Theorem plybss 26539

Description: Reverse closure of the parameter 𝑆 of the polynomial set function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
plybss	⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)

Proof of Theorem plybss

Dummy variables 𝑘 𝑎 𝑛 𝑧 𝑓 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ply 26533	. . 3 ⊢ Poly = (𝑥 ∈ 𝒫 ℂ ↦ {𝑓 ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ∃𝑎 ∈ ((𝑥 ∪ {0}) ↑m ℕ0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))})
2	1	mptrcl 7023	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑆 ∈ 𝒫 ℂ)
3	2	elpwid 4569	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {cab 2741  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3900   ∪ cun 4152  𝒫 cpw 4560  {csn 4588   ↦ cmpt 5189  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440   ↑_m cmap 8872  ℂcc 11222  0cc0 11224   · cmul 11229  ℕ₀cn0 12630  ...cfz 13663  ↑cexp 14228  Σcsu 15879  Polycply 26529

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6509  df-fv 6563  df-ply 26533

This theorem is used by:  elply  26540  plyf  26543  plyssc  26545  plyaddlem  26561  plymullem  26562  plysub  26565  dgrlem  26575  coeidlem  26583  plyco  26587  plycj  26623  plyreres  26631  plydivlem3  26643  plydivlem4  26644  elmnc  44328