Users' Mathboxes Mathbox for Zhi Wang < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  opnneirv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opnneirv 48778
Description: A variant of opnneir 48777 with different dummy variables. (Contributed by Zhi Wang, 31-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
opnneir.1 (𝜑𝐽 ∈ Top)
opnneirv.2 ((𝜑𝑥 = 𝑦) → (𝜓𝜒))
Assertion
Ref Expression
opnneirv (𝜑 → (∃𝑥𝐽 (𝑆𝑥𝜓) → ∃𝑦 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)𝜒))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝜒,𝑥   𝜑,𝑥,𝑦   𝜓,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑦)

Proof of Theorem opnneirv
StepHypRef Expression
1 opnneirv.2 . . 3 ((𝜑𝑥 = 𝑦) → (𝜓𝜒))
21opnneilem 48776 . 2 (𝜑 → (∃𝑥𝐽 (𝑆𝑥𝜓) ↔ ∃𝑦𝐽 (𝑆𝑦𝜒)))
3 opnneir.1 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ Top)
43opnneir 48777 . 2 (𝜑 → (∃𝑦𝐽 (𝑆𝑦𝜒) → ∃𝑦 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)𝜒))
52, 4sylbid 240 1 (𝜑 → (∃𝑥𝐽 (𝑆𝑥𝜓) → ∃𝑦 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)𝜒))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wcel 2108  wrex 3069  wss 3950  cfv 6559  Topctop 22889  neicnei 23095
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5277  ax-sep 5294  ax-nul 5304  ax-pow 5363  ax-pr 5430
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4906  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5224  df-id 5576  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-iota 6512  df-fun 6561  df-fn 6562  df-f 6563  df-f1 6564  df-fo 6565  df-f1o 6566  df-fv 6567  df-top 22890  df-nei 23096
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator