Theorem restcls2lem 47545

Description: A closed set in a subspace topology is a subset of the subspace. (Contributed by Zhi Wang, 2-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
restcls2.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
restcls2.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝐽)
restcls2.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
restcls2.4	⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝐽 ↾t 𝑌))
restcls2.5	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐾))

Assertion

Ref	Expression
restcls2lem	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑌)

Proof of Theorem restcls2lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		restcls2.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐾))
2		eqid 2733	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
3	2	cldss 22533	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐾) → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐾)
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐾)
5		restcls2.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
6		restcls2.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
7		restcls2.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝐽)
8	6, 7	sseqtrd 4023	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ ∪ 𝐽)
9		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
10	9	restuni 22666	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑌 ⊆ ∪ 𝐽) → 𝑌 = ∪ (𝐽 ↾t 𝑌))
11	5, 8, 10	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = ∪ (𝐽 ↾t 𝑌))
12		restcls2.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝐽 ↾t 𝑌))
13	12	unieqd 4923	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐾 = ∪ (𝐽 ↾t 𝑌))
14	11, 13	eqtr4d 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = ∪ 𝐾)
15	4, 14	sseqtrrd 4024	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3949  ∪ cuni 4909  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409   ↾_t crest 17366  Topctop 22395  Clsdccld 22520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-en 8940  df-fin 8943  df-fi 9406  df-rest 17368  df-topgen 17389  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449  df-cld 22523

This theorem is referenced by:  restcls2  47546  restclssep  47548  iscnrm3llem1  47582  iscnrm3llem2  47583