Users' Mathboxes Mathbox for Zhi Wang < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  opnneir Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opnneir 48777
Description: If something is true for an open neighborhood, it must be true for a neighborhood. (Contributed by Zhi Wang, 31-Aug-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
opnneir.1 (𝜑𝐽 ∈ Top)
Assertion
Ref Expression
opnneir (𝜑 → (∃𝑥𝐽 (𝑆𝑥𝜓) → ∃𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)𝜓))
Distinct variable group:   𝑥,𝐽
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem opnneir
StepHypRef Expression
1 opnneir.1 . 2 (𝜑𝐽 ∈ Top)
2 anass 468 . . . 4 (((𝑥𝐽𝑆𝑥) ∧ 𝜓) ↔ (𝑥𝐽 ∧ (𝑆𝑥𝜓)))
3 opnneiss 23116 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥𝐽𝑆𝑥) → 𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆))
433expib 1123 . . . . 5 (𝐽 ∈ Top → ((𝑥𝐽𝑆𝑥) → 𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
54anim1d 611 . . . 4 (𝐽 ∈ Top → (((𝑥𝐽𝑆𝑥) ∧ 𝜓) → (𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝜓)))
62, 5biimtrrid 243 . . 3 (𝐽 ∈ Top → ((𝑥𝐽 ∧ (𝑆𝑥𝜓)) → (𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝜓)))
76reximdv2 3163 . 2 (𝐽 ∈ Top → (∃𝑥𝐽 (𝑆𝑥𝜓) → ∃𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)𝜓))
81, 7syl 17 1 (𝜑 → (∃𝑥𝐽 (𝑆𝑥𝜓) → ∃𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)𝜓))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2108  wrex 3069  wss 3950  cfv 6559  Topctop 22889  neicnei 23095
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5277  ax-sep 5294  ax-nul 5304  ax-pow 5363  ax-pr 5430
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4906  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5224  df-id 5576  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-iota 6512  df-fun 6561  df-fn 6562  df-f 6563  df-f1 6564  df-fo 6565  df-f1o 6566  df-fv 6567  df-top 22890  df-nei 23096
This theorem is referenced by:  opnneirv  48778  opnneieqv  48781
  Copyright terms: Public domain W3C validator