Theorem opnneir 46200

Description: If something is true for an open neighborhood, it must be true for a neighborhood. (Contributed by Zhi Wang, 31-Aug-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
opnneir.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)

Assertion

Ref	Expression
opnneir	⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑥 ∧ 𝜓) → ∃𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)𝜓))

Distinct variable group:   𝑥,𝐽

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem opnneir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opnneir.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
2		anass 469	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑥) ∧ 𝜓) ↔ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ (𝑆 ⊆ 𝑥 ∧ 𝜓)))
3		opnneiss 22269	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑥) → 𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆))
4	3	3expib 1121	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑥) → 𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
5	4	anim1d 611	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑥) ∧ 𝜓) → (𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝜓)))
6	2, 5	syl5bir 242	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ (𝑆 ⊆ 𝑥 ∧ 𝜓)) → (𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝜓)))
7	6	reximdv2 3199	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (∃𝑥 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑥 ∧ 𝜓) → ∃𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)𝜓))
8	1, 7	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑥 ∧ 𝜓) → ∃𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3065   ⊆ wss 3887  ‘cfv 6433  Topctop 22042  neicnei 22248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-top 22043  df-nei 22249

This theorem is referenced by:  opnneirv  46201  opnneieqv  46204