Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omltoe Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omltoe 42840
Description: Exponentiation eventually dominates multiplication. (Contributed by RP, 3-Jan-2025.)
Assertion
Ref Expression
omltoe ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ ((1o โˆˆ ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ต ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ต โ†‘o ๐ด)))

Proof of Theorem omltoe
StepHypRef Expression
1 simpr 483 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ ๐ต โˆˆ On)
21adantr 479 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง (1o โˆˆ ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ On)
3 oe2 42839 . . . . 5 (๐ต โˆˆ On โ†’ (๐ต ยทo ๐ต) = (๐ต โ†‘o 2o))
42, 3syl 17 . . . 4 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง (1o โˆˆ ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐ต ยทo ๐ต) = (๐ต โ†‘o 2o))
5 2on 8505 . . . . . . . . 9 2o โˆˆ On
65a1i 11 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ 2o โˆˆ On)
7 simpl 481 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ ๐ด โˆˆ On)
86, 7, 13jca 1125 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (2o โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On))
98adantr 479 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง (1o โˆˆ ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต)) โ†’ (2o โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On))
10 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((1o โˆˆ ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐ต)
1110adantl 480 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง (1o โˆˆ ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐ต)
1211ne0d 4337 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง (1o โˆˆ ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐ต โ‰  โˆ…)
13 on0eln0 6428 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ On โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ต โ†” ๐ต โ‰  โˆ…))
142, 13syl 17 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง (1o โˆˆ ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต)) โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ต โ†” ๐ต โ‰  โˆ…))
1512, 14mpbird 256 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง (1o โˆˆ ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต)) โ†’ โˆ… โˆˆ ๐ต)
169, 15jca 510 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง (1o โˆˆ ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((2o โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ต))
17 df-2o 8492 . . . . . . 7 2o = suc 1o
1817a1i 11 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง (1o โˆˆ ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต)) โ†’ 2o = suc 1o)
19 simpl 481 . . . . . . . . 9 ((1o โˆˆ ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต) โ†’ 1o โˆˆ ๐ด)
2019adantl 480 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง (1o โˆˆ ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต)) โ†’ 1o โˆˆ ๐ด)
21 eloni 6382 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ On โ†’ Ord ๐ด)
2221adantr 479 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ Ord ๐ด)
2322adantr 479 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง (1o โˆˆ ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต)) โ†’ Ord ๐ด)
2420, 23jca 510 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง (1o โˆˆ ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต)) โ†’ (1o โˆˆ ๐ด โˆง Ord ๐ด))
25 ordelsuc 7827 . . . . . . . 8 ((1o โˆˆ ๐ด โˆง Ord ๐ด) โ†’ (1o โˆˆ ๐ด โ†” suc 1o โІ ๐ด))
2625biimpd 228 . . . . . . 7 ((1o โˆˆ ๐ด โˆง Ord ๐ด) โ†’ (1o โˆˆ ๐ด โ†’ suc 1o โІ ๐ด))
2724, 20, 26sylc 65 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง (1o โˆˆ ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต)) โ†’ suc 1o โІ ๐ด)
2818, 27eqsstrd 4018 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง (1o โˆˆ ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต)) โ†’ 2o โІ ๐ด)
29 oewordi 8616 . . . . 5 (((2o โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ต) โ†’ (2o โІ ๐ด โ†’ (๐ต โ†‘o 2o) โІ (๐ต โ†‘o ๐ด)))
3016, 28, 29sylc 65 . . . 4 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง (1o โˆˆ ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐ต โ†‘o 2o) โІ (๐ต โ†‘o ๐ด))
314, 30eqsstrd 4018 . . 3 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง (1o โˆˆ ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐ต ยทo ๐ต) โІ (๐ต โ†‘o ๐ด))
322, 2, 15jca31 513 . . . 4 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง (1o โˆˆ ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ต))
33 omordi 8591 . . . 4 (((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†’ (๐ต ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ต ยทo ๐ต)))
3432, 11, 33sylc 65 . . 3 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง (1o โˆˆ ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐ต ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ต ยทo ๐ต))
3531, 34sseldd 3981 . 2 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง (1o โˆˆ ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐ต ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ต โ†‘o ๐ด))
3635ex 411 1 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ ((1o โˆˆ ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ต ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ต โ†‘o ๐ด)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2936   โІ wss 3947  โˆ…c0 4324  Ord word 6371  Oncon0 6372  suc csuc 6374  (class class class)co 7424  1oc1o 8484  2oc2o 8485   ยทo comu 8489   โ†‘o coe 8490
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pr 5431  ax-un 7744
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-2o 8492  df-oadd 8495  df-omul 8496  df-oexp 8497
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator