MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plyf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem plyf 26252
Description: A polynomial is a function on the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
plyf (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)

Proof of Theorem plyf
Dummy variables 𝑘 𝑎 𝑛 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elply 26249 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ↔ (𝑆 ⊆ ℂ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))))
21simprbi 496 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))))
3 fzfid 14011 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0))) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (0...𝑛) ∈ Fin)
4 plybss 26248 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
5 0cnd 11252 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 0 ∈ ℂ)
65snssd 4814 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → {0} ⊆ ℂ)
74, 6unssd 4202 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
87ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0))) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
98adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0))) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
10 simplrr 778 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0))) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0))
11 cnex 11234 . . . . . . . . . . . 12 ℂ ∈ V
12 ssexg 5329 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → (𝑆 ∪ {0}) ∈ V)
138, 11, 12sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0))) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑆 ∪ {0}) ∈ V)
14 nn0ex 12530 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
15 elmapg 8878 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ∪ {0}) ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V) → (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0) ↔ 𝑎:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
1613, 14, 15sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0))) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0) ↔ 𝑎:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
1710, 16mpbid 232 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0))) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑎:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
18 elfznn0 13657 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...𝑛) → 𝑘 ∈ ℕ0)
19 ffvelcdm 7101 . . . . . . . . 9 ((𝑎:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑎𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
2017, 18, 19syl2an 596 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0))) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (𝑎𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
219, 20sseldd 3996 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0))) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (𝑎𝑘) ∈ ℂ)
22 simpr 484 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0))) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℂ)
23 expcl 14117 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑧𝑘) ∈ ℂ)
2422, 18, 23syl2an 596 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0))) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (𝑧𝑘) ∈ ℂ)
2521, 24mulcld 11279 . . . . . 6 ((((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0))) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → ((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ)
263, 25fsumcl 15766 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0))) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ)
2726fmpttd 7135 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0))) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))):ℂ⟶ℂ)
28 feq1 6717 . . . 4 (𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))) → (𝐹:ℂ⟶ℂ ↔ (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))):ℂ⟶ℂ))
2927, 28syl5ibrcom 247 . . 3 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0))) → (𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))) → 𝐹:ℂ⟶ℂ))
3029rexlimdvva 3211 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))) → 𝐹:ℂ⟶ℂ))
312, 30mpd 15 1 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wrex 3068  Vcvv 3478  cun 3961  wss 3963  {csn 4631  cmpt 5231  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  m cmap 8865  cc 11151  0cc0 11153   · cmul 11158  0cn0 12524  ...cfz 13544  cexp 14099  Σcsu 15719  Polycply 26238
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-ply 26242
This theorem is referenced by:  plysub  26273  plyco  26295  0dgrb  26300  coe0  26310  coesub  26311  dgrsub  26327  dgrcolem1  26328  dgrcolem2  26329  dgrco  26330  plymul0or  26337  plyreres  26339  dvply2g  26341  dvply2gOLD  26342  dvnply2  26344  plycpn  26346  plydivlem3  26352  plydivlem4  26353  plydiveu  26355  plyremlem  26361  plyrem  26362  facth  26363  fta1lem  26364  fta1  26365  quotcan  26366  vieta1lem1  26367  vieta1lem2  26368  vieta1  26369  plyexmo  26370  elaa  26373  elqaalem3  26378  aannenlem1  26385  aalioulem2  26390  aalioulem3  26391  aalioulem4  26392  taylthlem2  26431  taylthlem2OLD  26432  ftalem2  27132  ftalem3  27133  ftalem4  27134  ftalem5  27135  ftalem7  27137  basellem4  27142  basellem5  27143  plymul02  34540  plymulx0  34541  signsplypnf  34544  signsply0  34545  mpaaeu  43139  rngunsnply  43158
  Copyright terms: Public domain W3C validator