Theorem onomeneqOLD 9238

Description: Obsolete version of onomeneq 9237 as of 29-Nov-2024. (Contributed by NM, 26-Jul-2004.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
onomeneqOLD	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem onomeneqOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		php5 9225	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ω → ¬ 𝐵 ≈ suc 𝐵)
2	1	ad2antlr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → ¬ 𝐵 ≈ suc 𝐵)
3		enen1 9131	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ≈ suc 𝐵 ↔ 𝐵 ≈ suc 𝐵))
4	3	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → (𝐴 ≈ suc 𝐵 ↔ 𝐵 ≈ suc 𝐵))
5	2, 4	mtbird 325	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → ¬ 𝐴 ≈ suc 𝐵)
6		peano2 7886	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ ω → suc 𝐵 ∈ ω)
7		sssucid 6434	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐵 ⊆ suc 𝐵
8		ssdomg 9014	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (suc 𝐵 ∈ ω → (𝐵 ⊆ suc 𝐵 → 𝐵 ≼ suc 𝐵))
9	6, 7, 8	mpisyl 21	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ≼ suc 𝐵)
10		endomtr 9026	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ suc 𝐵) → 𝐴 ≼ suc 𝐵)
11	9, 10	sylan2 593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐴 ≼ suc 𝐵)
12	11	ancoms 458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐴 ≼ suc 𝐵)
13	12	a1d 25	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → (ω ⊆ 𝐴 → 𝐴 ≼ suc 𝐵))
14	13	adantll 714	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → (ω ⊆ 𝐴 → 𝐴 ≼ suc 𝐵))
15		ssel 3952	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ω ⊆ 𝐴 → (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ∈ 𝐴))
16	15	com12 32	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ ω → (ω ⊆ 𝐴 → 𝐵 ∈ 𝐴))
17	16	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ On) → (ω ⊆ 𝐴 → 𝐵 ∈ 𝐴))
18		eloni 6362	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
19		ordelsuc 7814	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ Ord 𝐴) → (𝐵 ∈ 𝐴 ↔ suc 𝐵 ⊆ 𝐴))
20	18, 19	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵 ∈ 𝐴 ↔ suc 𝐵 ⊆ 𝐴))
21	17, 20	sylibd 239	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ On) → (ω ⊆ 𝐴 → suc 𝐵 ⊆ 𝐴))
22		ssdomg 9014	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ On → (suc 𝐵 ⊆ 𝐴 → suc 𝐵 ≼ 𝐴))
23	22	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ On) → (suc 𝐵 ⊆ 𝐴 → suc 𝐵 ≼ 𝐴))
24	21, 23	syld 47	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ On) → (ω ⊆ 𝐴 → suc 𝐵 ≼ 𝐴))
25	24	ancoms 458	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) → (ω ⊆ 𝐴 → suc 𝐵 ≼ 𝐴))
26	25	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → (ω ⊆ 𝐴 → suc 𝐵 ≼ 𝐴))
27	14, 26	jcad 512	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → (ω ⊆ 𝐴 → (𝐴 ≼ suc 𝐵 ∧ suc 𝐵 ≼ 𝐴)))
28		sbth 9107	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≼ suc 𝐵 ∧ suc 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐴 ≈ suc 𝐵)
29	27, 28	syl6 35	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → (ω ⊆ 𝐴 → 𝐴 ≈ suc 𝐵))
30	5, 29	mtod 198	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → ¬ ω ⊆ 𝐴)
31		ordom 7871	. . . . . . . . 9 ⊢ Ord ω
32		ordtri1 6385	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Ord ω ∧ Ord 𝐴) → (ω ⊆ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ ω))
33	31, 18, 32	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ On → (ω ⊆ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ ω))
34	33	con2bid 354	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ∈ ω ↔ ¬ ω ⊆ 𝐴))
35	34	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → (𝐴 ∈ ω ↔ ¬ ω ⊆ 𝐴))
36	30, 35	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐴 ∈ ω)
37		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐵 ∈ ω)
38	36, 37	jca 511	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω))
39		nneneq 9220	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵))
40	39	biimpa 476	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
41	38, 40	sylancom 588	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
42	41	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 = 𝐵))
43		eqeng 9000	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 = 𝐵 → 𝐴 ≈ 𝐵))
44	43	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 = 𝐵 → 𝐴 ≈ 𝐵))
45	42, 44	impbid 212	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3926   class class class wbr 5119  Ord word 6351  Oncon0 6352  suc csuc 6354  ωcom 7861   ≈ cen 8956   ≼ cdom 8957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-om 7862  df-1o 8480  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963

This theorem is referenced by: (None)