Theorem plydivlem4 25562

Description: Lemma for plydivex 25563. Induction step. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
plydiv.pl	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.tm	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.rc	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
plydiv.m1	⊢ (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
plydiv.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.z	⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0𝑝)
plydiv.r	⊢ 𝑅 = (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))
plydiv.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
plydiv.e	⊢ (𝜑 → (𝑀 − 𝑁) = 𝐷)
plydiv.fz	⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0𝑝)
plydiv.u	⊢ 𝑈 = (𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))
plydiv.h	⊢ 𝐻 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (((𝐴‘𝑀) / (𝐵‘𝑁)) · (𝑧↑𝐷)))
plydiv.al	⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − 𝑁) < 𝐷) → ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑈 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑈) < 𝑁)))
plydiv.a	⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
plydiv.b	⊢ 𝐵 = (coeff‘𝐺)
plydiv.m	⊢ 𝑀 = (deg‘𝐹)
plydiv.n	⊢ 𝑁 = (deg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
plydivlem4	⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < 𝑁))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑓,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦,𝑧,𝐹   𝑓,𝐻,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝐷,𝑓,𝑧   𝑥,𝑀,𝑦,𝑧   𝑓,𝑁,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦,𝑧   𝑓,𝐺,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦,𝑧   𝑅,𝑓,𝑝,𝑥,𝑦   𝑆,𝑓,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑝

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑞)   𝐴(𝑓,𝑞,𝑝)   𝐵(𝑓,𝑞,𝑝)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑞,𝑝)   𝑅(𝑧,𝑞)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑞,𝑝)   𝑀(𝑓,𝑞,𝑝)

Proof of Theorem plydivlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plydiv.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
2		plybss 25461	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
3	1, 2	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
4		plydiv.pl	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
5		plydiv.tm	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
6		plydiv.rc	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
7		plydiv.m1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
8	4, 5, 6, 7	plydivlem1 25559	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑆)
9		plydiv.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
10	9	coef2 25498	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 0 ∈ 𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶𝑆)
11	1, 8, 10	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶𝑆)
12		plydiv.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑀 = (deg‘𝐹)
13		dgrcl 25500	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
14	1, 13	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
15	12, 14	eqeltrid 2841	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
16	11, 15	ffvelcdmd 7018	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑀) ∈ 𝑆)
17	3, 16	sseldd 3933	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑀) ∈ ℂ)
18		plydiv.g	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
19		plydiv.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 = (coeff‘𝐺)
20	19	coef2 25498	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 0 ∈ 𝑆) → 𝐵:ℕ0⟶𝑆)
21	18, 8, 20	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵:ℕ0⟶𝑆)
22		plydiv.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑁 = (deg‘𝐺)
23		dgrcl 25500	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐺) ∈ ℕ0)
24	18, 23	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐺) ∈ ℕ0)
25	22, 24	eqeltrid 2841	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
26	21, 25	ffvelcdmd 7018	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘𝑁) ∈ 𝑆)
27	3, 26	sseldd 3933	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘𝑁) ∈ ℂ)
28		plydiv.z	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0𝑝)
29	22, 19	dgreq0 25532	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐺 = 0𝑝 ↔ (𝐵‘𝑁) = 0))
30	18, 29	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐺 = 0𝑝 ↔ (𝐵‘𝑁) = 0))
31	30	necon3bid 2985	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ≠ 0𝑝 ↔ (𝐵‘𝑁) ≠ 0))
32	28, 31	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘𝑁) ≠ 0)
33	17, 27, 32	divrecd 11855	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝑀) / (𝐵‘𝑁)) = ((𝐴‘𝑀) · (1 / (𝐵‘𝑁))))
34		fvex 6838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵‘𝑁) ∈ V
35		eleq1 2824	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (𝐵‘𝑁) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↔ (𝐵‘𝑁) ∈ 𝑆))
