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Theorem plydivlem4 24572
 Description: Lemma for plydivex 24573. Induction step. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plydiv.pl ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.tm ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.rc ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
plydiv.m1 (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
plydiv.f (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.g (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.z (𝜑𝐺 ≠ 0𝑝)
plydiv.r 𝑅 = (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))
plydiv.d (𝜑𝐷 ∈ ℕ0)
plydiv.e (𝜑 → (𝑀𝑁) = 𝐷)
plydiv.fz (𝜑𝐹 ≠ 0𝑝)
plydiv.u 𝑈 = (𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝))
plydiv.h 𝐻 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁)) · (𝑧𝐷)))
plydiv.al (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − 𝑁) < 𝐷) → ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑈 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑈) < 𝑁)))
plydiv.a 𝐴 = (coeff‘𝐹)
plydiv.b 𝐵 = (coeff‘𝐺)
plydiv.m 𝑀 = (deg‘𝐹)
plydiv.n 𝑁 = (deg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
plydivlem4 (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < 𝑁))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑓,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦,𝑧,𝐹   𝑓,𝐻,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝐷,𝑓,𝑧   𝑥,𝑀,𝑦,𝑧   𝑓,𝑁,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦,𝑧   𝑓,𝐺,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦,𝑧   𝑅,𝑓,𝑝,𝑥,𝑦   𝑆,𝑓,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑝
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑞)   𝐴(𝑓,𝑞,𝑝)   𝐵(𝑓,𝑞,𝑝)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑞,𝑝)   𝑅(𝑧,𝑞)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑞,𝑝)   𝑀(𝑓,𝑞,𝑝)

Proof of Theorem plydivlem4
StepHypRef Expression
1 plydiv.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
2 plybss 24471 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
31, 2syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
4 plydiv.pl . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
5 plydiv.tm . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
6 plydiv.rc . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
7 plydiv.m1 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
84, 5, 6, 7plydivlem1 24569 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ∈ 𝑆)
9 plydiv.a . . . . . . . . . . . 12 𝐴 = (coeff‘𝐹)
109coef2 24508 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 0 ∈ 𝑆) → 𝐴:ℕ0𝑆)
111, 8, 10syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴:ℕ0𝑆)
12 plydiv.m . . . . . . . . . . 11 𝑀 = (deg‘𝐹)
13 dgrcl 24510 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
141, 13syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
1512, 14syl5eqel 2889 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
1611, 15ffvelrnd 6724 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴𝑀) ∈ 𝑆)
173, 16sseldd 3896 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴𝑀) ∈ ℂ)
18 plydiv.g . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
19 plydiv.b . . . . . . . . . . . 12 𝐵 = (coeff‘𝐺)
2019coef2 24508 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 0 ∈ 𝑆) → 𝐵:ℕ0𝑆)
2118, 8, 20syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵:ℕ0𝑆)
22 plydiv.n . . . . . . . . . . 11 𝑁 = (deg‘𝐺)
23 dgrcl 24510 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐺) ∈ ℕ0)
2418, 23syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (deg‘𝐺) ∈ ℕ0)
2522, 24syl5eqel 2889 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2621, 25ffvelrnd 6724 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵𝑁) ∈ 𝑆)
273, 26sseldd 3896 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵𝑁) ∈ ℂ)
