MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plydivlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem plydivlem3 25777
Description: Lemma for plydivex 25779. Base case of induction. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plydiv.pl ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.tm ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.rc ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
plydiv.m1 (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
plydiv.f (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.g (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.z (𝜑𝐺 ≠ 0𝑝)
plydiv.r 𝑅 = (𝐹f − (𝐺f · 𝑞))
plydiv.0 (𝜑 → (𝐹 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 0))
Assertion
Ref Expression
plydivlem3 (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑞,𝐹   𝜑,𝑥,𝑦   𝐺,𝑞,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑆,𝑞,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑞)   𝑅(𝑞)

Proof of Theorem plydivlem3
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plydiv.f . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
2 plybss 25677 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
3 ply0 25691 . . 3 (𝑆 ⊆ ℂ → 0𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))
41, 2, 33syl 18 . 2 (𝜑 → 0𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))
5 plydiv.0 . . 3 (𝜑 → (𝐹 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 0))
6 cnex 11178 . . . . . . 7 ℂ ∈ V
76a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℂ ∈ V)
8 plyf 25681 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
9 ffn 6707 . . . . . . 7 (𝐹:ℂ⟶ℂ → 𝐹 Fn ℂ)
101, 8, 93syl 18 . . . . . 6 (𝜑𝐹 Fn ℂ)
11 plydiv.g . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
12 plyf 25681 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
13 ffn 6707 . . . . . . . 8 (𝐺:ℂ⟶ℂ → 𝐺 Fn ℂ)
1411, 12, 133syl 18 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 Fn ℂ)
15 plyf 25681 . . . . . . . 8 (0𝑝 ∈ (Poly‘𝑆) → 0𝑝:ℂ⟶ℂ)
16 ffn 6707 . . . . . . . 8 (0𝑝:ℂ⟶ℂ → 0𝑝 Fn ℂ)
174, 15, 163syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → 0𝑝 Fn ℂ)
18 inidm 4216 . . . . . . 7 (ℂ ∩ ℂ) = ℂ
1914, 17, 7, 7, 18offn 7670 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺f · 0𝑝) Fn ℂ)
20 eqidd 2734 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑧))
21 eqidd 2734 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (𝐺𝑧) = (𝐺𝑧))
22 0pval 25157 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℂ → (0𝑝𝑧) = 0)
2322adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (0𝑝𝑧) = 0)
2414, 17, 7, 7, 18, 21, 23ofval 7668 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐺f · 0𝑝)‘𝑧) = ((𝐺𝑧) · 0))
2511, 12syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺:ℂ⟶ℂ)
2625ffvelcdmda 7074 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
2726mul01d 11400 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐺𝑧) · 0) = 0)
2824, 27eqtrd 2773 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐺f · 0𝑝)‘𝑧) = 0)
291, 8syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:ℂ⟶ℂ)
3029ffvelcdmda 7074 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
3130subid1d 11547 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐹𝑧) − 0) = (𝐹𝑧))
327, 10, 19, 10, 20, 28, 31offveq 7681 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹f − (𝐺f · 0𝑝)) = 𝐹)
3332eqeq1d 2735 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹f − (𝐺f · 0𝑝)) = 0𝑝𝐹 = 0𝑝))
3432fveq2d 6885 . . . . . 6 (𝜑 → (deg‘(𝐹f − (𝐺f · 0𝑝))) = (deg‘𝐹))
35 dgrcl 25716 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐺) ∈ ℕ0)
3611, 35syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (deg‘𝐺) ∈ ℕ0)
3736nn0red 12520 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (deg‘𝐺) ∈ ℝ)
3837recnd 11229 . . . . . . . 8 (𝜑 → (deg‘𝐺) ∈ ℂ)
3938addlidd 11402 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 + (deg‘𝐺)) = (deg‘𝐺))
