Theorem plydivlem4 24572

Description: Lemma for plydivex 24573. Induction step. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
plydiv.pl	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.tm	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.rc	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
plydiv.m1	⊢ (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
plydiv.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.z	⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0𝑝)
plydiv.r	⊢ 𝑅 = (𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))
plydiv.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
plydiv.e	⊢ (𝜑 → (𝑀 − 𝑁) = 𝐷)
plydiv.fz	⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0𝑝)
plydiv.u	⊢ 𝑈 = (𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝))
plydiv.h	⊢ 𝐻 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (((𝐴‘𝑀) / (𝐵‘𝑁)) · (𝑧↑𝐷)))
plydiv.al	⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − 𝑁) < 𝐷) → ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑈 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑈) < 𝑁)))
plydiv.a	⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
plydiv.b	⊢ 𝐵 = (coeff‘𝐺)
plydiv.m	⊢ 𝑀 = (deg‘𝐹)
plydiv.n	⊢ 𝑁 = (deg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
plydivlem4	⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < 𝑁))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑓,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦,𝑧,𝐹   𝑓,𝐻,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝐷,𝑓,𝑧   𝑥,𝑀,𝑦,𝑧   𝑓,𝑁,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦,𝑧   𝑓,𝐺,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦,𝑧   𝑅,𝑓,𝑝,𝑥,𝑦   𝑆,𝑓,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑝

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑞)   𝐴(𝑓,𝑞,𝑝)   𝐵(𝑓,𝑞,𝑝)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑞,𝑝)   𝑅(𝑧,𝑞)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑞,𝑝)   𝑀(𝑓,𝑞,𝑝)

Proof of Theorem plydivlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plydiv.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
2		plybss 24471	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
3	1, 2	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
4		plydiv.pl	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
5		plydiv.tm	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
6		plydiv.rc	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
7		plydiv.m1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
8	4, 5, 6, 7	plydivlem1 24569	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑆)
9		plydiv.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
10	9	coef2 24508	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 0 ∈ 𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶𝑆)
11	1, 8, 10	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶𝑆)
12		plydiv.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑀 = (deg‘𝐹)
13		dgrcl 24510	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
14	1, 13	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
15	12, 14	syl5eqel 2889	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
16	11, 15	ffvelrnd 6724	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑀) ∈ 𝑆)
17	3, 16	sseldd 3896	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑀) ∈ ℂ)
18		plydiv.g	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
19		plydiv.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 = (coeff‘𝐺)
20	19	coef2 24508	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 0 ∈ 𝑆) → 𝐵:ℕ0⟶𝑆)
21	18, 8, 20	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵:ℕ0⟶𝑆)
22		plydiv.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑁 = (deg‘𝐺)
23		dgrcl 24510	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐺) ∈ ℕ0)
24	18, 23	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐺) ∈ ℕ0)
25	22, 24	syl5eqel 2889	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
26	21, 25	ffvelrnd 6724	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘𝑁) ∈ 𝑆)
27	3, 26	sseldd 3896	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘𝑁) ∈ ℂ)
28		plydiv.z	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0𝑝)
29	22, 19	dgreq0 24542	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐺 = 0𝑝 ↔ (𝐵‘𝑁) = 0))
30	18, 29	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐺 = 0𝑝 ↔ (𝐵‘𝑁) = 0))
31	30	necon3bid 3030	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ≠ 0𝑝 ↔ (𝐵‘𝑁) ≠ 0))
32	28, 31	mpbid 233	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘𝑁) ≠ 0)
33	17, 27, 32	divrecd 11273	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝑀) / (𝐵‘𝑁)) = ((𝐴‘𝑀) · (1 / (𝐵‘𝑁))))
34		fvex 6558	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵‘𝑁) ∈ V
35		eleq1 2872	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (𝐵‘𝑁) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↔ (𝐵‘𝑁) ∈ 𝑆))
36		neeq1 3048	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (𝐵‘𝑁) → (𝑥 ≠ 0 ↔ (𝐵‘𝑁) ≠ 0))
37	35, 36	anbi12d 630	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝐵‘𝑁) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ≠ 0) ↔ ((𝐵‘𝑁) ∈ 𝑆 ∧ (𝐵‘𝑁) ≠ 0)))
38	37	anbi2d 628	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝐵‘𝑁) → ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ≠ 0)) ↔ (𝜑 ∧ ((𝐵‘𝑁) ∈ 𝑆 ∧ (𝐵‘𝑁) ≠ 0))))
39		oveq2 7031	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝐵‘𝑁) → (1 / 𝑥) = (1 / (𝐵‘𝑁)))
40	39	eleq1d 2869	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝐵‘𝑁) → ((1 / 𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (1 / (𝐵‘𝑁)) ∈ 𝑆))
41	38, 40	imbi12d 346	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝐵‘𝑁) → (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆) ↔ ((𝜑 ∧ ((𝐵‘𝑁) ∈ 𝑆 ∧ (𝐵‘𝑁) ≠ 0)) → (1 / (𝐵‘𝑁)) ∈ 𝑆)))
42	34, 41, 6	vtocl 3505	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐵‘𝑁) ∈ 𝑆 ∧ (𝐵‘𝑁) ≠ 0)) → (1 / (𝐵‘𝑁)) ∈ 𝑆)
43	42	ex 413	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐵‘𝑁) ∈ 𝑆 ∧ (𝐵‘𝑁) ≠ 0) → (1 / (𝐵‘𝑁)) ∈ 𝑆))
44	26, 32, 43	mp2and 695	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 / (𝐵‘𝑁)) ∈ 𝑆)
45	5, 16, 44	caovcld 7204	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝑀) · (1 / (𝐵‘𝑁))) ∈ 𝑆)
46	33, 45	eqeltrd 2885	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝑀) / (𝐵‘𝑁)) ∈ 𝑆)
47		plydiv.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
48		plydiv.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (((𝐴‘𝑀) / (𝐵‘𝑁)) · (𝑧↑𝐷)))
49	48	ply1term 24481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ((𝐴‘𝑀) / (𝐵‘𝑁)) ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → 𝐻 ∈ (Poly‘𝑆))
50	3, 46, 47, 49	syl3anc 1364	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (Poly‘𝑆))
51	50	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐻 ∈ (Poly‘𝑆))
52		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))
53	4	adantlr 711	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
54	51, 52, 53	plyadd 24494	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐻 ∘𝑓 + 𝑝) ∈ (Poly‘𝑆))
55		cnex 10471	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ ∈ V
56	55	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → ℂ ∈ V)
57	1	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
58		plyf 24475	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
59	57, 58	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
60		mulcl 10474	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
61	60	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
62		plyf 24475	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐻 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐻:ℂ⟶ℂ)
63	51, 62	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐻:ℂ⟶ℂ)
64	18	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
65		plyf 24475	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
67		inidm 4121	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂ ∩ ℂ) = ℂ
68	61, 63, 66, 56, 56, 67	off 7289	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺):ℂ⟶ℂ)
69		plyf 24475	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑝:ℂ⟶ℂ)
70	69	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝑝:ℂ⟶ℂ)
71	61, 66, 70, 56, 56, 67	off 7289	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝):ℂ⟶ℂ)
72		subsub4 10773	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 − 𝑦) − 𝑧) = (𝑥 − (𝑦 + 𝑧)))
73	72	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → ((𝑥 − 𝑦) − 𝑧) = (𝑥 − (𝑦 + 𝑧)))
74	56, 59, 68, 71, 73	caofass 7308	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝)) = (𝐹 ∘𝑓 − ((𝐻 ∘𝑓 · 𝐺) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝))))
75		mulcom 10476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))
76	75	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))
77	56, 63, 66, 76	caofcom 7306	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺) = (𝐺 ∘𝑓 · 𝐻))
78	77	oveq1d 7038	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((𝐻 ∘𝑓 · 𝐺) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝)) = ((𝐺 ∘𝑓 · 𝐻) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝)))
79		adddi 10479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
80	79	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
81	56, 66, 63, 70, 80	caofdi 7310	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐺 ∘𝑓 · (𝐻 ∘𝑓 + 𝑝)) = ((𝐺 ∘𝑓 · 𝐻) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝)))
82	78, 81	eqtr4d 2836	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((𝐻 ∘𝑓 · 𝐺) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝)) = (𝐺 ∘𝑓 · (𝐻 ∘𝑓 + 𝑝)))
83	82	oveq2d 7039	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐹 ∘𝑓 − ((𝐻 ∘𝑓 · 𝐺) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝))) = (𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · (𝐻 ∘𝑓 + 𝑝))))
84	74, 83	eqtrd 2833	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝)) = (𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · (𝐻 ∘𝑓 + 𝑝))))
85	84	eqeq1d 2799	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → (((𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝 ↔ (𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · (𝐻 ∘𝑓 + 𝑝))) = 0𝑝))
86	84	fveq2d 6549	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘((𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝))) = (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · (𝐻 ∘𝑓 + 𝑝)))))
87	86	breq1d 4978	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((deg‘((𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝))) < 𝑁 ↔ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · (𝐻 ∘𝑓 + 𝑝)))) < 𝑁))
88	85, 87	orbi12d 913	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((((𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘((𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝))) < 𝑁) ↔ ((𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · (𝐻 ∘𝑓 + 𝑝))) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · (𝐻 ∘𝑓 + 𝑝)))) < 𝑁)))
89	88	biimpa 477	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (((𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘((𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝))) < 𝑁)) → ((𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · (𝐻 ∘𝑓 + 𝑝))) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · (𝐻 ∘𝑓 + 𝑝)))) < 𝑁))
90		plydiv.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = (𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))
91		oveq2 7031	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = (𝐻 ∘𝑓 + 𝑝) → (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞) = (𝐺 ∘𝑓 · (𝐻 ∘𝑓 + 𝑝)))
92	91	oveq2d 7039	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = (𝐻 ∘𝑓 + 𝑝) → (𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = (𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · (𝐻 ∘𝑓 + 𝑝))))
93	90, 92	syl5eq 2845	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = (𝐻 ∘𝑓 + 𝑝) → 𝑅 = (𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · (𝐻 ∘𝑓 + 𝑝))))
94	93	eqeq1d 2799	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = (𝐻 ∘𝑓 + 𝑝) → (𝑅 = 0𝑝 ↔ (𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · (𝐻 ∘𝑓 + 𝑝))) = 0𝑝))
95	93	fveq2d 6549	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = (𝐻 ∘𝑓 + 𝑝) → (deg‘𝑅) = (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · (𝐻 ∘𝑓 + 𝑝)))))
96	95	breq1d 4978	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = (𝐻 ∘𝑓 + 𝑝) → ((deg‘𝑅) < 𝑁 ↔ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · (𝐻 ∘𝑓 + 𝑝)))) < 𝑁))
97	94, 96	orbi12d 913	. . . 4 ⊢ (𝑞 = (𝐻 ∘𝑓 + 𝑝) → ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < 𝑁) ↔ ((𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · (𝐻 ∘𝑓 + 𝑝))) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · (𝐻 ∘𝑓 + 𝑝)))) < 𝑁)))
98	97	rspcev 3561	. . 3 ⊢ (((𝐻 ∘𝑓 + 𝑝) ∈ (Poly‘𝑆) ∧ ((𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · (𝐻 ∘𝑓 + 𝑝))) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · (𝐻 ∘𝑓 + 𝑝)))) < 𝑁)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < 𝑁))