28 plydiv.z . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 ≠ 0𝑝)
2922, 19dgreq0 24542 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐺 = 0𝑝 ↔ (𝐵𝑁) = 0))
3018, 29syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺 = 0𝑝 ↔ (𝐵𝑁) = 0))
3130necon3bid 3030 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺 ≠ 0𝑝 ↔ (𝐵𝑁) ≠ 0))
3228, 31mpbid 233 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵𝑁) ≠ 0)
3317, 27, 32divrecd 11273 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁)) = ((𝐴𝑀) · (1 / (𝐵𝑁))))
34 fvex 6558 . . . . . . . . . . 11 (𝐵𝑁) ∈ V
35 eleq1 2872 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝐵𝑁) → (𝑥𝑆 ↔ (𝐵𝑁) ∈ 𝑆))
36 neeq1 3048 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝐵𝑁) → (𝑥 ≠ 0 ↔ (𝐵𝑁) ≠ 0))
3735, 36anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝐵𝑁) → ((𝑥𝑆𝑥 ≠ 0) ↔ ((𝐵𝑁) ∈ 𝑆 ∧ (𝐵𝑁) ≠ 0)))
3837anbi2d 628 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝐵𝑁) → ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑥 ≠ 0)) ↔ (𝜑 ∧ ((𝐵𝑁) ∈ 𝑆 ∧ (𝐵𝑁) ≠ 0))))
39 oveq2 7031 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝐵𝑁) → (1 / 𝑥) = (1 / (𝐵𝑁)))
4039eleq1d 2869 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝐵𝑁) → ((1 / 𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (1 / (𝐵𝑁)) ∈ 𝑆))
4138, 40imbi12d 346 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝐵𝑁) → (((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆) ↔ ((𝜑 ∧ ((𝐵𝑁) ∈ 𝑆 ∧ (𝐵𝑁) ≠ 0)) → (1 / (𝐵𝑁)) ∈ 𝑆)))
4234, 41, 6vtocl 3505 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝐵𝑁) ∈ 𝑆 ∧ (𝐵𝑁) ≠ 0)) → (1 / (𝐵𝑁)) ∈ 𝑆)
4342ex 413 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐵𝑁) ∈ 𝑆 ∧ (𝐵𝑁) ≠ 0) → (1 / (𝐵𝑁)) ∈ 𝑆))
4426, 32, 43mp2and 695 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 / (𝐵𝑁)) ∈ 𝑆)
455, 16, 44caovcld 7204 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴𝑀) · (1 / (𝐵𝑁))) ∈ 𝑆)
4633, 45eqeltrd 2885 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁)) ∈ 𝑆)
47 plydiv.d . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ ℕ0)
48 plydiv.h . . . . . . 7 𝐻 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁)) · (𝑧𝐷)))
4948ply1term 24481 . . . . . 6 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁)) ∈ 𝑆𝐷 ∈ ℕ0) → 𝐻 ∈ (Poly‘𝑆))
503, 46, 47, 49syl3anc 1364 . . . . 5 (𝜑𝐻 ∈ (Poly‘𝑆))
5150adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐻 ∈ (Poly‘𝑆))
52 simpr 485 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))
534adantlr 711 . . . 4 (((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
5451, 52, 53plyadd 24494 . . 3 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐻𝑓 + 𝑝) ∈ (Poly‘𝑆))
55 cnex 10471 . . . . . . . . 9 ℂ ∈ V
5655a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → ℂ ∈ V)
571adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
58 plyf 24475 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
5957, 58syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
60 mulcl 10474 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
6160adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
62 plyf 24475 . . . . . . . . . 10 (𝐻 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐻:ℂ⟶ℂ)
6351, 62syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐻:ℂ⟶ℂ)
6418adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
65 plyf 24475 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
6664, 65syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
67 inidm 4121 . . . . . . . . 9 (ℂ ∩ ℂ) = ℂ
6861, 63, 66, 56, 56, 67off 7289 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐻𝑓 · 𝐺):ℂ⟶ℂ)
69 plyf 24475 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑝:ℂ⟶ℂ)
7069adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝑝:ℂ⟶ℂ)
7161, 66, 70, 56, 56, 67off 7289 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐺𝑓 · 𝑝):ℂ⟶ℂ)
72 subsub4 10773 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥𝑦) − 𝑧) = (𝑥 − (𝑦 + 𝑧)))
7372adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → ((𝑥𝑦) − 𝑧) = (𝑥 − (𝑦 + 𝑧)))
7456, 59, 68, 71, 73caofass 7308 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝)) = (𝐹𝑓 − ((𝐻𝑓 · 𝐺) ∘𝑓 + (𝐺𝑓 · 𝑝))))
75 mulcom 10476 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))
7675adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))
7756, 63, 66, 76caofcom 7306 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐻𝑓 · 𝐺) = (𝐺𝑓 · 𝐻))
7877oveq1d 7038 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((𝐻𝑓 · 𝐺) ∘𝑓 + (𝐺𝑓 · 𝑝)) = ((𝐺𝑓 · 𝐻) ∘𝑓 + (𝐺𝑓 · 𝑝)))
79 adddi 10479 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
8079adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
8156, 66, 63, 70, 80caofdi 7310 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐺𝑓 · (𝐻𝑓 + 𝑝)) = ((𝐺𝑓 · 𝐻) ∘𝑓 + (𝐺𝑓 · 𝑝)))
8278, 81eqtr4d 2836 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((𝐻𝑓 · 𝐺) ∘𝑓 + (𝐺𝑓 · 𝑝)) = (𝐺𝑓 · (𝐻𝑓 + 𝑝)))
8382oveq2d 7039 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐹𝑓 − ((𝐻𝑓 · 𝐺) ∘𝑓 + (𝐺𝑓 · 𝑝))) = (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐻𝑓 + 𝑝))))
8474, 83eqtrd 2833 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝)) = (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐻𝑓 + 𝑝))))
8584eqeq1d 2799 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → (((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝 ↔ (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐻𝑓 + 𝑝))) = 0𝑝))
8684fveq2d 6549 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝))) = (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐻𝑓 + 𝑝)))))
8786breq1d 4978 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((deg‘((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝))) < 𝑁 ↔ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐻𝑓 + 𝑝)))) < 𝑁))
8885, 87orbi12d 913 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝))) < 𝑁) ↔ ((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐻𝑓 + 𝑝))) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐻𝑓 + 𝑝)))) < 𝑁)))
8988biimpa 477 . . 3 (((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝))) < 𝑁)) → ((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐻𝑓 + 𝑝))) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐻𝑓 + 𝑝)))) < 𝑁))
90 plydiv.r . . . . . . 7 𝑅 = (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))
91 oveq2 7031 . . . . . . . 8 (𝑞 = (𝐻𝑓 + 𝑝) → (𝐺𝑓 · 𝑞) = (𝐺𝑓 · (𝐻𝑓 + 𝑝)))
9291oveq2d 7039 . . . . . . 7 (𝑞 = (𝐻𝑓 + 𝑝) → (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐻𝑓 + 𝑝))))
9390, 92syl5eq 2845 . . . . . 6 (𝑞 = (𝐻𝑓 + 𝑝) → 𝑅 = (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐻𝑓 + 𝑝))))
9493eqeq1d 2799 . . . . 5 (𝑞 = (𝐻𝑓 + 𝑝) → (𝑅 = 0𝑝 ↔ (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐻𝑓 + 𝑝))) = 0𝑝))
9593fveq2d 6549 . . . . . 6 (𝑞 = (𝐻𝑓 + 𝑝) → (deg‘𝑅) = (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐻𝑓 + 𝑝)))))
9695breq1d 4978 . . . . 5 (𝑞 = (𝐻𝑓 + 𝑝) → ((deg‘𝑅) < 𝑁 ↔ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐻𝑓 + 𝑝)))) < 𝑁))
9794, 96orbi12d 913 . . . 4 (𝑞 = (𝐻𝑓 + 𝑝) → ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < 𝑁) ↔ ((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐻𝑓 + 𝑝))) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐻𝑓 + 𝑝)))) < 𝑁)))
9897rspcev 3561 . . 3 (((𝐻𝑓 + 𝑝) ∈ (Poly‘𝑆) ∧ ((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐻𝑓 + 𝑝))) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐻𝑓 + 𝑝)))) < 𝑁)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < 𝑁))
9954, 89, 98syl2an2r 681 . 2 (((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝))) < 𝑁)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < 𝑁))
10050, 18, 4, 5plymul 24495 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐻𝑓 · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆))
