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Theorem plydivlem4 24895
Description: Lemma for plydivex 24896. Induction step. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plydiv.pl ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.tm ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.rc ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
plydiv.m1 (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
plydiv.f (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.g (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.z (𝜑𝐺 ≠ 0𝑝)
plydiv.r 𝑅 = (𝐹f − (𝐺f · 𝑞))
plydiv.d (𝜑𝐷 ∈ ℕ0)
plydiv.e (𝜑 → (𝑀𝑁) = 𝐷)
plydiv.fz (𝜑𝐹 ≠ 0𝑝)
plydiv.u 𝑈 = (𝑓f − (𝐺f · 𝑝))
plydiv.h 𝐻 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁)) · (𝑧𝐷)))
plydiv.al (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − 𝑁) < 𝐷) → ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑈 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑈) < 𝑁)))
plydiv.a 𝐴 = (coeff‘𝐹)
plydiv.b 𝐵 = (coeff‘𝐺)
plydiv.m 𝑀 = (deg‘𝐹)
plydiv.n 𝑁 = (deg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
plydivlem4 (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < 𝑁))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑓,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦,𝑧,𝐹   𝑓,𝐻,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝐷,𝑓,𝑧   𝑥,𝑀,𝑦,𝑧   𝑓,𝑁,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦,𝑧   𝑓,𝐺,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦,𝑧   𝑅,𝑓,𝑝,𝑥,𝑦   𝑆,𝑓,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑝
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑞)   𝐴(𝑓,𝑞,𝑝)   𝐵(𝑓,𝑞,𝑝)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑞,𝑝)   𝑅(𝑧,𝑞)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑞,𝑝)   𝑀(𝑓,𝑞,𝑝)

Proof of Theorem plydivlem4
StepHypRef Expression
1 plydiv.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
2 plybss 24794 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
31, 2syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
4 plydiv.pl . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
5 plydiv.tm . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
6 plydiv.rc . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
7 plydiv.m1 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
84, 5, 6, 7plydivlem1 24892 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ∈ 𝑆)
9 plydiv.a . . . . . . . . . . . 12 𝐴 = (coeff‘𝐹)
109coef2 24831 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 0 ∈ 𝑆) → 𝐴:ℕ0𝑆)
111, 8, 10syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴:ℕ0𝑆)
12 plydiv.m . . . . . . . . . . 11 𝑀 = (deg‘𝐹)
13 dgrcl 24833 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
141, 13syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
1512, 14eqeltrid 2897 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
1611, 15ffvelrnd 6833 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴𝑀) ∈ 𝑆)
173, 16sseldd 3919 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴𝑀) ∈ ℂ)
18 plydiv.g . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
19 plydiv.b . . . . . . . . . . . 12 𝐵 = (coeff‘𝐺)
2019coef2 24831 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 0 ∈ 𝑆) → 𝐵:ℕ0𝑆)
2118, 8, 20syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵:ℕ0𝑆)
22 plydiv.n . . . . . . . . . . 11 𝑁 = (deg‘𝐺)
23 dgrcl 24833 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐺) ∈ ℕ0)
2418, 23syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (deg‘𝐺) ∈ ℕ0)
2522, 24eqeltrid 2897 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2621, 25ffvelrnd 6833 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵𝑁) ∈ 𝑆)
