Theorem opnneieqvv 48042

Description: The equivalence between neighborhood and open neighborhood. A variant of opnneieqv 48041 with two dummy variables. (Contributed by Zhi Wang, 31-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
opnneir.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
opnneilv.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑥) → (𝜓 → 𝜒))
opnneil.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑦) → (𝜓 ↔ 𝜒))

Assertion

Ref	Expression
opnneieqvv	⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)𝜓 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑦 ∧ 𝜒)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝜒,𝑥   𝜑,𝑥,𝑦   𝜓,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑦)

Proof of Theorem opnneieqvv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opnneir.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
2		opnneilv.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑥) → (𝜓 → 𝜒))
3		opnneil.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑦) → (𝜓 ↔ 𝜒))
4	1, 2, 3	opnneieqv 48041	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)𝜓 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑥 ∧ 𝜓)))
5	3	opnneilem 48036	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑥 ∧ 𝜓) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑦 ∧ 𝜒)))
6	4, 5	bitrd 278	1 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)𝜓 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑦 ∧ 𝜒)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3060   ⊆ wss 3939  ‘cfv 6543  Topctop 22813  neicnei 23019

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-top 22814  df-nei 23020

This theorem is referenced by: (None)