 𝑧𝑉)
22 eqid 2824 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
23 eqid 2824 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (·𝑖𝑊) = (·𝑖𝑊)
24 eqid 2824 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊))
2522, 23, 7, 11, 24ipdir 20337 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝑦𝑉𝑧𝑉𝑧𝑉)) → ((𝑦(+g𝑊)𝑧)(·𝑖𝑊)𝑧) = ((𝑦(·𝑖𝑊)𝑧)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝑧(·𝑖𝑊)𝑧)))
2616, 19, 21, 21, 25syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ (𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ ( ‘( 𝑆))) → ((𝑦(+g𝑊)𝑧)(·𝑖𝑊)𝑧) = ((𝑦(·𝑖𝑊)𝑧)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝑧(·𝑖𝑊)𝑧)))
27 eqid 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
287, 23, 22, 27, 8ocvi 20367 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑦𝑆) → (𝑧(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
2920, 18, 28syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ (𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ ( ‘( 𝑆))) → (𝑧(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
3022, 23, 7, 27iporthcom 20333 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑧𝑉𝑦𝑉) → ((𝑧(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (𝑦(·𝑖𝑊)𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
3116, 21, 19, 30syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ (𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ ( ‘( 𝑆))) → ((𝑧(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (𝑦(·𝑖𝑊)𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
3229, 31mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ (𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ ( ‘( 𝑆))) → (𝑦(·𝑖𝑊)𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
3332oveq1d 7166 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ (𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ ( ‘( 𝑆))) → ((𝑦(·𝑖𝑊)𝑧)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝑧(·𝑖𝑊)𝑧)) = ((0g‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝑧(·𝑖𝑊)𝑧)))
3416, 4syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ (𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ ( ‘( 𝑆))) → 𝑊 ∈ LMod)
3522lmodfgrp 19645 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ (𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ ( ‘( 𝑆))) → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
37 eqid 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
3822, 23, 7, 37ipcl 20331 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑧𝑉𝑧𝑉) → (𝑧(·𝑖𝑊)𝑧) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3916, 21, 21, 38syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ (𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ ( ‘( 𝑆))) → (𝑧(·𝑖𝑊)𝑧) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
4037, 24, 27grplid 18135 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((Scalar‘𝑊) ∈ Grp ∧ (𝑧(·𝑖𝑊)𝑧) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝑧(·𝑖𝑊)𝑧)) = (𝑧(·𝑖𝑊)𝑧))
4136, 39, 40syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ (𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ ( ‘( 𝑆))) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝑧(·𝑖𝑊)𝑧)) = (𝑧(·𝑖𝑊)𝑧))
4226, 33, 413eqtrd 2863 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ (𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ ( ‘( 𝑆))) → ((𝑦(+g𝑊)𝑧)(·𝑖𝑊)𝑧) = (𝑧(·𝑖𝑊)𝑧))
43 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ (𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ ( ‘( 𝑆))) → (𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ ( ‘( 𝑆)))
447, 23, 22, 27, 8ocvi 20367 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ ( ‘( 𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆)) → ((𝑦(+g𝑊)𝑧)(·𝑖𝑊)𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
4543, 20, 44syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ (𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ ( ‘( 𝑆))) → ((𝑦(+g𝑊)𝑧)(·𝑖𝑊)𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
4642, 45eqtr3d 2861 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ (𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ ( ‘( 𝑆))) → (𝑧(·𝑖𝑊)𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
47 eqid 2824 . . . . . . . . . . . . . 14 (0g𝑊) = (0g𝑊)
