Theorem onnoxpg 44523

Description: Every ordinal maps to a surreal number. (Contributed by RP, 21-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
onnoxpg	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ {1o, 2o}) → (𝐴 × {𝐵}) ∈ No)

Proof of Theorem onnoxpg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconst6g 6771	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ {1o, 2o} → (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{1o, 2o})
2	1	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ {1o, 2o}) → (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{1o, 2o})
3		simp3 1156	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ {1o, 2o} ∧ (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{1o, 2o}) → (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{1o, 2o})
4	3	ffund 6714	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ {1o, 2o} ∧ (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{1o, 2o}) → Fun (𝐴 × {𝐵}))
5		simp2 1155	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ {1o, 2o} ∧ (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{1o, 2o}) → 𝐵 ∈ {1o, 2o})
6		snnzg 4731	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ {1o, 2o} → {𝐵} ≠ ∅)
7		dmxp 5910	. . . . . 6 ⊢ ({𝐵} ≠ ∅ → dom (𝐴 × {𝐵}) = 𝐴)
8	7	eqcomd 2766	. . . . 5 ⊢ ({𝐵} ≠ ∅ → 𝐴 = dom (𝐴 × {𝐵}))
9	5, 6, 8	3syl 19	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ {1o, 2o} ∧ (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{1o, 2o}) → 𝐴 = dom (𝐴 × {𝐵}))
10		simp1 1154	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ {1o, 2o} ∧ (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{1o, 2o}) → 𝐴 ∈ On)
11	9, 10	eqeltrrd 2861	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ {1o, 2o} ∧ (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{1o, 2o}) → dom (𝐴 × {𝐵}) ∈ On)
12	3	frnd 6718	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ {1o, 2o} ∧ (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{1o, 2o}) → ran (𝐴 × {𝐵}) ⊆ {1o, 2o})
13		elno2 28016	. . 3 ⊢ ((𝐴 × {𝐵}) ∈ No ↔ (Fun (𝐴 × {𝐵}) ∧ dom (𝐴 × {𝐵}) ∈ On ∧ ran (𝐴 × {𝐵}) ⊆ {1o, 2o}))
14	4, 11, 12, 13	syl3anbrc 1362	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ {1o, 2o} ∧ (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{1o, 2o}) → (𝐴 × {𝐵}) ∈ No)
15	2, 14	mpd3an3 1491	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ {1o, 2o}) → (𝐴 × {𝐵}) ∈ No)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   ⊆ wss 3895  ∅c0 4278  {csn 4584  {cpr 4586   × cxp 5648  dom cdm 5650  ran crn 5651  Oncon0 6362  Fun wfun 6532  ⟶wf 6534  1_oc1o 8472  2_oc2o 8473  Nocsur 28002

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-no 28005

This theorem is used by:  onnobdayg  44524  bdaybndex  44525  onnoxp  44527