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Theorem plydivlem4 24356
Description: Lemma for plydivex 24357. Induction step. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plydiv.pl ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.tm ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.rc ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
plydiv.m1 (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
plydiv.f (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.g (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.z (𝜑𝐺 ≠ 0𝑝)
plydiv.r 𝑅 = (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))
plydiv.d (𝜑𝐷 ∈ ℕ0)
plydiv.e (𝜑 → (𝑀𝑁) = 𝐷)
plydiv.fz (𝜑𝐹 ≠ 0𝑝)
plydiv.u 𝑈 = (𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝))
plydiv.h 𝐻 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁)) · (𝑧𝐷)))
plydiv.al (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − 𝑁) < 𝐷) → ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑈 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑈) < 𝑁)))
plydiv.a 𝐴 = (coeff‘𝐹)
plydiv.b 𝐵 = (coeff‘𝐺)
plydiv.m 𝑀 = (deg‘𝐹)
plydiv.n 𝑁 = (deg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
plydivlem4 (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < 𝑁))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑓,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦,𝑧,𝐹   𝑓,𝐻,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝐷,𝑓,𝑧   𝑥,𝑀,𝑦,𝑧   𝑓,𝑁,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦,𝑧   𝑓,𝐺,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦,𝑧   𝑅,𝑓,𝑝,𝑥,𝑦   𝑆,𝑓,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑝
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑞)   𝐴(𝑓,𝑞,𝑝)   𝐵(𝑓,𝑞,𝑝)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑞,𝑝)   𝑅(𝑧,𝑞)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑞,𝑝)   𝑀(𝑓,𝑞,𝑝)

Proof of Theorem plydivlem4
StepHypRef Expression
1 plydiv.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
2 plybss 24255 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
31, 2syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
4 plydiv.pl . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
5 plydiv.tm . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
6 plydiv.rc . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
7 plydiv.m1 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
84, 5, 6, 7plydivlem1 24353 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ∈ 𝑆)
9 plydiv.a . . . . . . . . . . . . 13 𝐴 = (coeff‘𝐹)
109coef2 24292 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 0 ∈ 𝑆) → 𝐴:ℕ0𝑆)
111, 8, 10syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴:ℕ0𝑆)
12 plydiv.m . . . . . . . . . . . 12 𝑀 = (deg‘𝐹)
13 dgrcl 24294 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
141, 13syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
1512, 14syl5eqel 2848 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
1611, 15ffvelrnd 6554 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴𝑀) ∈ 𝑆)
173, 16sseldd 3764 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴𝑀) ∈ ℂ)
18 plydiv.g . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
19 plydiv.b . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 = (coeff‘𝐺)
2019coef2 24292 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 0 ∈ 𝑆) → 𝐵:ℕ0𝑆)
2118, 8, 20syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵:ℕ0𝑆)
22 plydiv.n . . . . . . . . . . . 12 𝑁 = (deg‘𝐺)
23 dgrcl 24294 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐺) ∈ ℕ0)
2418, 23syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (deg‘𝐺) ∈ ℕ0)
2522, 24syl5eqel 2848 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2621, 25ffvelrnd 6554 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵𝑁) ∈ 𝑆)
273, 26sseldd 3764 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵𝑁) ∈ ℂ)
28 plydiv.z . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺 ≠ 0𝑝)
