MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plydivlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem plydivlem3 26352
Description: Lemma for plydivex 26354. Base case of induction. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plydiv.pl ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.tm ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.rc ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
plydiv.m1 (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
plydiv.f (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.g (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.z (𝜑𝐺 ≠ 0𝑝)
plydiv.r 𝑅 = (𝐹f − (𝐺f · 𝑞))
plydiv.0 (𝜑 → (𝐹 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 0))
Assertion
Ref Expression
plydivlem3 (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑞,𝐹   𝜑,𝑥,𝑦   𝐺,𝑞,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑆,𝑞,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑞)   𝑅(𝑞)

Proof of Theorem plydivlem3
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plydiv.f . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
2 plybss 26248 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
3 ply0 26262 . . 3 (𝑆 ⊆ ℂ → 0𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))
41, 2, 33syl 18 . 2 (𝜑 → 0𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))
5 plydiv.0 . . 3 (𝜑 → (𝐹 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 0))
6 cnex 11234 . . . . . . 7 ℂ ∈ V
76a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℂ ∈ V)
8 plyf 26252 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
9 ffn 6737 . . . . . . 7 (𝐹:ℂ⟶ℂ → 𝐹 Fn ℂ)
101, 8, 93syl 18 . . . . . 6 (𝜑𝐹 Fn ℂ)
11 plydiv.g . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
12 plyf 26252 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
13 ffn 6737 . . . . . . . 8 (𝐺:ℂ⟶ℂ → 𝐺 Fn ℂ)
1411, 12, 133syl 18 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 Fn ℂ)
15 plyf 26252 . . . . . . . 8 (0𝑝 ∈ (Poly‘𝑆) → 0𝑝:ℂ⟶ℂ)
16 ffn 6737 . . . . . . . 8 (0𝑝:ℂ⟶ℂ → 0𝑝 Fn ℂ)
174, 15, 163syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → 0𝑝 Fn ℂ)
18 inidm 4235 . . . . . . 7 (ℂ ∩ ℂ) = ℂ
1914, 17, 7, 7, 18offn 7710 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺f · 0𝑝) Fn ℂ)
20 eqidd 2736 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑧))
21 eqidd 2736 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (𝐺𝑧) = (𝐺𝑧))
22 0pval 25720 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℂ → (0𝑝𝑧) = 0)
2322adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (0𝑝𝑧) = 0)
2414, 17, 7, 7, 18, 21, 23ofval 7708 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐺f · 0𝑝)‘𝑧) = ((𝐺𝑧) · 0))
2511, 12syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺:ℂ⟶ℂ)
2625ffvelcdmda 7104 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
2726mul01d 11458 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐺𝑧) · 0) = 0)
2824, 27eqtrd 2775 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐺f · 0𝑝)‘𝑧) = 0)
291, 8syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:ℂ⟶ℂ)
3029ffvelcdmda 7104 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
3130subid1d 11607 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐹𝑧) − 0) = (𝐹𝑧))
327, 10, 19, 10, 20, 28, 31offveq 7723 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹f − (𝐺f · 0𝑝)) = 𝐹)
3332eqeq1d 2737 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹f − (𝐺f · 0𝑝)) = 0𝑝𝐹 = 0𝑝))
3432fveq2d 6911 . . . . . 6 (𝜑 → (deg‘(𝐹f − (𝐺f · 0𝑝))) = (deg‘𝐹))
35 dgrcl 26287 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐺) ∈ ℕ0)
3611, 35syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (deg‘𝐺) ∈ ℕ0)
3736nn0red 12586 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (deg‘𝐺) ∈ ℝ)
3837recnd 11287 . . . . . . . 8 (𝜑 → (deg‘𝐺) ∈ ℂ)
3938addlidd 11460 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 + (deg‘𝐺)) = (deg‘𝐺))
4039eqcomd 2741 . . . . . 6 (𝜑 → (deg‘𝐺) = (0 + (deg‘𝐺)))
4134, 40breq12d 5161 . . . . 5 (𝜑 → ((deg‘(𝐹f − (𝐺f · 0𝑝))) < (deg‘𝐺) ↔ (deg‘𝐹) < (0 + (deg‘𝐺))))
42 dgrcl 26287 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
431, 42syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
4443nn0red 12586 . . . . . 6 (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℝ)
45 0red 11262 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
4644, 37, 45ltsubaddd 11857 . . . . 5 (𝜑 → (((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 0 ↔ (deg‘𝐹) < (0 + (deg‘𝐺))))
4741, 46bitr4d 282 . . . 4 (𝜑 → ((deg‘(𝐹f − (𝐺f · 0𝑝))) < (deg‘𝐺) ↔ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 0))
4833, 47orbi12d 918 . . 3 (𝜑 → (((𝐹f − (𝐺f · 0𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝐺f · 0𝑝))) < (deg‘𝐺)) ↔ (𝐹 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 0)))
495, 48mpbird 257 . 2 (𝜑 → ((𝐹f − (𝐺f · 0𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝐺f · 0𝑝))) < (deg‘𝐺)))
50 plydiv.r . . . . . 6 𝑅 = (𝐹f − (𝐺f · 𝑞))
51 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑞 = 0𝑝 → (𝐺f · 𝑞) = (𝐺f · 0𝑝))
5251oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝑞 = 0𝑝 → (𝐹f − (𝐺f · 𝑞)) = (𝐹f − (𝐺f · 0𝑝)))
5350, 52eqtrid 2787 . . . . 5 (𝑞 = 0𝑝𝑅 = (𝐹f − (𝐺f · 0𝑝)))
5453eqeq1d 2737 . . . 4 (𝑞 = 0𝑝 → (𝑅 = 0𝑝 ↔ (𝐹f − (𝐺f · 0𝑝)) = 0𝑝))
5553fveq2d 6911 . . . . 5 (𝑞 = 0𝑝 → (deg‘𝑅) = (deg‘(𝐹f − (𝐺f · 0𝑝))))
5655breq1d 5158 . . . 4 (𝑞 = 0𝑝 → ((deg‘𝑅) < (deg‘𝐺) ↔ (deg‘(𝐹f − (𝐺f · 0𝑝))) < (deg‘𝐺)))
5754, 56orbi12d 918 . . 3 (𝑞 = 0𝑝 → ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ↔ ((𝐹f − (𝐺f · 0𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝐺f · 0𝑝))) < (deg‘𝐺))))
5857rspcev 3622 . 2 ((0𝑝 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ ((𝐹f − (𝐺f · 0𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝐺f · 0𝑝))) < (deg‘𝐺))) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))
594, 49, 58syl2anc 584 1 (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 847   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wrex 3068  Vcvv 3478  wss 3963   class class class wbr 5148   Fn wfn 6558  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  f cof 7695  cc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293  cmin 11490  -cneg 11491   / cdiv 11918  0cn0 12524  0𝑝c0p 25718  Polycply 26238  degcdgr 26241
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-0p 25719  df-ply 26242  df-coe 26244  df-dgr 26245
This theorem is referenced by:  plydivex  26354
  Copyright terms: Public domain W3C validator