MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plycj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem plycj 26332
Description: The double conjugation of a polynomial is a polynomial. (The single conjugation is not because our definition of polynomial includes only holomorphic functions, i.e. no dependence on (∗‘𝑧) independently of 𝑧.) (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plycj.2 𝐺 = ((∗ ∘ 𝐹) ∘ ∗)
plycj.3 ((𝜑𝑥𝑆) → (∗‘𝑥) ∈ 𝑆)
plycj.4 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
Assertion
Ref Expression
plycj (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆
Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem plycj
Dummy variables 𝑘 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plycj.4 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
2 eqid 2735 . . . . 5 (deg‘𝐹) = (deg‘𝐹)
3 plycj.2 . . . . 5 𝐺 = ((∗ ∘ 𝐹) ∘ ∗)
4 eqid 2735 . . . . 5 (coeff‘𝐹) = (coeff‘𝐹)
52, 3, 4plycjlem 26331 . . . 4 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((∗ ∘ (coeff‘𝐹))‘𝑘) · (𝑧𝑘))))
61, 5syl 17 . . 3 (𝜑𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((∗ ∘ (coeff‘𝐹))‘𝑘) · (𝑧𝑘))))
7 plybss 26248 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
81, 7syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
9 0cnd 11252 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
109snssd 4814 . . . . 5 (𝜑 → {0} ⊆ ℂ)
118, 10unssd 4202 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
12 dgrcl 26287 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
131, 12syl 17 . . . 4 (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
144coef 26284 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
151, 14syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
16 elfznn0 13657 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
17 fvco3 7008 . . . . . 6 (((coeff‘𝐹):ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((∗ ∘ (coeff‘𝐹))‘𝑘) = (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)))
1815, 16, 17syl2an 596 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((∗ ∘ (coeff‘𝐹))‘𝑘) = (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)))
19 ffvelcdm 7101 . . . . . . 7 (((coeff‘𝐹):ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
2015, 16, 19syl2an 596 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
21 plycj.3 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑆) → (∗‘𝑥) ∈ 𝑆)
2221ralrimiva 3144 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 (∗‘𝑥) ∈ 𝑆)
23 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ((coeff‘𝐹)‘𝑘) → (∗‘𝑥) = (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)))
2423eleq1d 2824 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ((coeff‘𝐹)‘𝑘) → ((∗‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ 𝑆))
2524rspccv 3619 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥𝑆 (∗‘𝑥) ∈ 𝑆 → (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆 → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ 𝑆))
2622, 25syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆 → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ 𝑆))
27 elsni 4648 . . . . . . . . . . . . 13 (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ {0} → ((coeff‘𝐹)‘𝑘) = 0)
2827fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . 12 (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ {0} → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) = (∗‘0))
29 cj0 15194 . . . . . . . . . . . 12 (∗‘0) = 0
3028, 29eqtrdi 2791 . . . . . . . . . . 11 (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ {0} → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) = 0)
31 fvex 6920 . . . . . . . . . . . 12 (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ V
3231elsn 4646 . . . . . . . . . . 11 ((∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ {0} ↔ (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) = 0)
3330, 32sylibr 234 . . . . . . . . . 10 (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ {0} → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ {0})
3433a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ {0} → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ {0}))
3526, 34orim12d 966 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆 ∨ ((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ {0}) → ((∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ 𝑆 ∨ (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ {0})))
36 elun 4163 . . . . . . . 8 (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}) ↔ (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆 ∨ ((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ {0}))
37 elun 4163 . . . . . . . 8 ((∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ (𝑆 ∪ {0}) ↔ ((∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ 𝑆 ∨ (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ {0}))
3835, 36, 373imtr4g 296 . . . . . . 7 (𝜑 → (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}) → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ (𝑆 ∪ {0})))
3938adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}) → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ (𝑆 ∪ {0})))
4020, 39mpd 15 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
4118, 40eqeltrd 2839 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((∗ ∘ (coeff‘𝐹))‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
4211, 13, 41elplyd 26256 . . 3 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((∗ ∘ (coeff‘𝐹))‘𝑘) · (𝑧𝑘))) ∈ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})))
436, 42eqeltrd 2839 . 2 (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})))
44 plyun0 26251 . 2 (Poly‘(𝑆 ∪ {0})) = (Poly‘𝑆)
4543, 44eleqtrdi 2849 1 (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 847   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  cun 3961  wss 3963  {csn 4631  cmpt 5231  ccom 5693  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  0cc0 11153   · cmul 11158  0cn0 12524  ...cfz 13544  cexp 14099  ccj 15132  Σcsu 15719  Polycply 26238  coeffccoe 26240  degcdgr 26241
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-0p 25719  df-ply 26242  df-coe 26244  df-dgr 26245
This theorem is referenced by:  coecj  26333
  Copyright terms: Public domain W3C validator