Theorem onomeneqOLD 9231

Description: Obsolete version of onomeneq 9230 as of 29-Nov-2024. (Contributed by NM, 26-Jul-2004.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
onomeneqOLD	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem onomeneqOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		php5 9216	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ω → ¬ 𝐵 ≈ suc 𝐵)
2	1	ad2antlr 723	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → ¬ 𝐵 ≈ suc 𝐵)
3		enen1 9119	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ≈ suc 𝐵 ↔ 𝐵 ≈ suc 𝐵))
4	3	adantl 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → (𝐴 ≈ suc 𝐵 ↔ 𝐵 ≈ suc 𝐵))
5	2, 4	mtbird 324	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → ¬ 𝐴 ≈ suc 𝐵)
6		peano2 7883	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ ω → suc 𝐵 ∈ ω)
7		sssucid 6443	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐵 ⊆ suc 𝐵
8		ssdomg 8998	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (suc 𝐵 ∈ ω → (𝐵 ⊆ suc 𝐵 → 𝐵 ≼ suc 𝐵))
9	6, 7, 8	mpisyl 21	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ≼ suc 𝐵)
10		endomtr 9010	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ suc 𝐵) → 𝐴 ≼ suc 𝐵)
11	9, 10	sylan2 591	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐴 ≼ suc 𝐵)
12	11	ancoms 457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐴 ≼ suc 𝐵)
13	12	a1d 25	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → (ω ⊆ 𝐴 → 𝐴 ≼ suc 𝐵))
14	13	adantll 710	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → (ω ⊆ 𝐴 → 𝐴 ≼ suc 𝐵))
15		ssel 3974	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ω ⊆ 𝐴 → (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ∈ 𝐴))
16	15	com12 32	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ ω → (ω ⊆ 𝐴 → 𝐵 ∈ 𝐴))
17	16	adantr 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ On) → (ω ⊆ 𝐴 → 𝐵 ∈ 𝐴))
18		eloni 6373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
19		ordelsuc 7810	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ Ord 𝐴) → (𝐵 ∈ 𝐴 ↔ suc 𝐵 ⊆ 𝐴))
20	18, 19	sylan2 591	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵 ∈ 𝐴 ↔ suc 𝐵 ⊆ 𝐴))
21	17, 20	sylibd 238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ On) → (ω ⊆ 𝐴 → suc 𝐵 ⊆ 𝐴))
22		ssdomg 8998	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ On → (suc 𝐵 ⊆ 𝐴 → suc 𝐵 ≼ 𝐴))
23	22	adantl 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ On) → (suc 𝐵 ⊆ 𝐴 → suc 𝐵 ≼ 𝐴))
24	21, 23	syld 47	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ On) → (ω ⊆ 𝐴 → suc 𝐵 ≼ 𝐴))
25	24	ancoms 457	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) → (ω ⊆ 𝐴 → suc 𝐵 ≼ 𝐴))
26	25	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → (ω ⊆ 𝐴 → suc 𝐵 ≼ 𝐴))
27	14, 26	jcad 511	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → (ω ⊆ 𝐴 → (𝐴 ≼ suc 𝐵 ∧ suc 𝐵 ≼ 𝐴)))
28		sbth 9095	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≼ suc 𝐵 ∧ suc 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐴 ≈ suc 𝐵)
29	27, 28	syl6 35	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → (ω ⊆ 𝐴 → 𝐴 ≈ suc 𝐵))
30	5, 29	mtod 197	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → ¬ ω ⊆ 𝐴)
31		ordom 7867	. . . . . . . . 9 ⊢ Ord ω
32		ordtri1 6396	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Ord ω ∧ Ord 𝐴) → (ω ⊆ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ ω))
33	31, 18, 32	sylancr 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ On → (ω ⊆ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ ω))
34	33	con2bid 353	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ∈ ω ↔ ¬ ω ⊆ 𝐴))
35	34	ad2antrr 722	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → (𝐴 ∈ ω ↔ ¬ ω ⊆ 𝐴))
36	30, 35	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐴 ∈ ω)
37		simplr 765	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐵 ∈ ω)
38	36, 37	jca 510	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω))
39		nneneq 9211	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵))
40	39	biimpa 475	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
41	38, 40	sylancom 586	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
42	41	ex 411	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 = 𝐵))
43		eqeng 8984	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 = 𝐵 → 𝐴 ≈ 𝐵))
44	43	adantr 479	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 = 𝐵 → 𝐴 ≈ 𝐵))
45	42, 44	impbid 211	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ⊆ wss 3947   class class class wbr 5147  Ord word 6362  Oncon0 6363  suc csuc 6365  ωcom 7857   ≈ cen 8938   ≼ cdom 8939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-om 7858  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945

This theorem is referenced by: (None)