4822, 23, 7, 27, 47ipeq0 20336 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑧𝑉) → ((𝑧(·𝑖𝑊)𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ 𝑧 = (0g𝑊)))
4916, 21, 48syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ (𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ ( ‘( 𝑆))) → ((𝑧(·𝑖𝑊)𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ 𝑧 = (0g𝑊)))
5046, 49mpbid 235 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ (𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ ( ‘( 𝑆))) → 𝑧 = (0g𝑊))
5150oveq2d 7167 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ (𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ ( ‘( 𝑆))) → (𝑦(+g𝑊)𝑧) = (𝑦(+g𝑊)(0g𝑊)))
52 lmodgrp 19643 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
535, 52syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑊 ∈ Grp)
5453ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ (𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ ( ‘( 𝑆))) → 𝑊 ∈ Grp)
557, 11, 47grprid 18136 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑦𝑉) → (𝑦(+g𝑊)(0g𝑊)) = 𝑦)
5654, 19, 55syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ (𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ ( ‘( 𝑆))) → (𝑦(+g𝑊)(0g𝑊)) = 𝑦)
5751, 56eqtrd 2859 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ (𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ ( ‘( 𝑆))) → (𝑦(+g𝑊)𝑧) = 𝑦)
5857, 18eqeltrd 2916 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ (𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ ( ‘( 𝑆))) → (𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ 𝑆)
5958ex 416 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧 ∈ ( 𝑆))) → ((𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ ( ‘( 𝑆)) → (𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ 𝑆))
60 eleq1 2903 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧) → (𝑥 ∈ ( ‘( 𝑆)) ↔ (𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ ( ‘( 𝑆))))
61 eleq1 2903 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧) → (𝑥𝑆 ↔ (𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ 𝑆))
6260, 61imbi12d 348 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧) → ((𝑥 ∈ ( ‘( 𝑆)) → 𝑥𝑆) ↔ ((𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ ( ‘( 𝑆)) → (𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ 𝑆)))
6359, 62syl5ibrcom 250 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧 ∈ ( 𝑆))) → (𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧) → (𝑥 ∈ ( ‘( 𝑆)) → 𝑥𝑆)))
6463rexlimdvva 3286 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑦𝑆𝑧 ∈ ( 𝑆)𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧) → (𝑥 ∈ ( ‘( 𝑆)) → 𝑥𝑆)))
6515, 64syld 47 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ( ‘( 𝑆)) → (𝑥 ∈ ( ‘( 𝑆)) → 𝑥𝑆)))
6665pm2.43d 53 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ( ‘( 𝑆)) → 𝑥𝑆))
6766ssrdv 3959 . 2 (𝜑 → ( ‘( 𝑆)) ⊆ 𝑆)
68 lsmcss.c . . . 4 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
697, 68, 8iscss2 20384 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → (𝑆𝐶 ↔ ( ‘( 𝑆)) ⊆ 𝑆))
703, 6, 69syl2anc 587 . 2 (𝜑 → (𝑆𝐶 ↔ ( ‘( 𝑆)) ⊆ 𝑆))
7167, 70mpbird 260 1 (𝜑𝑆𝐶)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∃wrex 3134   ⊆ wss 3919  ‘cfv 6345  (class class class)co 7151  Basecbs 16485  +gcplusg 16567  Scalarcsca 16570  ·𝑖cip 16572  0gc0g 16715  Grpcgrp 18105  LSSumclsm 18761  LModclmod 19636  PreHilcphl 20322  ocvcocv 20358  ClSubSpccss 20359 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6137  df-ord 6183  df-on 6184  df-lim 6185  df-suc 6186  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7577  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-tpos 7890  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-er 8287  df-map 8406  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11637  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-ip 16585  df-0g 16717  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-mhm 17958  df-grp 18108  df-ghm 18358  df-lsm 18763  df-mgp 19242  df-ur 19254  df-ring 19301  df-oppr 19378  df-rnghom 19472  df-staf 19618  df-srng 19619  df-lmod 19638  df-lmhm 19796  df-lvec 19877  df-sra 19946  df-rgmod 19947  df-phl 20324  df-ocv 20361  df-css 20362 This theorem is referenced by:  pjcss  20414
 Copyright terms: Public domain W3C validator