Theorem opnneil 49716

Description: A variant of opnneilv 49715. (Contributed by Zhi Wang, 31-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
opnneir.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
opnneilv.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑥) → (𝜓 → 𝜒))
opnneil.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑦) → (𝜓 ↔ 𝜒))

Assertion

Ref	Expression
opnneil	⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)𝜓 → ∃𝑥 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑥 ∧ 𝜓)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝜒,𝑥   𝜑,𝑥,𝑦   𝜓,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑦)

Proof of Theorem opnneil

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opnneir.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
2		opnneilv.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑥) → (𝜓 → 𝜒))
3	1, 2	opnneilv 49715	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)𝜓 → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑦 ∧ 𝜒)))
4		opnneil.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑦) → (𝜓 ↔ 𝜒))
5	4	opnneilem 49712	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑥 ∧ 𝜓) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑦 ∧ 𝜒)))
6	3, 5	sylibrd 262	1 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)𝜓 → ∃𝑥 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑥 ∧ 𝜓)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2142  ∃wrex 3088   ⊆ wss 3904  ‘cfv 6536  Topctop 23061  neicnei 23265

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-top 23062  df-nei 23266

This theorem is used by:  opnneieqv  49717