101 eqid 2797 . . . . . . 7 (deg‘(𝐻𝑓 · 𝐺)) = (deg‘(𝐻𝑓 · 𝐺))
10212, 101dgrsub 24549 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐻𝑓 · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) ≤ if(𝑀 ≤ (deg‘(𝐻𝑓 · 𝐺)), (deg‘(𝐻𝑓 · 𝐺)), 𝑀))
1031, 100, 102syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) ≤ if(𝑀 ≤ (deg‘(𝐻𝑓 · 𝐺)), (deg‘(𝐻𝑓 · 𝐺)), 𝑀))
104 plydiv.fz . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹 ≠ 0𝑝)
10512, 9dgreq0 24542 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹 = 0𝑝 ↔ (𝐴𝑀) = 0))
1061, 105syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐹 = 0𝑝 ↔ (𝐴𝑀) = 0))
107106necon3bid 3030 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹 ≠ 0𝑝 ↔ (𝐴𝑀) ≠ 0))
108104, 107mpbid 233 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴𝑀) ≠ 0)
10917, 27, 108, 32divne0d 11286 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁)) ≠ 0)
1103, 46sseldd 3896 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁)) ∈ ℂ)
11148coe1term 24536 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁)) ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0) → ((coeff‘𝐻)‘𝐷) = if(𝐷 = 𝐷, ((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁)), 0))
112110, 47, 47, 111syl3anc 1364 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((coeff‘𝐻)‘𝐷) = if(𝐷 = 𝐷, ((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁)), 0))
113 eqid 2797 . . . . . . . . . . . . 13 𝐷 = 𝐷
114113iftruei 4394 . . . . . . . . . . . 12 if(𝐷 = 𝐷, ((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁)), 0) = ((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁))
115112, 114syl6eq 2849 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((coeff‘𝐻)‘𝐷) = ((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁)))
116 c0ex 10488 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ V
117116fvconst2 6840 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∈ ℕ0 → ((ℕ0 × {0})‘𝐷) = 0)
11847, 117syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((ℕ0 × {0})‘𝐷) = 0)
119109, 115, 1183netr4d 3063 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((coeff‘𝐻)‘𝐷) ≠ ((ℕ0 × {0})‘𝐷))
120 fveq2 6545 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐻 = 0𝑝 → (coeff‘𝐻) = (coeff‘0𝑝))
121 coe0 24533 . . . . . . . . . . . . 13 (coeff‘0𝑝) = (ℕ0 × {0})
122120, 121syl6eq 2849 . . . . . . . . . . . 12 (𝐻 = 0𝑝 → (coeff‘𝐻) = (ℕ0 × {0}))
123122fveq1d 6547 . . . . . . . . . . 11 (𝐻 = 0𝑝 → ((coeff‘𝐻)‘𝐷) = ((ℕ0 × {0})‘𝐷))
124123necon3i 3018 . . . . . . . . . 10 (((coeff‘𝐻)‘𝐷) ≠ ((ℕ0 × {0})‘𝐷) → 𝐻 ≠ 0𝑝)
125119, 124syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐻 ≠ 0𝑝)
126 eqid 2797 . . . . . . . . . 10 (deg‘𝐻) = (deg‘𝐻)
127126, 22dgrmul 24547 . . . . . . . . 9 (((𝐻 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐻 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → (deg‘(𝐻𝑓 · 𝐺)) = ((deg‘𝐻) + 𝑁))
12850, 125, 18, 28, 127syl22anc 835 . . . . . . . 8 (𝜑 → (deg‘(𝐻𝑓 · 𝐺)) = ((deg‘𝐻) + 𝑁))
12948dgr1term 24537 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁)) ∈ ℂ ∧ ((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁)) ≠ 0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (deg‘𝐻) = 𝐷)
130110, 109, 47, 129syl3anc 1364 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (deg‘𝐻) = 𝐷)
131 plydiv.e . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑀𝑁) = 𝐷)
132130, 131eqtr4d 2836 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (deg‘𝐻) = (𝑀𝑁))
133132oveq1d 7038 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((deg‘𝐻) + 𝑁) = ((𝑀𝑁) + 𝑁))
13415nn0cnd 11811 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
13525nn0cnd 11811 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
136134, 135npcand 10855 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀𝑁) + 𝑁) = 𝑀)