2922, 19dgreq0 24326 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐺 = 0𝑝 ↔ (𝐵𝑁) = 0))
3018, 29syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐺 = 0𝑝 ↔ (𝐵𝑁) = 0))
3130necon3bid 2981 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺 ≠ 0𝑝 ↔ (𝐵𝑁) ≠ 0))
3228, 31mpbid 223 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵𝑁) ≠ 0)
3317, 27, 32divrecd 11062 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁)) = ((𝐴𝑀) · (1 / (𝐵𝑁))))
34 fvex 6392 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵𝑁) ∈ V
35 eleq1 2832 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝐵𝑁) → (𝑥𝑆 ↔ (𝐵𝑁) ∈ 𝑆))
36 neeq1 2999 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝐵𝑁) → (𝑥 ≠ 0 ↔ (𝐵𝑁) ≠ 0))
3735, 36anbi12d 624 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝐵𝑁) → ((𝑥𝑆𝑥 ≠ 0) ↔ ((𝐵𝑁) ∈ 𝑆 ∧ (𝐵𝑁) ≠ 0)))
3837anbi2d 622 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝐵𝑁) → ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑥 ≠ 0)) ↔ (𝜑 ∧ ((𝐵𝑁) ∈ 𝑆 ∧ (𝐵𝑁) ≠ 0))))
39 oveq2 6854 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝐵𝑁) → (1 / 𝑥) = (1 / (𝐵𝑁)))
4039eleq1d 2829 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝐵𝑁) → ((1 / 𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (1 / (𝐵𝑁)) ∈ 𝑆))
4138, 40imbi12d 335 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝐵𝑁) → (((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆) ↔ ((𝜑 ∧ ((𝐵𝑁) ∈ 𝑆 ∧ (𝐵𝑁) ≠ 0)) → (1 / (𝐵𝑁)) ∈ 𝑆)))
4234, 41, 6vtocl 3411 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝐵𝑁) ∈ 𝑆 ∧ (𝐵𝑁) ≠ 0)) → (1 / (𝐵𝑁)) ∈ 𝑆)
4342ex 401 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐵𝑁) ∈ 𝑆 ∧ (𝐵𝑁) ≠ 0) → (1 / (𝐵𝑁)) ∈ 𝑆))
4426, 32, 43mp2and 690 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 / (𝐵𝑁)) ∈ 𝑆)
455, 16, 44caovcld 7029 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴𝑀) · (1 / (𝐵𝑁))) ∈ 𝑆)
4633, 45eqeltrd 2844 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁)) ∈ 𝑆)
47 plydiv.d . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ ℕ0)
48 plydiv.h . . . . . . . 8 𝐻 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁)) · (𝑧𝐷)))
4948ply1term 24265 . . . . . . 7 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁)) ∈ 𝑆𝐷 ∈ ℕ0) → 𝐻 ∈ (Poly‘𝑆))
503, 46, 47, 49syl3anc 1490 . . . . . 6 (𝜑𝐻 ∈ (Poly‘𝑆))
5150adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐻 ∈ (Poly‘𝑆))
52 simpr 477 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))
534adantlr 706 . . . . 5 (((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
5451, 52, 53plyadd 24278 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐻𝑓 + 𝑝) ∈ (Poly‘𝑆))
5554adantr 472 . . 3 (((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝))) < 𝑁)) → (𝐻𝑓 + 𝑝) ∈ (Poly‘𝑆))
56 cnex 10274 . . . . . . . . 9 ℂ ∈ V
5756a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → ℂ ∈ V)
581adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
59 plyf 24259 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
6058, 59syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
61 mulcl 10277 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
6261adantl 473 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
63 plyf 24259 . . . . . . . . . 10 (𝐻 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐻:ℂ⟶ℂ)
6451, 63syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐻:ℂ⟶ℂ)
6518adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
66 plyf 24259 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
6765, 66syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
68 inidm 3984 . . . . . . . . 9 (ℂ ∩ ℂ) = ℂ
6962, 64, 67, 57, 57, 68off 7114 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐻𝑓 · 𝐺):ℂ⟶ℂ)
70 plyf 24259 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑝:ℂ⟶ℂ)
7170adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝑝:ℂ⟶ℂ)
7262, 67, 71, 57, 57, 68off 7114 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐺𝑓 · 𝑝):ℂ⟶ℂ)
