Theorem opnneir 48868

Description: If something is true for an open neighborhood, it must be true for a neighborhood. (Contributed by Zhi Wang, 31-Aug-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
opnneir.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)

Assertion

Ref	Expression
opnneir	⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑥 ∧ 𝜓) → ∃𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)𝜓))

Distinct variable group:   𝑥,𝐽

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem opnneir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opnneir.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
2		anass 468	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑥) ∧ 𝜓) ↔ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ (𝑆 ⊆ 𝑥 ∧ 𝜓)))
3		opnneiss 22981	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑥) → 𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆))
4	3	3expib 1122	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑥) → 𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
5	4	anim1d 611	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑥) ∧ 𝜓) → (𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝜓)))
6	2, 5	biimtrrid 243	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ (𝑆 ⊆ 𝑥 ∧ 𝜓)) → (𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝜓)))
7	6	reximdv2 3143	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (∃𝑥 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑥 ∧ 𝜓) → ∃𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)𝜓))
8	1, 7	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑥 ∧ 𝜓) → ∃𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053   ⊆ wss 3911  ‘cfv 6499  Topctop 22756  neicnei 22960

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-top 22757  df-nei 22961

This theorem is referenced by:  opnneirv  48869  opnneieqv  48872