36		neeq1 3003	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (𝐵‘𝑁) → (𝑥 ≠ 0 ↔ (𝐵‘𝑁) ≠ 0))
37	35, 36	anbi12d 631	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝐵‘𝑁) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ≠ 0) ↔ ((𝐵‘𝑁) ∈ 𝑆 ∧ (𝐵‘𝑁) ≠ 0)))
38	37	anbi2d 629	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝐵‘𝑁) → ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ≠ 0)) ↔ (𝜑 ∧ ((𝐵‘𝑁) ∈ 𝑆 ∧ (𝐵‘𝑁) ≠ 0))))
39		oveq2 7345	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝐵‘𝑁) → (1 / 𝑥) = (1 / (𝐵‘𝑁)))
40	39	eleq1d 2821	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝐵‘𝑁) → ((1 / 𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (1 / (𝐵‘𝑁)) ∈ 𝑆))
41	38, 40	imbi12d 344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝐵‘𝑁) → (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆) ↔ ((𝜑 ∧ ((𝐵‘𝑁) ∈ 𝑆 ∧ (𝐵‘𝑁) ≠ 0)) → (1 / (𝐵‘𝑁)) ∈ 𝑆)))
42	34, 41, 6	vtocl 3507	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐵‘𝑁) ∈ 𝑆 ∧ (𝐵‘𝑁) ≠ 0)) → (1 / (𝐵‘𝑁)) ∈ 𝑆)
43	42	ex 413	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐵‘𝑁) ∈ 𝑆 ∧ (𝐵‘𝑁) ≠ 0) → (1 / (𝐵‘𝑁)) ∈ 𝑆))
44	26, 32, 43	mp2and 696	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 / (𝐵‘𝑁)) ∈ 𝑆)
45	5, 16, 44	caovcld 7527	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝑀) · (1 / (𝐵‘𝑁))) ∈ 𝑆)
46	33, 45	eqeltrd 2837	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝑀) / (𝐵‘𝑁)) ∈ 𝑆)
47		plydiv.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
48		plydiv.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (((𝐴‘𝑀) / (𝐵‘𝑁)) · (𝑧↑𝐷)))
49	48	ply1term 25471	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ((𝐴‘𝑀) / (𝐵‘𝑁)) ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → 𝐻 ∈ (Poly‘𝑆))
50	3, 46, 47, 49	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (Poly‘𝑆))
51	50	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐻 ∈ (Poly‘𝑆))
52		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))
53	4	adantlr 712	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
54	51, 52, 53	plyadd 25484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐻 ∘f + 𝑝) ∈ (Poly‘𝑆))
55		cnex 11053	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ ∈ V
56	55	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → ℂ ∈ V)
57	1	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
58		plyf 25465	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
59	57, 58	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
60		mulcl 11056	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
61	60	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
62		plyf 25465	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐻 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐻:ℂ⟶ℂ)
63	51, 62	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐻:ℂ⟶ℂ)
64	18	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
65		plyf 25465	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
67		inidm 4165	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂ ∩ ℂ) = ℂ
68	61, 63, 66, 56, 56, 67	off 7613	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐻 ∘f · 𝐺):ℂ⟶ℂ)
69		plyf 25465	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑝:ℂ⟶ℂ)
70	69	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝑝:ℂ⟶ℂ)
71	61, 66, 70, 56, 56, 67	off 7613	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐺 ∘f · 𝑝):ℂ⟶ℂ)
72		subsub4 11355	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 − 𝑦) − 𝑧) = (𝑥 − (𝑦 + 𝑧)))
73	72	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → ((𝑥 − 𝑦) − 𝑧) = (𝑥 − (𝑦 + 𝑧)))
74	56, 59, 68, 71, 73	caofass 7632	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = (𝐹 ∘f − ((𝐻 ∘f · 𝐺) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝑝))))
75		mulcom 11058	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))
76	75	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))
77	56, 63, 66, 76	caofcom 7630	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐻 ∘f · 𝐺) = (𝐺 ∘f · 𝐻))
78	77	oveq1d 7352	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((𝐻 ∘f · 𝐺) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝑝)) = ((𝐺 ∘f · 𝐻) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝑝)))
79		adddi 11061	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
80	79	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
81	56, 66, 63, 70, 80	caofdi 7634	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐺 ∘f · (𝐻 ∘f + 𝑝)) = ((𝐺 ∘f · 𝐻) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝑝)))
82	78, 81	eqtr4d 2779	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((𝐻 ∘f · 𝐺) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝑝)) = (𝐺 ∘f · (𝐻 ∘f + 𝑝)))
83	82	oveq2d 7353	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐹 ∘f − ((𝐻 ∘f · 𝐺) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝑝))) = (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · (𝐻 ∘f + 𝑝))))
84	74, 83	eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · (𝐻 ∘f + 𝑝))))