73 subsub4 10572 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥𝑦) − 𝑧) = (𝑥 − (𝑦 + 𝑧)))
7473adantl 473 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → ((𝑥𝑦) − 𝑧) = (𝑥 − (𝑦 + 𝑧)))
7557, 60, 69, 72, 74caofass 7133 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝)) = (𝐹𝑓 − ((𝐻𝑓 · 𝐺) ∘𝑓 + (𝐺𝑓 · 𝑝))))
76 mulcom 10279 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))
7776adantl 473 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))
7857, 64, 67, 77caofcom 7131 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐻𝑓 · 𝐺) = (𝐺𝑓 · 𝐻))
7978oveq1d 6861 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((𝐻𝑓 · 𝐺) ∘𝑓 + (𝐺𝑓 · 𝑝)) = ((𝐺𝑓 · 𝐻) ∘𝑓 + (𝐺𝑓 · 𝑝)))
80 adddi 10282 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
8180adantl 473 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
8257, 67, 64, 71, 81caofdi 7135 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐺𝑓 · (𝐻𝑓 + 𝑝)) = ((𝐺𝑓 · 𝐻) ∘𝑓 + (𝐺𝑓 · 𝑝)))
8379, 82eqtr4d 2802 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((𝐻𝑓 · 𝐺) ∘𝑓 + (𝐺𝑓 · 𝑝)) = (𝐺𝑓 · (𝐻𝑓 + 𝑝)))
8483oveq2d 6862 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐹𝑓 − ((𝐻𝑓 · 𝐺) ∘𝑓 + (𝐺𝑓 · 𝑝))) = (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐻𝑓 + 𝑝))))
8575, 84eqtrd 2799 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝)) = (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐻𝑓 + 𝑝))))
8685eqeq1d 2767 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → (((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝 ↔ (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐻𝑓 + 𝑝))) = 0𝑝))
8785fveq2d 6383 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝))) = (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐻𝑓 + 𝑝)))))
8887breq1d 4821 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((deg‘((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝))) < 𝑁 ↔ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐻𝑓 + 𝑝)))) < 𝑁))
8986, 88orbi12d 942 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝))) < 𝑁) ↔ ((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐻𝑓 + 𝑝))) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐻𝑓 + 𝑝)))) < 𝑁)))
9089biimpa 468 . . 3 (((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝))) < 𝑁)) → ((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐻𝑓 + 𝑝))) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐻𝑓 + 𝑝)))) < 𝑁))
91 plydiv.r . . . . . . 7 𝑅 = (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))
92 oveq2 6854 . . . . . . . 8 (𝑞 = (𝐻𝑓 + 𝑝) → (𝐺𝑓 · 𝑞) = (𝐺𝑓 · (𝐻𝑓 + 𝑝)))
9392oveq2d 6862 . . . . . . 7 (𝑞 = (𝐻𝑓 + 𝑝) → (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐻𝑓 + 𝑝))))
9491, 93syl5eq 2811 . . . . . 6 (𝑞 = (𝐻𝑓 + 𝑝) → 𝑅 = (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐻𝑓 + 𝑝))))
9594eqeq1d 2767 . . . . 5 (𝑞 = (𝐻𝑓 + 𝑝) → (𝑅 = 0𝑝 ↔ (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐻𝑓 + 𝑝))) = 0𝑝))
9694fveq2d 6383 . . . . . 6 (𝑞 = (𝐻𝑓 + 𝑝) → (deg‘𝑅) = (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐻𝑓 + 𝑝)))))
9796breq1d 4821 . . . . 5 (𝑞 = (𝐻𝑓 + 𝑝) → ((deg‘𝑅) < 𝑁 ↔ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐻𝑓 + 𝑝)))) < 𝑁))
9895, 97orbi12d 942 . . . 4 (𝑞 = (𝐻𝑓 + 𝑝) → ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < 𝑁) ↔ ((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐻𝑓 + 𝑝))) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐻𝑓 + 𝑝)))) < 𝑁)))
9998rspcev 3462 . . 3 (((𝐻𝑓 + 𝑝) ∈ (Poly‘𝑆) ∧ ((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐻𝑓 + 𝑝))) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐻𝑓 + 𝑝)))) < 𝑁)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < 𝑁))
10055, 90, 99syl2anc 579 . 2 (((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝))) < 𝑁)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < 𝑁))
10150, 18, 4, 5plymul 24279 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐻𝑓 · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆))
