Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coeidlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coeidlem 24761
 Description: Lemma for coeid 24762. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dgrub.1 𝐴 = (coeff‘𝐹)
dgrub.2 𝑁 = (deg‘𝐹)
coeid.3 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
coeid.4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
coeid.5 (𝜑𝐵 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0))
coeid.6 (𝜑 → (𝐵 “ (ℤ‘(𝑀 + 1))) = {0})
coeid.7 (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
Assertion
Ref Expression
coeidlem (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑘,𝐴   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘,𝑧   𝑆,𝑘,𝑧   𝐵,𝑘,𝑧   𝑘,𝑀,𝑧   𝑘,𝑁,𝑧
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑧)

Proof of Theorem coeidlem
StepHypRef Expression
1 coeid.7 . 2 (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
2 dgrub.1 . . . . . . 7 𝐴 = (coeff‘𝐹)
3 coeid.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
4 coeid.4 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
5 coeid.5 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0))
6 plybss 24718 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
73, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
8 0cnd 10628 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
98snssd 4741 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → {0} ⊆ ℂ)
107, 9unssd 4166 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
11 cnex 10612 . . . . . . . . . . . 12 ℂ ∈ V
12 ssexg 5224 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → (𝑆 ∪ {0}) ∈ V)
1310, 11, 12sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑆 ∪ {0}) ∈ V)
14 nn0ex 11897 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
15 elmapg 8414 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ∪ {0}) ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V) → (𝐵 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0) ↔ 𝐵:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
1613, 14, 15sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0) ↔ 𝐵:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
175, 16mpbid 233 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
1817, 10fssd 6527 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵:ℕ0⟶ℂ)
19 coeid.6 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵 “ (ℤ‘(𝑀 + 1))) = {0})
203, 4, 18, 19, 1coeeq 24751 . . . . . . 7 (𝜑 → (coeff‘𝐹) = 𝐵)
212, 20syl5req 2874 . . . . . 6 (𝜑𝐵 = 𝐴)
2221adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝐵 = 𝐴)
23 fveq1 6668 . . . . . . 7 (𝐵 = 𝐴 → (𝐵𝑘) = (𝐴𝑘))
2423oveq1d 7165 . . . . . 6 (𝐵 = 𝐴 → ((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)) = ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))
2524sumeq2sdv 15056 . . . . 5 (𝐵 = 𝐴 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))
2622, 25syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))
273adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
28 dgrub.2 . . . . . . . . . 10 𝑁 = (deg‘𝐹)
29 dgrcl 24757 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
3028, 29eqeltrid 2922 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3127, 30syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3231nn0zd 12079 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℤ)
334adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝑀 ∈ ℕ0)
3433nn0zd 12079 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝑀 ∈ ℤ)
3522imaeq1d 5927 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (𝐵 “ (ℤ‘(𝑀 + 1))) = (𝐴 “ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
3619adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (𝐵 “ (ℤ‘(𝑀 + 1))) = {0})
3735, 36eqtr3d 2863 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (𝐴 “ (ℤ‘(𝑀 + 1))) = {0})
382, 28dgrlb 24760 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑀 + 1))) = {0}) → 𝑁𝑀)
3927, 33, 37, 38syl3anc 1365 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝑁𝑀)
40 eluz2 12243 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑀))
4132, 34, 39, 40syl3anbrc 1337 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))
42 fzss2 12942 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → (0...𝑁) ⊆ (0...𝑀))
4341, 42syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (0...𝑁) ⊆ (0...𝑀))
44 elfznn0 12995 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
45 plyssc 24724 . . . . . . . . . . 11 (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
4645, 3sseldi 3969 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
472coef3 24756 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (Poly‘ℂ) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
4846, 47syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
4948adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
5049ffvelrnda 6849 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
51 expcl 13442 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑧𝑘) ∈ ℂ)
5251adantll 710 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑧𝑘) ∈ ℂ)
5350, 52mulcld 10655 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ)
5444, 53sylan2 592 . . . . 5 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ)
55 eldifn 4108 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁)) → ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁))
5655adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁))
57 eldifi 4107 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ (0...𝑀))
58 elfznn0 12995 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (0...𝑀) → 𝑘 ∈ ℕ0)
5957, 58syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
602, 28dgrub 24758 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0) → 𝑘𝑁)
61603expia 1115 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁))
6227, 59, 61syl2an 595 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁))
63 elfzuz 12899 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (0...𝑀) → 𝑘 ∈ (ℤ‘0))
6457, 63syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ (ℤ‘0))
65 elfz5 12895 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝑘𝑁))
6664, 32, 65syl2anr 596 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝑘𝑁))
6762, 66sylibrd 260 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ∈ (0...𝑁)))
6867necon1bd 3039 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → (¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝐴𝑘) = 0))
6956, 68mpd 15 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → (𝐴𝑘) = 0)
7069oveq1d 7165 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) = (0 · (𝑧𝑘)))
71 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℂ)
7271, 59, 51syl2an 595 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → (𝑧𝑘) ∈ ℂ)
7372mul02d 10832 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → (0 · (𝑧𝑘)) = 0)
7470, 73eqtrd 2861 . . . . 5 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) = 0)
75 fzfid 13336 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (0...𝑀) ∈ Fin)
7643, 54, 74, 75fsumss 15077 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))
7726, 76eqtr4d 2864 . . 3 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))
7877mpteq2dva 5158 . 2 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))))
791, 78eqtrd 2861 1 (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1530   ∈ wcel 2107   ≠ wne 3021  Vcvv 3500   ∖ cdif 3937   ∪ cun 3938   ⊆ wss 3940  {csn 4564   class class class wbr 5063   ↦ cmpt 5143   “ cima 5557  ⟶wf 6350  ‘cfv 6354  (class class class)co 7150   ↑m cmap 8401  ℂcc 10529  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534   · cmul 10536   ≤ cle 10670  ℕ0cn0 11891  ℤcz 11975  ℤ≥cuz 12237  ...cfz 12887  ↑cexp 13424  Σcsu 15037  Polycply 24708  coeffccoe 24710  degcdgr 24711 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8284  df-map 8403  df-pm 8404  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12385  df-fz 12888  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-seq 13365  df-exp 13425  df-hash 13686  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840  df-rlim 14841  df-sum 15038  df-0p 24205  df-ply 24712  df-coe 24714  df-dgr 24715 This theorem is referenced by:  coeid  24762
 Copyright terms: Public domain W3C validator