Theorem plydivlem4 26277

Description: Lemma for plydivex 26278. Induction step. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
plydiv.pl	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.tm	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.rc	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
plydiv.m1	⊢ (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
plydiv.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.z	⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0𝑝)
plydiv.r	⊢ 𝑅 = (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))
plydiv.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
plydiv.e	⊢ (𝜑 → (𝑀 − 𝑁) = 𝐷)
plydiv.fz	⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0𝑝)
plydiv.u	⊢ 𝑈 = (𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))
plydiv.h	⊢ 𝐻 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (((𝐴‘𝑀) / (𝐵‘𝑁)) · (𝑧↑𝐷)))
plydiv.al	⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − 𝑁) < 𝐷) → ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑈 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑈) < 𝑁)))
plydiv.a	⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
plydiv.b	⊢ 𝐵 = (coeff‘𝐺)
plydiv.m	⊢ 𝑀 = (deg‘𝐹)
plydiv.n	⊢ 𝑁 = (deg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
plydivlem4	⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < 𝑁))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑓,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦,𝑧,𝐹   𝑓,𝐻,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝐷,𝑓,𝑧   𝑥,𝑀,𝑦,𝑧   𝑓,𝑁,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦,𝑧   𝑓,𝐺,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦,𝑧   𝑅,𝑓,𝑝,𝑥,𝑦   𝑆,𝑓,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑝

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑞)   𝐴(𝑓,𝑞,𝑝)   𝐵(𝑓,𝑞,𝑝)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑞,𝑝)   𝑅(𝑧,𝑞)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑞,𝑝)   𝑀(𝑓,𝑞,𝑝)

Proof of Theorem plydivlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plydiv.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
2		plybss 26173	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
3	1, 2	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
4		plydiv.pl	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
5		plydiv.tm	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
6		plydiv.rc	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
7		plydiv.m1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
8	4, 5, 6, 7	plydivlem1 26274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑆)
9		plydiv.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
10	9	coef2 26210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 0 ∈ 𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶𝑆)
11	1, 8, 10	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶𝑆)
12		plydiv.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑀 = (deg‘𝐹)
13		dgrcl 26212	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
14	1, 13	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
15	12, 14	eqeltrid 2841	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
16	11, 15	ffvelcdmd 7033	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑀) ∈ 𝑆)
17	3, 16	sseldd 3923	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑀) ∈ ℂ)
18		plydiv.g	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
19		plydiv.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 = (coeff‘𝐺)
20	19	coef2 26210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 0 ∈ 𝑆) → 𝐵:ℕ0⟶𝑆)
21	18, 8, 20	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵:ℕ0⟶𝑆)
22		plydiv.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑁 = (deg‘𝐺)
23		dgrcl 26212	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐺) ∈ ℕ0)
24	18, 23	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐺) ∈ ℕ0)
25	22, 24	eqeltrid 2841	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
26	21, 25	ffvelcdmd 7033	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘𝑁) ∈ 𝑆)
27	3, 26	sseldd 3923	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘𝑁) ∈ ℂ)
28		plydiv.z	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0𝑝)
29	22, 19	dgreq0 26244	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐺 = 0𝑝 ↔ (𝐵‘𝑁) = 0))
30	18, 29	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐺 = 0𝑝 ↔ (𝐵‘𝑁) = 0))
31	30	necon3bid 2977	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ≠ 0𝑝 ↔ (𝐵‘𝑁) ≠ 0))
32	28, 31	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘𝑁) ≠ 0)
33	17, 27, 32	divrecd 11929	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝑀) / (𝐵‘𝑁)) = ((𝐴‘𝑀) · (1 / (𝐵‘𝑁))))
34		fvex 6849	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵‘𝑁) ∈ V
35		eleq1 2825	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (𝐵‘𝑁) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↔ (𝐵‘𝑁) ∈ 𝑆))
36		neeq1 2995	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (𝐵‘𝑁) → (𝑥 ≠ 0 ↔ (𝐵‘𝑁) ≠ 0))
37	35, 36	anbi12d 633	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝐵‘𝑁) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ≠ 0) ↔ ((𝐵‘𝑁) ∈ 𝑆 ∧ (𝐵‘𝑁) ≠ 0)))
38	37	anbi2d 631	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝐵‘𝑁) → ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ≠ 0)) ↔ (𝜑 ∧ ((𝐵‘𝑁) ∈ 𝑆 ∧ (𝐵‘𝑁) ≠ 0))))
39		oveq2 7370	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝐵‘𝑁) → (1 / 𝑥) = (1 / (𝐵‘𝑁)))
40	39	eleq1d 2822	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝐵‘𝑁) → ((1 / 𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (1 / (𝐵‘𝑁)) ∈ 𝑆))
41	38, 40	imbi12d 344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝐵‘𝑁) → (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆) ↔ ((𝜑 ∧ ((𝐵‘𝑁) ∈ 𝑆 ∧ (𝐵‘𝑁) ≠ 0)) → (1 / (𝐵‘𝑁)) ∈ 𝑆)))
42	34, 41, 6	vtocl 3504	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐵‘𝑁) ∈ 𝑆 ∧ (𝐵‘𝑁) ≠ 0)) → (1 / (𝐵‘𝑁)) ∈ 𝑆)
43	42	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐵‘𝑁) ∈ 𝑆 ∧ (𝐵‘𝑁) ≠ 0) → (1 / (𝐵‘𝑁)) ∈ 𝑆))
44	26, 32, 43	mp2and 700	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 / (𝐵‘𝑁)) ∈ 𝑆)
45	5, 16, 44	caovcld 7555	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝑀) · (1 / (𝐵‘𝑁))) ∈ 𝑆)
46	33, 45	eqeltrd 2837	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝑀) / (𝐵‘𝑁)) ∈ 𝑆)
47		plydiv.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
48		plydiv.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (((𝐴‘𝑀) / (𝐵‘𝑁)) · (𝑧↑𝐷)))
49	48	ply1term 26183	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ((𝐴‘𝑀) / (𝐵‘𝑁)) ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → 𝐻 ∈ (Poly‘𝑆))
50	3, 46, 47, 49	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (Poly‘𝑆))
51	50	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐻 ∈ (Poly‘𝑆))
52		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))
53	4	adantlr 716	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
54	51, 52, 53	plyadd 26196	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐻 ∘f + 𝑝) ∈ (Poly‘𝑆))
55		cnex 11114	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ ∈ V
56	55	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → ℂ ∈ V)
57	1	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
58		plyf 26177	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
59	57, 58	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
60		mulcl 11117	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
61	60	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
62		plyf 26177	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐻 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐻:ℂ⟶ℂ)
63	51, 62	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐻:ℂ⟶ℂ)
64	18	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
65		plyf 26177	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
67		inidm 4168	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂ ∩ ℂ) = ℂ
68	61, 63, 66, 56, 56, 67	off 7644	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐻 ∘f · 𝐺):ℂ⟶ℂ)
69		plyf 26177	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑝:ℂ⟶ℂ)
70	69	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝑝:ℂ⟶ℂ)
71	61, 66, 70, 56, 56, 67	off 7644	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐺 ∘f · 𝑝):ℂ⟶ℂ)
72		subsub4 11422	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 − 𝑦) − 𝑧) = (𝑥 − (𝑦 + 𝑧)))
73	72	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → ((𝑥 − 𝑦) − 𝑧) = (𝑥 − (𝑦 + 𝑧)))
74	56, 59, 68, 71, 73	caofass 7666	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = (𝐹 ∘f − ((𝐻 ∘f · 𝐺) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝑝))))
75		mulcom 11119	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))
76	75	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))
77	56, 63, 66, 76	caofcom 7663	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐻 ∘f · 𝐺) = (𝐺 ∘f · 𝐻))
78	77	oveq1d 7377	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((𝐻 ∘f · 𝐺) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝑝)) = ((𝐺 ∘f · 𝐻) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝑝)))
79		adddi 11122	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
80	79	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
81	56, 66, 63, 70, 80	caofdi 7668	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐺 ∘f · (𝐻 ∘f + 𝑝)) = ((𝐺 ∘f · 𝐻) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝑝)))
82	78, 81	eqtr4d 2775	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((𝐻 ∘f · 𝐺) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝑝)) = (𝐺 ∘f · (𝐻 ∘f + 𝑝)))
83	82	oveq2d 7378	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐹 ∘f − ((𝐻 ∘f · 𝐺) ∘f + (𝐺 ∘f · 𝑝))) = (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · (𝐻 ∘f + 𝑝))))
84	74, 83	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · (𝐻 ∘f + 𝑝))))
85	84	eqeq1d 2739	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → (((𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ↔ (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · (𝐻 ∘f + 𝑝))) = 0𝑝))
86	84	fveq2d 6840	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘((𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) = (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · (𝐻 ∘f + 𝑝)))))
87	86	breq1d 5096	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((deg‘((𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < 𝑁 ↔ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · (𝐻 ∘f + 𝑝)))) < 𝑁))
88	85, 87	orbi12d 919	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((((𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘((𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < 𝑁) ↔ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · (𝐻 ∘f + 𝑝))) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · (𝐻 ∘f + 𝑝)))) < 𝑁)))
89	88	biimpa 476	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (((𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘((𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < 𝑁)) → ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · (𝐻 ∘f + 𝑝))) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · (𝐻 ∘f + 𝑝)))) < 𝑁))
90		plydiv.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))
91		oveq2 7370	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = (𝐻 ∘f + 𝑝) → (𝐺 ∘f · 𝑞) = (𝐺 ∘f · (𝐻 ∘f + 𝑝)))
92	91	oveq2d 7378	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = (𝐻 ∘f + 𝑝) → (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · (𝐻 ∘f + 𝑝))))
93	90, 92	eqtrid 2784	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = (𝐻 ∘f + 𝑝) → 𝑅 = (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · (𝐻 ∘f + 𝑝))))
94	93	eqeq1d 2739	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = (𝐻 ∘f + 𝑝) → (𝑅 = 0𝑝 ↔ (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · (𝐻 ∘f + 𝑝))) = 0𝑝))
95	93	fveq2d 6840	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = (𝐻 ∘f + 𝑝) → (deg‘𝑅) = (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · (𝐻 ∘f + 𝑝)))))
96	95	breq1d 5096	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = (𝐻 ∘f + 𝑝) → ((deg‘𝑅) < 𝑁 ↔ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · (𝐻 ∘f + 𝑝)))) < 𝑁))
97	94, 96	orbi12d 919	. . . 4 ⊢ (𝑞 = (𝐻 ∘f + 𝑝) → ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < 𝑁) ↔ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · (𝐻 ∘f + 𝑝))) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · (𝐻 ∘f + 𝑝)))) < 𝑁)))
98	97	rspcev 3565	. . 3 ⊢ (((𝐻 ∘f + 𝑝) ∈ (Poly‘𝑆) ∧ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · (𝐻 ∘f + 𝑝))) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · (𝐻 ∘f + 𝑝)))) < 𝑁)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < 𝑁))
99	54, 89, 98	syl2an2r 686	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (((𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘((𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < 𝑁)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < 𝑁))
100	50, 18, 4, 5	plymul 26197	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘f · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆))
101		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (deg‘(𝐻 ∘f · 𝐺)) = (deg‘(𝐻 ∘f · 𝐺))
102	12, 101	dgrsub 26251	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐻 ∘f · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺))) ≤ if(𝑀 ≤ (deg‘(𝐻 ∘f · 𝐺)), (deg‘(𝐻 ∘f · 𝐺)), 𝑀))
103	1, 100, 102	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺))) ≤ if(𝑀 ≤ (deg‘(𝐻 ∘f · 𝐺)), (deg‘(𝐻 ∘f · 𝐺)), 𝑀))
104		plydiv.fz	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0𝑝)
105	12, 9	dgreq0 26244	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹 = 0𝑝 ↔ (𝐴‘𝑀) = 0))
106	1, 105	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐹 = 0𝑝 ↔ (𝐴‘𝑀) = 0))
107	106	necon3bid 2977	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ≠ 0𝑝 ↔ (𝐴‘𝑀) ≠ 0))
108	104, 107	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑀) ≠ 0)
109	17, 27, 108, 32	divne0d 11942	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝑀) / (𝐵‘𝑁)) ≠ 0)
110	3, 46	sseldd 3923	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝑀) / (𝐵‘𝑁)) ∈ ℂ)
111	48	coe1term 26238	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴‘𝑀) / (𝐵‘𝑁)) ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → ((coeff‘𝐻)‘𝐷) = if(𝐷 = 𝐷, ((𝐴‘𝑀) / (𝐵‘𝑁)), 0))
112	110, 47, 47, 111	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((coeff‘𝐻)‘𝐷) = if(𝐷 = 𝐷, ((𝐴‘𝑀) / (𝐵‘𝑁)), 0))
113		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐷 = 𝐷
114	113	iftruei 4474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ if(𝐷 = 𝐷, ((𝐴‘𝑀) / (𝐵‘𝑁)), 0) = ((𝐴‘𝑀) / (𝐵‘𝑁))
115	112, 114	eqtrdi 2788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((coeff‘𝐻)‘𝐷) = ((𝐴‘𝑀) / (𝐵‘𝑁)))
116		c0ex 11133	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ V
117	116	fvconst2 7154	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ0 → ((ℕ0 × {0})‘𝐷) = 0)
118	47, 117	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((ℕ0 × {0})‘𝐷) = 0)
119	109, 115, 118	3netr4d 3010	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((coeff‘𝐻)‘𝐷) ≠ ((ℕ0 × {0})‘𝐷))
120		fveq2 6836	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐻 = 0𝑝 → (coeff‘𝐻) = (coeff‘0𝑝))
121		coe0 26235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (coeff‘0𝑝) = (ℕ0 × {0})
122	120, 121	eqtrdi 2788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐻 = 0𝑝 → (coeff‘𝐻) = (ℕ0 × {0}))
123	122	fveq1d 6838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐻 = 0𝑝 → ((coeff‘𝐻)‘𝐷) = ((ℕ0 × {0})‘𝐷))
124	123	necon3i 2965	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((coeff‘𝐻)‘𝐷) ≠ ((ℕ0 × {0})‘𝐷) → 𝐻 ≠ 0𝑝)
125	119, 124	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ≠ 0𝑝)
126		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (deg‘𝐻) = (deg‘𝐻)
127	126, 22	dgrmul 26249	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐻 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐻 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → (deg‘(𝐻 ∘f · 𝐺)) = ((deg‘𝐻) + 𝑁))
128	50, 125, 18, 28, 127	syl22anc 839	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (deg‘(𝐻 ∘f · 𝐺)) = ((deg‘𝐻) + 𝑁))
129	48	dgr1term 26239	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑀) / (𝐵‘𝑁)) ∈ ℂ ∧ ((𝐴‘𝑀) / (𝐵‘𝑁)) ≠ 0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (deg‘𝐻) = 𝐷)
130	110, 109, 47, 129	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐻) = 𝐷)
131		plydiv.e	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 𝑁) = 𝐷)
132	130, 131	eqtr4d 2775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐻) = (𝑀 − 𝑁))
133	132	oveq1d 7377	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((deg‘𝐻) + 𝑁) = ((𝑀 − 𝑁) + 𝑁))
134	15	nn0cnd 12495	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
135	25	nn0cnd 12495	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
136	134, 135	npcand 11504	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 − 𝑁) + 𝑁) = 𝑀)
137	133, 136	eqtrd 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((deg‘𝐻) + 𝑁) = 𝑀)
138	128, 137	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (deg‘(𝐻 ∘f · 𝐺)) = 𝑀)
139	138	ifeq1d 4487	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝑀 ≤ (deg‘(𝐻 ∘f · 𝐺)), (deg‘(𝐻 ∘f · 𝐺)), 𝑀) = if(𝑀 ≤ (deg‘(𝐻 ∘f · 𝐺)), 𝑀, 𝑀))
140		ifid 4508	. . . . . 6 ⊢ if(𝑀 ≤ (deg‘(𝐻 ∘f · 𝐺)), 𝑀, 𝑀) = 𝑀
141	139, 140	eqtrdi 2788	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(𝑀 ≤ (deg‘(𝐻 ∘f · 𝐺)), (deg‘(𝐻 ∘f · 𝐺)), 𝑀) = 𝑀)
142	103, 141	breqtrd 5112	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺))) ≤ 𝑀)
143		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (coeff‘(𝐻 ∘f · 𝐺)) = (coeff‘(𝐻 ∘f · 𝐺))
144	9, 143	coesub 26236	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐻 ∘f · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆)) → (coeff‘(𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺))) = (𝐴 ∘f − (coeff‘(𝐻 ∘f · 𝐺))))
145	1, 100, 144	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (coeff‘(𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺))) = (𝐴 ∘f − (coeff‘(𝐻 ∘f · 𝐺))))
146	145	fveq1d 6838	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((coeff‘(𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)))‘𝑀) = ((𝐴 ∘f − (coeff‘(𝐻 ∘f · 𝐺)))‘𝑀))
147	9	coef3 26211	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
148		ffn 6664	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴:ℕ0⟶ℂ → 𝐴 Fn ℕ0)
149	1, 147, 148	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 Fn ℕ0)
150	143	coef3 26211	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐻 ∘f · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘(𝐻 ∘f · 𝐺)):ℕ0⟶ℂ)
151		ffn 6664	. . . . . . . 8 ⊢ ((coeff‘(𝐻 ∘f · 𝐺)):ℕ0⟶ℂ → (coeff‘(𝐻 ∘f · 𝐺)) Fn ℕ0)
152	100, 150, 151	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (coeff‘(𝐻 ∘f · 𝐺)) Fn ℕ0)
153		nn0ex 12438	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 ∈ V
154	153	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
155		inidm 4168	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ0 ∩ ℕ0) = ℕ0
156		eqidd 2738	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑀) = (𝐴‘𝑀))
157		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (coeff‘𝐻) = (coeff‘𝐻)
158	157, 19, 126, 22	coemulhi 26233	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐻 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((coeff‘(𝐻 ∘f · 𝐺))‘((deg‘𝐻) + 𝑁)) = (((coeff‘𝐻)‘(deg‘𝐻)) · (𝐵‘𝑁)))
159	50, 18, 158	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((coeff‘(𝐻 ∘f · 𝐺))‘((deg‘𝐻) + 𝑁)) = (((coeff‘𝐻)‘(deg‘𝐻)) · (𝐵‘𝑁)))