102 eqid 2765 . . . . . . 7 (deg‘(𝐻𝑓 · 𝐺)) = (deg‘(𝐻𝑓 · 𝐺))
10312, 102dgrsub 24333 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐻𝑓 · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) ≤ if(𝑀 ≤ (deg‘(𝐻𝑓 · 𝐺)), (deg‘(𝐻𝑓 · 𝐺)), 𝑀))
1041, 101, 103syl2anc 579 . . . . 5 (𝜑 → (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) ≤ if(𝑀 ≤ (deg‘(𝐻𝑓 · 𝐺)), (deg‘(𝐻𝑓 · 𝐺)), 𝑀))
105 plydiv.fz . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹 ≠ 0𝑝)
10612, 9dgreq0 24326 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹 = 0𝑝 ↔ (𝐴𝑀) = 0))
1071, 106syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐹 = 0𝑝 ↔ (𝐴𝑀) = 0))
108107necon3bid 2981 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹 ≠ 0𝑝 ↔ (𝐴𝑀) ≠ 0))
109105, 108mpbid 223 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴𝑀) ≠ 0)
11017, 27, 109, 32divne0d 11075 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁)) ≠ 0)
1113, 46sseldd 3764 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁)) ∈ ℂ)
11248coe1term 24320 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁)) ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0) → ((coeff‘𝐻)‘𝐷) = if(𝐷 = 𝐷, ((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁)), 0))
113111, 47, 47, 112syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((coeff‘𝐻)‘𝐷) = if(𝐷 = 𝐷, ((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁)), 0))
114 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . 13 𝐷 = 𝐷
115114iftruei 4252 . . . . . . . . . . . 12 if(𝐷 = 𝐷, ((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁)), 0) = ((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁))
116113, 115syl6eq 2815 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((coeff‘𝐻)‘𝐷) = ((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁)))
117 c0ex 10291 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ V
118117fvconst2 6666 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∈ ℕ0 → ((ℕ0 × {0})‘𝐷) = 0)
11947, 118syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((ℕ0 × {0})‘𝐷) = 0)
120110, 116, 1193netr4d 3014 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((coeff‘𝐻)‘𝐷) ≠ ((ℕ0 × {0})‘𝐷))
121 fveq2 6379 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐻 = 0𝑝 → (coeff‘𝐻) = (coeff‘0𝑝))
122 coe0 24317 . . . . . . . . . . . . 13 (coeff‘0𝑝) = (ℕ0 × {0})
123121, 122syl6eq 2815 . . . . . . . . . . . 12 (𝐻 = 0𝑝 → (coeff‘𝐻) = (ℕ0 × {0}))
124123fveq1d 6381 . . . . . . . . . . 11 (𝐻 = 0𝑝 → ((coeff‘𝐻)‘𝐷) = ((ℕ0 × {0})‘𝐷))
125124necon3i 2969 . . . . . . . . . 10 (((coeff‘𝐻)‘𝐷) ≠ ((ℕ0 × {0})‘𝐷) → 𝐻 ≠ 0𝑝)
126120, 125syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐻 ≠ 0𝑝)
127 eqid 2765 . . . . . . . . . 10 (deg‘𝐻) = (deg‘𝐻)
128127, 22dgrmul 24331 . . . . . . . . 9 (((𝐻 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐻 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → (deg‘(𝐻𝑓 · 𝐺)) = ((deg‘𝐻) + 𝑁))
12950, 126, 18, 28, 128syl22anc 867 . . . . . . . 8 (𝜑 → (deg‘(𝐻𝑓 · 𝐺)) = ((deg‘𝐻) + 𝑁))
13048dgr1term 24321 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁)) ∈ ℂ ∧ ((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁)) ≠ 0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (deg‘𝐻) = 𝐷)
131111, 110, 47, 130syl3anc 1490 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (deg‘𝐻) = 𝐷)
132 plydiv.e . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑀𝑁) = 𝐷)
133131, 132eqtr4d 2802 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (deg‘𝐻) = (𝑀𝑁))
134133oveq1d 6861 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((deg‘𝐻) + 𝑁) = ((𝑀𝑁) + 𝑁))
13515nn0cnd 11604 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
13625nn0cnd 11604 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
137135, 136npcand 10654 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀𝑁) + 𝑁) = 𝑀)
138134, 137eqtrd 2799 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((deg‘𝐻) + 𝑁) = 𝑀)
139129, 138eqtrd 2799 . . . . . . 7 (𝜑 → (deg‘(𝐻𝑓 · 𝐺)) = 𝑀)
140139ifeq1d 4263 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝑀 ≤ (deg‘(𝐻𝑓 · 𝐺)), (deg‘(𝐻𝑓 · 𝐺)), 𝑀) = if(𝑀 ≤ (deg‘(𝐻𝑓 · 𝐺)), 𝑀, 𝑀))
141 ifid 4284 . . . . . 6 if(𝑀 ≤ (deg‘(𝐻𝑓 · 𝐺)), 𝑀, 𝑀) = 𝑀
142140, 141syl6eq 2815 . . . . 5 (𝜑 → if(𝑀 ≤ (deg‘(𝐻𝑓 · 𝐺)), (deg‘(𝐻𝑓 · 𝐺)), 𝑀) = 𝑀)
143104, 142breqtrd 4837 . . . 4 (𝜑 → (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) ≤ 𝑀)
144 eqid 2765 . . . . . . . 8 (coeff‘(𝐻𝑓 · 𝐺)) = (coeff‘(𝐻𝑓 · 𝐺))
1459, 144coesub 24318 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐻𝑓 · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆)) → (coeff‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) = (𝐴𝑓 − (coeff‘(𝐻𝑓 · 𝐺))))
1461, 101, 145syl2anc 579 . . . . . 6 (𝜑 → (coeff‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) = (𝐴𝑓 − (coeff‘(𝐻𝑓 · 𝐺))))
147146fveq1d 6381 . . . . 5 (𝜑 → ((coeff‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)))‘𝑀) = ((𝐴𝑓 − (coeff‘(𝐻𝑓 · 𝐺)))‘𝑀))
1489coef3 24293 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
149 ffn 6225 . . . . . . . 8 (𝐴:ℕ0⟶ℂ → 𝐴 Fn ℕ0)
1501, 148, 1493syl 18 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 Fn ℕ0)
151144coef3 24293 . . . . . . . 8 ((𝐻𝑓 · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘(𝐻𝑓 · 𝐺)):ℕ0⟶ℂ)
152 ffn 6225 . . . . . . . 8 ((coeff‘(𝐻𝑓 · 𝐺)):ℕ0⟶ℂ → (coeff‘(𝐻𝑓 · 𝐺)) Fn ℕ0)
153101, 151, 1523syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (coeff‘(𝐻𝑓 · 𝐺)) Fn ℕ0)
154 nn0ex 11549 . . . . . . . 8 0 ∈ V
155154a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
156 inidm 3984 . . . . . . 7 (ℕ0 ∩ ℕ0) = ℕ0
157 eqidd 2766 . . . . . . 7 ((𝜑𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑀) = (𝐴𝑀))
158 eqid 2765 . . . . . . . . . . 11 (coeff‘𝐻) = (coeff‘𝐻)
159158, 19, 127, 22coemulhi 24315 . . . . . . . . . 10 ((𝐻 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((coeff‘(𝐻𝑓 · 𝐺))‘((deg‘𝐻) + 𝑁)) = (((coeff‘𝐻)‘(deg‘𝐻)) · (𝐵𝑁)))
16050, 18, 159syl2anc 579 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((coeff‘(𝐻𝑓 · 𝐺))‘((deg‘𝐻) + 𝑁)) = (((coeff‘𝐻)‘(deg‘𝐻)) · (𝐵𝑁)))
161138fveq2d 6383 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((coeff‘(𝐻𝑓 · 𝐺))‘((deg‘𝐻) + 𝑁)) = ((coeff‘(𝐻𝑓 · 𝐺))‘𝑀))
162131fveq2d 6383 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((coeff‘𝐻)‘(deg‘𝐻)) = ((coeff‘𝐻)‘𝐷))
163162, 116eqtrd 2799 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((coeff‘𝐻)‘(deg‘𝐻)) = ((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁)))
164163oveq1d 6861 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((coeff‘𝐻)‘(deg‘𝐻)) · (𝐵𝑁)) = (((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁)) · (𝐵𝑁)))
16517, 27, 32divcan1d 11060 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁)) · (𝐵𝑁)) = (𝐴𝑀))
166164, 165eqtrd 2799 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((coeff‘𝐻)‘(deg‘𝐻)) · (𝐵𝑁)) = (𝐴𝑀))
167160, 161, 1663eqtr3d 2807 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((coeff‘(𝐻𝑓 · 𝐺))‘𝑀) = (𝐴𝑀))
168167adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑀 ∈ ℕ0) → ((coeff‘(𝐻𝑓 · 𝐺))‘𝑀) = (𝐴𝑀))
169150, 153, 155, 155, 156, 157, 168ofval 7108 . . . . . 6 ((𝜑𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑓 − (coeff‘(𝐻𝑓 · 𝐺)))‘𝑀) = ((𝐴𝑀) − (𝐴𝑀)))
17015, 169mpdan 678 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴𝑓 − (coeff‘(𝐻𝑓 · 𝐺)))‘𝑀) = ((𝐴𝑀) − (𝐴𝑀)))
17117subidd 10638 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴𝑀) − (𝐴𝑀)) = 0)
172147, 170, 1713eqtrd 2803 . . . 4 (𝜑 → ((coeff‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)))‘𝑀) = 0)
1731, 101, 4, 5, 7plysub 24280 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∈ (Poly‘𝑆))
174 dgrcl 24294 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) ∈ ℕ0)
175173, 174syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) ∈ ℕ0)
