Users' Mathboxes Mathbox for Zhi Wang < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  opnneieqvv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opnneieqvv 48042
Description: The equivalence between neighborhood and open neighborhood. A variant of opnneieqv 48041 with two dummy variables. (Contributed by Zhi Wang, 31-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
opnneir.1 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
opnneilv.2 ((πœ‘ ∧ 𝑦 βŠ† π‘₯) β†’ (πœ“ β†’ πœ’))
opnneil.3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝑦) β†’ (πœ“ ↔ πœ’))
Assertion
Ref Expression
opnneieqvv (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π‘†)πœ“ ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝑆 βŠ† 𝑦 ∧ πœ’)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐽,𝑦   π‘₯,𝑆,𝑦   πœ’,π‘₯   πœ‘,π‘₯,𝑦   πœ“,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ“(π‘₯)   πœ’(𝑦)

Proof of Theorem opnneieqvv
StepHypRef Expression
1 opnneir.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
2 opnneilv.2 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 βŠ† π‘₯) β†’ (πœ“ β†’ πœ’))
3 opnneil.3 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝑦) β†’ (πœ“ ↔ πœ’))
41, 2, 3opnneieqv 48041 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π‘†)πœ“ ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (𝑆 βŠ† π‘₯ ∧ πœ“)))
53opnneilem 48036 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (𝑆 βŠ† π‘₯ ∧ πœ“) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝑆 βŠ† 𝑦 ∧ πœ’)))
64, 5bitrd 278 1 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π‘†)πœ“ ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝑆 βŠ† 𝑦 ∧ πœ’)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3060   βŠ† wss 3939  β€˜cfv 6543  Topctop 22813  neicnei 23019
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-top 22814  df-nei 23020
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator