Theorem plycj 26183

Description: The double conjugation of a polynomial is a polynomial. (The single conjugation is not because our definition of polynomial includes only holomorphic functions, i.e. no dependence on (∗‘𝑧) independently of 𝑧.) (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
plycj.2	⊢ 𝐺 = ((∗ ∘ 𝐹) ∘ ∗)
plycj.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (∗‘𝑥) ∈ 𝑆)
plycj.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))

Assertion

Ref	Expression
plycj	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem plycj

Dummy variables 𝑘 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plycj.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
2		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (deg‘𝐹) = (deg‘𝐹)
3		plycj.2	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = ((∗ ∘ 𝐹) ∘ ∗)
4		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (coeff‘𝐹) = (coeff‘𝐹)
5	2, 3, 4	plycjlem 26182	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((∗ ∘ (coeff‘𝐹))‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
6	1, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((∗ ∘ (coeff‘𝐹))‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
7		plybss 26099	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
8	1, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
9		0cnd 11167	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
10	9	snssd 4773	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {0} ⊆ ℂ)
11	8, 10	unssd 4155	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
12		dgrcl 26138	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
13	1, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
14	4	coef 26135	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
15	1, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
16		elfznn0 13581	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
17		fvco3 6960	. . . . . 6 ⊢ (((coeff‘𝐹):ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((∗ ∘ (coeff‘𝐹))‘𝑘) = (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)))
18	15, 16, 17	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((∗ ∘ (coeff‘𝐹))‘𝑘) = (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)))
19		ffvelcdm 7053	. . . . . . 7 ⊢ (((coeff‘𝐹):ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
20	15, 16, 19	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
21		plycj.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (∗‘𝑥) ∈ 𝑆)
22	21	ralrimiva 3125	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∗‘𝑥) ∈ 𝑆)
23		fveq2 6858	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = ((coeff‘𝐹)‘𝑘) → (∗‘𝑥) = (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)))
24	23	eleq1d 2813	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ((coeff‘𝐹)‘𝑘) → ((∗‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ 𝑆))
25	24	rspccv 3585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑆 (∗‘𝑥) ∈ 𝑆 → (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆 → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ 𝑆))
26	22, 25	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆 → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ 𝑆))
27		elsni 4606	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ {0} → ((coeff‘𝐹)‘𝑘) = 0)
28	27	fveq2d 6862	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ {0} → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) = (∗‘0))
29		cj0 15124	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∗‘0) = 0
30	28, 29	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ {0} → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) = 0)
31		fvex 6871	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ V
32	31	elsn 4604	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ {0} ↔ (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) = 0)
33	30, 32	sylibr 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ {0} → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ {0})
34	33	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ {0} → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ {0}))
35	26, 34	orim12d 966	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆 ∨ ((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ {0}) → ((∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ 𝑆 ∨ (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ {0})))
36		elun 4116	. . . . . . . 8 ⊢ (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}) ↔ (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆 ∨ ((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ {0}))
37		elun 4116	. . . . . . . 8 ⊢ ((∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ (𝑆 ∪ {0}) ↔ ((∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ 𝑆 ∨ (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ {0}))
38	35, 36, 37	3imtr4g 296	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}) → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ (𝑆 ∪ {0})))
39	38	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}) → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ (𝑆 ∪ {0})))
40	20, 39	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
41	18, 40	eqeltrd 2828	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((∗ ∘ (coeff‘𝐹))‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
42	11, 13, 41	elplyd 26107	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((∗ ∘ (coeff‘𝐹))‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))) ∈ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})))
43	6, 42	eqeltrd 2828	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})))
44		plyun0 26102	. 2 ⊢ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})) = (Poly‘𝑆)
45	43, 44	eleqtrdi 2838	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ∪ cun 3912   ⊆ wss 3914  {csn 4589   ↦ cmpt 5188   ∘ ccom 5642  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  0cc0 11068   · cmul 11073  ℕ₀cn0 12442  ...cfz 13468  ↑cexp 14026  ∗ccj 15062  Σcsu 15652  Polycply 26089  coeffccoe 26091  degcdgr 26092

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-fl 13754  df-seq 13967  df-exp 14027  df-hash 14296  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-clim 15454  df-rlim 15455  df-sum 15653  df-0p 25571  df-ply 26093  df-coe 26095  df-dgr 26096

This theorem is referenced by:  coecj  26184