Theorem plydivlem3 26044

Description: Lemma for plydivex 26046. Base case of induction. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
plydiv.pl	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.tm	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.rc	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
plydiv.m1	⊢ (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
plydiv.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.z	⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0𝑝)
plydiv.r	⊢ 𝑅 = (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))
plydiv.0	⊢ (𝜑 → (𝐹 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 0))

Assertion

Ref	Expression
plydivlem3	⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑞,𝐹   𝜑,𝑥,𝑦   𝐺,𝑞,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑆,𝑞,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑞)   𝑅(𝑞)

Proof of Theorem plydivlem3

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plydiv.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
2		plybss 25943	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
3		ply0 25957	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ ℂ → 0𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))
4	1, 2, 3	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 0𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))
5		plydiv.0	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 0))
6		cnex 11193	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ V)
8		plyf 25947	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
9		ffn 6716	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:ℂ⟶ℂ → 𝐹 Fn ℂ)
10	1, 8, 9	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn ℂ)
11		plydiv.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
12		plyf 25947	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
13		ffn 6716	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺:ℂ⟶ℂ → 𝐺 Fn ℂ)
14	11, 12, 13	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn ℂ)
15		plyf 25947	. . . . . . . 8 ⊢ (0𝑝 ∈ (Poly‘𝑆) → 0𝑝:ℂ⟶ℂ)
16		ffn 6716	. . . . . . . 8 ⊢ (0𝑝:ℂ⟶ℂ → 0𝑝 Fn ℂ)
17	4, 15, 16	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0𝑝 Fn ℂ)
18		inidm 4217	. . . . . . 7 ⊢ (ℂ ∩ ℂ) = ℂ
19	14, 17, 7, 7, 18	offn 7685	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f · 0𝑝) Fn ℂ)
20		eqidd 2731	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
21		eqidd 2731	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))
22		0pval 25420	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (0𝑝‘𝑧) = 0)
23	22	adantl 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (0𝑝‘𝑧) = 0)
24	14, 17, 7, 7, 18, 21, 23	ofval 7683	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐺 ∘f · 0𝑝)‘𝑧) = ((𝐺‘𝑧) · 0))
25	11, 12	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
26	25	ffvelcdmda 7085	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ)
27	26	mul01d 11417	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐺‘𝑧) · 0) = 0)
28	24, 27	eqtrd 2770	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐺 ∘f · 0𝑝)‘𝑧) = 0)
29	1, 8	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
30	29	ffvelcdmda 7085	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
31	30	subid1d 11564	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐹‘𝑧) − 0) = (𝐹‘𝑧))
32	7, 10, 19, 10, 20, 28, 31	offveq 7696	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 0𝑝)) = 𝐹)
33	32	eqeq1d 2732	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 0𝑝)) = 0𝑝 ↔ 𝐹 = 0𝑝))
34	32	fveq2d 6894	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 0𝑝))) = (deg‘𝐹))
35		dgrcl 25982	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐺) ∈ ℕ0)
36	11, 35	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐺) ∈ ℕ0)
37	36	nn0red 12537	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐺) ∈ ℝ)
38	37	recnd 11246	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐺) ∈ ℂ)
39	38	addlidd 11419	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 + (deg‘𝐺)) = (deg‘𝐺))
40	39	eqcomd 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐺) = (0 + (deg‘𝐺)))
41	34, 40	breq12d 5160	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 0𝑝))) < (deg‘𝐺) ↔ (deg‘𝐹) < (0 + (deg‘𝐺))))
42		dgrcl 25982	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
43	1, 42	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
44	43	nn0red 12537	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℝ)
45		0red 11221	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
46	44, 37, 45	ltsubaddd 11814	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 0 ↔ (deg‘𝐹) < (0 + (deg‘𝐺))))
47	41, 46	bitr4d 281	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 0𝑝))) < (deg‘𝐺) ↔ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 0))
48	33, 47	orbi12d 915	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 0𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 0𝑝))) < (deg‘𝐺)) ↔ (𝐹 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 0)))
49	5, 48	mpbird 256	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 0𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 0𝑝))) < (deg‘𝐺)))
50		plydiv.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))
51		oveq2 7419	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 0𝑝 → (𝐺 ∘f · 𝑞) = (𝐺 ∘f · 0𝑝))
52	51	oveq2d 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 0𝑝 → (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 0𝑝)))
53	50, 52	eqtrid 2782	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 0𝑝 → 𝑅 = (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 0𝑝)))
54	53	eqeq1d 2732	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 0𝑝 → (𝑅 = 0𝑝 ↔ (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 0𝑝)) = 0𝑝))
55	53	fveq2d 6894	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 0𝑝 → (deg‘𝑅) = (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 0𝑝))))
56	55	breq1d 5157	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 0𝑝 → ((deg‘𝑅) < (deg‘𝐺) ↔ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 0𝑝))) < (deg‘𝐺)))
57	54, 56	orbi12d 915	. . 3 ⊢ (𝑞 = 0𝑝 → ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ↔ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 0𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 0𝑝))) < (deg‘𝐺))))
58	57	rspcev 3611	. 2 ⊢ ((0𝑝 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 0𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 0𝑝))) < (deg‘𝐺))) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))
59	4, 49, 58	syl2anc 582	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2938  ∃wrex 3068  Vcvv 3472   ⊆ wss 3947   class class class wbr 5147   Fn wfn 6537  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411   ∘_f cof 7670  ℂcc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   · cmul 11117   < clt 11252   − cmin 11448  -cneg 11449   / cdiv 11875  ℕ₀cn0 12476  0_𝑝c0p 25418  Polycply 25933  degcdgr 25936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-0p 25419  df-ply 25937  df-coe 25939  df-dgr 25940

This theorem is referenced by:  plydivex  26046