MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coeidlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coeidlem 24287
Description: Lemma for coeid 24288. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dgrub.1 𝐴 = (coeff‘𝐹)
dgrub.2 𝑁 = (deg‘𝐹)
coeid.3 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
coeid.4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
coeid.5 (𝜑𝐵 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0))
coeid.6 (𝜑 → (𝐵 “ (ℤ‘(𝑀 + 1))) = {0})
coeid.7 (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
Assertion
Ref Expression
coeidlem (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑘,𝐴   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘,𝑧   𝑆,𝑘,𝑧   𝐵,𝑘,𝑧   𝑘,𝑀,𝑧   𝑘,𝑁,𝑧
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑧)

Proof of Theorem coeidlem
StepHypRef Expression
1 coeid.7 . 2 (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
2 dgrub.1 . . . . . . 7 𝐴 = (coeff‘𝐹)
3 coeid.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
4 coeid.4 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
5 coeid.5 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0))
6 plybss 24244 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
73, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
8 0cnd 10288 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
98snssd 4496 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → {0} ⊆ ℂ)
107, 9unssd 3953 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
11 cnex 10272 . . . . . . . . . . . 12 ℂ ∈ V
12 ssexg 4967 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → (𝑆 ∪ {0}) ∈ V)
1310, 11, 12sylancl 580 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑆 ∪ {0}) ∈ V)
14 nn0ex 11547 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
15 elmapg 8075 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ∪ {0}) ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V) → (𝐵 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ↔ 𝐵:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
1613, 14, 15sylancl 580 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ↔ 𝐵:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
175, 16mpbid 223 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
1817, 10fssd 6239 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵:ℕ0⟶ℂ)
19 coeid.6 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵 “ (ℤ‘(𝑀 + 1))) = {0})
203, 4, 18, 19, 1coeeq 24277 . . . . . . 7 (𝜑 → (coeff‘𝐹) = 𝐵)
212, 20syl5req 2812 . . . . . 6 (𝜑𝐵 = 𝐴)
2221adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝐵 = 𝐴)
23 fveq1 6376 . . . . . . 7 (𝐵 = 𝐴 → (𝐵𝑘) = (𝐴𝑘))
2423oveq1d 6859 . . . . . 6 (𝐵 = 𝐴 → ((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)) = ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))
2524sumeq2sdv 14723 . . . . 5 (𝐵 = 𝐴 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))
2622, 25syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))
273adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
28 dgrub.2 . . . . . . . . . 10 𝑁 = (deg‘𝐹)
29 dgrcl 24283 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
3028, 29syl5eqel 2848 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3127, 30syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3231nn0zd 11730 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℤ)
334adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝑀 ∈ ℕ0)
3433nn0zd 11730 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝑀 ∈ ℤ)
3522imaeq1d 5649 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (𝐵 “ (ℤ‘(𝑀 + 1))) = (𝐴 “ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
3619adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (𝐵 “ (ℤ‘(𝑀 + 1))) = {0})
3735, 36eqtr3d 2801 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (𝐴 “ (ℤ‘(𝑀 + 1))) = {0})
382, 28dgrlb 24286 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑀 + 1))) = {0}) → 𝑁𝑀)
3927, 33, 37, 38syl3anc 1490 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝑁𝑀)
40 eluz2 11895 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑀))
4132, 34, 39, 40syl3anbrc 1443 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))
42 fzss2 12591 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → (0...𝑁) ⊆ (0...𝑀))
4341, 42syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (0...𝑁) ⊆ (0...𝑀))
44 elfznn0 12643 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
45 plyssc 24250 . . . . . . . . . . 11 (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
4645, 3sseldi 3761 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