176175nn0red 11603 . . . . . . . 8 (𝜑 → (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) ∈ ℝ)
17715nn0red 11603 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
17825nn0red 11603 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
179176, 177, 178ltsub1d 10894 . . . . . . 7 (𝜑 → ((deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) < 𝑀 ↔ ((deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) − 𝑁) < (𝑀𝑁)))
180132breq2d 4823 . . . . . . 7 (𝜑 → (((deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) − 𝑁) < (𝑀𝑁) ↔ ((deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) − 𝑁) < 𝐷))
181179, 180bitrd 270 . . . . . 6 (𝜑 → ((deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) < 𝑀 ↔ ((deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) − 𝑁) < 𝐷))
182181orbi2d 939 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) < 𝑀) ↔ ((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) = 0𝑝 ∨ ((deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) − 𝑁) < 𝐷)))
183 eqid 2765 . . . . . . 7 (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) = (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)))
184 eqid 2765 . . . . . . 7 (coeff‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) = (coeff‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)))
185183, 184dgrlt 24327 . . . . . 6 (((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) < 𝑀) ↔ ((deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) ≤ 𝑀 ∧ ((coeff‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)))‘𝑀) = 0)))
186173, 15, 185syl2anc 579 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) < 𝑀) ↔ ((deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) ≤ 𝑀 ∧ ((coeff‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)))‘𝑀) = 0)))
187182, 186bitr3d 272 . . . 4 (𝜑 → (((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) = 0𝑝 ∨ ((deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) − 𝑁) < 𝐷) ↔ ((deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) ≤ 𝑀 ∧ ((coeff‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)))‘𝑀) = 0)))
188143, 172, 187mpbir2and 704 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) = 0𝑝 ∨ ((deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) − 𝑁) < 𝐷))
189 eqeq1 2769 . . . . . 6 (𝑓 = (𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) → (𝑓 = 0𝑝 ↔ (𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) = 0𝑝))
190 fveq2 6379 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) → (deg‘𝑓) = (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))))
191190oveq1d 6861 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) → ((deg‘𝑓) − 𝑁) = ((deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) − 𝑁))
192191breq1d 4821 . . . . . 6 (𝑓 = (𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) → (((deg‘𝑓) − 𝑁) < 𝐷 ↔ ((deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) − 𝑁) < 𝐷))
193189, 192orbi12d 942 . . . . 5 (𝑓 = (𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) → ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − 𝑁) < 𝐷) ↔ ((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) = 0𝑝 ∨ ((deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) − 𝑁) < 𝐷)))
194 plydiv.u . . . . . . . . 9 𝑈 = (𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝))
195 oveq1 6853 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) → (𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝)) = ((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝)))
196194, 195syl5eq 2811 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) → 𝑈 = ((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝)))
197196eqeq1d 2767 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) → (𝑈 = 0𝑝 ↔ ((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝))
198196fveq2d 6383 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) → (deg‘𝑈) = (deg‘((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝))))
