Theorem pimltmnf2f 47452

Description: Given a real-valued function, the preimage of an open interval, unbounded below, with upper bound -∞, is the empty set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 15-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
pimltmnf2f.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
pimltmnf2f.2	⊢ Ⅎ𝑥𝐴
pimltmnf2f.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)

Assertion

Ref	Expression
pimltmnf2f	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < -∞} = ∅)

Proof of Theorem pimltmnf2f

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pimltmnf2f.2	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
2		nfcv 2928	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑦𝐴
3		nfv 1947	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐹‘𝑥) < -∞
4		pimltmnf2f.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
5		nfcv 2928	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
6	4, 5	nffv 6898	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑦)
7		nfcv 2928	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥 <
8		nfcv 2928	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥-∞
9	6, 7, 8	nfbr 5163	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑦) < -∞
10		fveq2 6888	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦))
11	10	breq1d 5124	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹‘𝑥) < -∞ ↔ (𝐹‘𝑦) < -∞))
12	1, 2, 3, 9, 11	cbvrabw 3454	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < -∞} = {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑦) < -∞}
13		pimltmnf2f.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
14	13	ffvelcdmda 7086	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
15	14	rexrd 11277	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ*)
16	15	mnfled 13179	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → -∞ ≤ (𝐹‘𝑦))
17		mnfxr 11284	. . . . . . 7 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
18	17	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → -∞ ∈ ℝ*)
19	18, 15	xrlenltd 11293	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (-∞ ≤ (𝐹‘𝑦) ↔ ¬ (𝐹‘𝑦) < -∞))
20	16, 19	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ¬ (𝐹‘𝑦) < -∞)
21	20	ralrimiva 3160	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ (𝐹‘𝑦) < -∞)
22		rabeq0 4348	. . 3 ⊢ ({𝑦 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑦) < -∞} = ∅ ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ (𝐹‘𝑦) < -∞)
23	21, 22	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑦) < -∞} = ∅)
24	12, 23	eqtrid 2813	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < -∞} = ∅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Ⅎwnfc 2913  ∀wral 3082  {crab 3419  ∅c0 4289   class class class wbr 5114  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  ℝcr 11117  -∞cmnf 11259  ℝ^*cxr 11260   < clt 11261   ≤ cle 11262

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267

This theorem is used by:  pimltmnf2  47453  smfpimltxr  47502