Theorem onnoxpg 43880

Description: Every ordinal maps to a surreal number. (Contributed by RP, 21-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
onnoxpg	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ {1o, 2o}) → (𝐴 × {𝐵}) ∈ No )

Proof of Theorem onnoxpg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconst6g 6723	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ {1o, 2o} → (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{1o, 2o})
2	1	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ {1o, 2o}) → (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{1o, 2o})
3		simp3 1144	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ {1o, 2o} ∧ (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{1o, 2o}) → (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{1o, 2o})
4	3	ffund 6666	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ {1o, 2o} ∧ (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{1o, 2o}) → Fun (𝐴 × {𝐵}))
5		simp2 1143	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ {1o, 2o} ∧ (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{1o, 2o}) → 𝐵 ∈ {1o, 2o})
6		snnzg 4713	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ {1o, 2o} → {𝐵} ≠ ∅)
7		dmxp 5878	. . . . . 6 ⊢ ({𝐵} ≠ ∅ → dom (𝐴 × {𝐵}) = 𝐴)
8	7	eqcomd 2746	. . . . 5 ⊢ ({𝐵} ≠ ∅ → 𝐴 = dom (𝐴 × {𝐵}))
9	5, 6, 8	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ {1o, 2o} ∧ (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{1o, 2o}) → 𝐴 = dom (𝐴 × {𝐵}))
10		simp1 1142	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ {1o, 2o} ∧ (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{1o, 2o}) → 𝐴 ∈ On)
11	9, 10	eqeltrrd 2841	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ {1o, 2o} ∧ (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{1o, 2o}) → dom (𝐴 × {𝐵}) ∈ On)
12	3	frnd 6670	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ {1o, 2o} ∧ (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{1o, 2o}) → ran (𝐴 × {𝐵}) ⊆ {1o, 2o})
13		elno2 27643	. . 3 ⊢ ((𝐴 × {𝐵}) ∈ No ↔ (Fun (𝐴 × {𝐵}) ∧ dom (𝐴 × {𝐵}) ∈ On ∧ ran (𝐴 × {𝐵}) ⊆ {1o, 2o}))
14	4, 11, 12, 13	syl3anbrc 1350	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ {1o, 2o} ∧ (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{1o, 2o}) → (𝐴 × {𝐵}) ∈ No )
15	2, 14	mpd3an3 1470	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ {1o, 2o}) → (𝐴 × {𝐵}) ∈ No )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935   ⊆ wss 3890  ∅c0 4268  {csn 4562  {cpr 4564   × cxp 5623  dom cdm 5625  ran crn 5626  Oncon0 6317  Fun wfun 6486  ⟶wf 6488  1_oc1o 8395  2_oc2o 8396   No csur 27628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-no 27631

This theorem is referenced by:  onnobdayg  43881  bdaybndex  43882  onnoxp  43884