Theorem restcls2lem 49388

Description: A closed set in a subspace topology is a subset of the subspace. (Contributed by Zhi Wang, 2-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
restcls2.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
restcls2.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝐽)
restcls2.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
restcls2.4	⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝐽 ↾t 𝑌))
restcls2.5	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐾))

Assertion

Ref	Expression
restcls2lem	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑌)

Proof of Theorem restcls2lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		restcls2.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐾))
2		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
3	2	cldss 22994	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐾) → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐾)
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐾)
5		restcls2.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
6		restcls2.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
7		restcls2.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝐽)
8	6, 7	sseqtrd 3958	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ ∪ 𝐽)
9		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
10	9	restuni 23127	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑌 ⊆ ∪ 𝐽) → 𝑌 = ∪ (𝐽 ↾t 𝑌))
11	5, 8, 10	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = ∪ (𝐽 ↾t 𝑌))
12		restcls2.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝐽 ↾t 𝑌))
13	12	unieqd 4863	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐾 = ∪ (𝐽 ↾t 𝑌))
14	11, 13	eqtr4d 2774	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = ∪ 𝐾)
15	4, 14	sseqtrrd 3959	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3889  ∪ cuni 4850  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ↾_t crest 17383  Topctop 22858  Clsdccld 22981

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-en 8894  df-fin 8897  df-fi 9324  df-rest 17385  df-topgen 17406  df-top 22859  df-topon 22876  df-bases 22911  df-cld 22984

This theorem is referenced by:  restcls2  49389  restclssep  49391  iscnrm3llem1  49424  iscnrm3llem2  49425