Theorem onnoxpg 44277

Description: Every ordinal maps to a surreal number. (Contributed by RP, 21-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
onnoxpg	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ {1o, 2o}) → (𝐴 × {𝐵}) ∈ No )

Proof of Theorem onnoxpg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconst6g 6768	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ {1o, 2o} → (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{1o, 2o})
2	1	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ {1o, 2o}) → (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{1o, 2o})
3		simp3 1156	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ {1o, 2o} ∧ (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{1o, 2o}) → (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{1o, 2o})
4	3	ffund 6711	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ {1o, 2o} ∧ (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{1o, 2o}) → Fun (𝐴 × {𝐵}))
5		simp2 1155	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ {1o, 2o} ∧ (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{1o, 2o}) → 𝐵 ∈ {1o, 2o})
6		snnzg 4738	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ {1o, 2o} → {𝐵} ≠ ∅)
7		dmxp 5917	. . . . . 6 ⊢ ({𝐵} ≠ ∅ → dom (𝐴 × {𝐵}) = 𝐴)
8	7	eqcomd 2768	. . . . 5 ⊢ ({𝐵} ≠ ∅ → 𝐴 = dom (𝐴 × {𝐵}))
9	5, 6, 8	3syl 19	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ {1o, 2o} ∧ (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{1o, 2o}) → 𝐴 = dom (𝐴 × {𝐵}))
10		simp1 1154	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ {1o, 2o} ∧ (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{1o, 2o}) → 𝐴 ∈ On)
11	9, 10	eqeltrrd 2863	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ {1o, 2o} ∧ (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{1o, 2o}) → dom (𝐴 × {𝐵}) ∈ On)
12	3	frnd 6715	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ {1o, 2o} ∧ (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{1o, 2o}) → ran (𝐴 × {𝐵}) ⊆ {1o, 2o})
13		elno2 27898	. . 3 ⊢ ((𝐴 × {𝐵}) ∈ No ↔ (Fun (𝐴 × {𝐵}) ∧ dom (𝐴 × {𝐵}) ∈ On ∧ ran (𝐴 × {𝐵}) ⊆ {1o, 2o}))
14	4, 11, 12, 13	syl3anbrc 1362	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ {1o, 2o} ∧ (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{1o, 2o}) → (𝐴 × {𝐵}) ∈ No )
15	2, 14	mpd3an3 1491	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ {1o, 2o}) → (𝐴 × {𝐵}) ∈ No )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282  {csn 4587  {cpr 4589   × cxp 5657  dom cdm 5659  ran crn 5660  Oncon0 6361  Fun wfun 6531  ⟶wf 6533  1_oc1o 8452  2_oc2o 8453   No csur 27884

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-no 27887

This theorem is used by:  onnobdayg  44278  bdaybndex  44279  onnoxp  44281