160	137	fveq2d 6840	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((coeff‘(𝐻 ∘f · 𝐺))‘((deg‘𝐻) + 𝑁)) = ((coeff‘(𝐻 ∘f · 𝐺))‘𝑀))
161	130	fveq2d 6840	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((coeff‘𝐻)‘(deg‘𝐻)) = ((coeff‘𝐻)‘𝐷))
162	161, 115	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((coeff‘𝐻)‘(deg‘𝐻)) = ((𝐴‘𝑀) / (𝐵‘𝑁)))
163	162	oveq1d 7377	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((coeff‘𝐻)‘(deg‘𝐻)) · (𝐵‘𝑁)) = (((𝐴‘𝑀) / (𝐵‘𝑁)) · (𝐵‘𝑁)))
164	17, 27, 32	divcan1d 11927	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘𝑀) / (𝐵‘𝑁)) · (𝐵‘𝑁)) = (𝐴‘𝑀))
165	163, 164	eqtrd 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((coeff‘𝐻)‘(deg‘𝐻)) · (𝐵‘𝑁)) = (𝐴‘𝑀))
166	159, 160, 165	3eqtr3d 2780	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((coeff‘(𝐻 ∘f · 𝐺))‘𝑀) = (𝐴‘𝑀))
167	166	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((coeff‘(𝐻 ∘f · 𝐺))‘𝑀) = (𝐴‘𝑀))
168	149, 152, 154, 154, 155, 156, 167	ofval 7637	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐴 ∘f − (coeff‘(𝐻 ∘f · 𝐺)))‘𝑀) = ((𝐴‘𝑀) − (𝐴‘𝑀)))
169	15, 168	mpdan 688	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∘f − (coeff‘(𝐻 ∘f · 𝐺)))‘𝑀) = ((𝐴‘𝑀) − (𝐴‘𝑀)))
170	17	subidd 11488	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝑀) − (𝐴‘𝑀)) = 0)
171	146, 169, 170	3eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((coeff‘(𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)))‘𝑀) = 0)
172	1, 100, 4, 5, 7	plysub 26198	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) ∈ (Poly‘𝑆))
173		dgrcl 26212	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺))) ∈ ℕ0)
174	172, 173	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺))) ∈ ℕ0)
175	174	nn0red 12494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺))) ∈ ℝ)
176	15	nn0red 12494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
177	25	nn0red 12494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
178	175, 176, 177	ltsub1d 11754	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((deg‘(𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺))) < 𝑀 ↔ ((deg‘(𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺))) − 𝑁) < (𝑀 − 𝑁)))
179	131	breq2d 5098	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((deg‘(𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺))) − 𝑁) < (𝑀 − 𝑁) ↔ ((deg‘(𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺))) − 𝑁) < 𝐷))
180	178, 179	bitrd 279	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((deg‘(𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺))) < 𝑀 ↔ ((deg‘(𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺))) − 𝑁) < 𝐷))
181	180	orbi2d 916	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺))) < 𝑀) ↔ ((𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) = 0𝑝 ∨ ((deg‘(𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺))) − 𝑁) < 𝐷)))
182		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺))) = (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)))
183		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (coeff‘(𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺))) = (coeff‘(𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)))
184	182, 183	dgrlt 26245	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺))) < 𝑀) ↔ ((deg‘(𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺))) ≤ 𝑀 ∧ ((coeff‘(𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)))‘𝑀) = 0)))
185	172, 15, 184	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺))) < 𝑀) ↔ ((deg‘(𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺))) ≤ 𝑀 ∧ ((coeff‘(𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)))‘𝑀) = 0)))
186	181, 185	bitr3d 281	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) = 0𝑝 ∨ ((deg‘(𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺))) − 𝑁) < 𝐷) ↔ ((deg‘(𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺))) ≤ 𝑀 ∧ ((coeff‘(𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)))‘𝑀) = 0)))
187	142, 171, 186	mpbir2and 714	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) = 0𝑝 ∨ ((deg‘(𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺))) − 𝑁) < 𝐷))
188		eqeq1 2741	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = (𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) → (𝑓 = 0𝑝 ↔ (𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) = 0𝑝))
189		fveq2 6836	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) → (deg‘𝑓) = (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺))))
190	189	oveq1d 7377	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) → ((deg‘𝑓) − 𝑁) = ((deg‘(𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺))) − 𝑁))
191	190	breq1d 5096	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = (𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) → (((deg‘𝑓) − 𝑁) < 𝐷 ↔ ((deg‘(𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺))) − 𝑁) < 𝐷))