137133, 136eqtrd 2833 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((deg‘𝐻) + 𝑁) = 𝑀)
138128, 137eqtrd 2833 . . . . . . 7 (𝜑 → (deg‘(𝐻𝑓 · 𝐺)) = 𝑀)
139138ifeq1d 4405 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝑀 ≤ (deg‘(𝐻𝑓 · 𝐺)), (deg‘(𝐻𝑓 · 𝐺)), 𝑀) = if(𝑀 ≤ (deg‘(𝐻𝑓 · 𝐺)), 𝑀, 𝑀))
140 ifid 4426 . . . . . 6 if(𝑀 ≤ (deg‘(𝐻𝑓 · 𝐺)), 𝑀, 𝑀) = 𝑀
141139, 140syl6eq 2849 . . . . 5 (𝜑 → if(𝑀 ≤ (deg‘(𝐻𝑓 · 𝐺)), (deg‘(𝐻𝑓 · 𝐺)), 𝑀) = 𝑀)
142103, 141breqtrd 4994 . . . 4 (𝜑 → (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) ≤ 𝑀)
143 eqid 2797 . . . . . . . 8 (coeff‘(𝐻𝑓 · 𝐺)) = (coeff‘(𝐻𝑓 · 𝐺))
1449, 143coesub 24534 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐻𝑓 · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆)) → (coeff‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) = (𝐴𝑓 − (coeff‘(𝐻𝑓 · 𝐺))))
1451, 100, 144syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (coeff‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) = (𝐴𝑓 − (coeff‘(𝐻𝑓 · 𝐺))))
146145fveq1d 6547 . . . . 5 (𝜑 → ((coeff‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)))‘𝑀) = ((𝐴𝑓 − (coeff‘(𝐻𝑓 · 𝐺)))‘𝑀))
1479coef3 24509 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
148 ffn 6389 . . . . . . . 8 (𝐴:ℕ0⟶ℂ → 𝐴 Fn ℕ0)
1491, 147, 1483syl 18 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 Fn ℕ0)
150143coef3 24509 . . . . . . . 8 ((𝐻𝑓 · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘(𝐻𝑓 · 𝐺)):ℕ0⟶ℂ)
151 ffn 6389 . . . . . . . 8 ((coeff‘(𝐻𝑓 · 𝐺)):ℕ0⟶ℂ → (coeff‘(𝐻𝑓 · 𝐺)) Fn ℕ0)
152100, 150, 1513syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (coeff‘(𝐻𝑓 · 𝐺)) Fn ℕ0)
153 nn0ex 11757 . . . . . . . 8 0 ∈ V
154153a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
155 inidm 4121 . . . . . . 7 (ℕ0 ∩ ℕ0) = ℕ0
156 eqidd 2798 . . . . . . 7 ((𝜑𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑀) = (𝐴𝑀))
157 eqid 2797 . . . . . . . . . . 11 (coeff‘𝐻) = (coeff‘𝐻)
158157, 19, 126, 22coemulhi 24531 . . . . . . . . . 10 ((𝐻 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((coeff‘(𝐻𝑓 · 𝐺))‘((deg‘𝐻) + 𝑁)) = (((coeff‘𝐻)‘(deg‘𝐻)) · (𝐵𝑁)))
15950, 18, 158syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((coeff‘(𝐻𝑓 · 𝐺))‘((deg‘𝐻) + 𝑁)) = (((coeff‘𝐻)‘(deg‘𝐻)) · (𝐵𝑁)))
160137fveq2d 6549 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((coeff‘(𝐻𝑓 · 𝐺))‘((deg‘𝐻) + 𝑁)) = ((coeff‘(𝐻𝑓 · 𝐺))‘𝑀))
161130fveq2d 6549 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((coeff‘𝐻)‘(deg‘𝐻)) = ((coeff‘𝐻)‘𝐷))
162161, 115eqtrd 2833 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((coeff‘𝐻)‘(deg‘𝐻)) = ((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁)))
163162oveq1d 7038 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((coeff‘𝐻)‘(deg‘𝐻)) · (𝐵𝑁)) = (((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁)) · (𝐵𝑁)))
16417, 27, 32divcan1d 11271 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁)) · (𝐵𝑁)) = (𝐴𝑀))
165163, 164eqtrd 2833 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((coeff‘𝐻)‘(deg‘𝐻)) · (𝐵𝑁)) = (𝐴𝑀))
166159, 160, 1653eqtr3d 2841 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((coeff‘(𝐻𝑓 · 𝐺))‘𝑀) = (𝐴𝑀))
167166adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑀 ∈ ℕ0) → ((coeff‘(𝐻𝑓 · 𝐺))‘𝑀) = (𝐴𝑀))
168149, 152, 154, 154, 155, 156, 167ofval 7283 . . . . . 6 ((𝜑𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑓 − (coeff‘(𝐻𝑓 · 𝐺)))‘𝑀) = ((𝐴𝑀) − (𝐴𝑀)))
16915, 168mpdan 683 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴𝑓 − (coeff‘(𝐻𝑓 · 𝐺)))‘𝑀) = ((𝐴𝑀) − (𝐴𝑀)))
17017subidd 10839 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴𝑀) − (𝐴𝑀)) = 0)
171146, 169, 1703eqtrd 2837 . . . 4 (𝜑 → ((coeff‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)))‘𝑀) = 0)
1721, 100, 4, 5, 7plysub 24496 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∈ (Poly‘𝑆))
173 dgrcl 24510 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) ∈ ℕ0)
