MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plycj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem plycj 26318
Description: The double conjugation of a polynomial is a polynomial. (The single conjugation is not because our definition of polynomial includes only holomorphic functions, i.e. no dependence on (∗‘𝑧) independently of 𝑧.) (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plycj.2 𝐺 = ((∗ ∘ 𝐹) ∘ ∗)
plycj.3 ((𝜑𝑥𝑆) → (∗‘𝑥) ∈ 𝑆)
plycj.4 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
Assertion
Ref Expression
plycj (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆
Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem plycj
Dummy variables 𝑘 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plycj.4 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
2 eqid 2736 . . . . 5 (deg‘𝐹) = (deg‘𝐹)
3 plycj.2 . . . . 5 𝐺 = ((∗ ∘ 𝐹) ∘ ∗)
4 eqid 2736 . . . . 5 (coeff‘𝐹) = (coeff‘𝐹)
52, 3, 4plycjlem 26317 . . . 4 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((∗ ∘ (coeff‘𝐹))‘𝑘) · (𝑧𝑘))))
61, 5syl 17 . . 3 (𝜑𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((∗ ∘ (coeff‘𝐹))‘𝑘) · (𝑧𝑘))))
7 plybss 26234 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
81, 7syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
9 0cnd 11255 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
109snssd 4808 . . . . 5 (𝜑 → {0} ⊆ ℂ)
118, 10unssd 4191 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
12 dgrcl 26273 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
131, 12syl 17 . . . 4 (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
144coef 26270 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
151, 14syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
16 elfznn0 13661 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
17 fvco3 7007 . . . . . 6 (((coeff‘𝐹):ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((∗ ∘ (coeff‘𝐹))‘𝑘) = (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)))
1815, 16, 17syl2an 596 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((∗ ∘ (coeff‘𝐹))‘𝑘) = (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)))
19 ffvelcdm 7100 . . . . . . 7 (((coeff‘𝐹):ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
2015, 16, 19syl2an 596 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
21 plycj.3 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑆) → (∗‘𝑥) ∈ 𝑆)
2221ralrimiva 3145 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 (∗‘𝑥) ∈ 𝑆)
23 fveq2 6905 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ((coeff‘𝐹)‘𝑘) → (∗‘𝑥) = (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)))
2423eleq1d 2825 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ((coeff‘𝐹)‘𝑘) → ((∗‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ 𝑆))
2524rspccv 3618 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥𝑆 (∗‘𝑥) ∈ 𝑆 → (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆 → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ 𝑆))
2622, 25syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆 → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ 𝑆))
27 elsni 4642 . . . . . . . . . . . . 13 (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ {0} → ((coeff‘𝐹)‘𝑘) = 0)
2827fveq2d 6909 . . . . . . . . . . . 12 (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ {0} → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) = (∗‘0))
29 cj0 15198 . . . . . . . . . . . 12 (∗‘0) = 0
3028, 29eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . 11 (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ {0} → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) = 0)
31 fvex 6918 . . . . . . . . . . . 12 (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ V
3231elsn 4640 . . . . . . . . . . 11 ((∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ {0} ↔ (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) = 0)
3330, 32sylibr 234 . . . . . . . . . 10 (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ {0} → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ {0})
3433a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ {0} → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ {0}))
3526, 34orim12d 966 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆 ∨ ((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ {0}) → ((∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ 𝑆 ∨ (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ {0})))
36 elun 4152 . . . . . . . 8 (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}) ↔ (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆 ∨ ((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ {0}))
37 elun 4152 . . . . . . . 8 ((∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ (𝑆 ∪ {0}) ↔ ((∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ 𝑆 ∨ (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ {0}))
3835, 36, 373imtr4g 296 . . . . . . 7 (𝜑 → (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}) → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ (𝑆 ∪ {0})))
3938adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}) → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ (𝑆 ∪ {0})))
4020, 39mpd 15 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
4118, 40eqeltrd 2840 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((∗ ∘ (coeff‘𝐹))‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
4211, 13, 41elplyd 26242 . . 3 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((∗ ∘ (coeff‘𝐹))‘𝑘) · (𝑧𝑘))) ∈ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})))
436, 42eqeltrd 2840 . 2 (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})))
44 plyun0 26237 . 2 (Poly‘(𝑆 ∪ {0})) = (Poly‘𝑆)
4543, 44eleqtrdi 2850 1 (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 847   = wceq 1539  wcel 2107  wral 3060  cun 3948  wss 3950  {csn 4625  cmpt 5224  ccom 5688  wf 6556  cfv 6560  (class class class)co 7432  cc 11154  0cc0 11156   · cmul 11161  0cn0 12528  ...cfz 13548  cexp 14103  ccj 15136  Σcsu 15723  Polycply 26224  coeffccoe 26226  degcdgr 26227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-fl 13833  df-seq 14044  df-exp 14104  df-hash 14371  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-clim 15525  df-rlim 15526  df-sum 15724  df-0p 25706  df-ply 26228  df-coe 26230  df-dgr 26231
This theorem is referenced by:  coecj  26319
  Copyright terms: Public domain W3C validator