4039eqcomd 2739 . . . . . 6 (𝜑 → (deg‘𝐺) = (0 + (deg‘𝐺)))
4134, 40breq12d 5157 . . . . 5 (𝜑 → ((deg‘(𝐹f − (𝐺f · 0𝑝))) < (deg‘𝐺) ↔ (deg‘𝐹) < (0 + (deg‘𝐺))))
42 dgrcl 25716 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
431, 42syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
4443nn0red 12520 . . . . . 6 (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℝ)
45 0red 11204 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
4644, 37, 45ltsubaddd 11797 . . . . 5 (𝜑 → (((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 0 ↔ (deg‘𝐹) < (0 + (deg‘𝐺))))
4741, 46bitr4d 282 . . . 4 (𝜑 → ((deg‘(𝐹f − (𝐺f · 0𝑝))) < (deg‘𝐺) ↔ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 0))
4833, 47orbi12d 918 . . 3 (𝜑 → (((𝐹f − (𝐺f · 0𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝐺f · 0𝑝))) < (deg‘𝐺)) ↔ (𝐹 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 0)))
495, 48mpbird 257 . 2 (𝜑 → ((𝐹f − (𝐺f · 0𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝐺f · 0𝑝))) < (deg‘𝐺)))
50 plydiv.r . . . . . 6 𝑅 = (𝐹f − (𝐺f · 𝑞))
51 oveq2 7404 . . . . . . 7 (𝑞 = 0𝑝 → (𝐺f · 𝑞) = (𝐺f · 0𝑝))
5251oveq2d 7412 . . . . . 6 (𝑞 = 0𝑝 → (𝐹f − (𝐺f · 𝑞)) = (𝐹f − (𝐺f · 0𝑝)))
5350, 52eqtrid 2785 . . . . 5 (𝑞 = 0𝑝𝑅 = (𝐹f − (𝐺f · 0𝑝)))
5453eqeq1d 2735 . . . 4 (𝑞 = 0𝑝 → (𝑅 = 0𝑝 ↔ (𝐹f − (𝐺f · 0𝑝)) = 0𝑝))
5553fveq2d 6885 . . . . 5 (𝑞 = 0𝑝 → (deg‘𝑅) = (deg‘(𝐹f − (𝐺f · 0𝑝))))
5655breq1d 5154 . . . 4 (𝑞 = 0𝑝 → ((deg‘𝑅) < (deg‘𝐺) ↔ (deg‘(𝐹f − (𝐺f · 0𝑝))) < (deg‘𝐺)))
5754, 56orbi12d 918 . . 3 (𝑞 = 0𝑝 → ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ↔ ((𝐹f − (𝐺f · 0𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝐺f · 0𝑝))) < (deg‘𝐺))))
5857rspcev 3611 . 2 ((0𝑝 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ ((𝐹f − (𝐺f · 0𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝐺f · 0𝑝))) < (deg‘𝐺))) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))
594, 49, 58syl2anc 585 1 (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  wo 846   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  wrex 3071  Vcvv 3475  wss 3946   class class class wbr 5144   Fn wfn 6530  wf 6531  cfv 6535  (class class class)co 7396  f cof 7655  cc 11095  0cc0 11097  1c1 11098   + caddc 11100   · cmul 11102   < clt 11235  cmin 11431  -cneg 11432   / cdiv 11858  0cn0 12459  0𝑝c0p 25155  Polycply 25667  degcdgr 25670
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-inf2 9623  ax-cnex 11153  ax-resscn 11154  ax-1cn 11155  ax-icn 11156  ax-addcl 11157  ax-addrcl 11158  ax-mulcl 11159  ax-mulrcl 11160  ax-mulcom 11161  ax-addass 11162  ax-mulass 11163  ax-distr 11164  ax-i2m1 11165  ax-1ne0 11166  ax-1rid 11167  ax-rnegex 11168  ax-rrecex 11169  ax-cnre 11170  ax-pre-lttri 11171  ax-pre-lttrn 11172  ax-pre-ltadd 11173  ax-pre-mulgt0 11174  ax-pre-sup 11175
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4905  df-int 4947  df-iun 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6292  df-ord 6359  df-on 6360  df-lim 6361  df-suc 6362  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-isom 6544  df-riota 7352  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7657  df-om 7843  df-1st 7962  df-2nd 7963  df-frecs 8253  df-wrecs 8284  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8691  df-map 8810  df-pm 8811  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-sup 9424  df-inf 9425  df-oi 9492  df-card 9921  df-pnf 11237  df-mnf 11238  df-xr 11239  df-ltxr 11240  df-le 11241  df-sub 11433  df-neg 11434  df-div 11859  df-nn 12200  df-2 12262  df-3 12263  df-n0 12460  df-z 12546  df-uz 12810  df-rp 12962  df-fz 13472  df-fzo 13615  df-fl 13744  df-seq 13954  df-exp 14015  df-hash 14278  df-cj 15033  df-re 15034  df-im 15035  df-sqrt 15169  df-abs 15170  df-clim 15419  df-rlim 15420  df-sum 15620  df-0p 25156  df-ply 25671  df-coe 25673  df-dgr 25674
This theorem is referenced by:  plydivex  25779
  Copyright terms: Public domain W3C validator