Theorem plysub 26446

Description: The difference of two polynomials is a polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
plyadd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
plyadd.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
plyadd.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
plymul.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
plysub.5	⊢ (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
plysub	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f − 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem plysub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 11208	. . 3 ⊢ ℂ ∈ V
2		plyadd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
3		plyf 26425	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
4	2, 3	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
5		plyadd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
6		plyf 26425	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
7	5, 6	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
8		ofnegsub 12243	. . 3 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ 𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ 𝐺:ℂ⟶ℂ) → (𝐹 ∘f + ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = (𝐹 ∘f − 𝐺))
9	1, 4, 7, 8	mp3an2i 1495	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f + ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = (𝐹 ∘f − 𝐺))
10		plybss 26421	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
11	2, 10	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
12		plysub.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
13		plyconst 26433	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ -1 ∈ 𝑆) → (ℂ × {-1}) ∈ (Poly‘𝑆))
14	11, 12, 13	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℂ × {-1}) ∈ (Poly‘𝑆))
15		plyadd.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
16		plymul.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
17	14, 5, 15, 16	plymul 26445	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆))
18	2, 17, 15	plyadd 26444	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f + ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)) ∈ (Poly‘𝑆))
19	9, 18	eqeltrrd 2863	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f − 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453   ⊆ wss 3902  {csn 4587   × cxp 5657  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   ∘_f cof 7679  ℂcc 11125  1c1 11128   + caddc 11130   · cmul 11132   − cmin 11468  -cneg 11469  Polycply 26411

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-inf2 9623  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9415  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-rp 13045  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-seq 14068  df-exp 14128  df-hash 14397  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-clim 15577  df-sum 15776  df-ply 26415

This theorem is used by:  plysubcl  26449  plydivlem2  26525  plydivlem4  26527  plydiveu  26529  qaa  26554  taylply2  26601  mpaaeu  43978  sqrtnnaa  47718  sqrtnzqaa  47719