Theorem coeidlem 26351

Description: Lemma for coeid 26352. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dgrub.1	⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
dgrub.2	⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
coeid.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
coeid.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
coeid.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0))
coeid.6	⊢ (𝜑 → (𝐵 “ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) = {0})
coeid.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐵‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))

Assertion

Ref	Expression
coeidlem	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))

Distinct variable groups:   𝑧,𝑘,𝐴   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘,𝑧   𝑆,𝑘,𝑧   𝐵,𝑘,𝑧   𝑘,𝑀,𝑧   𝑘,𝑁,𝑧

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑧)

Proof of Theorem coeidlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coeid.7	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐵‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
2		dgrub.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
3		coeid.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
4		coeid.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
5		coeid.5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0))
6		plybss 26308	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
7	3, 6	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
8		0cnd 11187	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
9	8	snssd 4748	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → {0} ⊆ ℂ)
10	7, 9	unssd 4147	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
11		cnex 11169	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℂ ∈ V
12		ssexg 5283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → (𝑆 ∪ {0}) ∈ V)
13	10, 11, 12	sylancl 597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∪ {0}) ∈ V)
14		nn0ex 12498	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ0 ∈ V
15		elmapg 8824	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ∪ {0}) ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V) → (𝐵 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0) ↔ 𝐵:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
16	13, 14, 15	sylancl 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0) ↔ 𝐵:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
17	5, 16	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
18	17, 10	fssd 6713	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵:ℕ0⟶ℂ)
19		coeid.6	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 “ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) = {0})
20	3, 4, 18, 19, 1	coeeq 26341	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (coeff‘𝐹) = 𝐵)
21	2, 20	eqtr2id 2813	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐴)
22	21	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝐵 = 𝐴)
23		fveq1 6870	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → (𝐵‘𝑘) = (𝐴‘𝑘))
24	23	oveq1d 7415	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → ((𝐵‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = ((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
25	24	sumeq2sdv 15742	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐵‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
26	22, 25	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐵‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
27	3	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
28		dgrub.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
29		dgrcl 26347	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
30	28, 29	eqeltrid 2869	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑁 ∈ ℕ0)
31	27, 30	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
32	31	nn0zd 12604	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℤ)
33	4	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑀 ∈ ℕ0)
34	33	nn0zd 12604	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑀 ∈ ℤ)
35	22	imaeq1d 6051	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐵 “ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) = (𝐴 “ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))))
36	19	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐵 “ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) = {0})
37	35, 36	eqtr3d 2802	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐴 “ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) = {0})
38	2, 28	dgrlb 26350	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 “ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) = {0}) → 𝑁 ≤ 𝑀)
39	27, 33, 37, 38	syl3anc 1394	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑁 ≤ 𝑀)
40		eluz2 12856	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑀))
41	32, 34, 39, 40	syl3anbrc 1360	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
42		fzss2 13580	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (0...𝑁) ⊆ (0...𝑀))
43	41, 42	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (0...𝑁) ⊆ (0...𝑀))
44		elfznn0 13636	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
45		plyssc 26314	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
46	45, 3	sselid 3937	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
47	2	coef3 26346	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℂ) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
48	46, 47	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
49	48	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
50	49	ffvelcdmda 7069	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
51		expcl 14103	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑧↑𝑘) ∈ ℂ)
52	51	adantll 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑧↑𝑘) ∈ ℂ)
53	50, 52	mulcld 11217	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) ∈ ℂ)
54	44, 53	sylan2 604	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) ∈ ℂ)
55		eldifn 4088	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁)) → ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁))
56	55	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁))
57		eldifi 4087	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ (0...𝑀))
58		elfznn0 13636	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑀) → 𝑘 ∈ ℕ0)
59	57, 58	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
60	2, 28	dgrub 26348	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑘) ≠ 0) → 𝑘 ≤ 𝑁)
61	60	3expia 1137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ 𝑁))
62	27, 59, 61	syl2an 607	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → ((𝐴‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ 𝑁))
63		elfzuz 13536	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑀) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0))
64	57, 63	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0))
65		elfz5 13532	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝑘 ≤ 𝑁))
66	64, 32, 65	syl2anr 608	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝑘 ≤ 𝑁))
67	62, 66	sylibrd 262	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → ((𝐴‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ∈ (0...𝑁)))
68	67	necon1bd 2978	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → (¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝐴‘𝑘) = 0))
69	56, 68	mpd 16	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → (𝐴‘𝑘) = 0)
70	69	oveq1d 7415	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → ((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = (0 · (𝑧↑𝑘)))
71		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℂ)
72	71, 59, 51	syl2an 607	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → (𝑧↑𝑘) ∈ ℂ)
73	72	mul02d 11396	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → (0 · (𝑧↑𝑘)) = 0)
74	70, 73	eqtrd 2800	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → ((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = 0)
75		fzfid 13997	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (0...𝑀) ∈ Fin)
76	43, 54, 74, 75	fsumss 15764	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
77	26, 76	eqtr4d 2803	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐵‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
78	77	mpteq2dva 5197	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐵‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
79	1, 78	eqtrd 2800	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  Vcvv 3457   ∖ cdif 3904   ∪ cun 3905   ⊆ wss 3907  {csn 4585   class class class wbr 5104   ↦ cmpt 5185   “ cima 5654  ⟶wf 6521  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400   ↑_m cmap 8812  ℂcc 11086  0cc0 11088  1c1 11089   + caddc 11091   · cmul 11093   ≤ cle 11232  ℕ₀cn0 12492  ℤcz 12579  ℤ_≥cuz 12850  ...cfz 13523  ↑cexp 14085  Σcsu 15725  Polycply 26298  coeffccoe 26300  degcdgr 26301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-inf2 9598  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-map 8814  df-pm 8815  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-n0 12493  df-z 12580  df-uz 12851  df-rp 13005  df-fz 13524  df-fzo 13671  df-fl 13813  df-seq 14026  df-exp 14086  df-hash 14355  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15527  df-rlim 15528  df-sum 15726  df-0p 25786  df-ply 26302  df-coe 26304  df-dgr 26305

This theorem is referenced by:  coeid  26352