Theorem restcls2lem 49674

Description: A closed set in a subspace topology is a subset of the subspace. (Contributed by Zhi Wang, 2-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
restcls2.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
restcls2.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝐽)
restcls2.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
restcls2.4	⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝐽 ↾t 𝑌))
restcls2.5	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐾))

Assertion

Ref	Expression
restcls2lem	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑌)

Proof of Theorem restcls2lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		restcls2.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐾))
2		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
3	2	cldss 23167	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐾) → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐾)
4	1, 3	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐾)
5		restcls2.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
6		restcls2.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
7		restcls2.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝐽)
8	6, 7	sseqtrd 3974	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ ∪ 𝐽)
9		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
10	9	restuni 23300	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑌 ⊆ ∪ 𝐽) → 𝑌 = ∪ (𝐽 ↾t 𝑌))
11	5, 8, 10	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = ∪ (𝐽 ↾t 𝑌))
12		restcls2.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝐽 ↾t 𝑌))
13	12	unieqd 4886	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐾 = ∪ (𝐽 ↾t 𝑌))
14	11, 13	eqtr4d 2801	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = ∪ 𝐾)
15	4, 14	sseqtrrd 3975	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3906  ∪ cuni 4873  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412   ↾_t crest 17474  Topctop 23031  Clsdccld 23154

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-en 8945  df-fin 8948  df-fi 9372  df-rest 17476  df-topgen 17497  df-top 23032  df-topon 23049  df-bases 23084  df-cld 23157

This theorem is referenced by:  restcls2  49675  restclssep  49677  iscnrm3llem1  49710  iscnrm3llem2  49711