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Theorem plydivlem4 25562
Description: Lemma for plydivex 25563. Induction step. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plydiv.pl ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.tm ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.rc ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
plydiv.m1 (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
plydiv.f (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.g (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.z (𝜑𝐺 ≠ 0𝑝)
plydiv.r 𝑅 = (𝐹f − (𝐺f · 𝑞))
plydiv.d (𝜑𝐷 ∈ ℕ0)
plydiv.e (𝜑 → (𝑀𝑁) = 𝐷)
plydiv.fz (𝜑𝐹 ≠ 0𝑝)
plydiv.u 𝑈 = (𝑓f − (𝐺f · 𝑝))
plydiv.h 𝐻 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁)) · (𝑧𝐷)))
plydiv.al (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − 𝑁) < 𝐷) → ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑈 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑈) < 𝑁)))
plydiv.a 𝐴 = (coeff‘𝐹)
plydiv.b 𝐵 = (coeff‘𝐺)
plydiv.m 𝑀 = (deg‘𝐹)
plydiv.n 𝑁 = (deg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
plydivlem4 (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < 𝑁))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑓,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦,𝑧,𝐹   𝑓,𝐻,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝐷,𝑓,𝑧   𝑥,𝑀,𝑦,𝑧   𝑓,𝑁,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦,𝑧   𝑓,𝐺,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦,𝑧   𝑅,𝑓,𝑝,𝑥,𝑦   𝑆,𝑓,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑝
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑞)   𝐴(𝑓,𝑞,𝑝)   𝐵(𝑓,𝑞,𝑝)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑞,𝑝)   𝑅(𝑧,𝑞)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑞,𝑝)   𝑀(𝑓,𝑞,𝑝)

Proof of Theorem plydivlem4
StepHypRef Expression
1 plydiv.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
2 plybss 25461 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
31, 2syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
4 plydiv.pl . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
5 plydiv.tm . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
6 plydiv.rc . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
7 plydiv.m1 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
84, 5, 6, 7plydivlem1 25559 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ∈ 𝑆)
9 plydiv.a . . . . . . . . . . . 12 𝐴 = (coeff‘𝐹)
109coef2 25498 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 0 ∈ 𝑆) → 𝐴:ℕ0𝑆)
111, 8, 10syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴:ℕ0𝑆)
12 plydiv.m . . . . . . . . . . 11 𝑀 = (deg‘𝐹)
13 dgrcl 25500 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
141, 13syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
1512, 14eqeltrid 2841 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
1611, 15ffvelcdmd 7018 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴𝑀) ∈ 𝑆)
173, 16sseldd 3933 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴𝑀) ∈ ℂ)
18 plydiv.g . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
19 plydiv.b . . . . . . . . . . . 12 𝐵 = (coeff‘𝐺)
2019coef2 25498 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 0 ∈ 𝑆) → 𝐵:ℕ0𝑆)
2118, 8, 20syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵:ℕ0𝑆)
22 plydiv.n . . . . . . . . . . 11 𝑁 = (deg‘𝐺)
23 dgrcl 25500 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐺) ∈ ℕ0)
2418, 23syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (deg‘𝐺) ∈ ℕ0)
2522, 24eqeltrid 2841 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2621, 25ffvelcdmd 7018 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵𝑁) ∈ 𝑆)
273, 26sseldd 3933 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵𝑁) ∈ ℂ)
28 plydiv.z . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 ≠ 0𝑝)
2922, 19dgreq0 25532 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐺 = 0𝑝 ↔ (𝐵𝑁) = 0))
3018, 29syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺 = 0𝑝 ↔ (𝐵𝑁) = 0))
3130necon3bid 2985 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺 ≠ 0𝑝 ↔ (𝐵𝑁) ≠ 0))
3228, 31mpbid 231 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵𝑁) ≠ 0)
3317, 27, 32divrecd 11855 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁)) = ((𝐴𝑀) · (1 / (𝐵𝑁))))
34 fvex 6838 . . . . . . . . . . 11 (𝐵𝑁) ∈ V
35 eleq1 2824 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝐵𝑁) → (𝑥𝑆 ↔ (𝐵𝑁) ∈ 𝑆))
36 neeq1 3003 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝐵𝑁) → (𝑥 ≠ 0 ↔ (𝐵𝑁) ≠ 0))
3735, 36anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝐵𝑁) → ((𝑥𝑆𝑥 ≠ 0) ↔ ((𝐵𝑁) ∈ 𝑆 ∧ (𝐵𝑁) ≠ 0)))
3837anbi2d 629 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝐵𝑁) → ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑥 ≠ 0)) ↔ (𝜑 ∧ ((𝐵𝑁) ∈ 𝑆 ∧ (𝐵𝑁) ≠ 0))))
39 oveq2 7345 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝐵𝑁) → (1 / 𝑥) = (1 / (𝐵𝑁)))
4039eleq1d 2821 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝐵𝑁) → ((1 / 𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (1 / (𝐵𝑁)) ∈ 𝑆))
4138, 40imbi12d 344 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝐵𝑁) → (((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆) ↔ ((𝜑 ∧ ((𝐵𝑁) ∈ 𝑆 ∧ (𝐵𝑁) ≠ 0)) → (1 / (𝐵𝑁)) ∈ 𝑆)))
4234, 41, 6vtocl 3507 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝐵𝑁) ∈ 𝑆 ∧ (𝐵𝑁) ≠ 0)) → (1 / (𝐵𝑁)) ∈ 𝑆)
4342ex 413 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐵𝑁) ∈ 𝑆 ∧ (𝐵𝑁) ≠ 0) → (1 / (𝐵𝑁)) ∈ 𝑆))
4426, 32, 43mp2and 696 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 / (𝐵𝑁)) ∈ 𝑆)
455, 16, 44caovcld 7527 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴𝑀) · (1 / (𝐵𝑁))) ∈ 𝑆)
4633, 45eqeltrd 2837 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁)) ∈ 𝑆)
47 plydiv.d . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ ℕ0)
48 plydiv.h . . . . . . 7 𝐻 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁)) · (𝑧𝐷)))
4948ply1term 25471 . . . . . 6 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁)) ∈ 𝑆𝐷 ∈ ℕ0) → 𝐻 ∈ (Poly‘𝑆))
503, 46, 47, 49syl3anc 1370 . . . . 5 (𝜑𝐻 ∈ (Poly‘𝑆))
5150adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐻 ∈ (Poly‘𝑆))
52 simpr 485 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))
534adantlr 712 . . . 4 (((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
5451, 52, 53plyadd 25484 . . 3 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐻f + 𝑝) ∈ (Poly‘𝑆))
55 cnex 11053 . . . . . . . . 9 ℂ ∈ V
5655a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → ℂ ∈ V)
571adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
58 plyf 25465 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
5957, 58syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
60 mulcl 11056 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
6160adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
62 plyf 25465 . . . . . . . . . 10 (𝐻 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐻:ℂ⟶ℂ)
6351, 62syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐻:ℂ⟶ℂ)
6418adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
65 plyf 25465 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
6664, 65syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
67 inidm 4165 . . . . . . . . 9 (ℂ ∩ ℂ) = ℂ
6861, 63, 66, 56, 56, 67off 7613 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐻f · 𝐺):ℂ⟶ℂ)
69 plyf 25465 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑝:ℂ⟶ℂ)
7069adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝑝:ℂ⟶ℂ)
7161, 66, 70, 56, 56, 67off 7613 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐺f · 𝑝):ℂ⟶ℂ)
72 subsub4 11355 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥𝑦) − 𝑧) = (𝑥 − (𝑦 + 𝑧)))
7372adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → ((𝑥𝑦) − 𝑧) = (𝑥 − (𝑦 + 𝑧)))
7456, 59, 68, 71, 73caofass 7632 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) ∘f − (𝐺f · 𝑝)) = (𝐹f − ((𝐻f · 𝐺) ∘f + (𝐺f · 𝑝))))
75 mulcom 11058 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))
7675adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))
7756, 63, 66, 76caofcom 7630 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐻f · 𝐺) = (𝐺f · 𝐻))
7877oveq1d 7352 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((𝐻f · 𝐺) ∘f + (𝐺f · 𝑝)) = ((𝐺f · 𝐻) ∘f + (𝐺f · 𝑝)))
79 adddi 11061 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
8079adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
8156, 66, 63, 70, 80caofdi 7634 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐺f · (𝐻f + 𝑝)) = ((𝐺f · 𝐻) ∘f + (𝐺f · 𝑝)))
8278, 81eqtr4d 2779 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((𝐻f · 𝐺) ∘f + (𝐺f · 𝑝)) = (𝐺f · (𝐻f + 𝑝)))
8382oveq2d 7353 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐹f − ((𝐻f · 𝐺) ∘f + (𝐺f · 𝑝))) = (𝐹f − (𝐺f · (𝐻f + 𝑝))))
8474, 83eqtrd 2776 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) ∘f − (𝐺f · 𝑝)) = (𝐹f − (𝐺f · (𝐻f + 𝑝))))
8584eqeq1d 2738 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → (((𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) ∘f − (𝐺f · 𝑝)) = 0𝑝 ↔ (𝐹f − (𝐺f · (𝐻f + 𝑝))) = 0𝑝))
8684fveq2d 6829 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘((𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) ∘f − (𝐺f · 𝑝))) = (deg‘(𝐹f − (𝐺f · (𝐻f + 𝑝)))))
8786breq1d 5102 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((deg‘((𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) ∘f − (𝐺f · 𝑝))) < 𝑁 ↔ (deg‘(𝐹f − (𝐺f · (𝐻f + 𝑝)))) < 𝑁))
8885, 87orbi12d 916 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((((𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) ∘f − (𝐺f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘((𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) ∘f − (𝐺f · 𝑝))) < 𝑁) ↔ ((𝐹f − (𝐺f · (𝐻f + 𝑝))) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝐺f · (𝐻f + 𝑝)))) < 𝑁)))
8988biimpa 477 . . 3 (((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (((𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) ∘f − (𝐺f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘((𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) ∘f − (𝐺f · 𝑝))) < 𝑁)) → ((𝐹f − (𝐺f · (𝐻f + 𝑝))) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝐺f · (𝐻f + 𝑝)))) < 𝑁))
90 plydiv.r . . . . . . 7 𝑅 = (𝐹f − (𝐺f · 𝑞))
91 oveq2 7345 . . . . . . . 8 (𝑞 = (𝐻f + 𝑝) → (𝐺f · 𝑞) = (𝐺f · (𝐻f + 𝑝)))
9291oveq2d 7353 . . . . . . 7 (𝑞 = (𝐻f + 𝑝) → (𝐹f − (𝐺f · 𝑞)) = (𝐹f − (𝐺f · (𝐻f + 𝑝))))
9390, 92eqtrid 2788 . . . . . 6 (𝑞 = (𝐻f + 𝑝) → 𝑅 = (𝐹f − (𝐺f · (𝐻f + 𝑝))))
9493eqeq1d 2738 . . . . 5 (𝑞 = (𝐻f + 𝑝) → (𝑅 = 0𝑝 ↔ (𝐹f − (𝐺f · (𝐻f + 𝑝))) = 0𝑝))
9593fveq2d 6829 . . . . . 6 (𝑞 = (𝐻f + 𝑝) → (deg‘𝑅) = (deg‘(𝐹f − (𝐺f · (𝐻f + 𝑝)))))
9695breq1d 5102 . . . . 5 (𝑞 = (𝐻f + 𝑝) → ((deg‘𝑅) < 𝑁 ↔ (deg‘(𝐹f − (𝐺f · (𝐻f + 𝑝)))) < 𝑁))
9794, 96orbi12d 916 . . . 4 (𝑞 = (𝐻f + 𝑝) → ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < 𝑁) ↔ ((𝐹f − (𝐺f · (𝐻f + 𝑝))) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝐺f · (𝐻f + 𝑝)))) < 𝑁)))
9897rspcev 3570 . . 3 (((𝐻f + 𝑝) ∈ (Poly‘𝑆) ∧ ((𝐹f − (𝐺f · (𝐻f + 𝑝))) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝐺f · (𝐻f + 𝑝)))) < 𝑁)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < 𝑁))
9954, 89, 98syl2an2r 682 . 2 (((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (((𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) ∘f − (𝐺f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘((𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) ∘f − (𝐺f · 𝑝))) < 𝑁)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < 𝑁))
10050, 18, 4, 5plymul 25485 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐻f · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆))
101 eqid 2736 . . . . . . 7 (deg‘(𝐻f · 𝐺)) = (deg‘(𝐻f · 𝐺))
10212, 101dgrsub 25539 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐻f · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘(𝐹f − (𝐻f · 𝐺))) ≤ if(𝑀 ≤ (deg‘(𝐻f · 𝐺)), (deg‘(𝐻f · 𝐺)), 𝑀))
1031, 100, 102syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (deg‘(𝐹f − (𝐻f · 𝐺))) ≤ if(𝑀 ≤ (deg‘(𝐻f · 𝐺)), (deg‘(𝐻f · 𝐺)), 𝑀))
104 plydiv.fz . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹 ≠ 0𝑝)
10512, 9dgreq0 25532 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹 = 0𝑝 ↔ (𝐴𝑀) = 0))
1061, 105syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐹 = 0𝑝 ↔ (𝐴𝑀) = 0))
107106necon3bid 2985 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹 ≠ 0𝑝 ↔ (𝐴𝑀) ≠ 0))
108104, 107mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴𝑀) ≠ 0)
10917, 27, 108, 32divne0d 11868 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁)) ≠ 0)
1103, 46sseldd 3933 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁)) ∈ ℂ)
11148coe1term 25526 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁)) ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0) → ((coeff‘𝐻)‘𝐷) = if(𝐷 = 𝐷, ((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁)), 0))
112110, 47, 47, 111syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((coeff‘𝐻)‘𝐷) = if(𝐷 = 𝐷, ((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁)), 0))
113 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 𝐷 = 𝐷
114113iftruei 4480 . . . . . . . . . . . 12 if(𝐷 = 𝐷, ((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁)), 0) = ((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁))
115112, 114eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((coeff‘𝐻)‘𝐷) = ((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁)))
116 c0ex 11070 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ V
117116fvconst2 7135 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∈ ℕ0 → ((ℕ0 × {0})‘𝐷) = 0)
11847, 117syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((ℕ0 × {0})‘𝐷) = 0)
119109, 115, 1183netr4d 3018 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((coeff‘𝐻)‘𝐷) ≠ ((ℕ0 × {0})‘𝐷))
120 fveq2 6825 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐻 = 0𝑝 → (coeff‘𝐻) = (coeff‘0𝑝))
121 coe0 25523 . . . . . . . . . . . . 13 (coeff‘0𝑝) = (ℕ0 × {0})
122120, 121eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . 12 (𝐻 = 0𝑝 → (coeff‘𝐻) = (ℕ0 × {0}))
123122fveq1d 6827 . . . . . . . . . . 11 (𝐻 = 0𝑝 → ((coeff‘𝐻)‘𝐷) = ((ℕ0 × {0})‘𝐷))
124123necon3i 2973 . . . . . . . . . 10 (((coeff‘𝐻)‘𝐷) ≠ ((ℕ0 × {0})‘𝐷) → 𝐻 ≠ 0𝑝)
125119, 124syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐻 ≠ 0𝑝)
126 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (deg‘𝐻) = (deg‘𝐻)
127126, 22dgrmul 25537 . . . . . . . . 9 (((𝐻 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐻 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → (deg‘(𝐻f · 𝐺)) = ((deg‘𝐻) + 𝑁))
12850, 125, 18, 28, 127syl22anc 836 . . . . . . . 8 (𝜑 → (deg‘(𝐻f · 𝐺)) = ((deg‘𝐻) + 𝑁))
12948dgr1term 25527 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁)) ∈ ℂ ∧ ((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁)) ≠ 0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (deg‘𝐻) = 𝐷)
130110, 109, 47, 129syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (deg‘𝐻) = 𝐷)
131 plydiv.e . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑀𝑁) = 𝐷)
132130, 131eqtr4d 2779 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (deg‘𝐻) = (𝑀𝑁))
133132oveq1d 7352 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((deg‘𝐻) + 𝑁) = ((𝑀𝑁) + 𝑁))
13415nn0cnd 12396 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
13525nn0cnd 12396 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
136134, 135npcand 11437 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀𝑁) + 𝑁) = 𝑀)
137133, 136eqtrd 2776 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((deg‘𝐻) + 𝑁) = 𝑀)
138128, 137eqtrd 2776 . . . . . . 7 (𝜑 → (deg‘(𝐻f · 𝐺)) = 𝑀)
139138ifeq1d 4492 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝑀 ≤ (deg‘(𝐻f · 𝐺)), (deg‘(𝐻f · 𝐺)), 𝑀) = if(𝑀 ≤ (deg‘(𝐻f · 𝐺)), 𝑀, 𝑀))
140 ifid 4513 . . . . . 6 if(𝑀 ≤ (deg‘(𝐻f · 𝐺)), 𝑀, 𝑀) = 𝑀
141139, 140eqtrdi 2792 . . . . 5 (𝜑 → if(𝑀 ≤ (deg‘(𝐻f · 𝐺)), (deg‘(𝐻f · 𝐺)), 𝑀) = 𝑀)
142103, 141breqtrd 5118 . . . 4 (𝜑 → (deg‘(𝐹f − (𝐻f · 𝐺))) ≤ 𝑀)
143 eqid 2736 . . . . . . . 8 (coeff‘(𝐻f · 𝐺)) = (coeff‘(𝐻f · 𝐺))
1449, 143coesub 25524 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐻f · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆)) → (coeff‘(𝐹f − (𝐻f · 𝐺))) = (𝐴f − (coeff‘(𝐻f · 𝐺))))
1451, 100, 144syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (coeff‘(𝐹f − (𝐻f · 𝐺))) = (𝐴f − (coeff‘(𝐻f · 𝐺))))
146145fveq1d 6827 . . . . 5 (𝜑 → ((coeff‘(𝐹f − (𝐻f · 𝐺)))‘𝑀) = ((𝐴f − (coeff‘(𝐻f · 𝐺)))‘𝑀))
1479coef3 25499 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
148 ffn 6651 . . . . . . . 8 (𝐴:ℕ0⟶ℂ → 𝐴 Fn ℕ0)
1491, 147, 1483syl 18 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 Fn ℕ0)
150143coef3 25499 . . . . . . . 8 ((𝐻f · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘(𝐻f · 𝐺)):ℕ0⟶ℂ)
151 ffn 6651 . . . . . . . 8 ((coeff‘(𝐻f · 𝐺)):ℕ0⟶ℂ → (coeff‘(𝐻f · 𝐺)) Fn ℕ0)
152100, 150, 1513syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (coeff‘(𝐻f · 𝐺)) Fn ℕ0)
153 nn0ex 12340 . . . . . . . 8 0 ∈ V
154153a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
155 inidm 4165 . . . . . . 7 (ℕ0 ∩ ℕ0) = ℕ0
156 eqidd 2737 . . . . . . 7 ((𝜑𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑀) = (𝐴𝑀))
157 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (coeff‘𝐻) = (coeff‘𝐻)
158157, 19, 126, 22coemulhi 25521 . . . . . . . . . 10 ((𝐻 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((coeff‘(𝐻f · 𝐺))‘((deg‘𝐻) + 𝑁)) = (((coeff‘𝐻)‘(deg‘𝐻)) · (𝐵𝑁)))
15950, 18, 158syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((coeff‘(𝐻f · 𝐺))‘((deg‘𝐻) + 𝑁)) = (((coeff‘𝐻)‘(deg‘𝐻)) · (𝐵𝑁)))
160137fveq2d 6829 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((coeff‘(𝐻f · 𝐺))‘((deg‘𝐻) + 𝑁)) = ((coeff‘(𝐻f · 𝐺))‘𝑀))
161130fveq2d 6829 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((coeff‘𝐻)‘(deg‘𝐻)) = ((coeff‘𝐻)‘𝐷))
162161, 115eqtrd 2776 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((coeff‘𝐻)‘(deg‘𝐻)) = ((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁)))
163162oveq1d 7352 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((coeff‘𝐻)‘(deg‘𝐻)) · (𝐵𝑁)) = (((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁)) · (𝐵𝑁)))
16417, 27, 32divcan1d 11853 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁)) · (𝐵𝑁)) = (𝐴𝑀))
165163, 164eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((coeff‘𝐻)‘(deg‘𝐻)) · (𝐵𝑁)) = (𝐴𝑀))
166159, 160, 1653eqtr3d 2784 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((coeff‘(𝐻f · 𝐺))‘𝑀) = (𝐴𝑀))
167166adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑀 ∈ ℕ0) → ((coeff‘(𝐻f · 𝐺))‘𝑀) = (𝐴𝑀))
168149, 152, 154, 154, 155, 156, 167ofval 7606 . . . . . 6 ((𝜑𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐴f − (coeff‘(𝐻f · 𝐺)))‘𝑀) = ((𝐴𝑀) − (𝐴𝑀)))
16915, 168mpdan 684 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴f − (coeff‘(𝐻f · 𝐺)))‘𝑀) = ((𝐴𝑀) − (𝐴𝑀)))
17017subidd 11421 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴𝑀) − (𝐴𝑀)) = 0)
171146, 169, 1703eqtrd 2780 . . . 4 (𝜑 → ((coeff‘(𝐹f − (𝐻f · 𝐺)))‘𝑀) = 0)
1721, 100, 4, 5, 7plysub 25486 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) ∈ (Poly‘𝑆))
173 dgrcl 25500 . . . . . . . . . 10 ((𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘(𝐹f − (𝐻f · 𝐺))) ∈ ℕ0)
174172, 173syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (deg‘(𝐹f − (𝐻f · 𝐺))) ∈ ℕ0)
175174nn0red 12395 . . . . . . . 8 (𝜑 → (deg‘(𝐹f − (𝐻f · 𝐺))) ∈ ℝ)
17615nn0red 12395 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
17725nn0red 12395 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
178175, 176, 177ltsub1d 11685 . . . . . . 7 (𝜑 → ((deg‘(𝐹f − (𝐻f · 𝐺))) < 𝑀 ↔ ((deg‘(𝐹f − (𝐻f · 𝐺))) − 𝑁) < (𝑀𝑁)))
179131breq2d 5104 . . . . . . 7 (𝜑 → (((deg‘(𝐹f − (𝐻f · 𝐺))) − 𝑁) < (𝑀𝑁) ↔ ((deg‘(𝐹f − (𝐻f · 𝐺))) − 𝑁) < 𝐷))
180178, 179bitrd 278 . . . . . 6 (𝜑 → ((deg‘(𝐹f − (𝐻f · 𝐺))) < 𝑀 ↔ ((deg‘(𝐹f − (𝐻f · 𝐺))) − 𝑁) < 𝐷))
181180orbi2d 913 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝐻f · 𝐺))) < 𝑀) ↔ ((𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) = 0𝑝 ∨ ((deg‘(𝐹f − (𝐻f · 𝐺))) − 𝑁) < 𝐷)))
182 eqid 2736 . . . . . . 7 (deg‘(𝐹f − (𝐻f · 𝐺))) = (deg‘(𝐹f − (𝐻f · 𝐺)))
183 eqid 2736 . . . . . . 7 (coeff‘(𝐹f − (𝐻f · 𝐺))) = (coeff‘(𝐹f − (𝐻f · 𝐺)))
184182, 183dgrlt 25533 . . . . . 6 (((𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝐻f · 𝐺))) < 𝑀) ↔ ((deg‘(𝐹f − (𝐻f · 𝐺))) ≤ 𝑀 ∧ ((coeff‘(𝐹f − (𝐻f · 𝐺)))‘𝑀) = 0)))
185172, 15, 184syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝐻f · 𝐺))) < 𝑀) ↔ ((deg‘(𝐹f − (𝐻f · 𝐺))) ≤ 𝑀 ∧ ((coeff‘(𝐹f − (𝐻f · 𝐺)))‘𝑀) = 0)))
186181, 185bitr3d 280 . . . 4 (𝜑 → (((𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) = 0𝑝 ∨ ((deg‘(𝐹f − (𝐻f · 𝐺))) − 𝑁) < 𝐷) ↔ ((deg‘(𝐹f − (𝐻f · 𝐺))) ≤ 𝑀 ∧ ((coeff‘(𝐹f − (𝐻f · 𝐺)))‘𝑀) = 0)))
187142, 171, 186mpbir2and 710 . . 3 (𝜑 → ((𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) = 0𝑝 ∨ ((deg‘(𝐹f − (𝐻f · 𝐺))) − 𝑁) < 𝐷))
188 eqeq1 2740 . . . . . 6 (𝑓 = (𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) → (𝑓 = 0𝑝 ↔ (𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) = 0𝑝))
189 fveq2 6825 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) → (deg‘𝑓) = (deg‘(𝐹f − (𝐻f · 𝐺))))
190189oveq1d 7352 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) → ((deg‘𝑓) − 𝑁) = ((deg‘(𝐹f − (𝐻f · 𝐺))) − 𝑁))
191190breq1d 5102 . . . . . 6 (𝑓 = (𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) → (((deg‘𝑓) − 𝑁) < 𝐷 ↔ ((deg‘(𝐹f − (𝐻f · 𝐺))) − 𝑁) < 𝐷))
192188, 191orbi12d 916 . . . . 5 (𝑓 = (𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) → ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − 𝑁) < 𝐷) ↔ ((𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) = 0𝑝 ∨ ((deg‘(𝐹f − (𝐻f · 𝐺))) − 𝑁) < 𝐷)))
193 plydiv.u . . . . . . . . 9 𝑈 = (𝑓f − (𝐺f · 𝑝))
194 oveq1 7344 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) → (𝑓f − (𝐺f · 𝑝)) = ((𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) ∘f − (𝐺f · 𝑝)))
195193, 194eqtrid 2788 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) → 𝑈 = ((𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) ∘f − (𝐺f · 𝑝)))
196195eqeq1d 2738 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) → (𝑈 = 0𝑝 ↔ ((𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) ∘f − (𝐺f · 𝑝)) = 0𝑝))
197195fveq2d 6829 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) → (deg‘𝑈) = (deg‘((𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) ∘f − (𝐺f · 𝑝))))
198197breq1d 5102 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) → ((deg‘𝑈) < 𝑁 ↔ (deg‘((𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) ∘f − (𝐺f · 𝑝))) < 𝑁))
199196, 198orbi12d 916 . . . . . 6 (𝑓 = (𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) → ((𝑈 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑈) < 𝑁) ↔ (((𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) ∘f − (𝐺f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘((𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) ∘f − (𝐺f · 𝑝))) < 𝑁)))
200199rexbidv 3171 . . . . 5 (𝑓 = (𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) → (∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑈 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑈) < 𝑁) ↔ ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)(((𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) ∘f − (𝐺f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘((𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) ∘f − (𝐺f · 𝑝))) < 𝑁)))
201192, 200imbi12d 344 . . . 4 (𝑓 = (𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) → (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − 𝑁) < 𝐷) → ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑈 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑈) < 𝑁)) ↔ (((𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) = 0𝑝 ∨ ((deg‘(𝐹f − (𝐻f · 𝐺))) − 𝑁) < 𝐷) → ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)(((𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) ∘f − (𝐺f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘((𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) ∘f − (𝐺f · 𝑝))) < 𝑁))))
202 plydiv.al . . . 4 (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − 𝑁) < 𝐷) → ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑈 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑈) < 𝑁)))
203201, 202, 172rspcdva 3571 . . 3 (𝜑 → (((𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) = 0𝑝 ∨ ((deg‘(𝐹f − (𝐻f · 𝐺))) − 𝑁) < 𝐷) → ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)(((𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) ∘f − (𝐺f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘((𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) ∘f − (𝐺f · 𝑝))) < 𝑁)))
204187, 203mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)(((𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) ∘f − (𝐺f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘((𝐹f − (𝐻f · 𝐺)) ∘f − (𝐺f · 𝑝))) < 𝑁))
20599, 204r19.29a 3155 1 (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wo 844  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3441  wss 3898  ifcif 4473  {csn 4573   class class class wbr 5092  cmpt 5175   × cxp 5618   Fn wfn 6474  wf 6475  cfv 6479  (class class class)co 7337  f cof 7593  cc 10970  0cc0 10972  1c1 10973   + caddc 10975   · cmul 10977   < clt 11110  cle 11111  cmin 11306  -cneg 11307   / cdiv 11733  0cn0 12334  cexp 13883  0𝑝c0p 24939  Polycply 25451  coeffccoe 25453  degcdgr 25454
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-inf2 9498  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049  ax-pre-sup 11050
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-int 4895  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-isom 6488  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-of 7595  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-er 8569  df-map 8688  df-pm 8689  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-sup 9299  df-inf 9300  df-oi 9367  df-card 9796  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-div 11734  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-n0 12335  df-z 12421  df-uz 12684  df-rp 12832  df-fz 13341  df-fzo 13484  df-fl 13613  df-seq 13823  df-exp 13884  df-hash 14146  df-cj 14909  df-re 14910  df-im 14911  df-sqrt 15045  df-abs 15046  df-clim 15296  df-rlim 15297  df-sum 15497  df-0p 24940  df-ply 25455  df-coe 25457  df-dgr 25458
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