Theorem opnneir 48883

Description: If something is true for an open neighborhood, it must be true for a neighborhood. (Contributed by Zhi Wang, 31-Aug-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
opnneir.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)

Assertion

Ref	Expression
opnneir	⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑥 ∧ 𝜓) → ∃𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)𝜓))

Distinct variable group:   𝑥,𝐽

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem opnneir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opnneir.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
2		anass 468	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑥) ∧ 𝜓) ↔ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ (𝑆 ⊆ 𝑥 ∧ 𝜓)))
3		opnneiss 23011	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑥) → 𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆))
4	3	3expib 1122	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑥) → 𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
5	4	anim1d 611	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑥) ∧ 𝜓) → (𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝜓)))
6	2, 5	biimtrrid 243	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ (𝑆 ⊆ 𝑥 ∧ 𝜓)) → (𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝜓)))
7	6	reximdv2 3144	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (∃𝑥 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑥 ∧ 𝜓) → ∃𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)𝜓))
8	1, 7	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑥 ∧ 𝜓) → ∃𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3054   ⊆ wss 3916  ‘cfv 6513  Topctop 22786  neicnei 22990

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5535  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-top 22787  df-nei 22991

This theorem is referenced by:  opnneirv  48884  opnneieqv  48887