MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coeidlem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem coeidlem 25975
Description: Lemma for coeid 25976. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dgrub.1 𝐴 = (coeffβ€˜πΉ)
dgrub.2 𝑁 = (degβ€˜πΉ)
coeid.3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
coeid.4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
coeid.5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0))
coeid.6 (πœ‘ β†’ (𝐡 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0})
coeid.7 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
Assertion
Ref Expression
coeidlem (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
Distinct variable groups:   𝑧,π‘˜,𝐴   π‘˜,𝐹   πœ‘,π‘˜,𝑧   𝑆,π‘˜,𝑧   𝐡,π‘˜,𝑧   π‘˜,𝑀,𝑧   π‘˜,𝑁,𝑧
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑧)
Proof of Theorem coeidlem
StepHypRef Expression
1 coeid.7 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
2 dgrub.1 . . . . . . 7 𝐴 = (coeffβ€˜πΉ)
3 coeid.3 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
4 coeid.4 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
5 coeid.5 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0))
6 plybss 25932 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
73, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
8 0cnd 11211 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„‚)
98snssd 4812 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ {0} βŠ† β„‚)
107, 9unssd 4186 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑆 βˆͺ {0}) βŠ† β„‚)
11 cnex 11193 . . . . . . . . . . . 12 β„‚ ∈ V
12 ssexg 5323 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 βˆͺ {0}) βŠ† β„‚ ∧ β„‚ ∈ V) β†’ (𝑆 βˆͺ {0}) ∈ V)
1310, 11, 12sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑆 βˆͺ {0}) ∈ V)
14 nn0ex 12482 . . . . . . . . . . 11 β„•0 ∈ V
15 elmapg 8835 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 βˆͺ {0}) ∈ V ∧ β„•0 ∈ V) β†’ (𝐡 ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0) ↔ 𝐡:β„•0⟢(𝑆 βˆͺ {0})))
1613, 14, 15sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0) ↔ 𝐡:β„•0⟢(𝑆 βˆͺ {0})))
175, 16mpbid 231 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡:β„•0⟢(𝑆 βˆͺ {0}))
1817, 10fssd 6735 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡:β„•0βŸΆβ„‚)
19 coeid.6 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐡 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0})
203, 4, 18, 19, 1coeeq 25965 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (coeffβ€˜πΉ) = 𝐡)
212, 20eqtr2id 2785 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 = 𝐴)
2221adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ 𝐡 = 𝐴)
23 fveq1 6890 . . . . . . 7 (𝐡 = 𝐴 β†’ (π΅β€˜π‘˜) = (π΄β€˜π‘˜))
2423oveq1d 7426 . . . . . 6 (𝐡 = 𝐴 β†’ ((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) = ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))
2524sumeq2sdv 15654 . . . . 5 (𝐡 = 𝐴 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))
2622, 25syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))
273adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
28 dgrub.2 . . . . . . . . . 10 𝑁 = (degβ€˜πΉ)
29 dgrcl 25971 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (degβ€˜πΉ) ∈ β„•0)
3028, 29eqeltrid 2837 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
3127, 30syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
3231nn0zd 12588 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
334adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
3433nn0zd 12588 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
3522imaeq1d 6058 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (𝐡 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))))
3619adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (𝐡 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0})
3735, 36eqtr3d 2774 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0})
382, 28dgrlb 25974 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0}) β†’ 𝑁 ≀ 𝑀)
3927, 33, 37, 38syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ 𝑁 ≀ 𝑀)
40 eluz2 12832 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ↔ (𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ≀ 𝑀))
4132, 34, 39, 40syl3anbrc 1343 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘))
42 fzss2 13545 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) β†’ (0...𝑁) βŠ† (0...𝑀))
4341, 42syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (0...𝑁) βŠ† (0...𝑀))
44 elfznn0 13598 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ (0...𝑁) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
45 plyssc 25938 . . . . . . . . . . 11 (Polyβ€˜π‘†) βŠ† (Polyβ€˜β„‚)
4645, 3sselid 3980 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„‚))
472coef3 25970 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„‚) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
4846, 47syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
4948adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
5049ffvelcdmda 7086 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
51 expcl 14049 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘§β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
5251adantll 712 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘§β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
5350, 52mulcld 11238 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) ∈ β„‚)
5444, 53sylan2 593 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) ∈ β„‚)
55 eldifn 4127 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ ((0...𝑀) βˆ– (0...𝑁)) β†’ Β¬ π‘˜ ∈ (0...𝑁))
5655adantl 482 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) βˆ– (0...𝑁))) β†’ Β¬ π‘˜ ∈ (0...𝑁))
57 eldifi 4126 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ ((0...𝑀) βˆ– (0...𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ (0...𝑀))
58 elfznn0 13598 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ (0...𝑀) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
5957, 58syl 17 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ ((0...𝑀) βˆ– (0...𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
602, 28dgrub 25972 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (π΄β€˜π‘˜) β‰  0) β†’ π‘˜ ≀ 𝑁)
61603expia 1121 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁))
6227, 59, 61syl2an 596 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) βˆ– (0...𝑁))) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁))
63 elfzuz 13501 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ (0...𝑀) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
6457, 63syl 17 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ ((0...𝑀) βˆ– (0...𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
65 elfz5 13497 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜0) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (π‘˜ ∈ (0...𝑁) ↔ π‘˜ ≀ 𝑁))
6664, 32, 65syl2anr 597 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) βˆ– (0...𝑁))) β†’ (π‘˜ ∈ (0...𝑁) ↔ π‘˜ ≀ 𝑁))
6762, 66sylibrd 258 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) βˆ– (0...𝑁))) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ∈ (0...𝑁)))
6867necon1bd 2958 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) βˆ– (0...𝑁))) β†’ (Β¬ π‘˜ ∈ (0...𝑁) β†’ (π΄β€˜π‘˜) = 0))
6956, 68mpd 15 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) βˆ– (0...𝑁))) β†’ (π΄β€˜π‘˜) = 0)
7069oveq1d 7426 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) βˆ– (0...𝑁))) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) = (0 Β· (π‘§β†‘π‘˜)))
71 simpr 485 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
7271, 59, 51syl2an 596 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) βˆ– (0...𝑁))) β†’ (π‘§β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
7372mul02d 11416 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) βˆ– (0...𝑁))) β†’ (0 Β· (π‘§β†‘π‘˜)) = 0)
7470, 73eqtrd 2772 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) βˆ– (0...𝑁))) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) = 0)
75 fzfid 13942 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (0...𝑀) ∈ Fin)
7643, 54, 74, 75fsumss 15675 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))
7726, 76eqtr4d 2775 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))
7877mpteq2dva 5248 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
791, 78eqtrd 2772 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3945   βˆͺ cun 3946   βŠ† wss 3948  {csn 4628   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   β€œ cima 5679  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   ↑m cmap 8822  β„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117   ≀ cle 11253  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  ...cfz 13488  β†‘cexp 14031  Ξ£csu 15636  Polycply 25922  coeffccoe 25924  degcdgr 25925
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-0p 25411  df-ply 25926  df-coe 25928  df-dgr 25929
This theorem is referenced by:  coeid  25976
  Copyright terms: Public domain W3C validator