MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plysub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem plysub 26097
Description: The difference of two polynomials is a polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plyadd.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
plyadd.2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
plyadd.3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝑆)
plymul.4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝑆)
plysub.5 (πœ‘ β†’ -1 ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
plysub (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) ∈ (Polyβ€˜π‘†))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐹   π‘₯,𝑆,𝑦   π‘₯,𝐺,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦

Proof of Theorem plysub
StepHypRef Expression
1 cnex 11188 . . 3 β„‚ ∈ V
2 plyadd.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
3 plyf 26076 . . . 4 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚)
42, 3syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚)
5 plyadd.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
6 plyf 26076 . . . 4 (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐺:β„‚βŸΆβ„‚)
75, 6syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„‚βŸΆβ„‚)
8 ofnegsub 12209 . . 3 ((β„‚ ∈ V ∧ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:β„‚βŸΆβ„‚) β†’ (𝐹 ∘f + ((β„‚ Γ— {-1}) ∘f Β· 𝐺)) = (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺))
91, 4, 7, 8mp3an2i 1462 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f + ((β„‚ Γ— {-1}) ∘f Β· 𝐺)) = (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺))
10 plybss 26072 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
112, 10syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
12 plysub.5 . . . . 5 (πœ‘ β†’ -1 ∈ 𝑆)
13 plyconst 26084 . . . . 5 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ -1 ∈ 𝑆) β†’ (β„‚ Γ— {-1}) ∈ (Polyβ€˜π‘†))
1411, 12, 13syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β„‚ Γ— {-1}) ∈ (Polyβ€˜π‘†))
15 plyadd.3 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝑆)
16 plymul.4 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝑆)
1714, 5, 15, 16plymul 26096 . . 3 (πœ‘ β†’ ((β„‚ Γ— {-1}) ∘f Β· 𝐺) ∈ (Polyβ€˜π‘†))
182, 17, 15plyadd 26095 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f + ((β„‚ Γ— {-1}) ∘f Β· 𝐺)) ∈ (Polyβ€˜π‘†))
199, 18eqeltrrd 2826 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) ∈ (Polyβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3466   βŠ† wss 3941  {csn 4621   Γ— cxp 5665  βŸΆwf 6530  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402   ∘f cof 7662  β„‚cc 11105  1c1 11108   + caddc 11110   Β· cmul 11112   βˆ’ cmin 11443  -cneg 11444  Polycply 26062
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12976  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-seq 13968  df-exp 14029  df-hash 14292  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-sum 15635  df-ply 26066
This theorem is referenced by:  plysubcl  26100  plydivlem2  26172  plydivlem4  26174  plydiveu  26176  qaa  26201  taylply2  26245  mpaaeu  42444
  Copyright terms: Public domain W3C validator