Theorem pimltmnf2f 47922

Description: Given a real-valued function, the preimage of an open interval, unbounded below, with upper bound -∞, is the empty set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 15-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
pimltmnf2f.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
pimltmnf2f.2	⊢ Ⅎ𝑥𝐴
pimltmnf2f.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)

Assertion

Ref	Expression
pimltmnf2f	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < -∞} = ∅)

Proof of Theorem pimltmnf2f

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pimltmnf2f.2	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
2		nfcv 2926	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑦𝐴
3		nfv 1949	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐹‘𝑥) < -∞
4		pimltmnf2f.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
5		nfcv 2926	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
6	4, 5	nffv 6921	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑦)
7		nfcv 2926	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥 <
8		nfcv 2926	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥-∞
9	6, 7, 8	nfbr 5156	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑦) < -∞
10		fveq2 6911	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦))
11	10	breq1d 5116	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹‘𝑥) < -∞ ↔ (𝐹‘𝑦) < -∞))
12	1, 2, 3, 9, 11	cbvrabw 3450	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < -∞} = {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑦) < -∞}
13		pimltmnf2f.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
14	13	ffvelcdmda 7111	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
15	14	rexrd 11389	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ*)
16	15	mnfled 13295	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → -∞ ≤ (𝐹‘𝑦))
17		mnfxr 11396	. . . . . . 7 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
18	17	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → -∞ ∈ ℝ*)
19	18, 15	xrlenltd 11405	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (-∞ ≤ (𝐹‘𝑦) ↔ ¬ (𝐹‘𝑦) < -∞))
20	16, 19	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ¬ (𝐹‘𝑦) < -∞)
21	20	ralrimiva 3158	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ (𝐹‘𝑦) < -∞)
22		rabeq0 4341	. . 3 ⊢ ({𝑦 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑦) < -∞} = ∅ ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ (𝐹‘𝑦) < -∞)
23	21, 22	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑦) < -∞} = ∅)
24	12, 23	eqtrid 2810	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < -∞} = ∅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Ⅎwnfc 2911  ∀wral 3080  {crab 3416  ∅c0 4281   class class class wbr 5106  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  ℝcr 11229  -∞cmnf 11371  ℝ^*cxr 11372   < clt 11373   ≤ cle 11374

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379

This theorem is used by:  pimltmnf2  47923  smfpimltxr  47972