MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plysub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem plysub 24970
Description: The difference of two polynomials is a polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plyadd.1 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
plyadd.2 (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
plyadd.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
plymul.4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
plysub.5 (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
plysub (𝜑 → (𝐹f𝐺) ∈ (Poly‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem plysub
StepHypRef Expression
1 cnex 10698 . . 3 ℂ ∈ V
2 plyadd.1 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
3 plyf 24949 . . . 4 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
42, 3syl 17 . . 3 (𝜑𝐹:ℂ⟶ℂ)
5 plyadd.2 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
6 plyf 24949 . . . 4 (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
75, 6syl 17 . . 3 (𝜑𝐺:ℂ⟶ℂ)
8 ofnegsub 11716 . . 3 ((ℂ ∈ V ∧ 𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ 𝐺:ℂ⟶ℂ) → (𝐹f + ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = (𝐹f𝐺))
91, 4, 7, 8mp3an2i 1467 . 2 (𝜑 → (𝐹f + ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = (𝐹f𝐺))
10 plybss 24945 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
112, 10syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
12 plysub.5 . . . . 5 (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
13 plyconst 24957 . . . . 5 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ -1 ∈ 𝑆) → (ℂ × {-1}) ∈ (Poly‘𝑆))
1411, 12, 13syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → (ℂ × {-1}) ∈ (Poly‘𝑆))
15 plyadd.3 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
16 plymul.4 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
1714, 5, 15, 16plymul 24969 . . 3 (𝜑 → ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆))
182, 17, 15plyadd 24968 . 2 (𝜑 → (𝐹f + ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)) ∈ (Poly‘𝑆))
199, 18eqeltrrd 2834 1 (𝜑 → (𝐹f𝐺) ∈ (Poly‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  Vcvv 3398  wss 3843  {csn 4516   × cxp 5523  wf 6335  cfv 6339  (class class class)co 7172  f cof 7425  cc 10615  1c1 10618   + caddc 10620   · cmul 10622  cmin 10950  -cneg 10951  Polycply 24935
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7481  ax-inf2 9179  ax-cnex 10673  ax-resscn 10674  ax-1cn 10675  ax-icn 10676  ax-addcl 10677  ax-addrcl 10678  ax-mulcl 10679  ax-mulrcl 10680  ax-mulcom 10681  ax-addass 10682  ax-mulass 10683  ax-distr 10684  ax-i2m1 10685  ax-1ne0 10686  ax-1rid 10687  ax-rnegex 10688  ax-rrecex 10689  ax-cnre 10690  ax-pre-lttri 10691  ax-pre-lttrn 10692  ax-pre-ltadd 10693  ax-pre-mulgt0 10694  ax-pre-sup 10695
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7129  df-ov 7175  df-oprab 7176  df-mpo 7177  df-of 7427  df-om 7602  df-1st 7716  df-2nd 7717  df-wrecs 7978  df-recs 8039  df-rdg 8077  df-1o 8133  df-er 8322  df-map 8441  df-en 8558  df-dom 8559  df-sdom 8560  df-fin 8561  df-sup 8981  df-oi 9049  df-card 9443  df-pnf 10757  df-mnf 10758  df-xr 10759  df-ltxr 10760  df-le 10761  df-sub 10952  df-neg 10953  df-div 11378  df-nn 11719  df-2 11781  df-3 11782  df-n0 11979  df-z 12065  df-uz 12327  df-rp 12475  df-fz 12984  df-fzo 13127  df-seq 13463  df-exp 13524  df-hash 13785  df-cj 14550  df-re 14551  df-im 14552  df-sqrt 14686  df-abs 14687  df-clim 14937  df-sum 15138  df-ply 24939
This theorem is referenced by:  plysubcl  24973  plydivlem2  25044  plydivlem4  25046  plydiveu  25048  qaa  25073  taylply2  25117  mpaaeu  40569
  Copyright terms: Public domain W3C validator