273, 26sseldd 3919 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵𝑁) ∈ ℂ)
28 plydiv.z . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 ≠ 0𝑝)
2922, 19dgreq0 24865 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐺 = 0𝑝 ↔ (𝐵𝑁) = 0))
3018, 29syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺 = 0𝑝 ↔ (𝐵𝑁) = 0))
3130necon3bid 3034 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺 ≠ 0𝑝 ↔ (𝐵𝑁) ≠ 0))
3228, 31mpbid 235 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵𝑁) ≠ 0)
3317, 27, 32divrecd 11412 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁)) = ((𝐴𝑀) · (1 / (𝐵𝑁))))
34 fvex 6662 . . . . . . . . . . 11 (𝐵𝑁) ∈ V
35 eleq1 2880 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝐵𝑁) → (𝑥𝑆 ↔ (𝐵𝑁) ∈ 𝑆))
36 neeq1 3052 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝐵𝑁) → (𝑥 ≠ 0 ↔ (𝐵𝑁) ≠ 0))
3735, 36anbi12d 633 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝐵𝑁) → ((𝑥𝑆𝑥 ≠ 0) ↔ ((𝐵𝑁) ∈ 𝑆 ∧ (𝐵𝑁) ≠ 0)))
3837anbi2d 631 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝐵𝑁) → ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑥 ≠ 0)) ↔ (𝜑 ∧ ((𝐵𝑁) ∈ 𝑆 ∧ (𝐵𝑁) ≠ 0))))
39 oveq2 7147 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝐵𝑁) → (1 / 𝑥) = (1 / (𝐵𝑁)))
4039eleq1d 2877 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝐵𝑁) → ((1 / 𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (1 / (𝐵𝑁)) ∈ 𝑆))
4138, 40imbi12d 348 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝐵𝑁) → (((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆) ↔ ((𝜑 ∧ ((𝐵𝑁) ∈ 𝑆 ∧ (𝐵𝑁) ≠ 0)) → (1 / (𝐵𝑁)) ∈ 𝑆)))
4234, 41, 6vtocl 3510 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝐵𝑁) ∈ 𝑆 ∧ (𝐵𝑁) ≠ 0)) → (1 / (𝐵𝑁)) ∈ 𝑆)
4342ex 416 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐵𝑁) ∈ 𝑆 ∧ (𝐵𝑁) ≠ 0) → (1 / (𝐵𝑁)) ∈ 𝑆))
4426, 32, 43mp2and 698 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 / (𝐵𝑁)) ∈ 𝑆)
455, 16, 44caovcld 7325 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴𝑀) · (1 / (𝐵𝑁))) ∈ 𝑆)
4633, 45eqeltrd 2893 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁)) ∈ 𝑆)
47 plydiv.d . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ ℕ0)
48 plydiv.h . . . . . . 7 𝐻 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁)) · (𝑧𝐷)))
4948ply1term 24804 . . . . . 6 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁)) ∈ 𝑆𝐷 ∈ ℕ0) → 𝐻 ∈ (Poly‘𝑆))
503, 46, 47, 49syl3anc 1368 . . . . 5 (𝜑𝐻 ∈ (Poly‘𝑆))
5150adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐻 ∈ (Poly‘𝑆))
52 simpr 488 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))
534adantlr 714 . . . 4 (((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
5451, 52, 53plyadd 24817 . . 3 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐻f + 𝑝) ∈ (Poly‘𝑆))
55 cnex 10611 . . . . . . . . 9 ℂ ∈ V
5655a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → ℂ ∈ V)
571adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
58 plyf 24798 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
5957, 58syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
60 mulcl 10614 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
6160adantl 485 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
62 plyf 24798 . . . . . . . . . 10 (𝐻 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐻:ℂ⟶ℂ)
6351, 62syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐻:ℂ⟶ℂ)
6418adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
65 plyf 24798 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
6664, 65syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
67 inidm 4148 . . . . . . . . 9 (ℂ ∩ ℂ) = ℂ
6861, 63, 66, 56, 56, 67off 7408 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐻f · 𝐺):ℂ⟶ℂ)