174172, 173syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) ∈ ℕ0)
175174nn0red 11810 . . . . . . . 8 (𝜑 → (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) ∈ ℝ)
17615nn0red 11810 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
17725nn0red 11810 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
178175, 176, 177ltsub1d 11103 . . . . . . 7 (𝜑 → ((deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) < 𝑀 ↔ ((deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) − 𝑁) < (𝑀𝑁)))
179131breq2d 4980 . . . . . . 7 (𝜑 → (((deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) − 𝑁) < (𝑀𝑁) ↔ ((deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) − 𝑁) < 𝐷))
180178, 179bitrd 280 . . . . . 6 (𝜑 → ((deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) < 𝑀 ↔ ((deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) − 𝑁) < 𝐷))
181180orbi2d 910 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) < 𝑀) ↔ ((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) = 0𝑝 ∨ ((deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) − 𝑁) < 𝐷)))
182 eqid 2797 . . . . . . 7 (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) = (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)))
183 eqid 2797 . . . . . . 7 (coeff‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) = (coeff‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)))
184182, 183dgrlt 24543 . . . . . 6 (((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) < 𝑀) ↔ ((deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) ≤ 𝑀 ∧ ((coeff‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)))‘𝑀) = 0)))
185172, 15, 184syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) < 𝑀) ↔ ((deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) ≤ 𝑀 ∧ ((coeff‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)))‘𝑀) = 0)))
186181, 185bitr3d 282 . . . 4 (𝜑 → (((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) = 0𝑝 ∨ ((deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) − 𝑁) < 𝐷) ↔ ((deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) ≤ 𝑀 ∧ ((coeff‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)))‘𝑀) = 0)))
187142, 171, 186mpbir2and 709 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) = 0𝑝 ∨ ((deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) − 𝑁) < 𝐷))
188 eqeq1 2801 . . . . . 6 (𝑓 = (𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) → (𝑓 = 0𝑝 ↔ (𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) = 0𝑝))
189 fveq2 6545 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) → (deg‘𝑓) = (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))))
190189oveq1d 7038 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) → ((deg‘𝑓) − 𝑁) = ((deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) − 𝑁))
191190breq1d 4978 . . . . . 6 (𝑓 = (𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) → (((deg‘𝑓) − 𝑁) < 𝐷 ↔ ((deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) − 𝑁) < 𝐷))
192188, 191orbi12d 913 . . . . 5 (𝑓 = (𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) → ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − 𝑁) < 𝐷) ↔ ((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) = 0𝑝 ∨ ((deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) − 𝑁) < 𝐷)))
193 plydiv.u . . . . . . . . 9 𝑈 = (𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝))
194 oveq1 7030 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) → (𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝)) = ((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝)))
195193, 194syl5eq 2845 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) → 𝑈 = ((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝)))
196195eqeq1d 2799 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) → (𝑈 = 0𝑝 ↔ ((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝))
