Theorem restcls2lem 46627

Description: A closed set in a subspace topology is a subset of the subspace. (Contributed by Zhi Wang, 2-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
restcls2.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
restcls2.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝐽)
restcls2.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
restcls2.4	⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝐽 ↾t 𝑌))
restcls2.5	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐾))

Assertion

Ref	Expression
restcls2lem	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑌)

Proof of Theorem restcls2lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		restcls2.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐾))
2		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
3	2	cldss 22293	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐾) → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐾)
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐾)
5		restcls2.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
6		restcls2.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
7		restcls2.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝐽)
8	6, 7	sseqtrd 3982	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ ∪ 𝐽)
9		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
10	9	restuni 22426	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑌 ⊆ ∪ 𝐽) → 𝑌 = ∪ (𝐽 ↾t 𝑌))
11	5, 8, 10	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = ∪ (𝐽 ↾t 𝑌))
12		restcls2.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝐽 ↾t 𝑌))
13	12	unieqd 4877	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐾 = ∪ (𝐽 ↾t 𝑌))
14	11, 13	eqtr4d 2780	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = ∪ 𝐾)
15	4, 14	sseqtrrd 3983	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3908  ∪ cuni 4863  ‘cfv 6491  (class class class)co 7349   ↾_t crest 17236  Topctop 22155  Clsdccld 22280

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7662

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5528  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7793  df-1st 7911  df-2nd 7912  df-en 8817  df-fin 8820  df-fi 9280  df-rest 17238  df-topgen 17259  df-top 22156  df-topon 22173  df-bases 22209  df-cld 22283

This theorem is referenced by:  restcls2  46628  restclssep  46630  iscnrm3llem1  46664  iscnrm3llem2  46665