Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pimltmnf2f Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pimltmnf2f 46147
Description: Given a real-valued function, the preimage of an open interval, unbounded below, with upper bound -∞, is the empty set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 15-Dec-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
pimltmnf2f.1 β„²π‘₯𝐹
pimltmnf2f.2 β„²π‘₯𝐴
pimltmnf2f.3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
Assertion
Ref Expression
pimltmnf2f (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < -∞} = βˆ…)

Proof of Theorem pimltmnf2f
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pimltmnf2f.2 . . 3 β„²π‘₯𝐴
2 nfcv 2892 . . 3 Ⅎ𝑦𝐴
3 nfv 1909 . . 3 Ⅎ𝑦(πΉβ€˜π‘₯) < -∞
4 pimltmnf2f.1 . . . . 5 β„²π‘₯𝐹
5 nfcv 2892 . . . . 5 β„²π‘₯𝑦
64, 5nffv 6901 . . . 4 β„²π‘₯(πΉβ€˜π‘¦)
7 nfcv 2892 . . . 4 β„²π‘₯ <
8 nfcv 2892 . . . 4 β„²π‘₯-∞
96, 7, 8nfbr 5190 . . 3 β„²π‘₯(πΉβ€˜π‘¦) < -∞
10 fveq2 6891 . . . 4 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘¦))
1110breq1d 5153 . . 3 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) < -∞ ↔ (πΉβ€˜π‘¦) < -∞))
121, 2, 3, 9, 11cbvrabw 3456 . 2 {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < -∞} = {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘¦) < -∞}
13 pimltmnf2f.3 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
1413ffvelcdmda 7088 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
1514rexrd 11292 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ*)
1615mnfled 13145 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ -∞ ≀ (πΉβ€˜π‘¦))
17 mnfxr 11299 . . . . . . 7 -∞ ∈ ℝ*
1817a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ -∞ ∈ ℝ*)
1918, 15xrlenltd 11308 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (-∞ ≀ (πΉβ€˜π‘¦) ↔ Β¬ (πΉβ€˜π‘¦) < -∞))
2016, 19mpbid 231 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ Β¬ (πΉβ€˜π‘¦) < -∞)
2120ralrimiva 3136 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 Β¬ (πΉβ€˜π‘¦) < -∞)
22 rabeq0 4380 . . 3 ({𝑦 ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘¦) < -∞} = βˆ… ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 Β¬ (πΉβ€˜π‘¦) < -∞)
2321, 22sylibr 233 . 2 (πœ‘ β†’ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘¦) < -∞} = βˆ…)
2412, 23eqtrid 2777 1 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < -∞} = βˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β„²wnfc 2875  βˆ€wral 3051  {crab 3419  βˆ…c0 4318   class class class wbr 5143  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  β„cr 11135  -∞cmnf 11274  β„*cxr 11275   < clt 11276   ≀ cle 11277
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282
This theorem is referenced by:  pimltmnf2  46148  smfpimltxr  46197
  Copyright terms: Public domain W3C validator