69 plyf 24798 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑝:ℂ⟶ℂ)
7069adantl 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝑝:ℂ⟶ℂ)
7161, 66, 70, 56, 56, 67off 7408 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐺f · 𝑝):ℂ⟶ℂ)
72 subsub4 10912 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥𝑦) − 𝑧) = (𝑥 − (𝑦 + 𝑧)))
7372adantl 485 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → ((𝑥𝑦) − 𝑧) = (𝑥 − (𝑦 + 𝑧)))
7456, 59, 68, 71, 73caofass 7427 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) ∘f − (𝐺f · 𝑝)) = (𝐹f − ((𝐻f · 𝐺) ∘f + (𝐺f · 𝑝))))
75 mulcom 10616 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))
7675adantl 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))
7756, 63, 66, 76caofcom 7425 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐻f · 𝐺) = (𝐺f · 𝐻))
7877oveq1d 7154 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((𝐻f · 𝐺) ∘f + (𝐺f · 𝑝)) = ((𝐺f · 𝐻) ∘f + (𝐺f · 𝑝)))
79 adddi 10619 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
8079adantl 485 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
8156, 66, 63, 70, 80caofdi 7429 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐺f · (𝐻f + 𝑝)) = ((𝐺f · 𝐻) ∘f + (𝐺f · 𝑝)))
8278, 81eqtr4d 2839 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((𝐻f · 𝐺) ∘f + (𝐺f · 𝑝)) = (𝐺f · (𝐻f + 𝑝)))
8382oveq2d 7155 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐹f − ((𝐻f · 𝐺) ∘f + (𝐺f · 𝑝))) = (𝐹f − (𝐺f · (𝐻f + 𝑝))))
8474, 83eqtrd 2836 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) ∘f − (𝐺f · 𝑝)) = (𝐹f − (𝐺f · (𝐻f + 𝑝))))
8584eqeq1d 2803 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → (((𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) ∘f − (𝐺f · 𝑝)) = 0𝑝 ↔ (𝐹f − (𝐺f · (𝐻f + 𝑝))) = 0𝑝))
8684fveq2d 6653 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘((𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) ∘f − (𝐺f · 𝑝))) = (deg‘(𝐹f − (𝐺f · (𝐻f + 𝑝)))))
8786breq1d 5043 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((deg‘((𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) ∘f − (𝐺f · 𝑝))) < 𝑁 ↔ (deg‘(𝐹f − (𝐺f · (𝐻f + 𝑝)))) < 𝑁))
8885, 87orbi12d 916 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((((𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) ∘f − (𝐺f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘((𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) ∘f − (𝐺f · 𝑝))) < 𝑁) ↔ ((𝐹f − (𝐺f · (𝐻f + 𝑝))) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝐺f · (𝐻f + 𝑝)))) < 𝑁)))
8988biimpa 480 . . 3 (((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (((𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) ∘f − (𝐺f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘((𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) ∘f − (𝐺f · 𝑝))) < 𝑁)) → ((𝐹f − (𝐺f · (𝐻f + 𝑝))) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝐺f · (𝐻f + 𝑝)))) < 𝑁))
90 plydiv.r . . . . . . 7 𝑅 = (𝐹f − (𝐺f · 𝑞))
91 oveq2 7147 . . . . . . . 8 (𝑞 = (𝐻f + 𝑝) → (𝐺f · 𝑞) = (𝐺f · (𝐻f + 𝑝)))
9291oveq2d 7155 . . . . . . 7 (𝑞 = (𝐻f + 𝑝) → (𝐹f − (𝐺f · 𝑞)) = (𝐹f − (𝐺f · (𝐻f + 𝑝))))
9390, 92syl5eq 2848 . . . . . 6 (𝑞 = (𝐻f + 𝑝) → 𝑅 = (𝐹f − (𝐺f · (𝐻f + 𝑝))))
9493eqeq1d 2803 . . . . 5 (𝑞 = (𝐻f + 𝑝) → (𝑅 = 0𝑝 ↔ (𝐹f − (𝐺f · (𝐻f + 𝑝))) = 0𝑝))
9593fveq2d 6653 . . . . . 6 (𝑞 = (𝐻f + 𝑝) → (deg‘𝑅) = (deg‘(𝐹f − (𝐺f · (𝐻f + 𝑝)))))
9695breq1d 5043 . . . . 5 (𝑞 = (𝐻f + 𝑝) → ((deg‘𝑅) < 𝑁 ↔ (deg‘(𝐹f − (𝐺f · (𝐻f + 𝑝)))) < 𝑁))
9794, 96orbi12d 916 . . . 4 (𝑞 = (𝐻f + 𝑝) → ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < 𝑁) ↔ ((𝐹f − (𝐺f · (𝐻f + 𝑝))) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝐺f · (𝐻f + 𝑝)))) < 𝑁)))
