Theorem coeidlem 26431

Description: Lemma for coeid 26432. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dgrub.1	⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
dgrub.2	⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
coeid.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
coeid.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
coeid.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0))
coeid.6	⊢ (𝜑 → (𝐵 “ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) = {0})
coeid.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐵‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))

Assertion

Ref	Expression
coeidlem	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))

Distinct variable groups:   𝑧,𝑘,𝐴   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘,𝑧   𝑆,𝑘,𝑧   𝐵,𝑘,𝑧   𝑘,𝑀,𝑧   𝑘,𝑁,𝑧

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑧)

Proof of Theorem coeidlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coeid.7	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐵‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
2		dgrub.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
3		coeid.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
4		coeid.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
5		coeid.5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0))
6		plybss 26388	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
7	3, 6	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
8		0cnd 11217	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
9	8	snssd 4757	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → {0} ⊆ ℂ)
10	7, 9	unssd 4148	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
11		cnex 11199	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℂ ∈ V
12		ssexg 5295	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → (𝑆 ∪ {0}) ∈ V)
13	10, 11, 12	sylancl 598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∪ {0}) ∈ V)
14		nn0ex 12528	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ0 ∈ V
15		elmapg 8845	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ∪ {0}) ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V) → (𝐵 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0) ↔ 𝐵:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
16	13, 14, 15	sylancl 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0) ↔ 𝐵:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
17	5, 16	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
18	17, 10	fssd 6730	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵:ℕ0⟶ℂ)
19		coeid.6	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 “ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) = {0})
20	3, 4, 18, 19, 1	coeeq 26421	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (coeff‘𝐹) = 𝐵)
21	2, 20	eqtr2id 2814	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐴)
22	21	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝐵 = 𝐴)
23		fveq1 6887	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → (𝐵‘𝑘) = (𝐴‘𝑘))
24	23	oveq1d 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → ((𝐵‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = ((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
25	24	sumeq2sdv 15780	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐵‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
26	22, 25	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐵‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
27	3	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
28		dgrub.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
29		dgrcl 26427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
30	28, 29	eqeltrid 2870	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑁 ∈ ℕ0)
31	27, 30	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
32	31	nn0zd 12634	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℤ)
33	4	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑀 ∈ ℕ0)
34	33	nn0zd 12634	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑀 ∈ ℤ)
35	22	imaeq1d 6066	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐵 “ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) = (𝐴 “ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))))
36	19	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐵 “ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) = {0})
37	35, 36	eqtr3d 2803	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐴 “ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) = {0})
38	2, 28	dgrlb 26430	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 “ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) = {0}) → 𝑁 ≤ 𝑀)
39	27, 33, 37, 38	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑁 ≤ 𝑀)
40		eluz2 12886	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑀))
41	32, 34, 39, 40	syl3anbrc 1362	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
42		fzss2 13611	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (0...𝑁) ⊆ (0...𝑀))
43	41, 42	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (0...𝑁) ⊆ (0...𝑀))
44		elfznn0 13667	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
45		plyssc 26394	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
46	45, 3	sselid 3938	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
47	2	coef3 26426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℂ) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
48	46, 47	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
49	48	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
50	49	ffvelcdmda 7086	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
51		expcl 14135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑧↑𝑘) ∈ ℂ)
52	51	adantll 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑧↑𝑘) ∈ ℂ)
53	50, 52	mulcld 11247	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) ∈ ℂ)
54	44, 53	sylan2 605	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) ∈ ℂ)
55		eldifn 4089	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁)) → ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁))
56	55	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁))
57		eldifi 4088	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ (0...𝑀))
58		elfznn0 13667	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑀) → 𝑘 ∈ ℕ0)
59	57, 58	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
60	2, 28	dgrub 26428	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑘) ≠ 0) → 𝑘 ≤ 𝑁)
61	60	3expia 1139	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ 𝑁))
62	27, 59, 61	syl2an 608	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → ((𝐴‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ 𝑁))
63		elfzuz 13566	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑀) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0))
64	57, 63	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0))
65		elfz5 13562	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝑘 ≤ 𝑁))
66	64, 32, 65	syl2anr 609	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝑘 ≤ 𝑁))
67	62, 66	sylibrd 262	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → ((𝐴‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ∈ (0...𝑁)))
68	67	necon1bd 2979	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → (¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝐴‘𝑘) = 0))
69	56, 68	mpd 16	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → (𝐴‘𝑘) = 0)
70	69	oveq1d 7438	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → ((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = (0 · (𝑧↑𝑘)))
71		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℂ)
72	71, 59, 51	syl2an 608	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → (𝑧↑𝑘) ∈ ℂ)
73	72	mul02d 11426	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → (0 · (𝑧↑𝑘)) = 0)
74	70, 73	eqtrd 2801	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → ((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = 0)
75		fzfid 14029	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (0...𝑀) ∈ Fin)
76	43, 54, 74, 75	fsumss 15802	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
77	26, 76	eqtr4d 2804	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐵‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
78	77	mpteq2dva 5209	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐵‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
79	1, 78	eqtrd 2801	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  Vcvv 3458   ∖ cdif 3905   ∪ cun 3906   ⊆ wss 3908  {csn 4594   class class class wbr 5114   ↦ cmpt 5197   “ cima 5669  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423   ↑_m cmap 8833  ℂcc 11116  0cc0 11118  1c1 11119   + caddc 11121   · cmul 11123   ≤ cle 11262  ℕ₀cn0 12522  ℤcz 12609  ℤ_≥cuz 12880  ...cfz 13553  ↑cexp 14117  Σcsu 15763  Polycply 26378  coeffccoe 26380  degcdgr 26381

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-inf2 9620  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7687  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-rp 13035  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-seq 14058  df-exp 14118  df-hash 14387  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-clim 15565  df-rlim 15566  df-sum 15764  df-0p 25866  df-ply 26382  df-coe 26384  df-dgr 26385

This theorem is used by:  coeid  26432