Theorem pimltmnf2f 46726

Description: Given a real-valued function, the preimage of an open interval, unbounded below, with upper bound -∞, is the empty set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 15-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
pimltmnf2f.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
pimltmnf2f.2	⊢ Ⅎ𝑥𝐴
pimltmnf2f.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)

Assertion

Ref	Expression
pimltmnf2f	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < -∞} = ∅)

Proof of Theorem pimltmnf2f

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pimltmnf2f.2	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
2		nfcv 2898	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑦𝐴
3		nfv 1914	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐹‘𝑥) < -∞
4		pimltmnf2f.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
5		nfcv 2898	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
6	4, 5	nffv 6886	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑦)
7		nfcv 2898	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥 <
8		nfcv 2898	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥-∞
9	6, 7, 8	nfbr 5166	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑦) < -∞
10		fveq2 6876	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦))
11	10	breq1d 5129	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹‘𝑥) < -∞ ↔ (𝐹‘𝑦) < -∞))
12	1, 2, 3, 9, 11	cbvrabw 3452	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < -∞} = {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑦) < -∞}
13		pimltmnf2f.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
14	13	ffvelcdmda 7074	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
15	14	rexrd 11285	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ*)
16	15	mnfled 13152	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → -∞ ≤ (𝐹‘𝑦))
17		mnfxr 11292	. . . . . . 7 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
18	17	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → -∞ ∈ ℝ*)
19	18, 15	xrlenltd 11301	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (-∞ ≤ (𝐹‘𝑦) ↔ ¬ (𝐹‘𝑦) < -∞))
20	16, 19	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ¬ (𝐹‘𝑦) < -∞)
21	20	ralrimiva 3132	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ (𝐹‘𝑦) < -∞)
22		rabeq0 4363	. . 3 ⊢ ({𝑦 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑦) < -∞} = ∅ ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ (𝐹‘𝑦) < -∞)
23	21, 22	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑦) < -∞} = ∅)
24	12, 23	eqtrid 2782	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < -∞} = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Ⅎwnfc 2883  ∀wral 3051  {crab 3415  ∅c0 4308   class class class wbr 5119  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  ℝcr 11128  -∞cmnf 11267  ℝ^*cxr 11268   < clt 11269   ≤ cle 11270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275

This theorem is referenced by:  pimltmnf2  46727  smfpimltxr  46776