85	84	eqeq1d 2738	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → (((𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ↔ (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · (𝐻 ∘f + 𝑝))) = 0𝑝))
86	84	fveq2d 6829	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘((𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) = (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · (𝐻 ∘f + 𝑝)))))
87	86	breq1d 5102	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((deg‘((𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < 𝑁 ↔ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · (𝐻 ∘f + 𝑝)))) < 𝑁))
88	85, 87	orbi12d 916	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((((𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘((𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < 𝑁) ↔ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · (𝐻 ∘f + 𝑝))) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · (𝐻 ∘f + 𝑝)))) < 𝑁)))
89	88	biimpa 477	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (((𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘((𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < 𝑁)) → ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · (𝐻 ∘f + 𝑝))) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · (𝐻 ∘f + 𝑝)))) < 𝑁))
90		plydiv.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))
91		oveq2 7345	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = (𝐻 ∘f + 𝑝) → (𝐺 ∘f · 𝑞) = (𝐺 ∘f · (𝐻 ∘f + 𝑝)))
92	91	oveq2d 7353	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = (𝐻 ∘f + 𝑝) → (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · (𝐻 ∘f + 𝑝))))
93	90, 92	eqtrid 2788	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = (𝐻 ∘f + 𝑝) → 𝑅 = (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · (𝐻 ∘f + 𝑝))))
94	93	eqeq1d 2738	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = (𝐻 ∘f + 𝑝) → (𝑅 = 0𝑝 ↔ (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · (𝐻 ∘f + 𝑝))) = 0𝑝))
95	93	fveq2d 6829	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = (𝐻 ∘f + 𝑝) → (deg‘𝑅) = (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · (𝐻 ∘f + 𝑝)))))
96	95	breq1d 5102	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = (𝐻 ∘f + 𝑝) → ((deg‘𝑅) < 𝑁 ↔ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · (𝐻 ∘f + 𝑝)))) < 𝑁))
97	94, 96	orbi12d 916	. . . 4 ⊢ (𝑞 = (𝐻 ∘f + 𝑝) → ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < 𝑁) ↔ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · (𝐻 ∘f + 𝑝))) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · (𝐻 ∘f + 𝑝)))) < 𝑁)))
98	97	rspcev 3570	. . 3 ⊢ (((𝐻 ∘f + 𝑝) ∈ (Poly‘𝑆) ∧ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · (𝐻 ∘f + 𝑝))) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · (𝐻 ∘f + 𝑝)))) < 𝑁)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < 𝑁))
99	54, 89, 98	syl2an2r 682	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (((𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘((𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < 𝑁)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < 𝑁))
100	50, 18, 4, 5	plymul 25485	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘f · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆))
101		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (deg‘(𝐻 ∘f · 𝐺)) = (deg‘(𝐻 ∘f · 𝐺))
102	12, 101	dgrsub 25539	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐻 ∘f · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺))) ≤ if(𝑀 ≤ (deg‘(𝐻 ∘f · 𝐺)), (deg‘(𝐻 ∘f · 𝐺)), 𝑀))
103	1, 100, 102	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺))) ≤ if(𝑀 ≤ (deg‘(𝐻 ∘f · 𝐺)), (deg‘(𝐻 ∘f · 𝐺)), 𝑀))
104		plydiv.fz	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0𝑝)
105	12, 9	dgreq0 25532	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹 = 0𝑝 ↔ (𝐴‘𝑀) = 0))
106	1, 105	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐹 = 0𝑝 ↔ (𝐴‘𝑀) = 0))
107	106	necon3bid 2985	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ≠ 0𝑝 ↔ (𝐴‘𝑀) ≠ 0))
108	104, 107	mpbid 231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑀) ≠ 0)
109	17, 27, 108, 32	divne0d 11868	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝑀) / (𝐵‘𝑁)) ≠ 0)
110	3, 46	sseldd 3933	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝑀) / (𝐵‘𝑁)) ∈ ℂ)
111	48	coe1term 25526	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴‘𝑀) / (𝐵‘𝑁)) ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → ((coeff‘𝐻)‘𝐷) = if(𝐷 = 𝐷, ((𝐴‘𝑀) / (𝐵‘𝑁)), 0))
112	110, 47, 47, 111	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((coeff‘𝐻)‘𝐷) = if(𝐷 = 𝐷, ((𝐴‘𝑀) / (𝐵‘𝑁)), 0))
113		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐷 = 𝐷
114	113	iftruei 4480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ if(𝐷 = 𝐷, ((𝐴‘𝑀) / (𝐵‘𝑁)), 0) = ((𝐴‘𝑀) / (𝐵‘𝑁))
115	112, 114	eqtrdi 2792	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((coeff‘𝐻)‘𝐷) = ((𝐴‘𝑀) / (𝐵‘𝑁)))
