Theorem restcls2lem 48901

Description: A closed set in a subspace topology is a subset of the subspace. (Contributed by Zhi Wang, 2-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
restcls2.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
restcls2.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝐽)
restcls2.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
restcls2.4	⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝐽 ↾t 𝑌))
restcls2.5	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐾))

Assertion

Ref	Expression
restcls2lem	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑌)

Proof of Theorem restcls2lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		restcls2.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐾))
2		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
3	2	cldss 22916	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐾) → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐾)
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐾)
5		restcls2.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
6		restcls2.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
7		restcls2.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝐽)
8	6, 7	sseqtrd 3983	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ ∪ 𝐽)
9		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
10	9	restuni 23049	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑌 ⊆ ∪ 𝐽) → 𝑌 = ∪ (𝐽 ↾t 𝑌))
11	5, 8, 10	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = ∪ (𝐽 ↾t 𝑌))
12		restcls2.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝐽 ↾t 𝑌))
13	12	unieqd 4884	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐾 = ∪ (𝐽 ↾t 𝑌))
14	11, 13	eqtr4d 2767	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = ∪ 𝐾)
15	4, 14	sseqtrrd 3984	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3914  ∪ cuni 4871  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ↾_t crest 17383  Topctop 22780  Clsdccld 22903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-en 8919  df-fin 8922  df-fi 9362  df-rest 17385  df-topgen 17406  df-top 22781  df-topon 22798  df-bases 22833  df-cld 22906

This theorem is referenced by:  restcls2  48902  restclssep  48904  iscnrm3llem1  48937  iscnrm3llem2  48938