99	54, 89, 98	syl2an2r 681	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (((𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘((𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝))) < 𝑁)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < 𝑁))
100	50, 18, 4, 5	plymul 24495	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆))
101		eqid 2797	. . . . . . 7 ⊢ (deg‘(𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) = (deg‘(𝐻 ∘𝑓 · 𝐺))
102	12, 101	dgrsub 24549	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺))) ≤ if(𝑀 ≤ (deg‘(𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)), (deg‘(𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)), 𝑀))
103	1, 100, 102	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺))) ≤ if(𝑀 ≤ (deg‘(𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)), (deg‘(𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)), 𝑀))
104		plydiv.fz	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0𝑝)
105	12, 9	dgreq0 24542	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹 = 0𝑝 ↔ (𝐴‘𝑀) = 0))
106	1, 105	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐹 = 0𝑝 ↔ (𝐴‘𝑀) = 0))
107	106	necon3bid 3030	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ≠ 0𝑝 ↔ (𝐴‘𝑀) ≠ 0))
108	104, 107	mpbid 233	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑀) ≠ 0)
109	17, 27, 108, 32	divne0d 11286	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝑀) / (𝐵‘𝑁)) ≠ 0)
110	3, 46	sseldd 3896	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝑀) / (𝐵‘𝑁)) ∈ ℂ)
111	48	coe1term 24536	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴‘𝑀) / (𝐵‘𝑁)) ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → ((coeff‘𝐻)‘𝐷) = if(𝐷 = 𝐷, ((𝐴‘𝑀) / (𝐵‘𝑁)), 0))
112	110, 47, 47, 111	syl3anc 1364	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((coeff‘𝐻)‘𝐷) = if(𝐷 = 𝐷, ((𝐴‘𝑀) / (𝐵‘𝑁)), 0))
113		eqid 2797	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐷 = 𝐷
114	113	iftruei 4394	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ if(𝐷 = 𝐷, ((𝐴‘𝑀) / (𝐵‘𝑁)), 0) = ((𝐴‘𝑀) / (𝐵‘𝑁))
115	112, 114	syl6eq 2849	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((coeff‘𝐻)‘𝐷) = ((𝐴‘𝑀) / (𝐵‘𝑁)))
116		c0ex 10488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ V
117	116	fvconst2 6840	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ0 → ((ℕ0 × {0})‘𝐷) = 0)
118	47, 117	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((ℕ0 × {0})‘𝐷) = 0)
119	109, 115, 118	3netr4d 3063	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((coeff‘𝐻)‘𝐷) ≠ ((ℕ0 × {0})‘𝐷))
120		fveq2 6545	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐻 = 0𝑝 → (coeff‘𝐻) = (coeff‘0𝑝))
121		coe0 24533	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (coeff‘0𝑝) = (ℕ0 × {0})
122	120, 121	syl6eq 2849	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐻 = 0𝑝 → (coeff‘𝐻) = (ℕ0 × {0}))
123	122	fveq1d 6547	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐻 = 0𝑝 → ((coeff‘𝐻)‘𝐷) = ((ℕ0 × {0})‘𝐷))
124	123	necon3i 3018	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((coeff‘𝐻)‘𝐷) ≠ ((ℕ0 × {0})‘𝐷) → 𝐻 ≠ 0𝑝)
125	119, 124	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ≠ 0𝑝)
126		eqid 2797	. . . . . . . . . 10 ⊢ (deg‘𝐻) = (deg‘𝐻)
127	126, 22	dgrmul 24547	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐻 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐻 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → (deg‘(𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) = ((deg‘𝐻) + 𝑁))
128	50, 125, 18, 28, 127	syl22anc 835	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (deg‘(𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) = ((deg‘𝐻) + 𝑁))
129	48	dgr1term 24537	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑀) / (𝐵‘𝑁)) ∈ ℂ ∧ ((𝐴‘𝑀) / (𝐵‘𝑁)) ≠ 0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (deg‘𝐻) = 𝐷)
130	110, 109, 47, 129	syl3anc 1364	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐻) = 𝐷)
131		plydiv.e	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 𝑁) = 𝐷)
132	130, 131	eqtr4d 2836	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐻) = (𝑀 − 𝑁))
133	132	oveq1d 7038	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((deg‘𝐻) + 𝑁) = ((𝑀 − 𝑁) + 𝑁))
134	15	nn0cnd 11811	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
135	25	nn0cnd 11811	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
136	134, 135	npcand 10855	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 − 𝑁) + 𝑁) = 𝑀)
137	133, 136	eqtrd 2833	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((deg‘𝐻) + 𝑁) = 𝑀)
138	128, 137	eqtrd 2833	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (deg‘(𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) = 𝑀)
139	138	ifeq1d 4405	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝑀 ≤ (deg‘(𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)), (deg‘(𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)), 𝑀) = if(𝑀 ≤ (deg‘(𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)), 𝑀, 𝑀))
140		ifid 4426	. . . . . 6 ⊢ if(𝑀 ≤ (deg‘(𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)), 𝑀, 𝑀) = 𝑀
141	139, 140	syl6eq 2849	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(𝑀 ≤ (deg‘(𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)), (deg‘(𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)), 𝑀) = 𝑀)
142	103, 141	breqtrd 4994	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺))) ≤ 𝑀)
143		eqid 2797	. . . . . . . 8 ⊢ (coeff‘(𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) = (coeff‘(𝐻 ∘𝑓 · 𝐺))
144	9, 143	coesub 24534	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆)) → (coeff‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺))) = (𝐴 ∘𝑓 − (coeff‘(𝐻 ∘𝑓 · 𝐺))))
145	1, 100, 144	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (coeff‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺))) = (𝐴 ∘𝑓 − (coeff‘(𝐻 ∘𝑓 · 𝐺))))
146	145	fveq1d 6547	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((coeff‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)))‘𝑀) = ((𝐴 ∘𝑓 − (coeff‘(𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)))‘𝑀))
147	9	coef3 24509	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
148		ffn 6389	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴:ℕ0⟶ℂ → 𝐴 Fn ℕ0)
149	1, 147, 148	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 Fn ℕ0)
150	143	coef3 24509	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐻 ∘𝑓 · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘(𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)):ℕ0⟶ℂ)
151		ffn 6389	. . . . . . . 8 ⊢ ((coeff‘(𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)):ℕ0⟶ℂ → (coeff‘(𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) Fn ℕ0)
152	100, 150, 151	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (coeff‘(𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) Fn ℕ0)
153		nn0ex 11757	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 ∈ V
154	153	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
155		inidm 4121	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ0 ∩ ℕ0) = ℕ0
156		eqidd 2798	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑀) = (𝐴‘𝑀))
157		eqid 2797	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (coeff‘𝐻) = (coeff‘𝐻)
158	157, 19, 126, 22	coemulhi 24531	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐻 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((coeff‘(𝐻 ∘𝑓 · 𝐺))‘((deg‘𝐻) + 𝑁)) = (((coeff‘𝐻)‘(deg‘𝐻)) · (𝐵‘𝑁)))
159	50, 18, 158	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((coeff‘(𝐻 ∘𝑓 · 𝐺))‘((deg‘𝐻) + 𝑁)) = (((coeff‘𝐻)‘(deg‘𝐻)) · (𝐵‘𝑁)))
160	137	fveq2d 6549	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((coeff‘(𝐻 ∘𝑓 · 𝐺))‘((deg‘𝐻) + 𝑁)) = ((coeff‘(𝐻 ∘𝑓 · 𝐺))‘𝑀))
161	130	fveq2d 6549	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((coeff‘𝐻)‘(deg‘𝐻)) = ((coeff‘𝐻)‘𝐷))
162	161, 115	eqtrd 2833	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((coeff‘𝐻)‘(deg‘𝐻)) = ((𝐴‘𝑀) / (𝐵‘𝑁)))
163	162	oveq1d 7038	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((coeff‘𝐻)‘(deg‘𝐻)) · (𝐵‘𝑁)) = (((𝐴‘𝑀) / (𝐵‘𝑁)) · (𝐵‘𝑁)))
164	17, 27, 32	divcan1d 11271	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘𝑀) / (𝐵‘𝑁)) · (𝐵‘𝑁)) = (𝐴‘𝑀))
165	163, 164	eqtrd 2833	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((coeff‘𝐻)‘(deg‘𝐻)) · (𝐵‘𝑁)) = (𝐴‘𝑀))
166	159, 160, 165	3eqtr3d 2841	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((coeff‘(𝐻 ∘𝑓 · 𝐺))‘𝑀) = (𝐴‘𝑀))
167	166	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((coeff‘(𝐻 ∘𝑓 · 𝐺))‘𝑀) = (𝐴‘𝑀))
168	149, 152, 154, 154, 155, 156, 167	ofval 7283	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐴 ∘𝑓 − (coeff‘(𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)))‘𝑀) = ((𝐴‘𝑀) − (𝐴‘𝑀)))
169	15, 168	mpdan 683	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∘𝑓 − (coeff‘(𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)))‘𝑀) = ((𝐴‘𝑀) − (𝐴‘𝑀)))
170	17	subidd 10839	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝑀) − (𝐴‘𝑀)) = 0)
171	146, 169, 170	3eqtrd 2837	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((coeff‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)))‘𝑀) = 0)
172	1, 100, 4, 5, 7	plysub 24496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) ∈ (Poly‘𝑆))
173		dgrcl 24510	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺))) ∈ ℕ0)
174	172, 173	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺))) ∈ ℕ0)
175	174	nn0red 11810	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺))) ∈ ℝ)
176	15	nn0red 11810	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
177	25	nn0red 11810	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
178	175, 176, 177	ltsub1d 11103	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺))) < 𝑀 ↔ ((deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺))) − 𝑁) < (𝑀 − 𝑁)))
179	131	breq2d 4980	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺))) − 𝑁) < (𝑀 − 𝑁) ↔ ((deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺))) − 𝑁) < 𝐷))
180	178, 179	bitrd 280	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺))) < 𝑀 ↔ ((deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺))) − 𝑁) < 𝐷))
181	180	orbi2d 910	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺))) < 𝑀) ↔ ((𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) = 0𝑝 ∨ ((deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺))) − 𝑁) < 𝐷)))
182		eqid 2797	. . . . . . 7 ⊢ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺))) = (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)))
183		eqid 2797	. . . . . . 7 ⊢ (coeff‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺))) = (coeff‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)))
184	182, 183	dgrlt 24543	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺))) < 𝑀) ↔ ((deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺))) ≤ 𝑀 ∧ ((coeff‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)))‘𝑀) = 0)))
185	172, 15, 184	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺))) < 𝑀) ↔ ((deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺))) ≤ 𝑀 ∧ ((coeff‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)))‘𝑀) = 0)))
186	181, 185	bitr3d 282	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) = 0𝑝 ∨ ((deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺))) − 𝑁) < 𝐷) ↔ ((deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺))) ≤ 𝑀 ∧ ((coeff‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)))‘𝑀) = 0)))
187	142, 171, 186	mpbir2and 709	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) = 0𝑝 ∨ ((deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺))) − 𝑁) < 𝐷))
188		eqeq1 2801	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = (𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) → (𝑓 = 0𝑝 ↔ (𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) = 0𝑝))
189		fveq2 6545	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) → (deg‘𝑓) = (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺))))
190	189	oveq1d 7038	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) → ((deg‘𝑓) − 𝑁) = ((deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺))) − 𝑁))
191	190	breq1d 4978	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = (𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) → (((deg‘𝑓) − 𝑁) < 𝐷 ↔ ((deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺))) − 𝑁) < 𝐷))
192	188, 191	orbi12d 913	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = (𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) → ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − 𝑁) < 𝐷) ↔ ((𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) = 0𝑝 ∨ ((deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺))) − 𝑁) < 𝐷)))
193		plydiv.u	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑈 = (𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝))
194		oveq1 7030	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = (𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) → (𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝)) = ((𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝)))
195	193, 194	syl5eq 2845	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) → 𝑈 = ((𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝)))
196	195	eqeq1d 2799	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) → (𝑈 = 0𝑝 ↔ ((𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝))
197	195	fveq2d 6549	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) → (deg‘𝑈) = (deg‘((𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝))))
198	197	breq1d 4978	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) → ((deg‘𝑈) < 𝑁 ↔ (deg‘((𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝))) < 𝑁))
199	196, 198	orbi12d 913	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = (𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) → ((𝑈 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑈) < 𝑁) ↔ (((𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘((𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝))) < 𝑁)))
200	199	rexbidv 3262	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = (𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) → (∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑈 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑈) < 𝑁) ↔ ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)(((𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘((𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝))) < 𝑁)))
201	192, 200	imbi12d 346	. . . 4 ⊢ (𝑓 = (𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) → (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − 𝑁) < 𝐷) → ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑈 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑈) < 𝑁)) ↔ (((𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) = 0𝑝 ∨ ((deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺))) − 𝑁) < 𝐷) → ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)(((𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘((𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝))) < 𝑁))))
202		plydiv.al	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − 𝑁) < 𝐷) → ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑈 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑈) < 𝑁)))
203	201, 202, 172	rspcdva 3567	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) = 0𝑝 ∨ ((deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺))) − 𝑁) < 𝐷) → ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)(((𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘((𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝))) < 𝑁)))
204	187, 203	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)(((𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘((𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝))) < 𝑁))
205	99, 204	r19.29a 3254	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 842   ∧ w3a 1080   = wceq 1525   ∈ wcel 2083   ≠ wne 2986  ∀wral 3107  ∃wrex 3108  Vcvv 3440   ⊆ wss 3865  ifcif 4387  {csn 4478   class class class wbr 4968   ↦ cmpt 5047   × cxp 5448   Fn wfn 6227  ⟶wf 6228  ‘cfv 6232  (class class class)co 7023   ∘_𝑓 cof 7272  ℂcc 10388  0cc0 10390  1c1 10391   + caddc 10393   · cmul 10395   < clt 10528   ≤ cle 10529   − cmin 10723  -cneg 10724   / cdiv 11151  ℕ₀cn0 11751  ↑cexp 13283  0_𝑝c0p 23957  Polycply 24461  coeffccoe 24463  degcdgr 24464

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-inf2 8957  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467  ax-pre-sup 10468  ax-addf 10469

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-fal 1538  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-se 5410  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-isom 6241  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-of 7274  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-1o 7960  df-oadd 7964  df-er 8146  df-map 8265  df-pm 8266  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-fin 8368  df-sup 8759  df-inf 8760  df-oi 8827  df-card 9221  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-div 11152  df-nn 11493  df-2 11554  df-3 11555  df-n0 11752  df-z 11836  df-uz 12098  df-rp 12244  df-fz 12747  df-fzo 12888  df-fl 13016  df-seq 13224  df-exp 13284  df-hash 13545  df-cj 14296  df-re 14297  df-im 14298  df-sqrt 14432  df-abs 14433  df-clim 14683  df-rlim 14684  df-sum 14881  df-0p 23958  df-ply 24465  df-coe 24467  df-dgr 24468

This theorem is referenced by:  plydivex  24573