Theorem plysub 24423

Description: The difference of two polynomials is a polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
plyadd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
plyadd.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
plyadd.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
plymul.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
plysub.5	⊢ (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
plysub	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘𝑓 − 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem plysub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 10355	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ V
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ V)
3		plyadd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
4		plyf 24402	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
6		plyadd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
7		plyf 24402	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
8	6, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
9		ofnegsub 11377	. . 3 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ 𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ 𝐺:ℂ⟶ℂ) → (𝐹 ∘𝑓 + ((ℂ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)) = (𝐹 ∘𝑓 − 𝐺))
10	2, 5, 8, 9	syl3anc 1439	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘𝑓 + ((ℂ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)) = (𝐹 ∘𝑓 − 𝐺))
11		plybss 24398	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
12	3, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
13		plysub.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
14		plyconst 24410	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ -1 ∈ 𝑆) → (ℂ × {-1}) ∈ (Poly‘𝑆))
15	12, 13, 14	syl2anc 579	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℂ × {-1}) ∈ (Poly‘𝑆))
16		plyadd.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
17		plymul.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
18	15, 6, 16, 17	plymul 24422	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℂ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆))
19	3, 18, 16	plyadd 24421	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘𝑓 + ((ℂ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)) ∈ (Poly‘𝑆))
20	10, 19	eqeltrrd 2860	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘𝑓 − 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  Vcvv 3398   ⊆ wss 3792  {csn 4398   × cxp 5355  ⟶wf 6133  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924   ∘_𝑓 cof 7174  ℂcc 10272  1c1 10275   + caddc 10277   · cmul 10279   − cmin 10608  -cneg 10609  Polycply 24388

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-inf2 8837  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-se 5317  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-isom 6146  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-of 7176  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-oadd 7849  df-er 8028  df-map 8144  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-sup 8638  df-oi 8706  df-card 9100  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11036  df-nn 11380  df-2 11443  df-3 11444  df-n0 11648  df-z 11734  df-uz 11998  df-rp 12143  df-fz 12649  df-fzo 12790  df-seq 13125  df-exp 13184  df-hash 13442  df-cj 14252  df-re 14253  df-im 14254  df-sqrt 14388  df-abs 14389  df-clim 14636  df-sum 14834  df-ply 24392

This theorem is referenced by:  plysubcl  24426  plydivlem2  24497  plydivlem4  24499  plydiveu  24501  qaa  24526  taylply2  24570  mpaaeu  38693