Users' Mathboxes Mathbox for Zhi Wang < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  opnneil Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opnneil 48006
Description: A variant of opnneilv 48005. (Contributed by Zhi Wang, 31-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
opnneir.1 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
opnneilv.2 ((πœ‘ ∧ 𝑦 βŠ† π‘₯) β†’ (πœ“ β†’ πœ’))
opnneil.3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝑦) β†’ (πœ“ ↔ πœ’))
Assertion
Ref Expression
opnneil (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π‘†)πœ“ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (𝑆 βŠ† π‘₯ ∧ πœ“)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐽,𝑦   π‘₯,𝑆,𝑦   πœ’,π‘₯   πœ‘,π‘₯,𝑦   πœ“,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ“(π‘₯)   πœ’(𝑦)

Proof of Theorem opnneil
StepHypRef Expression
1 opnneir.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
2 opnneilv.2 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 βŠ† π‘₯) β†’ (πœ“ β†’ πœ’))
31, 2opnneilv 48005 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π‘†)πœ“ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝑆 βŠ† 𝑦 ∧ πœ’)))
4 opnneil.3 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝑦) β†’ (πœ“ ↔ πœ’))
54opnneilem 48002 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (𝑆 βŠ† π‘₯ ∧ πœ“) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝑆 βŠ† 𝑦 ∧ πœ’)))
63, 5sylibrd 258 1 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π‘†)πœ“ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (𝑆 βŠ† π‘₯ ∧ πœ“)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3067   βŠ† wss 3949  β€˜cfv 6553  Topctop 22815  neicnei 23021
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-top 22816  df-nei 23022
This theorem is referenced by:  opnneieqv  48007
  Copyright terms: Public domain W3C validator