116		c0ex 11070	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ V
117	116	fvconst2 7135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ0 → ((ℕ0 × {0})‘𝐷) = 0)
118	47, 117	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((ℕ0 × {0})‘𝐷) = 0)
119	109, 115, 118	3netr4d 3018	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((coeff‘𝐻)‘𝐷) ≠ ((ℕ0 × {0})‘𝐷))
120		fveq2 6825	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐻 = 0𝑝 → (coeff‘𝐻) = (coeff‘0𝑝))
121		coe0 25523	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (coeff‘0𝑝) = (ℕ0 × {0})
122	120, 121	eqtrdi 2792	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐻 = 0𝑝 → (coeff‘𝐻) = (ℕ0 × {0}))
123	122	fveq1d 6827	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐻 = 0𝑝 → ((coeff‘𝐻)‘𝐷) = ((ℕ0 × {0})‘𝐷))
124	123	necon3i 2973	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((coeff‘𝐻)‘𝐷) ≠ ((ℕ0 × {0})‘𝐷) → 𝐻 ≠ 0𝑝)
125	119, 124	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ≠ 0𝑝)
126		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (deg‘𝐻) = (deg‘𝐻)
127	126, 22	dgrmul 25537	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐻 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐻 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → (deg‘(𝐻 ∘f · 𝐺)) = ((deg‘𝐻) + 𝑁))
128	50, 125, 18, 28, 127	syl22anc 836	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (deg‘(𝐻 ∘f · 𝐺)) = ((deg‘𝐻) + 𝑁))
129	48	dgr1term 25527	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑀) / (𝐵‘𝑁)) ∈ ℂ ∧ ((𝐴‘𝑀) / (𝐵‘𝑁)) ≠ 0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (deg‘𝐻) = 𝐷)
130	110, 109, 47, 129	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐻) = 𝐷)
131		plydiv.e	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 𝑁) = 𝐷)
132	130, 131	eqtr4d 2779	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐻) = (𝑀 − 𝑁))
133	132	oveq1d 7352	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((deg‘𝐻) + 𝑁) = ((𝑀 − 𝑁) + 𝑁))
134	15	nn0cnd 12396	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
135	25	nn0cnd 12396	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
136	134, 135	npcand 11437	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 − 𝑁) + 𝑁) = 𝑀)
137	133, 136	eqtrd 2776	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((deg‘𝐻) + 𝑁) = 𝑀)
138	128, 137	eqtrd 2776	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (deg‘(𝐻 ∘f · 𝐺)) = 𝑀)
139	138	ifeq1d 4492	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝑀 ≤ (deg‘(𝐻 ∘f · 𝐺)), (deg‘(𝐻 ∘f · 𝐺)), 𝑀) = if(𝑀 ≤ (deg‘(𝐻 ∘f · 𝐺)), 𝑀, 𝑀))
140		ifid 4513	. . . . . 6 ⊢ if(𝑀 ≤ (deg‘(𝐻 ∘f · 𝐺)), 𝑀, 𝑀) = 𝑀
141	139, 140	eqtrdi 2792	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(𝑀 ≤ (deg‘(𝐻 ∘f · 𝐺)), (deg‘(𝐻 ∘f · 𝐺)), 𝑀) = 𝑀)
142	103, 141	breqtrd 5118	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺))) ≤ 𝑀)
143		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (coeff‘(𝐻 ∘f · 𝐺)) = (coeff‘(𝐻 ∘f · 𝐺))
144	9, 143	coesub 25524	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐻 ∘f · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆)) → (coeff‘(𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺))) = (𝐴 ∘f − (coeff‘(𝐻 ∘f · 𝐺))))
145	1, 100, 144	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (coeff‘(𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺))) = (𝐴 ∘f − (coeff‘(𝐻 ∘f · 𝐺))))
146	145	fveq1d 6827	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((coeff‘(𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)))‘𝑀) = ((𝐴 ∘f − (coeff‘(𝐻 ∘f · 𝐺)))‘𝑀))
147	9	coef3 25499	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
148		ffn 6651	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴:ℕ0⟶ℂ → 𝐴 Fn ℕ0)
149	1, 147, 148	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 Fn ℕ0)
150	143	coef3 25499	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐻 ∘f · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘(𝐻 ∘f · 𝐺)):ℕ0⟶ℂ)
151		ffn 6651	. . . . . . . 8 ⊢ ((coeff‘(𝐻 ∘f · 𝐺)):ℕ0⟶ℂ → (coeff‘(𝐻 ∘f · 𝐺)) Fn ℕ0)
152	100, 150, 151	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (coeff‘(𝐻 ∘f · 𝐺)) Fn ℕ0)
153		nn0ex 12340	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 ∈ V
154	153	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
155		inidm 4165	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ0 ∩ ℕ0) = ℕ0
156		eqidd 2737	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑀) = (𝐴‘𝑀))
157		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (coeff‘𝐻) = (coeff‘𝐻)
158	157, 19, 126, 22	coemulhi 25521	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐻 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((coeff‘(𝐻 ∘f · 𝐺))‘((deg‘𝐻) + 𝑁)) = (((coeff‘𝐻)‘(deg‘𝐻)) · (𝐵‘𝑁)))
159	50, 18, 158	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((coeff‘(𝐻 ∘f · 𝐺))‘((deg‘𝐻) + 𝑁)) = (((coeff‘𝐻)‘(deg‘𝐻)) · (𝐵‘𝑁)))
160	137	fveq2d 6829	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((coeff‘(𝐻 ∘f · 𝐺))‘((deg‘𝐻) + 𝑁)) = ((coeff‘(𝐻 ∘f · 𝐺))‘𝑀))
