Theorem pimltmnf2 43800

Description: Given a real-valued function, the preimage of an open interval, unbounded below, with upper bound -∞, is the empty set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
pimltmnf2.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
pimltmnf2.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)

Assertion

Ref	Expression
pimltmnf2	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < -∞} = ∅)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem pimltmnf2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2900	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
2		nfcv 2900	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦𝐴
3		nfv 1921	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐹‘𝑥) < -∞
4		pimltmnf2.1	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
5		nfcv 2900	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
6	4, 5	nffv 6687	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑦)
7		nfcv 2900	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥 <
8		nfcv 2900	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥-∞
9	6, 7, 8	nfbr 5078	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑦) < -∞
10		fveq2 6677	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦))
11	10	breq1d 5041	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹‘𝑥) < -∞ ↔ (𝐹‘𝑦) < -∞))
12	1, 2, 3, 9, 11	cbvrabw 3392	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < -∞} = {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑦) < -∞}
13	12	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < -∞} = {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑦) < -∞})
14		mnfxr 10779	. . . . . . 7 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
15	14	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → -∞ ∈ ℝ*)
16		pimltmnf2.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
17	16	ffvelrnda 6864	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
18	17	rexrd 10772	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ*)
19	17	mnfltd 12605	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → -∞ < (𝐹‘𝑦))
20	15, 18, 19	xrltled 12629	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → -∞ ≤ (𝐹‘𝑦))
21	15, 18	xrlenltd 10788	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (-∞ ≤ (𝐹‘𝑦) ↔ ¬ (𝐹‘𝑦) < -∞))
22	20, 21	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ¬ (𝐹‘𝑦) < -∞)
23	22	ralrimiva 3097	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ (𝐹‘𝑦) < -∞)
24		rabeq0 4274	. . 3 ⊢ ({𝑦 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑦) < -∞} = ∅ ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ (𝐹‘𝑦) < -∞)
25	23, 24	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑦) < -∞} = ∅)
26	13, 25	eqtrd 2774	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < -∞} = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Ⅎwnfc 2880  ∀wral 3054  {crab 3058  ∅c0 4212   class class class wbr 5031  ⟶wf 6336  ‘cfv 6340  ℝcr 10617  -∞cmnf 10754  ℝ^*cxr 10755   < clt 10756   ≤ cle 10757

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7482  ax-cnex 10674  ax-resscn 10675  ax-pre-lttri 10692  ax-pre-lttrn 10693

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-rab 3063  df-v 3401  df-sbc 3682  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-op 4524  df-uni 4798  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-id 5430  df-po 5443  df-so 5444  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-er 8323  df-en 8559  df-dom 8560  df-sdom 8561  df-pnf 10758  df-mnf 10759  df-xr 10760  df-ltxr 10761  df-le 10762

This theorem is referenced by:  smfpimltxr  43845