Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plyf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem plyf 24780
 Description: The polynomial is a function on the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
plyf (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)

Proof of Theorem plyf
Dummy variables 𝑘 𝑎 𝑛 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elply 24777 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ↔ (𝑆 ⊆ ℂ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))))
21simprbi 499 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))))
3 fzfid 13333 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0))) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (0...𝑛) ∈ Fin)
4 plybss 24776 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
5 0cnd 10626 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 0 ∈ ℂ)
65snssd 4734 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → {0} ⊆ ℂ)
74, 6unssd 4160 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
87ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0))) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
98adantr 483 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0))) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
10 simplrr 776 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0))) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0))
11 cnex 10610 . . . . . . . . . . . 12 ℂ ∈ V
12 ssexg 5218 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → (𝑆 ∪ {0}) ∈ V)
138, 11, 12sylancl 588 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0))) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑆 ∪ {0}) ∈ V)
14 nn0ex 11895 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
15 elmapg 8411 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ∪ {0}) ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V) → (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0) ↔ 𝑎:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
1613, 14, 15sylancl 588 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0))) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0) ↔ 𝑎:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
1710, 16mpbid 234 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0))) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑎:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
18 elfznn0 12992 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...𝑛) → 𝑘 ∈ ℕ0)
19 ffvelrn 6842 . . . . . . . . 9 ((𝑎:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑎𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
2017, 18, 19syl2an 597 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0))) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (𝑎𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
219, 20sseldd 3966 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0))) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (𝑎𝑘) ∈ ℂ)
22 simpr 487 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0))) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℂ)
23 expcl 13439 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑧𝑘) ∈ ℂ)
2422, 18, 23syl2an 597 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0))) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (𝑧𝑘) ∈ ℂ)
2521, 24mulcld 10653 . . . . . 6 ((((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0))) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → ((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ)
263, 25fsumcl 15082 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0))) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ)
2726fmpttd 6872 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0))) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))):ℂ⟶ℂ)
28 feq1 6488 . . . 4 (𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))) → (𝐹:ℂ⟶ℂ ↔ (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))):ℂ⟶ℂ))
2927, 28syl5ibrcom 249 . . 3 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0))) → (𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))) → 𝐹:ℂ⟶ℂ))
3029rexlimdvva 3292 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))) → 𝐹:ℂ⟶ℂ))
312, 30mpd 15 1 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1530   ∈ wcel 2107  ∃wrex 3137  Vcvv 3493   ∪ cun 3932   ⊆ wss 3934  {csn 4559   ↦ cmpt 5137  ⟶wf 6344  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148   ↑m cmap 8398  ℂcc 10527  0cc0 10529   · cmul 10534  ℕ0cn0 11889  ...cfz 12884  ↑cexp 13421  Σcsu 15034  Polycply 24766 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-inf2 9096  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8898  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-seq 13362  df-exp 13422  df-hash 13683  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-sum 15035  df-ply 24770 This theorem is referenced by:  plysub  24801  plyco  24823  0dgrb  24828  coe0  24838  coesub  24839  dgrsub  24854  dgrcolem1  24855  dgrcolem2  24856  dgrco  24857  plymul0or  24862  plyreres  24864  dvply2g  24866  dvnply2  24868  plycpn  24870  plydivlem3  24876  plydivlem4  24877  plydiveu  24879  plyremlem  24885  plyrem  24886  facth  24887  fta1lem  24888  fta1  24889  quotcan  24890  vieta1lem1  24891  vieta1lem2  24892  vieta1  24893  plyexmo  24894  elaa  24897  elqaalem3  24902  aannenlem1  24909  aalioulem2  24914  aalioulem3  24915  aalioulem4  24916  taylthlem2  24954  ftalem2  25643  ftalem3  25644  ftalem4  25645  ftalem5  25646  ftalem7  25648  basellem4  25653  basellem5  25654  plymul02  31809  plymulx0  31810  signsplypnf  31813  signsply0  31814  mpaaeu  39740  rngunsnply  39763
 Copyright terms: Public domain W3C validator