Theorem plybss 26459

Description: Reverse closure of the parameter 𝑆 of the polynomial set function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
plybss	⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)

Proof of Theorem plybss

Dummy variables 𝑘 𝑎 𝑛 𝑧 𝑓 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ply 26453	. . 3 ⊢ Poly = (𝑥 ∈ 𝒫 ℂ ↦ {𝑓 ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ∃𝑎 ∈ ((𝑥 ∪ {0}) ↑m ℕ0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))})
2	1	mptrcl 6992	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑆 ∈ 𝒫 ℂ)
3	2	elpwid 4566	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {cab 2738  ∃wrex 3086   ∪ cun 3897   ⊆ wss 3899  𝒫 cpw 4557  {csn 4584   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409   ↑_m cmap 8826  ℂcc 11155  0cc0 11157   · cmul 11162  ℕ₀cn0 12561  ...cfz 13594  ↑cexp 14158  Σcsu 15806  Polycply 26449

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-iota 6484  df-fv 6536  df-ply 26453

This theorem is used by:  elply  26460  plyf  26463  plyssc  26465  plyaddlem  26481  plymullem  26482  plysub  26485  dgrlem  26495  coeidlem  26503  plyco  26507  plycj  26543  plycjOLD  26545  plyreres  26553  plydivlem3  26565  plydivlem4  26566  elmnc  44075