Theorem plycj 25675

Description: The double conjugation of a polynomial is a polynomial. (The single conjugation is not because our definition of polynomial includes only holomorphic functions, i.e. no dependence on (∗‘𝑧) independently of 𝑧.) (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
plycj.1	⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
plycj.2	⊢ 𝐺 = ((∗ ∘ 𝐹) ∘ ∗)
plycj.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (∗‘𝑥) ∈ 𝑆)
plycj.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))

Assertion

Ref	Expression
plycj	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem plycj

Dummy variables 𝑘 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plycj.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
2		plycj.1	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
3		plycj.2	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = ((∗ ∘ 𝐹) ∘ ∗)
4		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (coeff‘𝐹) = (coeff‘𝐹)
5	2, 3, 4	plycjlem 25674	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((∗ ∘ (coeff‘𝐹))‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
6	1, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((∗ ∘ (coeff‘𝐹))‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
7		plybss 25592	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
8	1, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
9		0cnd 11157	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
10	9	snssd 4774	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {0} ⊆ ℂ)
11	8, 10	unssd 4151	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
12		dgrcl 25631	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
13	1, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
14	2, 13	eqeltrid 2836	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
15	4	coef 25628	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
16	1, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
17		elfznn0 13544	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
18		fvco3 6945	. . . . . 6 ⊢ (((coeff‘𝐹):ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((∗ ∘ (coeff‘𝐹))‘𝑘) = (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)))
19	16, 17, 18	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((∗ ∘ (coeff‘𝐹))‘𝑘) = (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)))
20		ffvelcdm 7037	. . . . . . 7 ⊢ (((coeff‘𝐹):ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
21	16, 17, 20	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
22		plycj.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (∗‘𝑥) ∈ 𝑆)
23	22	ralrimiva 3139	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∗‘𝑥) ∈ 𝑆)
24		fveq2 6847	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = ((coeff‘𝐹)‘𝑘) → (∗‘𝑥) = (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)))
25	24	eleq1d 2817	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ((coeff‘𝐹)‘𝑘) → ((∗‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ 𝑆))
26	25	rspccv 3579	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑆 (∗‘𝑥) ∈ 𝑆 → (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆 → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ 𝑆))
27	23, 26	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆 → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ 𝑆))
28		elsni 4608	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ {0} → ((coeff‘𝐹)‘𝑘) = 0)
29	28	fveq2d 6851	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ {0} → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) = (∗‘0))
30		cj0 15055	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∗‘0) = 0
31	29, 30	eqtrdi 2787	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ {0} → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) = 0)
32		fvex 6860	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ V
33	32	elsn 4606	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ {0} ↔ (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) = 0)
34	31, 33	sylibr 233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ {0} → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ {0})
35	34	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ {0} → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ {0}))
36	27, 35	orim12d 963	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆 ∨ ((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ {0}) → ((∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ 𝑆 ∨ (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ {0})))
37		elun 4113	. . . . . . . 8 ⊢ (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}) ↔ (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆 ∨ ((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ {0}))
38		elun 4113	. . . . . . . 8 ⊢ ((∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ (𝑆 ∪ {0}) ↔ ((∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ 𝑆 ∨ (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ {0}))
39	36, 37, 38	3imtr4g 295	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}) → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ (𝑆 ∪ {0})))
40	39	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}) → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ (𝑆 ∪ {0})))
41	21, 40	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
42	19, 41	eqeltrd 2832	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((∗ ∘ (coeff‘𝐹))‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
43	11, 14, 42	elplyd 25600	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((∗ ∘ (coeff‘𝐹))‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))) ∈ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})))
44	6, 43	eqeltrd 2832	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})))
45		plyun0 25595	. 2 ⊢ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})) = (Poly‘𝑆)
46	44, 45	eleqtrdi 2842	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3060   ∪ cun 3911   ⊆ wss 3913  {csn 4591   ↦ cmpt 5193   ∘ ccom 5642  ⟶wf 6497  ‘cfv 6501  (class class class)co 7362  ℂcc 11058  0cc0 11060   · cmul 11065  ℕ₀cn0 12422  ...cfz 13434  ↑cexp 13977  ∗ccj 14993  Σcsu 15582  Polycply 25582  coeffccoe 25584  degcdgr 25585

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9586  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137  ax-pre-sup 11138

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9387  df-inf 9388  df-oi 9455  df-card 9884  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-div 11822  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12423  df-z 12509  df-uz 12773  df-rp 12925  df-fz 13435  df-fzo 13578  df-fl 13707  df-seq 13917  df-exp 13978  df-hash 14241  df-cj 14996  df-re 14997  df-im 14998  df-sqrt 15132  df-abs 15133  df-clim 15382  df-rlim 15383  df-sum 15583  df-0p 25071  df-ply 25586  df-coe 25588  df-dgr 25589

This theorem is referenced by:  coecj  25676