MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plydivlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem plydivlem3 24390
Description: Lemma for plydivex 24392. Base case of induction. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plydiv.pl ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.tm ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.rc ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
plydiv.m1 (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
plydiv.f (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.g (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.z (𝜑𝐺 ≠ 0𝑝)
plydiv.r 𝑅 = (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))
plydiv.0 (𝜑 → (𝐹 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 0))
Assertion
Ref Expression
plydivlem3 (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑞,𝐹   𝜑,𝑥,𝑦   𝐺,𝑞,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑆,𝑞,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑞)   𝑅(𝑞)

Proof of Theorem plydivlem3
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plydiv.f . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
2 plybss 24290 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
3 ply0 24304 . . 3 (𝑆 ⊆ ℂ → 0𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))
41, 2, 33syl 18 . 2 (𝜑 → 0𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))
5 plydiv.0 . . 3 (𝜑 → (𝐹 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 0))
6 cnex 10306 . . . . . . 7 ℂ ∈ V
76a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℂ ∈ V)
8 plyf 24294 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
9 ffn 6257 . . . . . . 7 (𝐹:ℂ⟶ℂ → 𝐹 Fn ℂ)
101, 8, 93syl 18 . . . . . 6 (𝜑𝐹 Fn ℂ)
11 plydiv.g . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
12 plyf 24294 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
13 ffn 6257 . . . . . . . 8 (𝐺:ℂ⟶ℂ → 𝐺 Fn ℂ)
1411, 12, 133syl 18 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 Fn ℂ)
15 plyf 24294 . . . . . . . 8 (0𝑝 ∈ (Poly‘𝑆) → 0𝑝:ℂ⟶ℂ)
16 ffn 6257 . . . . . . . 8 (0𝑝:ℂ⟶ℂ → 0𝑝 Fn ℂ)
174, 15, 163syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → 0𝑝 Fn ℂ)
18 inidm 4019 . . . . . . 7 (ℂ ∩ ℂ) = ℂ
1914, 17, 7, 7, 18offn 7143 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺𝑓 · 0𝑝) Fn ℂ)
20 eqidd 2801 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑧))
21 eqidd 2801 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (𝐺𝑧) = (𝐺𝑧))
22 0pval 23778 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℂ → (0𝑝𝑧) = 0)
2322adantl 474 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (0𝑝𝑧) = 0)
2414, 17, 7, 7, 18, 21, 23ofval 7141 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐺𝑓 · 0𝑝)‘𝑧) = ((𝐺𝑧) · 0))
2511, 12syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺:ℂ⟶ℂ)
2625ffvelrnda 6586 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
2726mul01d 10526 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐺𝑧) · 0) = 0)
2824, 27eqtrd 2834 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐺𝑓 · 0𝑝)‘𝑧) = 0)
291, 8syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:ℂ⟶ℂ)
3029ffvelrnda 6586 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
3130subid1d 10674 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐹𝑧) − 0) = (𝐹𝑧))
327, 10, 19, 10, 20, 28, 31offveq 7153 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 0𝑝)) = 𝐹)
3332eqeq1d 2802 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 0𝑝)) = 0𝑝𝐹 = 0𝑝))
3432fveq2d 6416 . . . . . 6 (𝜑 → (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 0𝑝))) = (deg‘𝐹))
35 dgrcl 24329 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐺) ∈ ℕ0)
3611, 35syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (deg‘𝐺) ∈ ℕ0)
3736nn0red 11640 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (deg‘𝐺) ∈ ℝ)
3837recnd 10358 . . . . . . . 8 (𝜑 → (deg‘𝐺) ∈ ℂ)
3938addid2d 10528 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 + (deg‘𝐺)) = (deg‘𝐺))
4039eqcomd 2806 . . . . . 6 (𝜑 → (deg‘𝐺) = (0 + (deg‘𝐺)))
4134, 40breq12d 4857 . . . . 5 (𝜑 → ((deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 0𝑝))) < (deg‘𝐺) ↔ (deg‘𝐹) < (0 + (deg‘𝐺))))
42 dgrcl 24329 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
431, 42syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
4443nn0red 11640 . . . . . 6 (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℝ)
