Users' Mathboxes Mathbox for Zhi Wang < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  opnneieqvv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opnneieqvv 46699
Description: The equivalence between neighborhood and open neighborhood. A variant of opnneieqv 46698 with two dummy variables. (Contributed by Zhi Wang, 31-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
opnneir.1 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
opnneilv.2 ((πœ‘ ∧ 𝑦 βŠ† π‘₯) β†’ (πœ“ β†’ πœ’))
opnneil.3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝑦) β†’ (πœ“ ↔ πœ’))
Assertion
Ref Expression
opnneieqvv (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π‘†)πœ“ ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝑆 βŠ† 𝑦 ∧ πœ’)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐽,𝑦   π‘₯,𝑆,𝑦   πœ’,π‘₯   πœ‘,π‘₯,𝑦   πœ“,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ“(π‘₯)   πœ’(𝑦)

Proof of Theorem opnneieqvv
StepHypRef Expression
1 opnneir.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
2 opnneilv.2 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 βŠ† π‘₯) β†’ (πœ“ β†’ πœ’))
3 opnneil.3 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝑦) β†’ (πœ“ ↔ πœ’))
41, 2, 3opnneieqv 46698 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π‘†)πœ“ ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (𝑆 βŠ† π‘₯ ∧ πœ“)))
53opnneilem 46693 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (𝑆 βŠ† π‘₯ ∧ πœ“) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝑆 βŠ† 𝑦 ∧ πœ’)))
64, 5bitrd 279 1 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π‘†)πœ“ ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝑆 βŠ† 𝑦 ∧ πœ’)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3072   βŠ† wss 3909  β€˜cfv 6492  Topctop 22165  neicnei 22371
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-top 22166  df-nei 22372
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator