Theorem plysub 26122

Description: The difference of two polynomials is a polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
plyadd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
plyadd.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
plyadd.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
plymul.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
plysub.5	⊢ (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
plysub	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f − 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem plysub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 11090	. . 3 ⊢ ℂ ∈ V
2		plyadd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
3		plyf 26101	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
5		plyadd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
6		plyf 26101	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
7	5, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
8		ofnegsub 12126	. . 3 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ 𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ 𝐺:ℂ⟶ℂ) → (𝐹 ∘f + ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = (𝐹 ∘f − 𝐺))
9	1, 4, 7, 8	mp3an2i 1468	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f + ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = (𝐹 ∘f − 𝐺))
10		plybss 26097	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
11	2, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
12		plysub.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
13		plyconst 26109	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ -1 ∈ 𝑆) → (ℂ × {-1}) ∈ (Poly‘𝑆))
14	11, 12, 13	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℂ × {-1}) ∈ (Poly‘𝑆))
15		plyadd.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
16		plymul.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
17	14, 5, 15, 16	plymul 26121	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆))
18	2, 17, 15	plyadd 26120	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f + ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)) ∈ (Poly‘𝑆))
19	9, 18	eqeltrrd 2829	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f − 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3436   ⊆ wss 3903  {csn 4577   × cxp 5617  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349   ∘_f cof 7611  ℂcc 11007  1c1 11010   + caddc 11012   · cmul 11014   − cmin 11347  -cneg 11348  Polycply 26087

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-sup 9332  df-oi 9402  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-rp 12894  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-sum 15594  df-ply 26091

This theorem is referenced by:  plysubcl  26125  plydivlem2  26200  plydivlem4  26202  plydiveu  26204  qaa  26229  taylply2  26273  taylply2OLD  26274  mpaaeu  43143