Users' Mathboxes Mathbox for Zhi Wang < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  restcls2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem restcls2lem 48709
Description: A closed set in a subspace topology is a subset of the subspace. (Contributed by Zhi Wang, 2-Sep-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
restcls2.1 (𝜑𝐽 ∈ Top)
restcls2.2 (𝜑𝑋 = 𝐽)
restcls2.3 (𝜑𝑌𝑋)
restcls2.4 (𝜑𝐾 = (𝐽t 𝑌))
restcls2.5 (𝜑𝑆 ∈ (Clsd‘𝐾))
Assertion
Ref Expression
restcls2lem (𝜑𝑆𝑌)

Proof of Theorem restcls2lem
StepHypRef Expression
1 restcls2.5 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ (Clsd‘𝐾))
2 eqid 2735 . . . 4 𝐾 = 𝐾
32cldss 23053 . . 3 (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐾) → 𝑆 𝐾)
41, 3syl 17 . 2 (𝜑𝑆 𝐾)
5 restcls2.1 . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ Top)
6 restcls2.3 . . . . 5 (𝜑𝑌𝑋)
7 restcls2.2 . . . . 5 (𝜑𝑋 = 𝐽)
86, 7sseqtrd 4036 . . . 4 (𝜑𝑌 𝐽)
9 eqid 2735 . . . . 5 𝐽 = 𝐽
109restuni 23186 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑌 𝐽) → 𝑌 = (𝐽t 𝑌))
115, 8, 10syl2anc 584 . . 3 (𝜑𝑌 = (𝐽t 𝑌))
12 restcls2.4 . . . 4 (𝜑𝐾 = (𝐽t 𝑌))
1312unieqd 4925 . . 3 (𝜑 𝐾 = (𝐽t 𝑌))
1411, 13eqtr4d 2778 . 2 (𝜑𝑌 = 𝐾)
154, 14sseqtrrd 4037 1 (𝜑𝑆𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106  wss 3963   cuni 4912  cfv 6563  (class class class)co 7431  t crest 17467  Topctop 22915  Clsdccld 23040
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-en 8985  df-fin 8988  df-fi 9449  df-rest 17469  df-topgen 17490  df-top 22916  df-topon 22933  df-bases 22969  df-cld 23043
This theorem is referenced by:  restcls2  48710  restclssep  48712  iscnrm3llem1  48746  iscnrm3llem2  48747
  Copyright terms: Public domain W3C validator