472coef3 24282 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (Poly‘ℂ) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
4846, 47syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
4948adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
5049ffvelrnda 6551 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
51 expcl 13088 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑧𝑘) ∈ ℂ)
5251adantll 705 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑧𝑘) ∈ ℂ)
5350, 52mulcld 10316 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ)
5444, 53sylan2 586 . . . . 5 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ)
55 eldifn 3897 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁)) → ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁))
5655adantl 473 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁))
57 eldifi 3896 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ (0...𝑀))
58 elfznn0 12643 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (0...𝑀) → 𝑘 ∈ ℕ0)
5957, 58syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
602, 28dgrub 24284 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0) → 𝑘𝑁)
61603expia 1150 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁))
6227, 59, 61syl2an 589 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁))
63 elfzuz 12548 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (0...𝑀) → 𝑘 ∈ (ℤ‘0))
6457, 63syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ (ℤ‘0))
65 elfz5 12544 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝑘𝑁))
6664, 32, 65syl2anr 590 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝑘𝑁))
6762, 66sylibrd 250 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ∈ (0...𝑁)))
6867necon1bd 2955 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → (¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝐴𝑘) = 0))
6956, 68mpd 15 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → (𝐴𝑘) = 0)
7069oveq1d 6859 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) = (0 · (𝑧𝑘)))
71 simpr 477 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℂ)
7271, 59, 51syl2an 589 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → (𝑧𝑘) ∈ ℂ)
7372mul02d 10490 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → (0 · (𝑧𝑘)) = 0)
7470, 73eqtrd 2799 . . . . 5 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) = 0)
75 fzfid 12983 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (0...𝑀) ∈ Fin)
7643, 54, 74, 75fsumss 14744 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))
7726, 76eqtr4d 2802 . . 3 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))
7877mpteq2dva 4905 . 2 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))))
791, 78eqtrd 2799 1 (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  Vcvv 3350  cdif 3731  cun 3732  wss 3734  {csn 4336   class class class wbr 4811  cmpt 4890  cima 5282  wf 6066  cfv 6070  (class class class)co 6844  𝑚 cmap 8062  cc 10189  0cc0 10191  1c1 10192   + caddc 10194   · cmul 10196  cle 10331  0cn0 11540  cz 11626  cuz 11889  ...cfz 12536  cexp 13070  Σcsu 14704  Polycply 24234  coeffccoe 24236  degcdgr 24237
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149  ax-inf2 8755  ax-cnex 10247  ax-resscn 10248  ax-1cn 10249  ax-icn 10250  ax-addcl 10251  ax-addrcl 10252  ax-mulcl 10253  ax-mulrcl 10254  ax-mulcom 10255  ax-addass 10256  ax-mulass 10257  ax-distr 10258  ax-i2m1 10259  ax-1ne0 10260  ax-1rid 10261  ax-rnegex 10262  ax-rrecex 10263  ax-cnre 10264  ax-pre-lttri 10265  ax-pre-lttrn 10266  ax-pre-ltadd 10267  ax-pre-mulgt0 10268  ax-pre-sup 10269  ax-addf 10270
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-se 5239  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-isom 6079  df-riota 6805  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-mpt2 6849  df-of 7097  df-om 7266  df-1st 7368  df-2nd 7369  df-wrecs 7612  df-recs 7674  df-rdg 7712  df-1o 7766  df-oadd 7770  df-er 7949  df-map 8064  df-pm 8065  df-en 8163  df-dom 8164  df-sdom 8165  df-fin 8166  df-sup 8557  df-inf 8558  df-oi 8624  df-card 9018  df-pnf 10332  df-mnf 10333  df-xr 10334  df-ltxr 10335  df-le 10336  df-sub 10524  df-neg 10525  df-div 10941  df-nn 11277  df-2 11337  df-3 11338  df-n0 11541  df-z 11627  df-uz 11890  df-rp 12032  df-fz 12537  df-fzo 12677  df-fl 12804  df-seq 13012  df-exp 13071  df-hash 13325  df-cj 14127  df-re 14128  df-im 14129  df-sqrt 14263  df-abs 14264  df-clim 14507  df-rlim 14508  df-sum 14705  df-0p 23731  df-ply 24238  df-coe 24240  df-dgr 24241
This theorem is referenced by:  coeid  24288
  Copyright terms: Public domain W3C validator