Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pimltmnf2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pimltmnf2 43127
 Description: Given a real-valued function, the preimage of an open interval, unbounded below, with upper bound -∞, is the empty set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
pimltmnf2.1 𝑥𝐹
pimltmnf2.2 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
Assertion
Ref Expression
pimltmnf2 (𝜑 → {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < -∞} = ∅)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem pimltmnf2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2973 . . . 4 𝑥𝐴
2 nfcv 2973 . . . 4 𝑦𝐴
3 nfv 1915 . . . 4 𝑦(𝐹𝑥) < -∞
4 pimltmnf2.1 . . . . . 6 𝑥𝐹
5 nfcv 2973 . . . . . 6 𝑥𝑦
64, 5nffv 6656 . . . . 5 𝑥(𝐹𝑦)
7 nfcv 2973 . . . . 5 𝑥 <
8 nfcv 2973 . . . . 5 𝑥-∞
96, 7, 8nfbr 5089 . . . 4 𝑥(𝐹𝑦) < -∞
10 fveq2 6646 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
1110breq1d 5052 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹𝑥) < -∞ ↔ (𝐹𝑦) < -∞))
121, 2, 3, 9, 11cbvrabw 3468 . . 3 {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < -∞} = {𝑦𝐴 ∣ (𝐹𝑦) < -∞}
1312a1i 11 . 2 (𝜑 → {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < -∞} = {𝑦𝐴 ∣ (𝐹𝑦) < -∞})
14 mnfxr 10676 . . . . . . 7 -∞ ∈ ℝ*
1514a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐴) → -∞ ∈ ℝ*)
16 pimltmnf2.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
1716ffvelrnda 6827 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
1817rexrd 10669 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ*)
1917mnfltd 12498 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐴) → -∞ < (𝐹𝑦))
2015, 18, 19xrltled 12522 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐴) → -∞ ≤ (𝐹𝑦))
2115, 18xrlenltd 10685 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐴) → (-∞ ≤ (𝐹𝑦) ↔ ¬ (𝐹𝑦) < -∞))
2220, 21mpbid 234 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐴) → ¬ (𝐹𝑦) < -∞)
2322ralrimiva 3169 . . 3 (𝜑 → ∀𝑦𝐴 ¬ (𝐹𝑦) < -∞)
24 rabeq0 4314 . . 3 ({𝑦𝐴 ∣ (𝐹𝑦) < -∞} = ∅ ↔ ∀𝑦𝐴 ¬ (𝐹𝑦) < -∞)
2523, 24sylibr 236 . 2 (𝜑 → {𝑦𝐴 ∣ (𝐹𝑦) < -∞} = ∅)
2613, 25eqtrd 2855 1 (𝜑 → {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < -∞} = ∅)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  Ⅎwnfc 2957  ∀wral 3125  {crab 3129  ∅c0 4269   class class class wbr 5042  ⟶wf 6327  ‘cfv 6331  ℝcr 10514  -∞cmnf 10651  ℝ*cxr 10652   < clt 10653   ≤ cle 10654 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-op 4550  df-uni 4815  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5436  df-po 5450  df-so 5451  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-er 8267  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659 This theorem is referenced by:  smfpimltxr  43172
 Copyright terms: Public domain W3C validator