MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plyval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem plyval 26233
Description: Value of the polynomial set function. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
plyval (𝑆 ⊆ ℂ → (Poly‘𝑆) = {𝑓 ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))})
Distinct variable group:   𝑘,𝑎,𝑛,𝑧,𝑓,𝑆

Proof of Theorem plyval
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnex 11237 . . 3 ℂ ∈ V
21elpw2 5333 . 2 (𝑆 ∈ 𝒫 ℂ ↔ 𝑆 ⊆ ℂ)
3 uneq1 4160 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑆 → (𝑥 ∪ {0}) = (𝑆 ∪ {0}))
43oveq1d 7447 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑆 → ((𝑥 ∪ {0}) ↑m0) = ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0))
54rexeqdv 3326 . . . . 5 (𝑥 = 𝑆 → (∃𝑎 ∈ ((𝑥 ∪ {0}) ↑m0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))) ↔ ∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))))
65rexbidv 3178 . . . 4 (𝑥 = 𝑆 → (∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑥 ∪ {0}) ↑m0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))))
76abbidv 2807 . . 3 (𝑥 = 𝑆 → {𝑓 ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑥 ∪ {0}) ↑m0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))} = {𝑓 ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))})
8 df-ply 26228 . . 3 Poly = (𝑥 ∈ 𝒫 ℂ ↦ {𝑓 ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑥 ∪ {0}) ↑m0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))})
9 nn0ex 12534 . . . 4 0 ∈ V
10 ovex 7465 . . . 4 ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0) ∈ V
119, 10ab2rexex 8005 . . 3 {𝑓 ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))} ∈ V
127, 8, 11fvmpt 7015 . 2 (𝑆 ∈ 𝒫 ℂ → (Poly‘𝑆) = {𝑓 ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))})
132, 12sylbir 235 1 (𝑆 ⊆ ℂ → (Poly‘𝑆) = {𝑓 ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1539  wcel 2107  {cab 2713  wrex 3069  cun 3948  wss 3950  𝒫 cpw 4599  {csn 4625  cmpt 5224  cfv 6560  (class class class)co 7432  m cmap 8867  cc 11154  0cc0 11156   · cmul 11161  0cn0 12528  ...cfz 13548  cexp 14103  Σcsu 15723  Polycply 26224
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-1cn 11214  ax-addcl 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-ov 7435  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-nn 12268  df-n0 12529  df-ply 26228
This theorem is referenced by:  elply  26235  plyss  26239
  Copyright terms: Public domain W3C validator