Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  oaltom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oaltom 42838
Description: Multiplication eventually dominates addition. (Contributed by RP, 3-Jan-2025.)
Assertion
Ref Expression
oaltom ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ ((1o โˆˆ ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ต +o ๐ด) โˆˆ (๐ต ยทo ๐ด)))

Proof of Theorem oaltom
StepHypRef Expression
1 om2 42837 . . . . 5 (๐ต โˆˆ On โ†’ (๐ต +o ๐ต) = (๐ต ยทo 2o))
21ad2antlr 725 . . . 4 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง (1o โˆˆ ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐ต +o ๐ต) = (๐ต ยทo 2o))
3 2on 8505 . . . . . . . 8 2o โˆˆ On
43a1i 11 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ 2o โˆˆ On)
5 simpl 481 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ ๐ด โˆˆ On)
6 simpr 483 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ ๐ต โˆˆ On)
74, 5, 63jca 1125 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (2o โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On))
87adantr 479 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง (1o โˆˆ ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต)) โ†’ (2o โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On))
9 df-2o 8492 . . . . . . 7 2o = suc 1o
109a1i 11 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง (1o โˆˆ ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต)) โ†’ 2o = suc 1o)
11 simprl 769 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง (1o โˆˆ ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต)) โ†’ 1o โˆˆ ๐ด)
12 eloni 6382 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ On โ†’ Ord ๐ด)
1312adantr 479 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ Ord ๐ด)
1413adantr 479 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง (1o โˆˆ ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต)) โ†’ Ord ๐ด)
1511, 14jca 510 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง (1o โˆˆ ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต)) โ†’ (1o โˆˆ ๐ด โˆง Ord ๐ด))
16 ordelsuc 7827 . . . . . . . 8 ((1o โˆˆ ๐ด โˆง Ord ๐ด) โ†’ (1o โˆˆ ๐ด โ†” suc 1o โІ ๐ด))
1716biimpd 228 . . . . . . 7 ((1o โˆˆ ๐ด โˆง Ord ๐ด) โ†’ (1o โˆˆ ๐ด โ†’ suc 1o โІ ๐ด))
1815, 11, 17sylc 65 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง (1o โˆˆ ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต)) โ†’ suc 1o โІ ๐ด)
1910, 18eqsstrd 4018 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง (1o โˆˆ ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต)) โ†’ 2o โІ ๐ด)
20 omwordi 8596 . . . . 5 ((2o โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (2o โІ ๐ด โ†’ (๐ต ยทo 2o) โІ (๐ต ยทo ๐ด)))
218, 19, 20sylc 65 . . . 4 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง (1o โˆˆ ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐ต ยทo 2o) โІ (๐ต ยทo ๐ด))
222, 21eqsstrd 4018 . . 3 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง (1o โˆˆ ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐ต +o ๐ต) โІ (๐ต ยทo ๐ด))
236, 6jca 510 . . . 4 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On))
24 simpr 483 . . . 4 ((1o โˆˆ ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐ต)
25 oaordi 8571 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†’ (๐ต +o ๐ด) โˆˆ (๐ต +o ๐ต)))
2625imp 405 . . . 4 (((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ต +o ๐ด) โˆˆ (๐ต +o ๐ต))
2723, 24, 26syl2an 594 . . 3 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง (1o โˆˆ ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐ต +o ๐ด) โˆˆ (๐ต +o ๐ต))
2822, 27sseldd 3981 . 2 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง (1o โˆˆ ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐ต +o ๐ด) โˆˆ (๐ต ยทo ๐ด))
2928ex 411 1 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ ((1o โˆˆ ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ต +o ๐ด) โˆˆ (๐ต ยทo ๐ด)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โІ wss 3947  Ord word 6371  Oncon0 6372  suc csuc 6374  (class class class)co 7424  1oc1o 8484  2oc2o 8485   +o coa 8488   ยทo comu 8489
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pr 5431  ax-un 7744
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-2o 8492  df-oadd 8495  df-omul 8496
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator