MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plysub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem plysub 26273
Description: The difference of two polynomials is a polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plyadd.1 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
plyadd.2 (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
plyadd.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
plymul.4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
plysub.5 (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
plysub (𝜑 → (𝐹f𝐺) ∈ (Poly‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem plysub
StepHypRef Expression
1 cnex 11234 . . 3 ℂ ∈ V
2 plyadd.1 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
3 plyf 26252 . . . 4 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
42, 3syl 17 . . 3 (𝜑𝐹:ℂ⟶ℂ)
5 plyadd.2 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
6 plyf 26252 . . . 4 (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
75, 6syl 17 . . 3 (𝜑𝐺:ℂ⟶ℂ)
8 ofnegsub 12262 . . 3 ((ℂ ∈ V ∧ 𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ 𝐺:ℂ⟶ℂ) → (𝐹f + ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = (𝐹f𝐺))
91, 4, 7, 8mp3an2i 1465 . 2 (𝜑 → (𝐹f + ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = (𝐹f𝐺))
10 plybss 26248 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
112, 10syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
12 plysub.5 . . . . 5 (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
13 plyconst 26260 . . . . 5 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ -1 ∈ 𝑆) → (ℂ × {-1}) ∈ (Poly‘𝑆))
1411, 12, 13syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (ℂ × {-1}) ∈ (Poly‘𝑆))
15 plyadd.3 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
16 plymul.4 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
1714, 5, 15, 16plymul 26272 . . 3 (𝜑 → ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆))
182, 17, 15plyadd 26271 . 2 (𝜑 → (𝐹f + ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)) ∈ (Poly‘𝑆))
199, 18eqeltrrd 2840 1 (𝜑 → (𝐹f𝐺) ∈ (Poly‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  wss 3963  {csn 4631   × cxp 5687  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  f cof 7695  cc 11151  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  cmin 11490  -cneg 11491  Polycply 26238
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-ply 26242
This theorem is referenced by:  plysubcl  26276  plydivlem2  26351  plydivlem4  26353  plydiveu  26355  qaa  26380  taylply2  26424  taylply2OLD  26425  mpaaeu  43139
  Copyright terms: Public domain W3C validator