197195fveq2d 6549 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) → (deg‘𝑈) = (deg‘((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝))))
198197breq1d 4978 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) → ((deg‘𝑈) < 𝑁 ↔ (deg‘((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝))) < 𝑁))
199196, 198orbi12d 913 . . . . . 6 (𝑓 = (𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) → ((𝑈 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑈) < 𝑁) ↔ (((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝))) < 𝑁)))
200199rexbidv 3262 . . . . 5 (𝑓 = (𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) → (∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑈 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑈) < 𝑁) ↔ ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)(((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝))) < 𝑁)))
201192, 200imbi12d 346 . . . 4 (𝑓 = (𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) → (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − 𝑁) < 𝐷) → ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑈 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑈) < 𝑁)) ↔ (((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) = 0𝑝 ∨ ((deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) − 𝑁) < 𝐷) → ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)(((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝))) < 𝑁))))
202 plydiv.al . . . 4 (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − 𝑁) < 𝐷) → ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑈 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑈) < 𝑁)))
203201, 202, 172rspcdva 3567 . . 3 (𝜑 → (((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) = 0𝑝 ∨ ((deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) − 𝑁) < 𝐷) → ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)(((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝))) < 𝑁)))
204187, 203mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)(((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝))) < 𝑁))
20599, 204r19.29a 3254 1 (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < 𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 842   ∧ w3a 1080   = wceq 1525   ∈ wcel 2083   ≠ wne 2986  ∀wral 3107  ∃wrex 3108  Vcvv 3440   ⊆ wss 3865  ifcif 4387  {csn 4478   class class class wbr 4968   ↦ cmpt 5047   × cxp 5448   Fn wfn 6227  ⟶wf 6228  ‘cfv 6232  (class class class)co 7023   ∘𝑓 cof 7272  ℂcc 10388  0cc0 10390  1c1 10391   + caddc 10393   · cmul 10395   < clt 10528   ≤ cle 10529   − cmin 10723  -cneg 10724   / cdiv 11151  ℕ0cn0 11751  ↑cexp 13283  0𝑝c0p 23957  Polycply 24461  coeffccoe 24463  degcdgr 24464 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-inf2 8957  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467  ax-pre-sup 10468  ax-addf 10469 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-fal 1538  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-se 5410  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-isom 6241  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-of 7274  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-1o 7960  df-oadd 7964  df-er 8146  df-map 8265  df-pm 8266  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-fin 8368  df-sup 8759  df-inf 8760  df-oi 8827  df-card 9221  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-div 11152  df-nn 11493  df-2 11554  df-3 11555  df-n0 11752  df-z 11836  df-uz 12098  df-rp 12244  df-fz 12747  df-fzo 12888  df-fl 13016  df-seq 13224  df-exp 13284  df-hash 13545  df-cj 14296  df-re 14297  df-im 14298  df-sqrt 14432  df-abs 14433  df-clim 14683  df-rlim 14684  df-sum 14881  df-0p 23958  df-ply 24465  df-coe 24467  df-dgr 24468 This theorem is referenced by:  plydivex  24573
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