MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plycj Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem plycj 25791
Description: The double conjugation of a polynomial is a polynomial. (The single conjugation is not because our definition of polynomial includes only holomorphic functions, i.e. no dependence on (βˆ—β€˜π‘§) independently of 𝑧.) (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plycj.1 𝑁 = (degβ€˜πΉ)
plycj.2 𝐺 = ((βˆ— ∘ 𝐹) ∘ βˆ—)
plycj.3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (βˆ—β€˜π‘₯) ∈ 𝑆)
plycj.4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
Assertion
Ref Expression
plycj (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝑁   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝑆
Allowed substitution hint:   𝐺(π‘₯)
Proof of Theorem plycj
Dummy variables π‘˜ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plycj.4 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
2 plycj.1 . . . . 5 𝑁 = (degβ€˜πΉ)
3 plycj.2 . . . . 5 𝐺 = ((βˆ— ∘ 𝐹) ∘ βˆ—)
4 eqid 2733 . . . . 5 (coeffβ€˜πΉ) = (coeffβ€˜πΉ)
52, 3, 4plycjlem 25790 . . . 4 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐺 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((βˆ— ∘ (coeffβ€˜πΉ))β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
61, 5syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((βˆ— ∘ (coeffβ€˜πΉ))β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
7 plybss 25708 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
81, 7syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
9 0cnd 11207 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„‚)
109snssd 4813 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {0} βŠ† β„‚)
118, 10unssd 4187 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑆 βˆͺ {0}) βŠ† β„‚)
12 dgrcl 25747 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (degβ€˜πΉ) ∈ β„•0)
131, 12syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (degβ€˜πΉ) ∈ β„•0)
142, 13eqeltrid 2838 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
154coef 25744 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (coeffβ€˜πΉ):β„•0⟢(𝑆 βˆͺ {0}))
161, 15syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (coeffβ€˜πΉ):β„•0⟢(𝑆 βˆͺ {0}))
17 elfznn0 13594 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ (0...𝑁) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
18 fvco3 6991 . . . . . 6 (((coeffβ€˜πΉ):β„•0⟢(𝑆 βˆͺ {0}) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((βˆ— ∘ (coeffβ€˜πΉ))β€˜π‘˜) = (βˆ—β€˜((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜)))
1916, 17, 18syl2an 597 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ ((βˆ— ∘ (coeffβ€˜πΉ))β€˜π‘˜) = (βˆ—β€˜((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜)))
20 ffvelcdm 7084 . . . . . . 7 (((coeffβ€˜πΉ):β„•0⟢(𝑆 βˆͺ {0}) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) ∈ (𝑆 βˆͺ {0}))
2116, 17, 20syl2an 597 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ ((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) ∈ (𝑆 βˆͺ {0}))
22 plycj.3 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (βˆ—β€˜π‘₯) ∈ 𝑆)
2322ralrimiva 3147 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (βˆ—β€˜π‘₯) ∈ 𝑆)
24 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = ((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) β†’ (βˆ—β€˜π‘₯) = (βˆ—β€˜((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜)))
2524eleq1d 2819 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = ((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) β†’ ((βˆ—β€˜π‘₯) ∈ 𝑆 ↔ (βˆ—β€˜((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜)) ∈ 𝑆))
2625rspccv 3610 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (βˆ—β€˜π‘₯) ∈ 𝑆 β†’ (((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) ∈ 𝑆 β†’ (βˆ—β€˜((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜)) ∈ 𝑆))
2723, 26syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) ∈ 𝑆 β†’ (βˆ—β€˜((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜)) ∈ 𝑆))
28 elsni 4646 . . . . . . . . . . . . 13 (((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) ∈ {0} β†’ ((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) = 0)
2928fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . 12 (((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) ∈ {0} β†’ (βˆ—β€˜((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜)) = (βˆ—β€˜0))
30 cj0 15105 . . . . . . . . . . . 12 (βˆ—β€˜0) = 0
3129, 30eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . 11 (((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) ∈ {0} β†’ (βˆ—β€˜((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜)) = 0)
32 fvex 6905 . . . . . . . . . . . 12 (βˆ—β€˜((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜)) ∈ V
3332elsn 4644 . . . . . . . . . . 11 ((βˆ—β€˜((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜)) ∈ {0} ↔ (βˆ—β€˜((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜)) = 0)
3431, 33sylibr 233 . . . . . . . . . 10 (((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) ∈ {0} β†’ (βˆ—β€˜((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜)) ∈ {0})
3534a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) ∈ {0} β†’ (βˆ—β€˜((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜)) ∈ {0}))
3627, 35orim12d 964 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) ∈ 𝑆 ∨ ((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) ∈ {0}) β†’ ((βˆ—β€˜((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜)) ∈ 𝑆 ∨ (βˆ—β€˜((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜)) ∈ {0})))
37 elun 4149 . . . . . . . 8 (((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) ∈ (𝑆 βˆͺ {0}) ↔ (((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) ∈ 𝑆 ∨ ((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) ∈ {0}))
38 elun 4149 . . . . . . . 8 ((βˆ—β€˜((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜)) ∈ (𝑆 βˆͺ {0}) ↔ ((βˆ—β€˜((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜)) ∈ 𝑆 ∨ (βˆ—β€˜((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜)) ∈ {0}))
3936, 37, 383imtr4g 296 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) ∈ (𝑆 βˆͺ {0}) β†’ (βˆ—β€˜((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜)) ∈ (𝑆 βˆͺ {0})))
4039adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) ∈ (𝑆 βˆͺ {0}) β†’ (βˆ—β€˜((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜)) ∈ (𝑆 βˆͺ {0})))
4121, 40mpd 15 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (βˆ—β€˜((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜)) ∈ (𝑆 βˆͺ {0}))
4219, 41eqeltrd 2834 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ ((βˆ— ∘ (coeffβ€˜πΉ))β€˜π‘˜) ∈ (𝑆 βˆͺ {0}))
4311, 14, 42elplyd 25716 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((βˆ— ∘ (coeffβ€˜πΉ))β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))) ∈ (Polyβ€˜(𝑆 βˆͺ {0})))
446, 43eqeltrd 2834 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜(𝑆 βˆͺ {0})))
45 plyun0 25711 . 2 (Polyβ€˜(𝑆 βˆͺ {0})) = (Polyβ€˜π‘†)
4644, 45eleqtrdi 2844 1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062   βˆͺ cun 3947   βŠ† wss 3949  {csn 4629   ↦ cmpt 5232   ∘ ccom 5681  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  0cc0 11110   Β· cmul 11115  β„•0cn0 12472  ...cfz 13484  β†‘cexp 14027  βˆ—ccj 15043  Ξ£csu 15632  Polycply 25698  coeffccoe 25700  degcdgr 25701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-0p 25187  df-ply 25702  df-coe 25704  df-dgr 25705
This theorem is referenced by:  coecj  25792
  Copyright terms: Public domain W3C validator