Theorem plyval 26319

Description: Value of the polynomial set function. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
plyval	⊢ (𝑆 ⊆ ℂ → (Poly‘𝑆) = {𝑓 ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))})

Distinct variable group:   𝑘,𝑎,𝑛,𝑧,𝑓,𝑆

Proof of Theorem plyval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 11181	. . 3 ⊢ ℂ ∈ V
2	1	elpw2 5305	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ 𝒫 ℂ ↔ 𝑆 ⊆ ℂ)
3		uneq1 4123	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑆 → (𝑥 ∪ {0}) = (𝑆 ∪ {0}))
4	3	oveq1d 7426	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑆 → ((𝑥 ∪ {0}) ↑m ℕ0) = ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0))
5	4	rexeqdv 3330	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑆 → (∃𝑎 ∈ ((𝑥 ∪ {0}) ↑m ℕ0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))) ↔ ∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))))
6	5	rexbidv 3195	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑆 → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ∃𝑎 ∈ ((𝑥 ∪ {0}) ↑m ℕ0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))))
7	6	abbidv 2835	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑆 → {𝑓 ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ∃𝑎 ∈ ((𝑥 ∪ {0}) ↑m ℕ0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))} = {𝑓 ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))})
8		df-ply 26314	. . 3 ⊢ Poly = (𝑥 ∈ 𝒫 ℂ ↦ {𝑓 ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ∃𝑎 ∈ ((𝑥 ∪ {0}) ↑m ℕ0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))})
9		nn0ex 12510	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ V
10		ovex 7444	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0) ∈ V
11	9, 10	ab2rexex 7976	. . 3 ⊢ {𝑓 ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))} ∈ V
12	7, 8, 11	fvmpt 6990	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ 𝒫 ℂ → (Poly‘𝑆) = {𝑓 ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))})
13	2, 12	sylbir 238	1 ⊢ (𝑆 ⊆ ℂ → (Poly‘𝑆) = {𝑓 ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {cab 2747  ∃wrex 3095   ∪ cun 3911   ⊆ wss 3913  𝒫 cpw 4567  {csn 4594   ↦ cmpt 5196  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411   ↑_m cmap 8824  ℂcc 11098  0cc0 11100   · cmul 11105  ℕ₀cn0 12504  ...cfz 13535  ↑cexp 14097  Σcsu 15737  Polycply 26310

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-1cn 11158  ax-addcl 11160

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-nn 12234  df-n0 12505  df-ply 26314

This theorem is referenced by:  elply  26321  plyss  26325