MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plyf Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem plyf 25712
Description: The polynomial is a function on the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
plyf (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚)
Proof of Theorem plyf
Dummy variables π‘˜ π‘Ž 𝑛 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elply 25709 . . 3 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ↔ (𝑆 βŠ† β„‚ ∧ βˆƒπ‘› ∈ β„•0 βˆƒπ‘Ž ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0)𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))))
21simprbi 498 . 2 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„•0 βˆƒπ‘Ž ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0)𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
3 fzfid 13938 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ π‘Ž ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0))) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (0...𝑛) ∈ Fin)
4 plybss 25708 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
5 0cnd 11207 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 0 ∈ β„‚)
65snssd 4813 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ {0} βŠ† β„‚)
74, 6unssd 4187 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (𝑆 βˆͺ {0}) βŠ† β„‚)
87ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ π‘Ž ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0))) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (𝑆 βˆͺ {0}) βŠ† β„‚)
98adantr 482 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ π‘Ž ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0))) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑛)) β†’ (𝑆 βˆͺ {0}) βŠ† β„‚)
10 simplrr 777 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ π‘Ž ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0))) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ π‘Ž ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0))
11 cnex 11191 . . . . . . . . . . . 12 β„‚ ∈ V
12 ssexg 5324 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 βˆͺ {0}) βŠ† β„‚ ∧ β„‚ ∈ V) β†’ (𝑆 βˆͺ {0}) ∈ V)
138, 11, 12sylancl 587 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ π‘Ž ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0))) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (𝑆 βˆͺ {0}) ∈ V)
14 nn0ex 12478 . . . . . . . . . . 11 β„•0 ∈ V
15 elmapg 8833 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 βˆͺ {0}) ∈ V ∧ β„•0 ∈ V) β†’ (π‘Ž ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0) ↔ π‘Ž:β„•0⟢(𝑆 βˆͺ {0})))
1613, 14, 15sylancl 587 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ π‘Ž ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0))) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (π‘Ž ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0) ↔ π‘Ž:β„•0⟢(𝑆 βˆͺ {0})))
1710, 16mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ π‘Ž ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0))) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ π‘Ž:β„•0⟢(𝑆 βˆͺ {0}))
18 elfznn0 13594 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ (0...𝑛) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
19 ffvelcdm 7084 . . . . . . . . 9 ((π‘Ž:β„•0⟢(𝑆 βˆͺ {0}) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ (𝑆 βˆͺ {0}))
2017, 18, 19syl2an 597 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ π‘Ž ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0))) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑛)) β†’ (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ (𝑆 βˆͺ {0}))
219, 20sseldd 3984 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ π‘Ž ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0))) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑛)) β†’ (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
22 simpr 486 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ π‘Ž ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0))) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
23 expcl 14045 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘§β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
2422, 18, 23syl2an 597 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ π‘Ž ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0))) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑛)) β†’ (π‘§β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
2521, 24mulcld 11234 . . . . . 6 ((((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ π‘Ž ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0))) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑛)) β†’ ((π‘Žβ€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) ∈ β„‚)
263, 25fsumcl 15679 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ π‘Ž ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0))) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) ∈ β„‚)
2726fmpttd 7115 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ π‘Ž ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0))) β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))):β„‚βŸΆβ„‚)
28 feq1 6699 . . . 4 (𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))) β†’ (𝐹:β„‚βŸΆβ„‚ ↔ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))):β„‚βŸΆβ„‚))
2927, 28syl5ibrcom 246 . . 3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ π‘Ž ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0))) β†’ (𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))) β†’ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚))
3029rexlimdvva 3212 . 2 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„•0 βˆƒπ‘Ž ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0)𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))) β†’ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚))
312, 30mpd 15 1 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   βˆͺ cun 3947   βŠ† wss 3949  {csn 4629   ↦ cmpt 5232  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ↑m cmap 8820  β„‚cc 11108  0cc0 11110   Β· cmul 11115  β„•0cn0 12472  ...cfz 13484  β†‘cexp 14027  Ξ£csu 15632  Polycply 25698
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-ply 25702
This theorem is referenced by:  plysub  25733  plyco  25755  0dgrb  25760  coe0  25770  coesub  25771  dgrsub  25786  dgrcolem1  25787  dgrcolem2  25788  dgrco  25789  plymul0or  25794  plyreres  25796  dvply2g  25798  dvnply2  25800  plycpn  25802  plydivlem3  25808  plydivlem4  25809  plydiveu  25811  plyremlem  25817  plyrem  25818  facth  25819  fta1lem  25820  fta1  25821  quotcan  25822  vieta1lem1  25823  vieta1lem2  25824  vieta1  25825  plyexmo  25826  elaa  25829  elqaalem3  25834  aannenlem1  25841  aalioulem2  25846  aalioulem3  25847  aalioulem4  25848  taylthlem2  25886  ftalem2  26578  ftalem3  26579  ftalem4  26580  ftalem5  26581  ftalem7  26583  basellem4  26588  basellem5  26589  plymul02  33557  plymulx0  33558  signsplypnf  33561  signsply0  33562  mpaaeu  41892  rngunsnply  41915
  Copyright terms: Public domain W3C validator