Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pimltmnf2f Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pimltmnf2f 46712
Description: Given a real-valued function, the preimage of an open interval, unbounded below, with upper bound -∞, is the empty set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 15-Dec-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
pimltmnf2f.1 𝑥𝐹
pimltmnf2f.2 𝑥𝐴
pimltmnf2f.3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
Assertion
Ref Expression
pimltmnf2f (𝜑 → {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < -∞} = ∅)

Proof of Theorem pimltmnf2f
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pimltmnf2f.2 . . 3 𝑥𝐴
2 nfcv 2905 . . 3 𝑦𝐴
3 nfv 1914 . . 3 𝑦(𝐹𝑥) < -∞
4 pimltmnf2f.1 . . . . 5 𝑥𝐹
5 nfcv 2905 . . . . 5 𝑥𝑦
64, 5nffv 6916 . . . 4 𝑥(𝐹𝑦)
7 nfcv 2905 . . . 4 𝑥 <
8 nfcv 2905 . . . 4 𝑥-∞
96, 7, 8nfbr 5190 . . 3 𝑥(𝐹𝑦) < -∞
10 fveq2 6906 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
1110breq1d 5153 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹𝑥) < -∞ ↔ (𝐹𝑦) < -∞))
121, 2, 3, 9, 11cbvrabw 3473 . 2 {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < -∞} = {𝑦𝐴 ∣ (𝐹𝑦) < -∞}
13 pimltmnf2f.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
1413ffvelcdmda 7104 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
1514rexrd 11311 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ*)
1615mnfled 13178 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐴) → -∞ ≤ (𝐹𝑦))
17 mnfxr 11318 . . . . . . 7 -∞ ∈ ℝ*
1817a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐴) → -∞ ∈ ℝ*)
1918, 15xrlenltd 11327 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐴) → (-∞ ≤ (𝐹𝑦) ↔ ¬ (𝐹𝑦) < -∞))
2016, 19mpbid 232 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐴) → ¬ (𝐹𝑦) < -∞)
2120ralrimiva 3146 . . 3 (𝜑 → ∀𝑦𝐴 ¬ (𝐹𝑦) < -∞)
22 rabeq0 4388 . . 3 ({𝑦𝐴 ∣ (𝐹𝑦) < -∞} = ∅ ↔ ∀𝑦𝐴 ¬ (𝐹𝑦) < -∞)
2321, 22sylibr 234 . 2 (𝜑 → {𝑦𝐴 ∣ (𝐹𝑦) < -∞} = ∅)
2412, 23eqtrid 2789 1 (𝜑 → {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < -∞} = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wnfc 2890  wral 3061  {crab 3436  c0 4333   class class class wbr 5143  wf 6557  cfv 6561  cr 11154  -∞cmnf 11293  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301
This theorem is referenced by:  pimltmnf2  46713  smfpimltxr  46762
  Copyright terms: Public domain W3C validator