9897rspcev 3574 . . 3 (((𝐻f + 𝑝) ∈ (Poly‘𝑆) ∧ ((𝐹f − (𝐺f · (𝐻f + 𝑝))) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝐺f · (𝐻f + 𝑝)))) < 𝑁)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < 𝑁))
9954, 89, 98syl2an2r 684 . 2 (((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (((𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) ∘f − (𝐺f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘((𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) ∘f − (𝐺f · 𝑝))) < 𝑁)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < 𝑁))
10050, 18, 4, 5plymul 24818 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐻f · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆))
101 eqid 2801 . . . . . . 7 (deg‘(𝐻f · 𝐺)) = (deg‘(𝐻f · 𝐺))
10212, 101dgrsub 24872 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐻f · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘(𝐹f − (𝐻f · 𝐺))) ≤ if(𝑀 ≤ (deg‘(𝐻f · 𝐺)), (deg‘(𝐻f · 𝐺)), 𝑀))
1031, 100, 102syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → (deg‘(𝐹f − (𝐻f · 𝐺))) ≤ if(𝑀 ≤ (deg‘(𝐻f · 𝐺)), (deg‘(𝐻f · 𝐺)), 𝑀))
104 plydiv.fz . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹 ≠ 0𝑝)
10512, 9dgreq0 24865 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹 = 0𝑝 ↔ (𝐴𝑀) = 0))
1061, 105syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐹 = 0𝑝 ↔ (𝐴𝑀) = 0))
107106necon3bid 3034 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹 ≠ 0𝑝 ↔ (𝐴𝑀) ≠ 0))
108104, 107mpbid 235 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴𝑀) ≠ 0)
10917, 27, 108, 32divne0d 11425 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁)) ≠ 0)
1103, 46sseldd 3919 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁)) ∈ ℂ)
11148coe1term 24859 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁)) ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0) → ((coeff‘𝐻)‘𝐷) = if(𝐷 = 𝐷, ((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁)), 0))
112110, 47, 47, 111syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((coeff‘𝐻)‘𝐷) = if(𝐷 = 𝐷, ((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁)), 0))
113 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . 13 𝐷 = 𝐷
114113iftruei 4435 . . . . . . . . . . . 12 if(𝐷 = 𝐷, ((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁)), 0) = ((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁))
115112, 114eqtrdi 2852 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((coeff‘𝐻)‘𝐷) = ((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁)))
116 c0ex 10628 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ V
117116fvconst2 6947 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∈ ℕ0 → ((ℕ0 × {0})‘𝐷) = 0)
11847, 117syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((ℕ0 × {0})‘𝐷) = 0)
119109, 115, 1183netr4d 3067 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((coeff‘𝐻)‘𝐷) ≠ ((ℕ0 × {0})‘𝐷))
120 fveq2 6649 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐻 = 0𝑝 → (coeff‘𝐻) = (coeff‘0𝑝))
121 coe0 24856 . . . . . . . . . . . . 13 (coeff‘0𝑝) = (ℕ0 × {0})
122120, 121eqtrdi 2852 . . . . . . . . . . . 12 (𝐻 = 0𝑝 → (coeff‘𝐻) = (ℕ0 × {0}))
123122fveq1d 6651 . . . . . . . . . . 11 (𝐻 = 0𝑝 → ((coeff‘𝐻)‘𝐷) = ((ℕ0 × {0})‘𝐷))
124123necon3i 3022 . . . . . . . . . 10 (((coeff‘𝐻)‘𝐷) ≠ ((ℕ0 × {0})‘𝐷) → 𝐻 ≠ 0𝑝)
125119, 124syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐻 ≠ 0𝑝)
126 eqid 2801 . . . . . . . . . 10 (deg‘𝐻) = (deg‘𝐻)
127126, 22dgrmul 24870 . . . . . . . . 9 (((𝐻 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐻 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → (deg‘(𝐻f · 𝐺)) = ((deg‘𝐻) + 𝑁))
12850, 125, 18, 28, 127syl22anc 837 . . . . . . . 8 (𝜑 → (deg‘(𝐻f · 𝐺)) = ((deg‘𝐻) + 𝑁))
