Theorem onnobdayg 42166

Description: Every ordinal maps to a surreal number of that birthday. (Contributed by RP, 21-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
onnobdayg	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ {1o, 2o}) → ( bday ‘(𝐴 × {𝐵})) = 𝐴)

Proof of Theorem onnobdayg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onnog 42165	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ {1o, 2o}) → (𝐴 × {𝐵}) ∈ No )
2		bdayval 27140	. . 3 ⊢ ((𝐴 × {𝐵}) ∈ No → ( bday ‘(𝐴 × {𝐵})) = dom (𝐴 × {𝐵}))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ {1o, 2o}) → ( bday ‘(𝐴 × {𝐵})) = dom (𝐴 × {𝐵}))
4		simpr 485	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ {1o, 2o}) → 𝐵 ∈ {1o, 2o})
5		snnzg 4777	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ {1o, 2o} → {𝐵} ≠ ∅)
6		dmxp 5926	. . 3 ⊢ ({𝐵} ≠ ∅ → dom (𝐴 × {𝐵}) = 𝐴)
7	4, 5, 6	3syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ {1o, 2o}) → dom (𝐴 × {𝐵}) = 𝐴)
8	3, 7	eqtrd 2772	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ {1o, 2o}) → ( bday ‘(𝐴 × {𝐵})) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∅c0 4321  {csn 4627  {cpr 4629   × cxp 5673  dom cdm 5675  Oncon0 6361  ‘cfv 6540  1_oc1o 8455  2_oc2o 8456   No csur 27132   bday cbday 27134

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-no 27135  df-bday 27137

This theorem is referenced by: (None)