45 0red 10333 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
4644, 37, 45ltsubaddd 10916 . . . . 5 (𝜑 → (((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 0 ↔ (deg‘𝐹) < (0 + (deg‘𝐺))))
4741, 46bitr4d 274 . . . 4 (𝜑 → ((deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 0𝑝))) < (deg‘𝐺) ↔ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 0))
4833, 47orbi12d 943 . . 3 (𝜑 → (((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 0𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 0𝑝))) < (deg‘𝐺)) ↔ (𝐹 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 0)))
495, 48mpbird 249 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 0𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 0𝑝))) < (deg‘𝐺)))
50 plydiv.r . . . . . 6 𝑅 = (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))
51 oveq2 6887 . . . . . . 7 (𝑞 = 0𝑝 → (𝐺𝑓 · 𝑞) = (𝐺𝑓 · 0𝑝))
5251oveq2d 6895 . . . . . 6 (𝑞 = 0𝑝 → (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 0𝑝)))
5350, 52syl5eq 2846 . . . . 5 (𝑞 = 0𝑝𝑅 = (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 0𝑝)))
5453eqeq1d 2802 . . . 4 (𝑞 = 0𝑝 → (𝑅 = 0𝑝 ↔ (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 0𝑝)) = 0𝑝))
5553fveq2d 6416 . . . . 5 (𝑞 = 0𝑝 → (deg‘𝑅) = (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 0𝑝))))
5655breq1d 4854 . . . 4 (𝑞 = 0𝑝 → ((deg‘𝑅) < (deg‘𝐺) ↔ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 0𝑝))) < (deg‘𝐺)))
5754, 56orbi12d 943 . . 3 (𝑞 = 0𝑝 → ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ↔ ((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 0𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 0𝑝))) < (deg‘𝐺))))
5857rspcev 3498 . 2 ((0𝑝 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ ((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 0𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 0𝑝))) < (deg‘𝐺))) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))
594, 49, 58syl2anc 580 1 (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385  wo 874   = wceq 1653  wcel 2157  wne 2972  wrex 3091  Vcvv 3386  wss 3770   class class class wbr 4844   Fn wfn 6097  wf 6098  cfv 6102  (class class class)co 6879  𝑓 cof 7130  cc 10223  0cc0 10225  1c1 10226   + caddc 10228   · cmul 10230   < clt 10364  cmin 10557  -cneg 10558   / cdiv 10977  0cn0 11579  0𝑝c0p 23776  Polycply 24280  degcdgr 24283
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-rep 4965  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184  ax-inf2 8789  ax-cnex 10281  ax-resscn 10282  ax-1cn 10283  ax-icn 10284  ax-addcl 10285  ax-addrcl 10286  ax-mulcl 10287  ax-mulrcl 10288  ax-mulcom 10289  ax-addass 10290  ax-mulass 10291  ax-distr 10292  ax-i2m1 10293  ax-1ne0 10294  ax-1rid 10295  ax-rnegex 10296  ax-rrecex 10297  ax-cnre 10298  ax-pre-lttri 10299  ax-pre-lttrn 10300  ax-pre-ltadd 10301  ax-pre-mulgt0 10302  ax-pre-sup 10303  ax-addf 10304
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-csb 3730  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-pss 3786  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-tp 4374  df-op 4376  df-uni 4630  df-int 4669  df-iun 4713  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5221  df-eprel 5226  df-po 5234  df-so 5235  df-fr 5272  df-se 5273  df-we 5274  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-res 5325  df-ima 5326  df-pred 5899  df-ord 5945  df-on 5946  df-lim 5947  df-suc 5948  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109  df-fv 6110  df-isom 6111  df-riota 6840  df-ov 6882  df-oprab 6883  df-mpt2 6884  df-of 7132  df-om 7301  df-1st 7402  df-2nd 7403  df-wrecs 7646  df-recs 7708  df-rdg 7746  df-1o 7800  df-oadd 7804  df-er 7983  df-map 8098  df-pm 8099  df-en 8197  df-dom 8198  df-sdom 8199  df-fin 8200  df-sup 8591  df-inf 8592  df-oi 8658  df-card 9052  df-pnf 10366  df-mnf 10367  df-xr 10368  df-ltxr 10369  df-le 10370  df-sub 10559  df-neg 10560  df-div 10978  df-nn 11314  df-2 11375  df-3 11376  df-n0 11580  df-z 11666  df-uz 11930  df-rp 12074  df-fz 12580  df-fzo 12720  df-fl 12847  df-seq 13055  df-exp 13114  df-hash 13370  df-cj 14179  df-re 14180  df-im 14181  df-sqrt 14315  df-abs 14316  df-clim 14559  df-rlim 14560  df-sum 14757  df-0p 23777  df-ply 24284  df-coe 24286  df-dgr 24287
This theorem is referenced by:  plydivex  24392
  Copyright terms: Public domain W3C validator