Theorem plycj 26504

Description: The double conjugation of a polynomial is a polynomial. (The single conjugation is not because our definition of polynomial includes only holomorphic functions, i.e. no dependence on (∗‘𝑧) independently of 𝑧.) (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
plycj.2	⊢ 𝐺 = ((∗ ∘ 𝐹) ∘ ∗)
plycj.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (∗‘𝑥) ∈ 𝑆)
plycj.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))

Assertion

Ref	Expression
plycj	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem plycj

Dummy variables 𝑘 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plycj.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
2		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (deg‘𝐹) = (deg‘𝐹)
3		plycj.2	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = ((∗ ∘ 𝐹) ∘ ∗)
4		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (coeff‘𝐹) = (coeff‘𝐹)
5	2, 3, 4	plycjlem 26503	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((∗ ∘ (coeff‘𝐹))‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
6	1, 5	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((∗ ∘ (coeff‘𝐹))‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
7		plybss 26421	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
8	1, 7	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
9		0cnd 11226	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
10	9	snssd 4750	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {0} ⊆ ℂ)
11	8, 10	unssd 4141	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
12		dgrcl 26460	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
13	1, 12	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
14	4	coef 26457	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
15	1, 14	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
16		elfznn0 13677	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
17		fvco3 6982	. . . . . 6 ⊢ (((coeff‘𝐹):ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((∗ ∘ (coeff‘𝐹))‘𝑘) = (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)))
18	15, 16, 17	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((∗ ∘ (coeff‘𝐹))‘𝑘) = (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)))
19		ffvelcdm 7077	. . . . . . 7 ⊢ (((coeff‘𝐹):ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
20	15, 16, 19	syl2an 608	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
21		plycj.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (∗‘𝑥) ∈ 𝑆)
22	21	ralrimiva 3156	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∗‘𝑥) ∈ 𝑆)
23		fveq2 6882	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = ((coeff‘𝐹)‘𝑘) → (∗‘𝑥) = (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)))
24	23	eleq1d 2847	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ((coeff‘𝐹)‘𝑘) → ((∗‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ 𝑆))
25	24	rspccv 3576	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑆 (∗‘𝑥) ∈ 𝑆 → (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆 → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ 𝑆))
26	22, 25	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆 → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ 𝑆))
27		elsni 4604	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ {0} → ((coeff‘𝐹)‘𝑘) = 0)
28	27	fveq2d 6886	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ {0} → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) = (∗‘0))
29		cj0 15247	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∗‘0) = 0
30	28, 29	eqtrdi 2813	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ {0} → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) = 0)
31		fvex 6895	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ V
32	31	elsn 4602	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ {0} ↔ (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) = 0)
33	30, 32	sylibr 237	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ {0} → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ {0})
34	33	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ {0} → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ {0}))
35	26, 34	orim12d 979	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆 ∨ ((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ {0}) → ((∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ 𝑆 ∨ (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ {0})))
36		elun 4103	. . . . . . . 8 ⊢ (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}) ↔ (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆 ∨ ((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ {0}))
37		elun 4103	. . . . . . . 8 ⊢ ((∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ (𝑆 ∪ {0}) ↔ ((∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ 𝑆 ∨ (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ {0}))
38	35, 36, 37	3imtr4g 299	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}) → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ (𝑆 ∪ {0})))
39	38	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}) → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ (𝑆 ∪ {0})))
40	20, 39	mpd 16	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
41	18, 40	eqeltrd 2862	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((∗ ∘ (coeff‘𝐹))‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
42	11, 13, 41	elplyd 26429	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((∗ ∘ (coeff‘𝐹))‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))) ∈ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})))
43	6, 42	eqeltrd 2862	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})))
44		plyun0 26424	. 2 ⊢ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})) = (Poly‘𝑆)
45	43, 44	eleqtrdi 2872	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078   ∪ cun 3900   ⊆ wss 3902  {csn 4587   ↦ cmpt 5190   ∘ ccom 5663  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  ℂcc 11125  0cc0 11127   · cmul 11132  ℕ₀cn0 12531  ...cfz 13563  ↑cexp 14127  ∗ccj 15185  Σcsu 15775  Polycply 26411  coeffccoe 26413  degcdgr 26414

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-inf2 9623  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-rp 13045  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-fl 13855  df-seq 14068  df-exp 14128  df-hash 14397  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-clim 15577  df-rlim 15578  df-sum 15776  df-0p 25899  df-ply 26415  df-coe 26417  df-dgr 26418

This theorem is used by:  coecj  26505