Theorem plydivlem3 25777

Description: Lemma for plydivex 25779. Base case of induction. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
plydiv.pl	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.tm	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.rc	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
plydiv.m1	⊢ (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
plydiv.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.z	⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0𝑝)
plydiv.r	⊢ 𝑅 = (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))
plydiv.0	⊢ (𝜑 → (𝐹 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 0))

Assertion

Ref	Expression
plydivlem3	⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑞,𝐹   𝜑,𝑥,𝑦   𝐺,𝑞,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑆,𝑞,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑞)   𝑅(𝑞)

Proof of Theorem plydivlem3

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plydiv.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
2		plybss 25677	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
3		ply0 25691	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ ℂ → 0𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))
4	1, 2, 3	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 0𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))
5		plydiv.0	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 0))
6		cnex 11178	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ V)
8		plyf 25681	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
9		ffn 6707	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:ℂ⟶ℂ → 𝐹 Fn ℂ)
10	1, 8, 9	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn ℂ)
11		plydiv.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
12		plyf 25681	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
13		ffn 6707	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺:ℂ⟶ℂ → 𝐺 Fn ℂ)
14	11, 12, 13	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn ℂ)
15		plyf 25681	. . . . . . . 8 ⊢ (0𝑝 ∈ (Poly‘𝑆) → 0𝑝:ℂ⟶ℂ)
16		ffn 6707	. . . . . . . 8 ⊢ (0𝑝:ℂ⟶ℂ → 0𝑝 Fn ℂ)
17	4, 15, 16	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0𝑝 Fn ℂ)
18		inidm 4216	. . . . . . 7 ⊢ (ℂ ∩ ℂ) = ℂ
19	14, 17, 7, 7, 18	offn 7670	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f · 0𝑝) Fn ℂ)
20		eqidd 2734	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
21		eqidd 2734	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))
22		0pval 25157	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (0𝑝‘𝑧) = 0)
23	22	adantl 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (0𝑝‘𝑧) = 0)
24	14, 17, 7, 7, 18, 21, 23	ofval 7668	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐺 ∘f · 0𝑝)‘𝑧) = ((𝐺‘𝑧) · 0))
25	11, 12	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
26	25	ffvelcdmda 7074	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ)
27	26	mul01d 11400	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐺‘𝑧) · 0) = 0)
28	24, 27	eqtrd 2773	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐺 ∘f · 0𝑝)‘𝑧) = 0)
29	1, 8	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
30	29	ffvelcdmda 7074	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
31	30	subid1d 11547	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐹‘𝑧) − 0) = (𝐹‘𝑧))
32	7, 10, 19, 10, 20, 28, 31	offveq 7681	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 0𝑝)) = 𝐹)
33	32	eqeq1d 2735	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 0𝑝)) = 0𝑝 ↔ 𝐹 = 0𝑝))
34	32	fveq2d 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 0𝑝))) = (deg‘𝐹))
35		dgrcl 25716	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐺) ∈ ℕ0)
36	11, 35	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐺) ∈ ℕ0)
37	36	nn0red 12520	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐺) ∈ ℝ)
38	37	recnd 11229	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐺) ∈ ℂ)
39	38	addlidd 11402	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 + (deg‘𝐺)) = (deg‘𝐺))
40	39	eqcomd 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐺) = (0 + (deg‘𝐺)))
41	34, 40	breq12d 5157	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 0𝑝))) < (deg‘𝐺) ↔ (deg‘𝐹) < (0 + (deg‘𝐺))))
42		dgrcl 25716	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
43	1, 42	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
44	43	nn0red 12520	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℝ)
45		0red 11204	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
46	44, 37, 45	ltsubaddd 11797	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 0 ↔ (deg‘𝐹) < (0 + (deg‘𝐺))))
47	41, 46	bitr4d 282	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 0𝑝))) < (deg‘𝐺) ↔ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 0))
48	33, 47	orbi12d 918	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 0𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 0𝑝))) < (deg‘𝐺)) ↔ (𝐹 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 0)))
49	5, 48	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 0𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 0𝑝))) < (deg‘𝐺)))
50		plydiv.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))
51		oveq2 7404	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 0𝑝 → (𝐺 ∘f · 𝑞) = (𝐺 ∘f · 0𝑝))
52	51	oveq2d 7412	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 0𝑝 → (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 0𝑝)))
53	50, 52	eqtrid 2785	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 0𝑝 → 𝑅 = (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 0𝑝)))
54	53	eqeq1d 2735	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 0𝑝 → (𝑅 = 0𝑝 ↔ (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 0𝑝)) = 0𝑝))
55	53	fveq2d 6885	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 0𝑝 → (deg‘𝑅) = (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 0𝑝))))
56	55	breq1d 5154	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 0𝑝 → ((deg‘𝑅) < (deg‘𝐺) ↔ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 0𝑝))) < (deg‘𝐺)))
57	54, 56	orbi12d 918	. . 3 ⊢ (𝑞 = 0𝑝 → ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ↔ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 0𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 0𝑝))) < (deg‘𝐺))))
58	57	rspcev 3611	. 2 ⊢ ((0𝑝 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 0𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 0𝑝))) < (deg‘𝐺))) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))
59	4, 49, 58	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ∃wrex 3071  Vcvv 3475   ⊆ wss 3946   class class class wbr 5144   Fn wfn 6530  ⟶wf 6531  ‘cfv 6535  (class class class)co 7396   ∘_f cof 7655  ℂcc 11095  0cc0 11097  1c1 11098   + caddc 11100   · cmul 11102   < clt 11235   − cmin 11431  -cneg 11432   / cdiv 11858  ℕ₀cn0 12459  0_𝑝c0p 25155  Polycply 25667  degcdgr 25670

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-inf2 9623  ax-cnex 11153  ax-resscn 11154  ax-1cn 11155  ax-icn 11156  ax-addcl 11157  ax-addrcl 11158  ax-mulcl 11159  ax-mulrcl 11160  ax-mulcom 11161  ax-addass 11162  ax-mulass 11163  ax-distr 11164  ax-i2m1 11165  ax-1ne0 11166  ax-1rid 11167  ax-rnegex 11168  ax-rrecex 11169  ax-cnre 11170  ax-pre-lttri 11171  ax-pre-lttrn 11172  ax-pre-ltadd 11173  ax-pre-mulgt0 11174  ax-pre-sup 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4905  df-int 4947  df-iun 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6292  df-ord 6359  df-on 6360  df-lim 6361  df-suc 6362  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-isom 6544  df-riota 7352  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7657  df-om 7843  df-1st 7962  df-2nd 7963  df-frecs 8253  df-wrecs 8284  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8691  df-map 8810  df-pm 8811  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-sup 9424  df-inf 9425  df-oi 9492  df-card 9921  df-pnf 11237  df-mnf 11238  df-xr 11239  df-ltxr 11240  df-le 11241  df-sub 11433  df-neg 11434  df-div 11859  df-nn 12200  df-2 12262  df-3 12263  df-n0 12460  df-z 12546  df-uz 12810  df-rp 12962  df-fz 13472  df-fzo 13615  df-fl 13744  df-seq 13954  df-exp 14015  df-hash 14278  df-cj 15033  df-re 15034  df-im 15035  df-sqrt 15169  df-abs 15170  df-clim 15419  df-rlim 15420  df-sum 15620  df-0p 25156  df-ply 25671  df-coe 25673  df-dgr 25674

This theorem is referenced by:  plydivex  25779