161	130	fveq2d 6829	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((coeff‘𝐻)‘(deg‘𝐻)) = ((coeff‘𝐻)‘𝐷))
162	161, 115	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((coeff‘𝐻)‘(deg‘𝐻)) = ((𝐴‘𝑀) / (𝐵‘𝑁)))
163	162	oveq1d 7352	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((coeff‘𝐻)‘(deg‘𝐻)) · (𝐵‘𝑁)) = (((𝐴‘𝑀) / (𝐵‘𝑁)) · (𝐵‘𝑁)))
164	17, 27, 32	divcan1d 11853	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘𝑀) / (𝐵‘𝑁)) · (𝐵‘𝑁)) = (𝐴‘𝑀))
165	163, 164	eqtrd 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((coeff‘𝐻)‘(deg‘𝐻)) · (𝐵‘𝑁)) = (𝐴‘𝑀))
166	159, 160, 165	3eqtr3d 2784	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((coeff‘(𝐻 ∘f · 𝐺))‘𝑀) = (𝐴‘𝑀))
167	166	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((coeff‘(𝐻 ∘f · 𝐺))‘𝑀) = (𝐴‘𝑀))
168	149, 152, 154, 154, 155, 156, 167	ofval 7606	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐴 ∘f − (coeff‘(𝐻 ∘f · 𝐺)))‘𝑀) = ((𝐴‘𝑀) − (𝐴‘𝑀)))
169	15, 168	mpdan 684	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∘f − (coeff‘(𝐻 ∘f · 𝐺)))‘𝑀) = ((𝐴‘𝑀) − (𝐴‘𝑀)))
170	17	subidd 11421	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝑀) − (𝐴‘𝑀)) = 0)
171	146, 169, 170	3eqtrd 2780	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((coeff‘(𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)))‘𝑀) = 0)
172	1, 100, 4, 5, 7	plysub 25486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) ∈ (Poly‘𝑆))
173		dgrcl 25500	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺))) ∈ ℕ0)
174	172, 173	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺))) ∈ ℕ0)
175	174	nn0red 12395	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺))) ∈ ℝ)
176	15	nn0red 12395	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
177	25	nn0red 12395	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
178	175, 176, 177	ltsub1d 11685	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((deg‘(𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺))) < 𝑀 ↔ ((deg‘(𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺))) − 𝑁) < (𝑀 − 𝑁)))
179	131	breq2d 5104	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((deg‘(𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺))) − 𝑁) < (𝑀 − 𝑁) ↔ ((deg‘(𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺))) − 𝑁) < 𝐷))
180	178, 179	bitrd 278	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((deg‘(𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺))) < 𝑀 ↔ ((deg‘(𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺))) − 𝑁) < 𝐷))
181	180	orbi2d 913	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺))) < 𝑀) ↔ ((𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) = 0𝑝 ∨ ((deg‘(𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺))) − 𝑁) < 𝐷)))
182		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺))) = (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)))
183		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (coeff‘(𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺))) = (coeff‘(𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)))
184	182, 183	dgrlt 25533	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺))) < 𝑀) ↔ ((deg‘(𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺))) ≤ 𝑀 ∧ ((coeff‘(𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)))‘𝑀) = 0)))
185	172, 15, 184	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺))) < 𝑀) ↔ ((deg‘(𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺))) ≤ 𝑀 ∧ ((coeff‘(𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)))‘𝑀) = 0)))
186	181, 185	bitr3d 280	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) = 0𝑝 ∨ ((deg‘(𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺))) − 𝑁) < 𝐷) ↔ ((deg‘(𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺))) ≤ 𝑀 ∧ ((coeff‘(𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)))‘𝑀) = 0)))
187	142, 171, 186	mpbir2and 710	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) = 0𝑝 ∨ ((deg‘(𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺))) − 𝑁) < 𝐷))
188		eqeq1 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = (𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) → (𝑓 = 0𝑝 ↔ (𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) = 0𝑝))
189		fveq2 6825	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) → (deg‘𝑓) = (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺))))
190	189	oveq1d 7352	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) → ((deg‘𝑓) − 𝑁) = ((deg‘(𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺))) − 𝑁))
191	190	breq1d 5102	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = (𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) → (((deg‘𝑓) − 𝑁) < 𝐷 ↔ ((deg‘(𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺))) − 𝑁) < 𝐷))
