Theorem coeidlem 26210

Description: Lemma for coeid 26211. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dgrub.1	⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
dgrub.2	⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
coeid.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
coeid.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
coeid.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0))
coeid.6	⊢ (𝜑 → (𝐵 “ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) = {0})
coeid.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐵‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))

Assertion

Ref	Expression
coeidlem	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))

Distinct variable groups:   𝑧,𝑘,𝐴   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘,𝑧   𝑆,𝑘,𝑧   𝐵,𝑘,𝑧   𝑘,𝑀,𝑧   𝑘,𝑁,𝑧

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑧)

Proof of Theorem coeidlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coeid.7	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐵‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
2		dgrub.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
3		coeid.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
4		coeid.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
5		coeid.5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0))
6		plybss 26167	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
7	3, 6	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
8		0cnd 11137	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
9	8	snssd 4767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → {0} ⊆ ℂ)
10	7, 9	unssd 4146	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
11		cnex 11119	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℂ ∈ V
12		ssexg 5270	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → (𝑆 ∪ {0}) ∈ V)
13	10, 11, 12	sylancl 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∪ {0}) ∈ V)
14		nn0ex 12419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ0 ∈ V
15		elmapg 8788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ∪ {0}) ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V) → (𝐵 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0) ↔ 𝐵:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
16	13, 14, 15	sylancl 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0) ↔ 𝐵:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
17	5, 16	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
18	17, 10	fssd 6687	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵:ℕ0⟶ℂ)
19		coeid.6	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 “ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) = {0})
20	3, 4, 18, 19, 1	coeeq 26200	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (coeff‘𝐹) = 𝐵)
21	2, 20	eqtr2id 2785	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐴)
22	21	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝐵 = 𝐴)
23		fveq1 6841	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → (𝐵‘𝑘) = (𝐴‘𝑘))
24	23	oveq1d 7383	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → ((𝐵‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = ((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
25	24	sumeq2sdv 15638	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐵‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
26	22, 25	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐵‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
27	3	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
28		dgrub.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
29		dgrcl 26206	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
30	28, 29	eqeltrid 2841	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑁 ∈ ℕ0)
31	27, 30	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
32	31	nn0zd 12525	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℤ)
33	4	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑀 ∈ ℕ0)
34	33	nn0zd 12525	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑀 ∈ ℤ)
35	22	imaeq1d 6026	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐵 “ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) = (𝐴 “ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))))
36	19	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐵 “ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) = {0})
37	35, 36	eqtr3d 2774	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐴 “ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) = {0})
38	2, 28	dgrlb 26209	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 “ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) = {0}) → 𝑁 ≤ 𝑀)
39	27, 33, 37, 38	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑁 ≤ 𝑀)
40		eluz2 12769	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑀))
41	32, 34, 39, 40	syl3anbrc 1345	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
42		fzss2 13492	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (0...𝑁) ⊆ (0...𝑀))
43	41, 42	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (0...𝑁) ⊆ (0...𝑀))
44		elfznn0 13548	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
45		plyssc 26173	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
46	45, 3	sselid 3933	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
47	2	coef3 26205	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℂ) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
48	46, 47	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
49	48	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
50	49	ffvelcdmda 7038	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
51		expcl 14014	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑧↑𝑘) ∈ ℂ)
52	51	adantll 715	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑧↑𝑘) ∈ ℂ)
53	50, 52	mulcld 11164	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) ∈ ℂ)
54	44, 53	sylan2 594	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) ∈ ℂ)
55		eldifn 4086	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁)) → ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁))
56	55	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁))
57		eldifi 4085	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ (0...𝑀))
58		elfznn0 13548	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑀) → 𝑘 ∈ ℕ0)
59	57, 58	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
60	2, 28	dgrub 26207	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑘) ≠ 0) → 𝑘 ≤ 𝑁)
61	60	3expia 1122	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ 𝑁))
62	27, 59, 61	syl2an 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → ((𝐴‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ 𝑁))
63		elfzuz 13448	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑀) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0))
64	57, 63	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0))
65		elfz5 13444	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝑘 ≤ 𝑁))
66	64, 32, 65	syl2anr 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝑘 ≤ 𝑁))
67	62, 66	sylibrd 259	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → ((𝐴‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ∈ (0...𝑁)))
68	67	necon1bd 2951	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → (¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝐴‘𝑘) = 0))
69	56, 68	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → (𝐴‘𝑘) = 0)
70	69	oveq1d 7383	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → ((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = (0 · (𝑧↑𝑘)))
71		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℂ)
72	71, 59, 51	syl2an 597	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → (𝑧↑𝑘) ∈ ℂ)
73	72	mul02d 11343	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → (0 · (𝑧↑𝑘)) = 0)
74	70, 73	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → ((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = 0)
75		fzfid 13908	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (0...𝑀) ∈ Fin)
76	43, 54, 74, 75	fsumss 15660	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
77	26, 76	eqtr4d 2775	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐵‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
78	77	mpteq2dva 5193	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐵‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
79	1, 78	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  Vcvv 3442   ∖ cdif 3900   ∪ cun 3901   ⊆ wss 3903  {csn 4582   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181   “ cima 5635  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ↑_m cmap 8775  ℂcc 11036  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   ≤ cle 11179  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12500  ℤ_≥cuz 12763  ...cfz 13435  ↑cexp 13996  Σcsu 15621  Polycply 26157  coeffccoe 26159  degcdgr 26160

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-clim 15423  df-rlim 15424  df-sum 15622  df-0p 25639  df-ply 26161  df-coe 26163  df-dgr 26164

This theorem is referenced by:  coeid  26211