Theorem onnobdayg 42757

Description: Every ordinal maps to a surreal number of that birthday. (Contributed by RP, 21-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
onnobdayg	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ {1o, 2o}) → ( bday ‘(𝐴 × {𝐵})) = 𝐴)

Proof of Theorem onnobdayg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onnog 42756	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ {1o, 2o}) → (𝐴 × {𝐵}) ∈ No )
2		bdayval 27536	. . 3 ⊢ ((𝐴 × {𝐵}) ∈ No → ( bday ‘(𝐴 × {𝐵})) = dom (𝐴 × {𝐵}))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ {1o, 2o}) → ( bday ‘(𝐴 × {𝐵})) = dom (𝐴 × {𝐵}))
4		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ {1o, 2o}) → 𝐵 ∈ {1o, 2o})
5		snnzg 4773	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ {1o, 2o} → {𝐵} ≠ ∅)
6		dmxp 5922	. . 3 ⊢ ({𝐵} ≠ ∅ → dom (𝐴 × {𝐵}) = 𝐴)
7	4, 5, 6	3syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ {1o, 2o}) → dom (𝐴 × {𝐵}) = 𝐴)
8	3, 7	eqtrd 2766	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ {1o, 2o}) → ( bday ‘(𝐴 × {𝐵})) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934  ∅c0 4317  {csn 4623  {cpr 4625   × cxp 5667  dom cdm 5669  Oncon0 6358  ‘cfv 6537  1_oc1o 8460  2_oc2o 8461   No csur 27528   bday cbday 27530

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-no 27531  df-bday 27533

This theorem is referenced by: (None)