192	188, 191	orbi12d 916	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = (𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) → ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − 𝑁) < 𝐷) ↔ ((𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) = 0𝑝 ∨ ((deg‘(𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺))) − 𝑁) < 𝐷)))
193		plydiv.u	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑈 = (𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))
194		oveq1 7344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = (𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) → (𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = ((𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)))
195	193, 194	eqtrid 2788	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) → 𝑈 = ((𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)))
196	195	eqeq1d 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) → (𝑈 = 0𝑝 ↔ ((𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝))
197	195	fveq2d 6829	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) → (deg‘𝑈) = (deg‘((𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))))
198	197	breq1d 5102	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) → ((deg‘𝑈) < 𝑁 ↔ (deg‘((𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < 𝑁))
199	196, 198	orbi12d 916	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = (𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) → ((𝑈 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑈) < 𝑁) ↔ (((𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘((𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < 𝑁)))
200	199	rexbidv 3171	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = (𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) → (∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑈 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑈) < 𝑁) ↔ ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)(((𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘((𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < 𝑁)))
201	192, 200	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑓 = (𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) → (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − 𝑁) < 𝐷) → ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑈 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑈) < 𝑁)) ↔ (((𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) = 0𝑝 ∨ ((deg‘(𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺))) − 𝑁) < 𝐷) → ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)(((𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘((𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < 𝑁))))
202		plydiv.al	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − 𝑁) < 𝐷) → ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑈 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑈) < 𝑁)))
203	201, 202, 172	rspcdva 3571	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) = 0𝑝 ∨ ((deg‘(𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺))) − 𝑁) < 𝐷) → ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)(((𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘((𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < 𝑁)))
204	187, 203	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)(((𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘((𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < 𝑁))
205	99, 204	r19.29a 3155	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 844   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  Vcvv 3441   ⊆ wss 3898  ifcif 4473  {csn 4573   class class class wbr 5092   ↦ cmpt 5175   × cxp 5618   Fn wfn 6474  ⟶wf 6475  ‘cfv 6479  (class class class)co 7337   ∘_f cof 7593  ℂcc 10970  0cc0 10972  1c1 10973   + caddc 10975   · cmul 10977   < clt 11110   ≤ cle 11111   − cmin 11306  -cneg 11307   / cdiv 11733  ℕ₀cn0 12334  ↑cexp 13883  0_𝑝c0p 24939  Polycply 25451  coeffccoe 25453  degcdgr 25454

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-inf2 9498  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049  ax-pre-sup 11050

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-int 4895  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-isom 6488  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-of 7595  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-er 8569  df-map 8688  df-pm 8689  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-sup 9299  df-inf 9300  df-oi 9367  df-card 9796  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-div 11734  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-n0 12335  df-z 12421  df-uz 12684  df-rp 12832  df-fz 13341  df-fzo 13484  df-fl 13613  df-seq 13823  df-exp 13884  df-hash 14146  df-cj 14909  df-re 14910  df-im 14911  df-sqrt 15045  df-abs 15046  df-clim 15296  df-rlim 15297  df-sum 15497  df-0p 24940  df-ply 25455  df-coe 25457  df-dgr 25458

This theorem is referenced by:  plydivex  25563