MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plybss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem plybss 25942
Description: Reverse closure of the parameter ๐‘† of the polynomial set function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
plybss (๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โ†’ ๐‘† โŠ† โ„‚)

Proof of Theorem plybss
Dummy variables ๐‘˜ ๐‘Ž ๐‘› ๐‘ง ๐‘“ ๐‘ฅ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ply 25936 . . 3 Poly = (๐‘ฅ โˆˆ ๐’ซ โ„‚ โ†ฆ {๐‘“ โˆฃ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ((๐‘ฅ โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)๐‘“ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))})
21mptrcl 7008 . 2 (๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โ†’ ๐‘† โˆˆ ๐’ซ โ„‚)
32elpwid 4612 1 (๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โ†’ ๐‘† โŠ† โ„‚)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104  {cab 2707  โˆƒwrex 3068   โˆช cun 3947   โŠ† wss 3949  ๐’ซ cpw 4603  {csn 4629   โ†ฆ cmpt 5232  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7413   โ†‘m cmap 8824  โ„‚cc 11112  0cc0 11114   ยท cmul 11119  โ„•0cn0 12478  ...cfz 13490  โ†‘cexp 14033  ฮฃcsu 15638  Polycply 25932
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fv 6552  df-ply 25936
This theorem is referenced by:  elply  25943  plyf  25946  plyssc  25948  plyaddlem  25963  plymullem  25964  plysub  25967  dgrlem  25977  coeidlem  25985  plyco  25989  plycj  26025  plyreres  26030  plydivlem3  26042  plydivlem4  26043  elmnc  42182
  Copyright terms: Public domain W3C validator