Users' Mathboxes Mathbox for Zhi Wang < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  opnneirv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opnneirv 48625
Description: A variant of opnneir 48624 with different dummy variables. (Contributed by Zhi Wang, 31-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
opnneir.1 (𝜑𝐽 ∈ Top)
opnneirv.2 ((𝜑𝑥 = 𝑦) → (𝜓𝜒))
Assertion
Ref Expression
opnneirv (𝜑 → (∃𝑥𝐽 (𝑆𝑥𝜓) → ∃𝑦 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)𝜒))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝜒,𝑥   𝜑,𝑥,𝑦   𝜓,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑦)

Proof of Theorem opnneirv
StepHypRef Expression
1 opnneirv.2 . . 3 ((𝜑𝑥 = 𝑦) → (𝜓𝜒))
21opnneilem 48623 . 2 (𝜑 → (∃𝑥𝐽 (𝑆𝑥𝜓) ↔ ∃𝑦𝐽 (𝑆𝑦𝜒)))
3 opnneir.1 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ Top)
43opnneir 48624 . 2 (𝜑 → (∃𝑦𝐽 (𝑆𝑦𝜒) → ∃𝑦 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)𝜒))
52, 4sylbid 240 1 (𝜑 → (∃𝑥𝐽 (𝑆𝑥𝜓) → ∃𝑦 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)𝜒))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wcel 2104  wrex 3066  wss 3963  cfv 6558  Topctop 22896  neicnei 23102
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2137  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5366  ax-pr 5430
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1538  df-fal 1548  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2536  df-eu 2565  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2812  df-nfc 2888  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4915  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-iota 6510  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-top 22897  df-nei 23103
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator