Theorem paridval 50970

Description: The identity at any object of a category with the parallel-arrow hom construction is 𝐽. (Contributed by Zhi Wang, 17-Sep-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
paridval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
paridval.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
paridval.hv	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 = 𝑦, {𝐽}, if((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌), 𝑆, ∅)))
paridval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
paridval.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
paridval	⊢ (𝜑 → ((Id‘𝐶)‘𝑈) = 𝐽)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦)   𝐶(𝑥, 𝑦)   𝐻(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem paridval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		paridval.hv	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 = 𝑦, {𝐽}, if((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌), 𝑆, ∅)))
2		paridval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
3		paridval.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
4		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Id‘𝐶) = (Id‘𝐶)
5		paridval.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
6		paridval.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐵)
7	2, 3, 4, 5, 6	catidcl 17885	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Id‘𝐶)‘𝑈) ∈ (𝑈𝐻𝑈))
8		eqidd 2764	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = 𝑈)
9	1, 7, 8	parhomideq 50955	1 ⊢ (𝜑 → ((Id‘𝐶)‘𝑈) = 𝐽)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∅c0 4281  ifcif 4485  {csn 4588  ‘cfv 6558   ∈ cmpo 7445  Basecbs 17416  Hom chom 17468  Catccat 17867  Idccid 17868

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-cat 17871  df-cid 17872

This theorem is used by:  parcoval2  50971  parmapfunc  50980