12948dgr1term 24860 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁)) ∈ ℂ ∧ ((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁)) ≠ 0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (deg‘𝐻) = 𝐷)
130110, 109, 47, 129syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (deg‘𝐻) = 𝐷)
131 plydiv.e . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑀𝑁) = 𝐷)
132130, 131eqtr4d 2839 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (deg‘𝐻) = (𝑀𝑁))
133132oveq1d 7154 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((deg‘𝐻) + 𝑁) = ((𝑀𝑁) + 𝑁))
13415nn0cnd 11949 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
13525nn0cnd 11949 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
136134, 135npcand 10994 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀𝑁) + 𝑁) = 𝑀)
137133, 136eqtrd 2836 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((deg‘𝐻) + 𝑁) = 𝑀)
138128, 137eqtrd 2836 . . . . . . 7 (𝜑 → (deg‘(𝐻f · 𝐺)) = 𝑀)
139138ifeq1d 4446 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝑀 ≤ (deg‘(𝐻f · 𝐺)), (deg‘(𝐻f · 𝐺)), 𝑀) = if(𝑀 ≤ (deg‘(𝐻f · 𝐺)), 𝑀, 𝑀))
140 ifid 4467 . . . . . 6 if(𝑀 ≤ (deg‘(𝐻f · 𝐺)), 𝑀, 𝑀) = 𝑀
141139, 140eqtrdi 2852 . . . . 5 (𝜑 → if(𝑀 ≤ (deg‘(𝐻f · 𝐺)), (deg‘(𝐻f · 𝐺)), 𝑀) = 𝑀)
142103, 141breqtrd 5059 . . . 4 (𝜑 → (deg‘(𝐹f − (𝐻f · 𝐺))) ≤ 𝑀)
143 eqid 2801 . . . . . . . 8 (coeff‘(𝐻f · 𝐺)) = (coeff‘(𝐻f · 𝐺))
1449, 143coesub 24857 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐻f · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆)) → (coeff‘(𝐹f − (𝐻f · 𝐺))) = (𝐴f − (coeff‘(𝐻f · 𝐺))))
1451, 100, 144syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → (coeff‘(𝐹f − (𝐻f · 𝐺))) = (𝐴f − (coeff‘(𝐻f · 𝐺))))
146145fveq1d 6651 . . . . 5 (𝜑 → ((coeff‘(𝐹f − (𝐻f · 𝐺)))‘𝑀) = ((𝐴f − (coeff‘(𝐻f · 𝐺)))‘𝑀))
1479coef3 24832 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
148 ffn 6491 . . . . . . . 8 (𝐴:ℕ0⟶ℂ → 𝐴 Fn ℕ0)
1491, 147, 1483syl 18 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 Fn ℕ0)
150143coef3 24832 . . . . . . . 8 ((𝐻f · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘(𝐻f · 𝐺)):ℕ0⟶ℂ)
151 ffn 6491 . . . . . . . 8 ((coeff‘(𝐻f · 𝐺)):ℕ0⟶ℂ → (coeff‘(𝐻f · 𝐺)) Fn ℕ0)
152100, 150, 1513syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (coeff‘(𝐻f · 𝐺)) Fn ℕ0)
153 nn0ex 11895 . . . . . . . 8 0 ∈ V
154153a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
155 inidm 4148 . . . . . . 7 (ℕ0 ∩ ℕ0) = ℕ0
156 eqidd 2802 . . . . . . 7 ((𝜑𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑀) = (𝐴𝑀))
157 eqid 2801 . . . . . . . . . . 11 (coeff‘𝐻) = (coeff‘𝐻)
158157, 19, 126, 22coemulhi 24854 . . . . . . . . . 10 ((𝐻 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((coeff‘(𝐻f · 𝐺))‘((deg‘𝐻) + 𝑁)) = (((coeff‘𝐻)‘(deg‘𝐻)) · (𝐵𝑁)))
15950, 18, 158syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((coeff‘(𝐻f · 𝐺))‘((deg‘𝐻) + 𝑁)) = (((coeff‘𝐻)‘(deg‘𝐻)) · (𝐵𝑁)))
160137fveq2d 6653 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((coeff‘(𝐻f · 𝐺))‘((deg‘𝐻) + 𝑁)) = ((coeff‘(𝐻f · 𝐺))‘𝑀))
161130fveq2d 6653 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((coeff‘𝐻)‘(deg‘𝐻)) = ((coeff‘𝐻)‘𝐷))
162161, 115eqtrd 2836 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((coeff‘𝐻)‘(deg‘𝐻)) = ((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁)))
163162oveq1d 7154 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((coeff‘𝐻)‘(deg‘𝐻)) · (𝐵𝑁)) = (((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁)) · (𝐵𝑁)))
16417, 27, 32divcan1d 11410 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁)) · (𝐵𝑁)) = (𝐴𝑀))
165163, 164eqtrd 2836 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((coeff‘𝐻)‘(deg‘𝐻)) · (𝐵𝑁)) = (𝐴𝑀))
