Theorem plycj 26339

Description: The double conjugation of a polynomial is a polynomial. (The single conjugation is not because our definition of polynomial includes only holomorphic functions, i.e. no dependence on (∗‘𝑧) independently of 𝑧.) (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
plycj.2	⊢ 𝐺 = ((∗ ∘ 𝐹) ∘ ∗)
plycj.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (∗‘𝑥) ∈ 𝑆)
plycj.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))

Assertion

Ref	Expression
plycj	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem plycj

Dummy variables 𝑘 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plycj.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
2		eqid 2764	. . . . 5 ⊢ (deg‘𝐹) = (deg‘𝐹)
3		plycj.2	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = ((∗ ∘ 𝐹) ∘ ∗)
4		eqid 2764	. . . . 5 ⊢ (coeff‘𝐹) = (coeff‘𝐹)
5	2, 3, 4	plycjlem 26338	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((∗ ∘ (coeff‘𝐹))‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
6	1, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((∗ ∘ (coeff‘𝐹))‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
7		plybss 26256	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
8	1, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
9		0cnd 11174	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
10	9	snssd 4747	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {0} ⊆ ℂ)
11	8, 10	unssd 4146	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
12		dgrcl 26295	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
13	1, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
14	4	coef 26292	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
15	1, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
16		elfznn0 13627	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
17		fvco3 6969	. . . . . 6 ⊢ (((coeff‘𝐹):ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((∗ ∘ (coeff‘𝐹))‘𝑘) = (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)))
18	15, 16, 17	syl2an 605	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((∗ ∘ (coeff‘𝐹))‘𝑘) = (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)))
19		ffvelcdm 7064	. . . . . . 7 ⊢ (((coeff‘𝐹):ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
20	15, 16, 19	syl2an 605	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
21		plycj.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (∗‘𝑥) ∈ 𝑆)
22	21	ralrimiva 3156	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∗‘𝑥) ∈ 𝑆)
23		fveq2 6869	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = ((coeff‘𝐹)‘𝑘) → (∗‘𝑥) = (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)))
24	23	eleq1d 2849	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ((coeff‘𝐹)‘𝑘) → ((∗‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ 𝑆))
25	24	rspccv 3580	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑆 (∗‘𝑥) ∈ 𝑆 → (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆 → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ 𝑆))
26	22, 25	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆 → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ 𝑆))
27		elsni 4601	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ {0} → ((coeff‘𝐹)‘𝑘) = 0)
28	27	fveq2d 6873	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ {0} → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) = (∗‘0))
29		cj0 15187	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∗‘0) = 0
30	28, 29	eqtrdi 2815	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ {0} → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) = 0)
31		fvex 6882	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ V
32	31	elsn 4599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ {0} ↔ (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) = 0)
33	30, 32	sylibr 236	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ {0} → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ {0})
34	33	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ {0} → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ {0}))
35	26, 34	orim12d 977	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆 ∨ ((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ {0}) → ((∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ 𝑆 ∨ (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ {0})))
36		elun 4108	. . . . . . . 8 ⊢ (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}) ↔ (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆 ∨ ((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ {0}))
37		elun 4108	. . . . . . . 8 ⊢ ((∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ (𝑆 ∪ {0}) ↔ ((∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ 𝑆 ∨ (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ {0}))
38	35, 36, 37	3imtr4g 298	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}) → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ (𝑆 ∪ {0})))
39	38	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}) → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ (𝑆 ∪ {0})))
40	20, 39	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
41	18, 40	eqeltrd 2864	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((∗ ∘ (coeff‘𝐹))‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
42	11, 13, 41	elplyd 26264	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((∗ ∘ (coeff‘𝐹))‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))) ∈ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})))
43	6, 42	eqeltrd 2864	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})))
44		plyun0 26259	. 2 ⊢ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})) = (Poly‘𝑆)
45	43, 44	eleqtrdi 2874	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 858   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  ∀wral 3078   ∪ cun 3904   ⊆ wss 3906  {csn 4584   ↦ cmpt 5183   ∘ ccom 5653  ⟶wf 6519  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  ℂcc 11073  0cc0 11075   · cmul 11080  ℕ₀cn0 12483  ...cfz 13514  ↑cexp 14076  ∗ccj 15125  Σcsu 15715  Polycply 26246  coeffccoe 26248  degcdgr 26249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-inf2 9598  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-se 5603  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-isom 6532  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-of 7662  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-er 8680  df-map 8812  df-pm 8813  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-card 9899  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-div 11847  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12484  df-z 12571  df-uz 12842  df-rp 12996  df-fz 13515  df-fzo 13662  df-fl 13804  df-seq 14017  df-exp 14077  df-hash 14346  df-cj 15128  df-re 15129  df-im 15130  df-sqrt 15264  df-abs 15265  df-clim 15517  df-rlim 15518  df-sum 15716  df-0p 25734  df-ply 26250  df-coe 26252  df-dgr 26253

This theorem is referenced by:  coecj  26340