Users' Mathboxes Mathbox for Zhi Wang < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  opnneil Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opnneil 47798
Description: A variant of opnneilv 47797. (Contributed by Zhi Wang, 31-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
opnneir.1 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
opnneilv.2 ((πœ‘ ∧ 𝑦 βŠ† π‘₯) β†’ (πœ“ β†’ πœ’))
opnneil.3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝑦) β†’ (πœ“ ↔ πœ’))
Assertion
Ref Expression
opnneil (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π‘†)πœ“ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (𝑆 βŠ† π‘₯ ∧ πœ“)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐽,𝑦   π‘₯,𝑆,𝑦   πœ’,π‘₯   πœ‘,π‘₯,𝑦   πœ“,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ“(π‘₯)   πœ’(𝑦)

Proof of Theorem opnneil
StepHypRef Expression
1 opnneir.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
2 opnneilv.2 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 βŠ† π‘₯) β†’ (πœ“ β†’ πœ’))
31, 2opnneilv 47797 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π‘†)πœ“ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝑆 βŠ† 𝑦 ∧ πœ’)))
4 opnneil.3 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝑦) β†’ (πœ“ ↔ πœ’))
54opnneilem 47794 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (𝑆 βŠ† π‘₯ ∧ πœ“) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝑆 βŠ† 𝑦 ∧ πœ’)))
63, 5sylibrd 259 1 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π‘†)πœ“ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (𝑆 βŠ† π‘₯ ∧ πœ“)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3064   βŠ† wss 3943  β€˜cfv 6536  Topctop 22745  neicnei 22951
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-top 22746  df-nei 22952
This theorem is referenced by:  opnneieqv  47799
  Copyright terms: Public domain W3C validator