MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plybss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem plybss 25708
Description: Reverse closure of the parameter ๐‘† of the polynomial set function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
plybss (๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โ†’ ๐‘† โŠ† โ„‚)

Proof of Theorem plybss
Dummy variables ๐‘˜ ๐‘Ž ๐‘› ๐‘ง ๐‘“ ๐‘ฅ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ply 25702 . . 3 Poly = (๐‘ฅ โˆˆ ๐’ซ โ„‚ โ†ฆ {๐‘“ โˆฃ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ((๐‘ฅ โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)๐‘“ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))})
21mptrcl 7008 . 2 (๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โ†’ ๐‘† โˆˆ ๐’ซ โ„‚)
32elpwid 4612 1 (๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โ†’ ๐‘† โŠ† โ„‚)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  {cab 2710  โˆƒwrex 3071   โˆช cun 3947   โŠ† wss 3949  ๐’ซ cpw 4603  {csn 4629   โ†ฆ cmpt 5232  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   โ†‘m cmap 8820  โ„‚cc 11108  0cc0 11110   ยท cmul 11115  โ„•0cn0 12472  ...cfz 13484  โ†‘cexp 14027  ฮฃcsu 15632  Polycply 25698
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fv 6552  df-ply 25702
This theorem is referenced by:  elply  25709  plyf  25712  plyssc  25714  plyaddlem  25729  plymullem  25730  plysub  25733  dgrlem  25743  coeidlem  25751  plyco  25755  plycj  25791  plyreres  25796  plydivlem3  25808  plydivlem4  25809  elmnc  41878
  Copyright terms: Public domain W3C validator