166159, 160, 1653eqtr3d 2844 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((coeff‘(𝐻f · 𝐺))‘𝑀) = (𝐴𝑀))
167166adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑀 ∈ ℕ0) → ((coeff‘(𝐻f · 𝐺))‘𝑀) = (𝐴𝑀))
168149, 152, 154, 154, 155, 156, 167ofval 7402 . . . . . 6 ((𝜑𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐴f − (coeff‘(𝐻f · 𝐺)))‘𝑀) = ((𝐴𝑀) − (𝐴𝑀)))
16915, 168mpdan 686 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴f − (coeff‘(𝐻f · 𝐺)))‘𝑀) = ((𝐴𝑀) − (𝐴𝑀)))
17017subidd 10978 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴𝑀) − (𝐴𝑀)) = 0)
171146, 169, 1703eqtrd 2840 . . . 4 (𝜑 → ((coeff‘(𝐹f − (𝐻f · 𝐺)))‘𝑀) = 0)
1721, 100, 4, 5, 7plysub 24819 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) ∈ (Poly‘𝑆))
173 dgrcl 24833 . . . . . . . . . 10 ((𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘(𝐹f − (𝐻f · 𝐺))) ∈ ℕ0)
174172, 173syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (deg‘(𝐹f − (𝐻f · 𝐺))) ∈ ℕ0)
175174nn0red 11948 . . . . . . . 8 (𝜑 → (deg‘(𝐹f − (𝐻f · 𝐺))) ∈ ℝ)
17615nn0red 11948 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
17725nn0red 11948 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
178175, 176, 177ltsub1d 11242 . . . . . . 7 (𝜑 → ((deg‘(𝐹f − (𝐻f · 𝐺))) < 𝑀 ↔ ((deg‘(𝐹f − (𝐻f · 𝐺))) − 𝑁) < (𝑀𝑁)))
179131breq2d 5045 . . . . . . 7 (𝜑 → (((deg‘(𝐹f − (𝐻f · 𝐺))) − 𝑁) < (𝑀𝑁) ↔ ((deg‘(𝐹f − (𝐻f · 𝐺))) − 𝑁) < 𝐷))
180178, 179bitrd 282 . . . . . 6 (𝜑 → ((deg‘(𝐹f − (𝐻f · 𝐺))) < 𝑀 ↔ ((deg‘(𝐹f − (𝐻f · 𝐺))) − 𝑁) < 𝐷))
181180orbi2d 913 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝐻f · 𝐺))) < 𝑀) ↔ ((𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) = 0𝑝 ∨ ((deg‘(𝐹f − (𝐻f · 𝐺))) − 𝑁) < 𝐷)))
182 eqid 2801 . . . . . . 7 (deg‘(𝐹f − (𝐻f · 𝐺))) = (deg‘(𝐹f − (𝐻f · 𝐺)))
183 eqid 2801 . . . . . . 7 (coeff‘(𝐹f − (𝐻f · 𝐺))) = (coeff‘(𝐹f − (𝐻f · 𝐺)))
184182, 183dgrlt 24866 . . . . . 6 (((𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝐻f · 𝐺))) < 𝑀) ↔ ((deg‘(𝐹f − (𝐻f · 𝐺))) ≤ 𝑀 ∧ ((coeff‘(𝐹f − (𝐻f · 𝐺)))‘𝑀) = 0)))
185172, 15, 184syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝐻f · 𝐺))) < 𝑀) ↔ ((deg‘(𝐹f − (𝐻f · 𝐺))) ≤ 𝑀 ∧ ((coeff‘(𝐹f − (𝐻f · 𝐺)))‘𝑀) = 0)))
186181, 185bitr3d 284 . . . 4 (𝜑 → (((𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) = 0𝑝 ∨ ((deg‘(𝐹f − (𝐻f · 𝐺))) − 𝑁) < 𝐷) ↔ ((deg‘(𝐹f − (𝐻f · 𝐺))) ≤ 𝑀 ∧ ((coeff‘(𝐹f − (𝐻f · 𝐺)))‘𝑀) = 0)))
187142, 171, 186mpbir2and 712 . . 3 (𝜑 → ((𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) = 0𝑝 ∨ ((deg‘(𝐹f − (𝐻f · 𝐺))) − 𝑁) < 𝐷))
188 eqeq1 2805 . . . . . 6 (𝑓 = (𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) → (𝑓 = 0𝑝 ↔ (𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) = 0𝑝))
189 fveq2 6649 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) → (deg‘𝑓) = (deg‘(𝐹f − (𝐻f · 𝐺))))
190189oveq1d 7154 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) → ((deg‘𝑓) − 𝑁) = ((deg‘(𝐹f − (𝐻f · 𝐺))) − 𝑁))
191190breq1d 5043 . . . . . 6 (𝑓 = (𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) → (((deg‘𝑓) − 𝑁) < 𝐷 ↔ ((deg‘(𝐹f − (𝐻f · 𝐺))) − 𝑁) < 𝐷))
192188, 191orbi12d 916 . . . . 5 (𝑓 = (𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) → ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − 𝑁) < 𝐷) ↔ ((𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) = 0𝑝 ∨ ((deg‘(𝐹f − (𝐻f · 𝐺))) − 𝑁) < 𝐷)))
193 plydiv.u . . . . . . . . 9 𝑈 = (𝑓f − (𝐺f · 𝑝))
194 oveq1 7146 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) → (𝑓f − (𝐺f · 𝑝)) = ((𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) ∘f − (𝐺f · 𝑝)))
195193, 194syl5eq 2848 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) → 𝑈 = ((𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) ∘f − (𝐺f · 𝑝)))
