Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plyval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem plyval 24797
 Description: Value of the polynomial set function. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
plyval (𝑆 ⊆ ℂ → (Poly‘𝑆) = {𝑓 ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))})
Distinct variable group:   𝑘,𝑎,𝑛,𝑧,𝑓,𝑆

Proof of Theorem plyval
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnex 10609 . . 3 ℂ ∈ V
21elpw2 5212 . 2 (𝑆 ∈ 𝒫 ℂ ↔ 𝑆 ⊆ ℂ)
3 uneq1 4083 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑆 → (𝑥 ∪ {0}) = (𝑆 ∪ {0}))
43oveq1d 7150 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑆 → ((𝑥 ∪ {0}) ↑m0) = ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0))
54rexeqdv 3365 . . . . 5 (𝑥 = 𝑆 → (∃𝑎 ∈ ((𝑥 ∪ {0}) ↑m0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))) ↔ ∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))))
65rexbidv 3256 . . . 4 (𝑥 = 𝑆 → (∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑥 ∪ {0}) ↑m0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))))
76abbidv 2862 . . 3 (𝑥 = 𝑆 → {𝑓 ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑥 ∪ {0}) ↑m0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))} = {𝑓 ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))})
8 df-ply 24792 . . 3 Poly = (𝑥 ∈ 𝒫 ℂ ↦ {𝑓 ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑥 ∪ {0}) ↑m0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))})
9 nn0ex 11893 . . . 4 0 ∈ V
10 ovex 7168 . . . 4 ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0) ∈ V
119, 10ab2rexex 7664 . . 3 {𝑓 ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))} ∈ V
127, 8, 11fvmpt 6745 . 2 (𝑆 ∈ 𝒫 ℂ → (Poly‘𝑆) = {𝑓 ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))})
132, 12sylbir 238 1 (𝑆 ⊆ ℂ → (Poly‘𝑆) = {𝑓 ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {cab 2776  ∃wrex 3107   ∪ cun 3879   ⊆ wss 3881  𝒫 cpw 4497  {csn 4525   ↦ cmpt 5110  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ↑m cmap 8391  ℂcc 10526  0cc0 10528   · cmul 10533  ℕ0cn0 11887  ...cfz 12887  ↑cexp 13427  Σcsu 15036  Polycply 24788 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443  ax-cnex 10584  ax-1cn 10586  ax-addcl 10588 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-om 7563  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-nn 11628  df-n0 11888  df-ply 24792 This theorem is referenced by:  elply  24799  plyss  24803
 Copyright terms: Public domain W3C validator