Theorem plybss 26421

Description: Reverse closure of the parameter 𝑆 of the polynomial set function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
plybss	⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)

Proof of Theorem plybss

Dummy variables 𝑘 𝑎 𝑛 𝑧 𝑓 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ply 26415	. . 3 ⊢ Poly = (𝑥 ∈ 𝒫 ℂ ↦ {𝑓 ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ∃𝑎 ∈ ((𝑥 ∪ {0}) ↑m ℕ0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))})
2	1	mptrcl 7000	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑆 ∈ 𝒫 ℂ)
3	2	elpwid 4569	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {cab 2740  ∃wrex 3088   ∪ cun 3900   ⊆ wss 3902  𝒫 cpw 4560  {csn 4587   ↦ cmpt 5190  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   ↑_m cmap 8829  ℂcc 11125  0cc0 11127   · cmul 11132  ℕ₀cn0 12531  ...cfz 13563  ↑cexp 14127  Σcsu 15775  Polycply 26411

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fv 6545  df-ply 26415

This theorem is used by:  elply  26422  plyf  26425  plyssc  26427  plyaddlem  26442  plymullem  26443  plysub  26446  dgrlem  26456  coeidlem  26464  plyco  26468  plycj  26504  plycjOLD  26506  plyreres  26514  plydivlem3  26526  plydivlem4  26527  elmnc  43964