Theorem opnneir 46088

Description: If something is true for an open neighborhood, it must be true for a neighborhood. (Contributed by Zhi Wang, 31-Aug-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
opnneir.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)

Assertion

Ref	Expression
opnneir	⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑥 ∧ 𝜓) → ∃𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)𝜓))

Distinct variable group:   𝑥,𝐽

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem opnneir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opnneir.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
2		anass 468	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑥) ∧ 𝜓) ↔ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ (𝑆 ⊆ 𝑥 ∧ 𝜓)))
3		opnneiss 22177	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑥) → 𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆))
4	3	3expib 1120	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑥) → 𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
5	4	anim1d 610	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑥) ∧ 𝜓) → (𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝜓)))
6	2, 5	syl5bir 242	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ (𝑆 ⊆ 𝑥 ∧ 𝜓)) → (𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝜓)))
7	6	reximdv2 3198	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (∃𝑥 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑥 ∧ 𝜓) → ∃𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)𝜓))
8	1, 7	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑥 ∧ 𝜓) → ∃𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3064   ⊆ wss 3883  ‘cfv 6418  Topctop 21950  neicnei 22156

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-top 21951  df-nei 22157

This theorem is referenced by:  opnneirv  46089  opnneieqv  46092