Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plysub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem plysub 24803
 Description: The difference of two polynomials is a polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plyadd.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
plymul.4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
plysub.5 (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
plysub (𝜑 → (𝐹f𝐺) ∈ (Poly‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem plysub
StepHypRef Expression
1 cnex 10612 . . 3 ℂ ∈ V
2 plyadd.1 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
3 plyf 24782 . . . 4 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
42, 3syl 17 . . 3 (𝜑𝐹:ℂ⟶ℂ)
5 plyadd.2 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
6 plyf 24782 . . . 4 (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
75, 6syl 17 . . 3 (𝜑𝐺:ℂ⟶ℂ)
8 ofnegsub 11630 . . 3 ((ℂ ∈ V ∧ 𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ 𝐺:ℂ⟶ℂ) → (𝐹f + ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = (𝐹f𝐺))
91, 4, 7, 8mp3an2i 1462 . 2 (𝜑 → (𝐹f + ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = (𝐹f𝐺))
10 plybss 24778 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
112, 10syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
12 plysub.5 . . . . 5 (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
13 plyconst 24790 . . . . 5 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ -1 ∈ 𝑆) → (ℂ × {-1}) ∈ (Poly‘𝑆))
1411, 12, 13syl2anc 586 . . . 4 (𝜑 → (ℂ × {-1}) ∈ (Poly‘𝑆))
15 plyadd.3 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
16 plymul.4 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
1714, 5, 15, 16plymul 24802 . . 3 (𝜑 → ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆))
182, 17, 15plyadd 24801 . 2 (𝜑 → (𝐹f + ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)) ∈ (Poly‘𝑆))
199, 18eqeltrrd 2914 1 (𝜑 → (𝐹f𝐺) ∈ (Poly‘𝑆))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  Vcvv 3495   ⊆ wss 3936  {csn 4561   × cxp 5548  ⟶wf 6346  ‘cfv 6350  (class class class)co 7150   ∘f cof 7401  ℂcc 10529  1c1 10532   + caddc 10534   · cmul 10536   − cmin 10864  -cneg 10865  Polycply 24768 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-isom 6359  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-sup 8900  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12384  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-seq 13364  df-exp 13424  df-hash 13685  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-clim 14839  df-sum 15037  df-ply 24772 This theorem is referenced by:  plysubcl  24806  plydivlem2  24877  plydivlem4  24879  plydiveu  24881  qaa  24906  taylply2  24950  mpaaeu  39743
 Copyright terms: Public domain W3C validator