Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pimltmnf2f Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pimltmnf2f 45250
Description: Given a real-valued function, the preimage of an open interval, unbounded below, with upper bound -∞, is the empty set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 15-Dec-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
pimltmnf2f.1 𝑥𝐹
pimltmnf2f.2 𝑥𝐴
pimltmnf2f.3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
Assertion
Ref Expression
pimltmnf2f (𝜑 → {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < -∞} = ∅)

Proof of Theorem pimltmnf2f
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pimltmnf2f.2 . . 3 𝑥𝐴
2 nfcv 2903 . . 3 𝑦𝐴
3 nfv 1917 . . 3 𝑦(𝐹𝑥) < -∞
4 pimltmnf2f.1 . . . . 5 𝑥𝐹
5 nfcv 2903 . . . . 5 𝑥𝑦
64, 5nffv 6889 . . . 4 𝑥(𝐹𝑦)
7 nfcv 2903 . . . 4 𝑥 <
8 nfcv 2903 . . . 4 𝑥-∞
96, 7, 8nfbr 5189 . . 3 𝑥(𝐹𝑦) < -∞
10 fveq2 6879 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
1110breq1d 5152 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹𝑥) < -∞ ↔ (𝐹𝑦) < -∞))
121, 2, 3, 9, 11cbvrabw 3467 . 2 {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < -∞} = {𝑦𝐴 ∣ (𝐹𝑦) < -∞}
13 pimltmnf2f.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
1413ffvelcdmda 7072 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
1514rexrd 11248 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ*)
1615mnfled 13099 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐴) → -∞ ≤ (𝐹𝑦))
17 mnfxr 11255 . . . . . . 7 -∞ ∈ ℝ*
1817a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐴) → -∞ ∈ ℝ*)
1918, 15xrlenltd 11264 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐴) → (-∞ ≤ (𝐹𝑦) ↔ ¬ (𝐹𝑦) < -∞))
2016, 19mpbid 231 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐴) → ¬ (𝐹𝑦) < -∞)
2120ralrimiva 3146 . . 3 (𝜑 → ∀𝑦𝐴 ¬ (𝐹𝑦) < -∞)
22 rabeq0 4381 . . 3 ({𝑦𝐴 ∣ (𝐹𝑦) < -∞} = ∅ ↔ ∀𝑦𝐴 ¬ (𝐹𝑦) < -∞)
2321, 22sylibr 233 . 2 (𝜑 → {𝑦𝐴 ∣ (𝐹𝑦) < -∞} = ∅)
2412, 23eqtrid 2784 1 (𝜑 → {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < -∞} = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wnfc 2883  wral 3061  {crab 3432  c0 4319   class class class wbr 5142  wf 6529  cfv 6533  cr 11093  -∞cmnf 11230  *cxr 11231   < clt 11232  cle 11233
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7709  ax-cnex 11150  ax-resscn 11151
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4320  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5568  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-er 8688  df-en 8925  df-dom 8926  df-sdom 8927  df-pnf 11234  df-mnf 11235  df-xr 11236  df-ltxr 11237  df-le 11238
This theorem is referenced by:  pimltmnf2  45251  smfpimltxr  45300
  Copyright terms: Public domain W3C validator