Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pimltmnf2f Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pimltmnf2f 45413
Description: Given a real-valued function, the preimage of an open interval, unbounded below, with upper bound -∞, is the empty set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 15-Dec-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
pimltmnf2f.1 β„²π‘₯𝐹
pimltmnf2f.2 β„²π‘₯𝐴
pimltmnf2f.3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
Assertion
Ref Expression
pimltmnf2f (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < -∞} = βˆ…)

Proof of Theorem pimltmnf2f
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pimltmnf2f.2 . . 3 β„²π‘₯𝐴
2 nfcv 2904 . . 3 Ⅎ𝑦𝐴
3 nfv 1918 . . 3 Ⅎ𝑦(πΉβ€˜π‘₯) < -∞
4 pimltmnf2f.1 . . . . 5 β„²π‘₯𝐹
5 nfcv 2904 . . . . 5 β„²π‘₯𝑦
64, 5nffv 6902 . . . 4 β„²π‘₯(πΉβ€˜π‘¦)
7 nfcv 2904 . . . 4 β„²π‘₯ <
8 nfcv 2904 . . . 4 β„²π‘₯-∞
96, 7, 8nfbr 5196 . . 3 β„²π‘₯(πΉβ€˜π‘¦) < -∞
10 fveq2 6892 . . . 4 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘¦))
1110breq1d 5159 . . 3 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) < -∞ ↔ (πΉβ€˜π‘¦) < -∞))
121, 2, 3, 9, 11cbvrabw 3468 . 2 {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < -∞} = {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘¦) < -∞}
13 pimltmnf2f.3 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
1413ffvelcdmda 7087 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
1514rexrd 11264 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ*)
1615mnfled 13115 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ -∞ ≀ (πΉβ€˜π‘¦))
17 mnfxr 11271 . . . . . . 7 -∞ ∈ ℝ*
1817a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ -∞ ∈ ℝ*)
1918, 15xrlenltd 11280 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (-∞ ≀ (πΉβ€˜π‘¦) ↔ Β¬ (πΉβ€˜π‘¦) < -∞))
2016, 19mpbid 231 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ Β¬ (πΉβ€˜π‘¦) < -∞)
2120ralrimiva 3147 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 Β¬ (πΉβ€˜π‘¦) < -∞)
22 rabeq0 4385 . . 3 ({𝑦 ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘¦) < -∞} = βˆ… ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 Β¬ (πΉβ€˜π‘¦) < -∞)
2321, 22sylibr 233 . 2 (πœ‘ β†’ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘¦) < -∞} = βˆ…)
2412, 23eqtrid 2785 1 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < -∞} = βˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β„²wnfc 2884  βˆ€wral 3062  {crab 3433  βˆ…c0 4323   class class class wbr 5149  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  β„cr 11109  -∞cmnf 11246  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254
This theorem is referenced by:  pimltmnf2  45414  smfpimltxr  45463
  Copyright terms: Public domain W3C validator