Theorem paridval 50856

Description: The identity at any object of a category with the parallel-arrow hom construction is 𝐽. (Contributed by Zhi Wang, 17-Sep-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
paridval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
paridval.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
paridval.hv	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 = 𝑦, {𝐽}, if((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌), 𝑆, ∅)))
paridval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
paridval.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
paridval	⊢ (𝜑 → ((Id‘𝐶)‘𝑈) = 𝐽)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦)   𝐶(𝑥, 𝑦)   𝐻(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem paridval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		paridval.hv	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 = 𝑦, {𝐽}, if((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌), 𝑆, ∅)))
2		paridval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
3		paridval.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
4		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Id‘𝐶) = (Id‘𝐶)
5		paridval.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
6		paridval.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐵)
7	2, 3, 4, 5, 6	catidcl 17858	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Id‘𝐶)‘𝑈) ∈ (𝑈𝐻𝑈))
8		eqidd 2761	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = 𝑈)
9	1, 7, 8	parhomideq 50841	1 ⊢ (𝜑 → ((Id‘𝐶)‘𝑈) = 𝐽)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∅c0 4278  ifcif 4481  {csn 4583  ‘cfv 6538   ∈ cmpo 7422  Basecbs 17389  Hom chom 17441  Catccat 17840  Idccid 17841

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-cat 17844  df-cid 17845

This theorem is used by:  parcoval2  50857  parmapfunc  50866