Theorem pimltmnf2f 47235

Description: Given a real-valued function, the preimage of an open interval, unbounded below, with upper bound -∞, is the empty set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 15-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
pimltmnf2f.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
pimltmnf2f.2	⊢ Ⅎ𝑥𝐴
pimltmnf2f.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)

Assertion

Ref	Expression
pimltmnf2f	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < -∞} = ∅)

Proof of Theorem pimltmnf2f

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pimltmnf2f.2	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
2		nfcv 2923	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑦𝐴
3		nfv 1933	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐹‘𝑥) < -∞
4		pimltmnf2f.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
5		nfcv 2923	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
6	4, 5	nffv 6873	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑦)
7		nfcv 2923	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥 <
8		nfcv 2923	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥-∞
9	6, 7, 8	nfbr 5146	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑦) < -∞
10		fveq2 6863	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦))
11	10	breq1d 5109	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹‘𝑥) < -∞ ↔ (𝐹‘𝑦) < -∞))
12	1, 2, 3, 9, 11	cbvrabw 3448	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < -∞} = {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑦) < -∞}
13		pimltmnf2f.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
14	13	ffvelcdmda 7061	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
15	14	rexrd 11229	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ*)
16	15	mnfled 13135	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → -∞ ≤ (𝐹‘𝑦))
17		mnfxr 11236	. . . . . . 7 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
18	17	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → -∞ ∈ ℝ*)
19	18, 15	xrlenltd 11245	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (-∞ ≤ (𝐹‘𝑦) ↔ ¬ (𝐹‘𝑦) < -∞))
20	16, 19	mpbid 234	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ¬ (𝐹‘𝑦) < -∞)
21	20	ralrimiva 3153	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ (𝐹‘𝑦) < -∞)
22		rabeq0 4341	. . 3 ⊢ ({𝑦 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑦) < -∞} = ∅ ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ (𝐹‘𝑦) < -∞)
23	21, 22	sylibr 236	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑦) < -∞} = ∅)
24	12, 23	eqtrid 2808	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < -∞} = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  Ⅎwnfc 2908  ∀wral 3075  {crab 3413  ∅c0 4285   class class class wbr 5099  ⟶wf 6513  ‘cfv 6517  ℝcr 11069  -∞cmnf 11211  ℝ^*cxr 11212   < clt 11213   ≤ cle 11214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219

This theorem is referenced by:  pimltmnf2  47236  smfpimltxr  47285