Theorem plydivlem3 26631

Description: Lemma for plydivex 26633. Base case of induction. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
plydiv.pl	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.tm	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.rc	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
plydiv.m1	⊢ (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
plydiv.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.z	⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0𝑝)
plydiv.r	⊢ 𝑅 = (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))
plydiv.0	⊢ (𝜑 → (𝐹 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 0))

Assertion

Ref	Expression
plydivlem3	⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑞,𝐹   𝜑,𝑥,𝑦   𝐺,𝑞,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑆,𝑞,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑞)   𝑅(𝑞)

Proof of Theorem plydivlem3

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plydiv.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
2		plybss 26527	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
3		ply0 26541	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ ℂ → 0𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))
4	1, 2, 3	3syl 19	. 2 ⊢ (𝜑 → 0𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))
5		plydiv.0	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 0))
6		cnex 11294	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ V)
8		plyf 26531	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
9		ffn 6720	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:ℂ⟶ℂ → 𝐹 Fn ℂ)
10	1, 8, 9	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn ℂ)
11		plydiv.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
12		plyf 26531	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
13		ffn 6720	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺:ℂ⟶ℂ → 𝐺 Fn ℂ)
14	11, 12, 13	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn ℂ)
15		plyf 26531	. . . . . . . 8 ⊢ (0𝑝 ∈ (Poly‘𝑆) → 0𝑝:ℂ⟶ℂ)
16		ffn 6720	. . . . . . . 8 ⊢ (0𝑝:ℂ⟶ℂ → 0𝑝 Fn ℂ)
17	4, 15, 16	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0𝑝 Fn ℂ)
18		inidm 4126	. . . . . . 7 ⊢ (ℂ ∩ ℂ) = ℂ
19	14, 17, 7, 7, 18	offn 7716	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f · 0𝑝) Fn ℂ)
20		eqidd 2764	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
21		eqidd 2764	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))
22		0pval 26007	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (0𝑝‘𝑧) = 0)
23	22	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (0𝑝‘𝑧) = 0)
24	14, 17, 7, 7, 18, 21, 23	ofval 7714	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐺 ∘f · 0𝑝)‘𝑧) = ((𝐺‘𝑧) · 0))
25	11, 12	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
26	25	ffvelcdmda 7095	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ)
27	26	mul01d 11522	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐺‘𝑧) · 0) = 0)
28	24, 27	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐺 ∘f · 0𝑝)‘𝑧) = 0)
29	1, 8	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
30	29	ffvelcdmda 7095	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
31	30	subid1d 11671	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐹‘𝑧) − 0) = (𝐹‘𝑧))
32	7, 10, 19, 10, 20, 28, 31	offveq 7729	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 0𝑝)) = 𝐹)
33	32	eqeq1d 2765	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 0𝑝)) = 0𝑝 ↔ 𝐹 = 0𝑝))
34	32	fveq2d 6900	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 0𝑝))) = (deg‘𝐹))
35		dgrcl 26567	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐺) ∈ ℕ0)
36	11, 35	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐺) ∈ ℕ0)
37	36	nn0red 12681	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐺) ∈ ℝ)
38	37	recnd 11350	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐺) ∈ ℂ)
39	38	addlidd 11524	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 + (deg‘𝐺)) = (deg‘𝐺))
40	39	eqcomd 2769	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐺) = (0 + (deg‘𝐺)))
41	34, 40	breq12d 5119	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 0𝑝))) < (deg‘𝐺) ↔ (deg‘𝐹) < (0 + (deg‘𝐺))))
42		dgrcl 26567	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
43	1, 42	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
44	43	nn0red 12681	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℝ)
45		0red 11324	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
46	44, 37, 45	ltsubaddd 11925	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 0 ↔ (deg‘𝐹) < (0 + (deg‘𝐺))))
47	41, 46	bitr4d 285	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 0𝑝))) < (deg‘𝐺) ↔ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 0))
48	33, 47	orbi12d 932	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 0𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 0𝑝))) < (deg‘𝐺)) ↔ (𝐹 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 0)))
49	5, 48	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 0𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 0𝑝))) < (deg‘𝐺)))
50		plydiv.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))
51		oveq2 7438	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 0𝑝 → (𝐺 ∘f · 𝑞) = (𝐺 ∘f · 0𝑝))
52	51	oveq2d 7446	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 0𝑝 → (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 0𝑝)))
53	50, 52	eqtrid 2810	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 0𝑝 → 𝑅 = (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 0𝑝)))
54	53	eqeq1d 2765	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 0𝑝 → (𝑅 = 0𝑝 ↔ (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 0𝑝)) = 0𝑝))
55	53	fveq2d 6900	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 0𝑝 → (deg‘𝑅) = (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 0𝑝))))
56	55	breq1d 5116	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 0𝑝 → ((deg‘𝑅) < (deg‘𝐺) ↔ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 0𝑝))) < (deg‘𝐺)))
57	54, 56	orbi12d 932	. . 3 ⊢ (𝑞 = 0𝑝 → ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ↔ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 0𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 0𝑝))) < (deg‘𝐺))))
58	57	rspcev 3580	. 2 ⊢ ((0𝑝 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 0𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 0𝑝))) < (deg‘𝐺))) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))
59	4, 49, 58	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2959  ∃wrex 3090  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5106   Fn wfn 6542  ⟶wf 6543  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430   ∘_f cof 7701  ℂcc 11211  0cc0 11213  1c1 11214   + caddc 11216   · cmul 11218   < clt 11356   − cmin 11554   -cneg 11555   / cdiv 11986  ℕ₀cn0 12619  0_𝑝c0p 26005  Polycply 26517  degcdgr 26520

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-inf2 9655  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290  ax-pre-sup 11291

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-isom 6556  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7703  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-er 8731  df-map 8863  df-pm 8864  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-sup 9447  df-inf 9448  df-oi 9517  df-card 10033  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-div 11987  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-n0 12620  df-z 12707  df-uz 12979  df-rp 13134  df-fz 13653  df-fzo 13802  df-fl 13945  df-seq 14158  df-exp 14218  df-hash 14488  df-cj 15281  df-re 15282  df-im 15283  df-sqrt 15417  df-abs 15418  df-clim 15670  df-rlim 15671  df-sum 15869  df-0p 26006  df-ply 26521  df-coe 26523  df-dgr 26524

This theorem is used by:  plydivex  26633