Theorem plyf 24294

Description: The polynomial is a function on the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
plyf	⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)

Proof of Theorem plyf

Dummy variables 𝑘 𝑎 𝑛 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elply 24291	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ↔ (𝑆 ⊆ ℂ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0)𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))))
2	1	simprbi 491	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 ∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0)𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
3		fzfid 13026	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (0...𝑛) ∈ Fin)
4		plybss 24290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
5		0cnd 10322	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 0 ∈ ℂ)
6	5	snssd 4529	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → {0} ⊆ ℂ)
7	4, 6	unssd 3988	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
8	7	ad2antrr 718	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
9	8	adantr 473	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
10		simplrr 797	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))
11		cnex 10306	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℂ ∈ V
12		ssexg 5000	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → (𝑆 ∪ {0}) ∈ V)
13	8, 11, 12	sylancl 581	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑆 ∪ {0}) ∈ V)
14		nn0ex 11586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ0 ∈ V
15		elmapg 8109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ∪ {0}) ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V) → (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0) ↔ 𝑎:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
16	13, 14, 15	sylancl 581	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0) ↔ 𝑎:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
17	10, 16	mpbid 224	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑎:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
18		elfznn0 12686	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑛) → 𝑘 ∈ ℕ0)
19		ffvelrn 6584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑎‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
20	17, 18, 19	syl2an 590	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (𝑎‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
21	9, 20	sseldd 3800	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (𝑎‘𝑘) ∈ ℂ)
22		simpr 478	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℂ)
23		expcl 13131	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑧↑𝑘) ∈ ℂ)
24	22, 18, 23	syl2an 590	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (𝑧↑𝑘) ∈ ℂ)
25	21, 24	mulcld 10350	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → ((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) ∈ ℂ)
26	3, 25	fsumcl 14804	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) ∈ ℂ)
27	26	fmpttd 6612	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))):ℂ⟶ℂ)
28		feq1 6238	. . . 4 ⊢ (𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))) → (𝐹:ℂ⟶ℂ ↔ (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))):ℂ⟶ℂ))
29	27, 28	syl5ibrcom 239	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) → (𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))) → 𝐹:ℂ⟶ℂ))
30	29	rexlimdvva 3220	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0)𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))) → 𝐹:ℂ⟶ℂ))
31	2, 30	mpd 15	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 385   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  ∃wrex 3091  Vcvv 3386   ∪ cun 3768   ⊆ wss 3770  {csn 4369   ↦ cmpt 4923  ⟶wf 6098  ‘cfv 6102  (class class class)co 6879   ↑_𝑚 cmap 8096  ℂcc 10223  0cc0 10225   · cmul 10230  ℕ₀cn0 11579  ...cfz 12579  ↑cexp 13113  Σcsu 14756  Polycply 24280

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-rep 4965  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184  ax-inf2 8789  ax-cnex 10281  ax-resscn 10282  ax-1cn 10283  ax-icn 10284  ax-addcl 10285  ax-addrcl 10286  ax-mulcl 10287  ax-mulrcl 10288  ax-mulcom 10289  ax-addass 10290  ax-mulass 10291  ax-distr 10292  ax-i2m1 10293  ax-1ne0 10294  ax-1rid 10295  ax-rnegex 10296  ax-rrecex 10297  ax-cnre 10298  ax-pre-lttri 10299  ax-pre-lttrn 10300  ax-pre-ltadd 10301  ax-pre-mulgt0 10302  ax-pre-sup 10303

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-csb 3730  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-pss 3786  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-tp 4374  df-op 4376  df-uni 4630  df-int 4669  df-iun 4713  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5221  df-eprel 5226  df-po 5234  df-so 5235  df-fr 5272  df-se 5273  df-we 5274  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-res 5325  df-ima 5326  df-pred 5899  df-ord 5945  df-on 5946  df-lim 5947  df-suc 5948  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109  df-fv 6110  df-isom 6111  df-riota 6840  df-ov 6882  df-oprab 6883  df-mpt2 6884  df-om 7301  df-1st 7402  df-2nd 7403  df-wrecs 7646  df-recs 7708  df-rdg 7746  df-1o 7800  df-oadd 7804  df-er 7983  df-map 8098  df-en 8197  df-dom 8198  df-sdom 8199  df-fin 8200  df-sup 8591  df-oi 8658  df-card 9052  df-pnf 10366  df-mnf 10367  df-xr 10368  df-ltxr 10369  df-le 10370  df-sub 10559  df-neg 10560  df-div 10978  df-nn 11314  df-2 11375  df-3 11376  df-n0 11580  df-z 11666  df-uz 11930  df-rp 12074  df-fz 12580  df-fzo 12720  df-seq 13055  df-exp 13114  df-hash 13370  df-cj 14179  df-re 14180  df-im 14181  df-sqrt 14315  df-abs 14316  df-clim 14559  df-sum 14757  df-ply 24284

This theorem is referenced by:  plysub  24315  plyco  24337  0dgrb  24342  coe0  24352  coesub  24353  dgrsub  24368  dgrcolem1  24369  dgrcolem2  24370  dgrco  24371  plymul0or  24376  plyreres  24378  dvply2g  24380  dvnply2  24382  plycpn  24384  plydivlem3  24390  plydivlem4  24391  plydiveu  24393  plyremlem  24399  plyrem  24400  facth  24401  fta1lem  24402  fta1  24403  quotcan  24404  vieta1lem1  24405  vieta1lem2  24406  vieta1  24407  plyexmo  24408  elaa  24411  elqaalem3  24416  aannenlem1  24423  aalioulem2  24428  aalioulem3  24429  aalioulem4  24430  taylthlem2  24468  ftalem2  25151  ftalem3  25152  ftalem4  25153  ftalem5  25154  ftalem7  25156  basellem4  25161  basellem5  25162  plymul02  31140  plymulx0  31141  signsplypnf  31144  signsply0  31145  mpaaeu  38500  rngunsnply  38523