Theorem opnneir 47626

Description: If something is true for an open neighborhood, it must be true for a neighborhood. (Contributed by Zhi Wang, 31-Aug-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
opnneir.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)

Assertion

Ref	Expression
opnneir	⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑥 ∧ 𝜓) → ∃𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)𝜓))

Distinct variable group:   𝑥,𝐽

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem opnneir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opnneir.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
2		anass 467	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑥) ∧ 𝜓) ↔ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ (𝑆 ⊆ 𝑥 ∧ 𝜓)))
3		opnneiss 22842	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑥) → 𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆))
4	3	3expib 1120	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑥) → 𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
5	4	anim1d 609	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑥) ∧ 𝜓) → (𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝜓)))
6	2, 5	biimtrrid 242	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ (𝑆 ⊆ 𝑥 ∧ 𝜓)) → (𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝜓)))
7	6	reximdv2 3162	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (∃𝑥 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑥 ∧ 𝜓) → ∃𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)𝜓))
8	1, 7	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑥 ∧ 𝜓) → ∃𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∈ wcel 2104  ∃wrex 3068   ⊆ wss 3947  ‘cfv 6542  Topctop 22615  neicnei 22821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-top 22616  df-nei 22822

This theorem is referenced by:  opnneirv  47627  opnneieqv  47630