Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  oaltom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oaltom 42713
Description: Multiplication eventually dominates addition. (Contributed by RP, 3-Jan-2025.)
Assertion
Ref Expression
oaltom ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ ((1o โˆˆ ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ต +o ๐ด) โˆˆ (๐ต ยทo ๐ด)))

Proof of Theorem oaltom
StepHypRef Expression
1 om2 42712 . . . . 5 (๐ต โˆˆ On โ†’ (๐ต +o ๐ต) = (๐ต ยทo 2o))
21ad2antlr 724 . . . 4 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง (1o โˆˆ ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐ต +o ๐ต) = (๐ต ยทo 2o))
3 2on 8478 . . . . . . . 8 2o โˆˆ On
43a1i 11 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ 2o โˆˆ On)
5 simpl 482 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ ๐ด โˆˆ On)
6 simpr 484 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ ๐ต โˆˆ On)
74, 5, 63jca 1125 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (2o โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On))
87adantr 480 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง (1o โˆˆ ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต)) โ†’ (2o โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On))
9 df-2o 8465 . . . . . . 7 2o = suc 1o
109a1i 11 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง (1o โˆˆ ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต)) โ†’ 2o = suc 1o)
11 simprl 768 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง (1o โˆˆ ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต)) โ†’ 1o โˆˆ ๐ด)
12 eloni 6367 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ On โ†’ Ord ๐ด)
1312adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ Ord ๐ด)
1413adantr 480 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง (1o โˆˆ ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต)) โ†’ Ord ๐ด)
1511, 14jca 511 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง (1o โˆˆ ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต)) โ†’ (1o โˆˆ ๐ด โˆง Ord ๐ด))
16 ordelsuc 7804 . . . . . . . 8 ((1o โˆˆ ๐ด โˆง Ord ๐ด) โ†’ (1o โˆˆ ๐ด โ†” suc 1o โІ ๐ด))
1716biimpd 228 . . . . . . 7 ((1o โˆˆ ๐ด โˆง Ord ๐ด) โ†’ (1o โˆˆ ๐ด โ†’ suc 1o โІ ๐ด))
1815, 11, 17sylc 65 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง (1o โˆˆ ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต)) โ†’ suc 1o โІ ๐ด)
1910, 18eqsstrd 4015 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง (1o โˆˆ ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต)) โ†’ 2o โІ ๐ด)
20 omwordi 8569 . . . . 5 ((2o โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (2o โІ ๐ด โ†’ (๐ต ยทo 2o) โІ (๐ต ยทo ๐ด)))
218, 19, 20sylc 65 . . . 4 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง (1o โˆˆ ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐ต ยทo 2o) โІ (๐ต ยทo ๐ด))
222, 21eqsstrd 4015 . . 3 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง (1o โˆˆ ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐ต +o ๐ต) โІ (๐ต ยทo ๐ด))
236, 6jca 511 . . . 4 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On))
24 simpr 484 . . . 4 ((1o โˆˆ ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐ต)
25 oaordi 8544 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†’ (๐ต +o ๐ด) โˆˆ (๐ต +o ๐ต)))
2625imp 406 . . . 4 (((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ต +o ๐ด) โˆˆ (๐ต +o ๐ต))
2723, 24, 26syl2an 595 . . 3 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง (1o โˆˆ ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐ต +o ๐ด) โˆˆ (๐ต +o ๐ต))
2822, 27sseldd 3978 . 2 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง (1o โˆˆ ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐ต +o ๐ด) โˆˆ (๐ต ยทo ๐ด))
2928ex 412 1 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ ((1o โˆˆ ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ต +o ๐ด) โˆˆ (๐ต ยทo ๐ด)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โІ wss 3943  Ord word 6356  Oncon0 6357  suc csuc 6359  (class class class)co 7404  1oc1o 8457  2oc2o 8458   +o coa 8461   ยทo comu 8462
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-oadd 8468  df-omul 8469
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator