Theorem plydivlem3 25360

Description: Lemma for plydivex 25362. Base case of induction. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
plydiv.pl	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.tm	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.rc	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
plydiv.m1	⊢ (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
plydiv.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.z	⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0𝑝)
plydiv.r	⊢ 𝑅 = (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))
plydiv.0	⊢ (𝜑 → (𝐹 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 0))

Assertion

Ref	Expression
plydivlem3	⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑞,𝐹   𝜑,𝑥,𝑦   𝐺,𝑞,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑆,𝑞,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑞)   𝑅(𝑞)

Proof of Theorem plydivlem3

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plydiv.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
2		plybss 25260	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
3		ply0 25274	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ ℂ → 0𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))
4	1, 2, 3	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 0𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))
5		plydiv.0	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 0))
6		cnex 10883	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ V)
8		plyf 25264	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
9		ffn 6584	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:ℂ⟶ℂ → 𝐹 Fn ℂ)
10	1, 8, 9	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn ℂ)
11		plydiv.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
12		plyf 25264	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
13		ffn 6584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺:ℂ⟶ℂ → 𝐺 Fn ℂ)
14	11, 12, 13	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn ℂ)
15		plyf 25264	. . . . . . . 8 ⊢ (0𝑝 ∈ (Poly‘𝑆) → 0𝑝:ℂ⟶ℂ)
16		ffn 6584	. . . . . . . 8 ⊢ (0𝑝:ℂ⟶ℂ → 0𝑝 Fn ℂ)
17	4, 15, 16	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0𝑝 Fn ℂ)
18		inidm 4149	. . . . . . 7 ⊢ (ℂ ∩ ℂ) = ℂ
19	14, 17, 7, 7, 18	offn 7524	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f · 0𝑝) Fn ℂ)
20		eqidd 2739	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
21		eqidd 2739	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))
22		0pval 24740	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (0𝑝‘𝑧) = 0)
23	22	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (0𝑝‘𝑧) = 0)
24	14, 17, 7, 7, 18, 21, 23	ofval 7522	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐺 ∘f · 0𝑝)‘𝑧) = ((𝐺‘𝑧) · 0))
25	11, 12	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
26	25	ffvelrnda 6943	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ)
27	26	mul01d 11104	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐺‘𝑧) · 0) = 0)
28	24, 27	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐺 ∘f · 0𝑝)‘𝑧) = 0)
29	1, 8	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
30	29	ffvelrnda 6943	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
31	30	subid1d 11251	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐹‘𝑧) − 0) = (𝐹‘𝑧))
32	7, 10, 19, 10, 20, 28, 31	offveq 7535	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 0𝑝)) = 𝐹)
33	32	eqeq1d 2740	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 0𝑝)) = 0𝑝 ↔ 𝐹 = 0𝑝))
34	32	fveq2d 6760	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 0𝑝))) = (deg‘𝐹))
35		dgrcl 25299	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐺) ∈ ℕ0)
36	11, 35	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐺) ∈ ℕ0)
37	36	nn0red 12224	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐺) ∈ ℝ)
38	37	recnd 10934	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐺) ∈ ℂ)
39	38	addid2d 11106	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 + (deg‘𝐺)) = (deg‘𝐺))
40	39	eqcomd 2744	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐺) = (0 + (deg‘𝐺)))
41	34, 40	breq12d 5083	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 0𝑝))) < (deg‘𝐺) ↔ (deg‘𝐹) < (0 + (deg‘𝐺))))
42		dgrcl 25299	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
43	1, 42	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
44	43	nn0red 12224	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℝ)
45		0red 10909	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
46	44, 37, 45	ltsubaddd 11501	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 0 ↔ (deg‘𝐹) < (0 + (deg‘𝐺))))
47	41, 46	bitr4d 281	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 0𝑝))) < (deg‘𝐺) ↔ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 0))
48	33, 47	orbi12d 915	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 0𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 0𝑝))) < (deg‘𝐺)) ↔ (𝐹 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 0)))
49	5, 48	mpbird 256	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 0𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 0𝑝))) < (deg‘𝐺)))
50		plydiv.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))
51		oveq2 7263	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 0𝑝 → (𝐺 ∘f · 𝑞) = (𝐺 ∘f · 0𝑝))
52	51	oveq2d 7271	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 0𝑝 → (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 0𝑝)))
53	50, 52	syl5eq 2791	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 0𝑝 → 𝑅 = (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 0𝑝)))
54	53	eqeq1d 2740	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 0𝑝 → (𝑅 = 0𝑝 ↔ (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 0𝑝)) = 0𝑝))
55	53	fveq2d 6760	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 0𝑝 → (deg‘𝑅) = (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 0𝑝))))
56	55	breq1d 5080	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 0𝑝 → ((deg‘𝑅) < (deg‘𝐺) ↔ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 0𝑝))) < (deg‘𝐺)))
57	54, 56	orbi12d 915	. . 3 ⊢ (𝑞 = 0𝑝 → ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ↔ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 0𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 0𝑝))) < (deg‘𝐺))))
58	57	rspcev 3552	. 2 ⊢ ((0𝑝 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 0𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 0𝑝))) < (deg‘𝐺))) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))
59	4, 49, 58	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∃wrex 3064  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5070   Fn wfn 6413  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ∘_f cof 7509  ℂcc 10800  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807   < clt 10940   − cmin 11135  -cneg 11136   / cdiv 11562  ℕ₀cn0 12163  0_𝑝c0p 24738  Polycply 25250  degcdgr 25253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-rlim 15126  df-sum 15326  df-0p 24739  df-ply 25254  df-coe 25256  df-dgr 25257

This theorem is referenced by:  plydivex  25362