192	188, 191	orbi12d 919	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = (𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) → ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − 𝑁) < 𝐷) ↔ ((𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) = 0𝑝 ∨ ((deg‘(𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺))) − 𝑁) < 𝐷)))
193		plydiv.u	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑈 = (𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))
194		oveq1 7369	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = (𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) → (𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = ((𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)))
195	193, 194	eqtrid 2784	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) → 𝑈 = ((𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)))
196	195	eqeq1d 2739	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) → (𝑈 = 0𝑝 ↔ ((𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝))
197	195	fveq2d 6840	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) → (deg‘𝑈) = (deg‘((𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))))
198	197	breq1d 5096	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) → ((deg‘𝑈) < 𝑁 ↔ (deg‘((𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < 𝑁))
199	196, 198	orbi12d 919	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = (𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) → ((𝑈 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑈) < 𝑁) ↔ (((𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘((𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < 𝑁)))
200	199	rexbidv 3162	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = (𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) → (∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑈 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑈) < 𝑁) ↔ ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)(((𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘((𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < 𝑁)))
201	192, 200	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑓 = (𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) → (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − 𝑁) < 𝐷) → ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑈 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑈) < 𝑁)) ↔ (((𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) = 0𝑝 ∨ ((deg‘(𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺))) − 𝑁) < 𝐷) → ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)(((𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘((𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < 𝑁))))
202		plydiv.al	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − 𝑁) < 𝐷) → ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑈 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑈) < 𝑁)))
203	201, 202, 172	rspcdva 3566	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) = 0𝑝 ∨ ((deg‘(𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺))) − 𝑁) < 𝐷) → ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)(((𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘((𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < 𝑁)))
204	187, 203	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)(((𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘((𝐹 ∘f − (𝐻 ∘f · 𝐺)) ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < 𝑁))
205	99, 204	r19.29a 3146	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890  ifcif 4467  {csn 4568   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167   × cxp 5624   Fn wfn 6489  ⟶wf 6490  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362   ∘_f cof 7624  ℂcc 11031  0cc0 11033  1c1 11034   + caddc 11036   · cmul 11038   < clt 11174   ≤ cle 11175   − cmin 11372  -cneg 11373   / cdiv 11802  ℕ₀cn0 12432  ↑cexp 14018  0_𝑝c0p 25650  Polycply 26163  coeffccoe 26165  degcdgr 26166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-inf2 9557  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-se 5580  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-isom 6503  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7626  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-er 8638  df-map 8770  df-pm 8771  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-sup 9350  df-inf 9351  df-oi 9420  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-rp 12938  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-fl 13746  df-seq 13959  df-exp 14019  df-hash 14288  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-clim 15445  df-rlim 15446  df-sum 15644  df-0p 25651  df-ply 26167  df-coe 26169  df-dgr 26170

This theorem is referenced by:  plydivex  26278