196195eqeq1d 2803 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) → (𝑈 = 0𝑝 ↔ ((𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) ∘f − (𝐺f · 𝑝)) = 0𝑝))
197195fveq2d 6653 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) → (deg‘𝑈) = (deg‘((𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) ∘f − (𝐺f · 𝑝))))
198197breq1d 5043 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) → ((deg‘𝑈) < 𝑁 ↔ (deg‘((𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) ∘f − (𝐺f · 𝑝))) < 𝑁))
199196, 198orbi12d 916 . . . . . 6 (𝑓 = (𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) → ((𝑈 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑈) < 𝑁) ↔ (((𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) ∘f − (𝐺f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘((𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) ∘f − (𝐺f · 𝑝))) < 𝑁)))
200199rexbidv 3259 . . . . 5 (𝑓 = (𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) → (∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑈 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑈) < 𝑁) ↔ ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)(((𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) ∘f − (𝐺f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘((𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) ∘f − (𝐺f · 𝑝))) < 𝑁)))
201192, 200imbi12d 348 . . . 4 (𝑓 = (𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) → (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − 𝑁) < 𝐷) → ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑈 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑈) < 𝑁)) ↔ (((𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) = 0𝑝 ∨ ((deg‘(𝐹f − (𝐻f · 𝐺))) − 𝑁) < 𝐷) → ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)(((𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) ∘f − (𝐺f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘((𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) ∘f − (𝐺f · 𝑝))) < 𝑁))))
202 plydiv.al . . . 4 (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − 𝑁) < 𝐷) → ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑈 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑈) < 𝑁)))
203201, 202, 172rspcdva 3576 . . 3 (𝜑 → (((𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) = 0𝑝 ∨ ((deg‘(𝐹f − (𝐻f · 𝐺))) − 𝑁) < 𝐷) → ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)(((𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) ∘f − (𝐺f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘((𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) ∘f − (𝐺f · 𝑝))) < 𝑁)))
204187, 203mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)(((𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) ∘f − (𝐺f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘((𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) ∘f − (𝐺f · 𝑝))) < 𝑁))
20599, 204r19.29a 3251 1 (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990  wral 3109  wrex 3110  Vcvv 3444  wss 3884  ifcif 4428  {csn 4528   class class class wbr 5033  cmpt 5113   × cxp 5521   Fn wfn 6323  wf 6324  cfv 6328  (class class class)co 7139  f cof 7391  cc 10528  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533   · cmul 10535   < clt 10668  cle 10669  cmin 10863  -cneg 10864   / cdiv 11290  0cn0 11889  cexp 13429  0𝑝c0p 24276  Polycply 24784  coeffccoe 24786  degcdgr 24787
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-addf 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840  df-rlim 14841  df-sum 15038  df-0p 24277  df-ply 24788  df-coe 24790  df-dgr 24791
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