199198breq1d 4821 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) → ((deg‘𝑈) < 𝑁 ↔ (deg‘((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝))) < 𝑁))
200197, 199orbi12d 942 . . . . . 6 (𝑓 = (𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) → ((𝑈 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑈) < 𝑁) ↔ (((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝))) < 𝑁)))
201200rexbidv 3199 . . . . 5 (𝑓 = (𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) → (∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑈 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑈) < 𝑁) ↔ ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)(((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝))) < 𝑁)))
202193, 201imbi12d 335 . . . 4 (𝑓 = (𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) → (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − 𝑁) < 𝐷) → ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑈 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑈) < 𝑁)) ↔ (((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) = 0𝑝 ∨ ((deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) − 𝑁) < 𝐷) → ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)(((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝))) < 𝑁))))
203 plydiv.al . . . 4 (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − 𝑁) < 𝐷) → ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑈 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑈) < 𝑁)))
204202, 203, 173rspcdva 3468 . . 3 (𝜑 → (((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) = 0𝑝 ∨ ((deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) − 𝑁) < 𝐷) → ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)(((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝))) < 𝑁)))
205188, 204mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)(((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝))) < 𝑁))
206100, 205r19.29a 3225 1 (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  wo 873  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  wrex 3056  Vcvv 3350  wss 3734  ifcif 4245  {csn 4336   class class class wbr 4811  cmpt 4890   × cxp 5277   Fn wfn 6065  wf 6066  cfv 6070  (class class class)co 6846  𝑓 cof 7097  cc 10191  0cc0 10193  1c1 10194   + caddc 10196   · cmul 10198   < clt 10332  cle 10333  cmin 10524  -cneg 10525   / cdiv 10942  0cn0 11542  cexp 13072  0𝑝c0p 23741  Polycply 24245  coeffccoe 24247  degcdgr 24248
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151  ax-inf2 8757  ax-cnex 10249  ax-resscn 10250  ax-1cn 10251  ax-icn 10252  ax-addcl 10253  ax-addrcl 10254  ax-mulcl 10255  ax-mulrcl 10256  ax-mulcom 10257  ax-addass 10258  ax-mulass 10259  ax-distr 10260  ax-i2m1 10261  ax-1ne0 10262  ax-1rid 10263  ax-rnegex 10264  ax-rrecex 10265  ax-cnre 10266  ax-pre-lttri 10267  ax-pre-lttrn 10268  ax-pre-ltadd 10269  ax-pre-mulgt0 10270  ax-pre-sup 10271  ax-addf 10272
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-se 5239  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-isom 6079  df-riota 6807  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-mpt2 6851  df-of 7099  df-om 7268  df-1st 7370  df-2nd 7371  df-wrecs 7614  df-recs 7676  df-rdg 7714  df-1o 7768  df-oadd 7772  df-er 7951  df-map 8066  df-pm 8067  df-en 8165  df-dom 8166  df-sdom 8167  df-fin 8168  df-sup 8559  df-inf 8560  df-oi 8626  df-card 9020  df-pnf 10334  df-mnf 10335  df-xr 10336  df-ltxr 10337  df-le 10338  df-sub 10526  df-neg 10527  df-div 10943  df-nn 11279  df-2 11339  df-3 11340  df-n0 11543  df-z 11629  df-uz 11892  df-rp 12034  df-fz 12539  df-fzo 12679  df-fl 12806  df-seq 13014  df-exp 13073  df-hash 13327  df-cj 14138  df-re 14139  df-im 14140  df-sqrt 14274  df-abs 14275  df-clim 14518  df-rlim 14519  df-sum 14716  df-0p 23742  df-ply 24249  df-coe 24251  df-dgr 24252
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