Theorem onnobdayg 42925

Description: Every ordinal maps to a surreal number of that birthday. (Contributed by RP, 21-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
onnobdayg	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ {1o, 2o}) → ( bday ‘(𝐴 × {𝐵})) = 𝐴)

Proof of Theorem onnobdayg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onnog 42924	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ {1o, 2o}) → (𝐴 × {𝐵}) ∈ No )
2		bdayval 27599	. . 3 ⊢ ((𝐴 × {𝐵}) ∈ No → ( bday ‘(𝐴 × {𝐵})) = dom (𝐴 × {𝐵}))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ {1o, 2o}) → ( bday ‘(𝐴 × {𝐵})) = dom (𝐴 × {𝐵}))
4		simpr 483	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ {1o, 2o}) → 𝐵 ∈ {1o, 2o})
5		snnzg 4774	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ {1o, 2o} → {𝐵} ≠ ∅)
6		dmxp 5925	. . 3 ⊢ ({𝐵} ≠ ∅ → dom (𝐴 × {𝐵}) = 𝐴)
7	4, 5, 6	3syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ {1o, 2o}) → dom (𝐴 × {𝐵}) = 𝐴)
8	3, 7	eqtrd 2765	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ {1o, 2o}) → ( bday ‘(𝐴 × {𝐵})) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2930  ∅c0 4318  {csn 4624  {cpr 4626   × cxp 5670  dom cdm 5672  Oncon0 6364  ‘cfv 6543  1_oc1o 8478  2_oc2o 8479   No csur 27591   bday cbday 27593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pr 5423  ax-un 7738

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-no 27594  df-bday 27596

This theorem is referenced by: (None)