Theorem opnneirv 49530

Description: A variant of opnneir 49529 with different dummy variables. (Contributed by Zhi Wang, 31-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
opnneir.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
opnneirv.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑦) → (𝜓 ↔ 𝜒))

Assertion

Ref	Expression
opnneirv	⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑥 ∧ 𝜓) → ∃𝑦 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)𝜒))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝜒,𝑥   𝜑,𝑥,𝑦   𝜓,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑦)

Proof of Theorem opnneirv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opnneirv.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑦) → (𝜓 ↔ 𝜒))
2	1	opnneilem 49528	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑥 ∧ 𝜓) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑦 ∧ 𝜒)))
3		opnneir.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
4	3	opnneir 49529	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑦 ∧ 𝜒) → ∃𝑦 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)𝜒))
5	2, 4	sylbid 242	1 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑥 ∧ 𝜓) → ∃𝑦 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)𝜒))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∈ wcel 2143  ∃wrex 3087   ⊆ wss 3905  ‘cfv 6522  Topctop 22954  neicnei 23158

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-id 5543  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-top 22955  df-nei 23159

This theorem is referenced by: (None)