Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pimltmnf2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pimltmnf2 43800
Description: Given a real-valued function, the preimage of an open interval, unbounded below, with upper bound -∞, is the empty set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
pimltmnf2.1 𝑥𝐹
pimltmnf2.2 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
Assertion
Ref Expression
pimltmnf2 (𝜑 → {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < -∞} = ∅)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem pimltmnf2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2900 . . . 4 𝑥𝐴
2 nfcv 2900 . . . 4 𝑦𝐴
3 nfv 1921 . . . 4 𝑦(𝐹𝑥) < -∞
4 pimltmnf2.1 . . . . . 6 𝑥𝐹
5 nfcv 2900 . . . . . 6 𝑥𝑦
64, 5nffv 6687 . . . . 5 𝑥(𝐹𝑦)
7 nfcv 2900 . . . . 5 𝑥 <
8 nfcv 2900 . . . . 5 𝑥-∞
96, 7, 8nfbr 5078 . . . 4 𝑥(𝐹𝑦) < -∞
10 fveq2 6677 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
1110breq1d 5041 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹𝑥) < -∞ ↔ (𝐹𝑦) < -∞))
121, 2, 3, 9, 11cbvrabw 3392 . . 3 {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < -∞} = {𝑦𝐴 ∣ (𝐹𝑦) < -∞}
1312a1i 11 . 2 (𝜑 → {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < -∞} = {𝑦𝐴 ∣ (𝐹𝑦) < -∞})
14 mnfxr 10779 . . . . . . 7 -∞ ∈ ℝ*
1514a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐴) → -∞ ∈ ℝ*)
16 pimltmnf2.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
1716ffvelrnda 6864 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
1817rexrd 10772 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ*)
1917mnfltd 12605 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐴) → -∞ < (𝐹𝑦))
2015, 18, 19xrltled 12629 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐴) → -∞ ≤ (𝐹𝑦))
2115, 18xrlenltd 10788 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐴) → (-∞ ≤ (𝐹𝑦) ↔ ¬ (𝐹𝑦) < -∞))
2220, 21mpbid 235 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐴) → ¬ (𝐹𝑦) < -∞)
2322ralrimiva 3097 . . 3 (𝜑 → ∀𝑦𝐴 ¬ (𝐹𝑦) < -∞)
24 rabeq0 4274 . . 3 ({𝑦𝐴 ∣ (𝐹𝑦) < -∞} = ∅ ↔ ∀𝑦𝐴 ¬ (𝐹𝑦) < -∞)
2523, 24sylibr 237 . 2 (𝜑 → {𝑦𝐴 ∣ (𝐹𝑦) < -∞} = ∅)
2613, 25eqtrd 2774 1 (𝜑 → {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < -∞} = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  wnfc 2880  wral 3054  {crab 3058  c0 4212   class class class wbr 5031  wf 6336  cfv 6340  cr 10617  -∞cmnf 10754  *cxr 10755   < clt 10756  cle 10757
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7482  ax-cnex 10674  ax-resscn 10675  ax-pre-lttri 10692  ax-pre-lttrn 10693
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-rab 3063  df-v 3401  df-sbc 3682  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-op 4524  df-uni 4798  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-id 5430  df-po 5443  df-so 5444  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-er 8323  df-en 8559  df-dom 8560  df-sdom 8561  df-pnf 10758  df-mnf 10759  df-xr 10760  df-ltxr 10761  df-le 10762
This theorem is referenced by:  smfpimltxr  43845
  Copyright terms: Public domain W3C validator