MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plymullem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem plymullem 25966
Description: Lemma for plymul 25968. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plyadd.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
plyadd.2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
plyadd.3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝑆)
plyadd.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
plyadd.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
plyadd.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0))
plyadd.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0))
plyadd.a2 (πœ‘ β†’ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0})
plyadd.b2 (πœ‘ β†’ (𝐡 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0})
plyadd.f (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
plyadd.g (πœ‘ β†’ 𝐺 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
plymul.x ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
plymullem (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∈ (Polyβ€˜π‘†))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘˜,𝑦,𝑧,𝐡   π‘₯,𝐹,𝑦,𝑧   𝑆,π‘˜,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐴,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐺,𝑦,𝑧   πœ‘,π‘˜,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘˜,𝑀,𝑧   π‘˜,𝑁,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘˜)   𝐹(π‘˜)   𝐺(π‘˜)   𝑀(π‘₯,𝑦)   𝑁(π‘₯,𝑦)
Proof of Theorem plymullem
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plyadd.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
2 plyadd.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
3 plyadd.m . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
4 plyadd.n . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
5 plyadd.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0))
6 plybss 25944 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
71, 6syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
8 0cnd 11212 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„‚)
98snssd 4812 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ {0} βŠ† β„‚)
107, 9unssd 4186 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑆 βˆͺ {0}) βŠ† β„‚)
11 cnex 11195 . . . . . . . 8 β„‚ ∈ V
12 ssexg 5323 . . . . . . . 8 (((𝑆 βˆͺ {0}) βŠ† β„‚ ∧ β„‚ ∈ V) β†’ (𝑆 βˆͺ {0}) ∈ V)
1310, 11, 12sylancl 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑆 βˆͺ {0}) ∈ V)
14 nn0ex 12483 . . . . . . 7 β„•0 ∈ V
15 elmapg 8837 . . . . . . 7 (((𝑆 βˆͺ {0}) ∈ V ∧ β„•0 ∈ V) β†’ (𝐴 ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0) ↔ 𝐴:β„•0⟢(𝑆 βˆͺ {0})))
1613, 14, 15sylancl 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0) ↔ 𝐴:β„•0⟢(𝑆 βˆͺ {0})))
175, 16mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0⟢(𝑆 βˆͺ {0}))
1817, 10fssd 6735 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
19 plyadd.b . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0))
20 elmapg 8837 . . . . . . 7 (((𝑆 βˆͺ {0}) ∈ V ∧ β„•0 ∈ V) β†’ (𝐡 ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0) ↔ 𝐡:β„•0⟢(𝑆 βˆͺ {0})))
2113, 14, 20sylancl 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0) ↔ 𝐡:β„•0⟢(𝑆 βˆͺ {0})))
2219, 21mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡:β„•0⟢(𝑆 βˆͺ {0}))
2322, 10fssd 6735 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡:β„•0βŸΆβ„‚)
24 plyadd.a2 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0})
25 plyadd.b2 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0})
26 plyadd.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
27 plyadd.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
281, 2, 3, 4, 18, 23, 24, 25, 26, 27plymullem1 25964 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Σ𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))(Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π΅β€˜(𝑛 βˆ’ π‘˜))) Β· (𝑧↑𝑛))))
293, 4nn0addcld 12541 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑀 + 𝑁) ∈ β„•0)
30 eqid 2731 . . . . . . 7 (𝑆 βˆͺ {0}) = (𝑆 βˆͺ {0})
31 plyadd.3 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝑆)
327, 30, 31un0addcl 12510 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝑆 βˆͺ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆 βˆͺ {0}))) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ (𝑆 βˆͺ {0}))
33 fzfid 13943 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0...𝑛) ∈ Fin)
34 elfznn0 13599 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ (0...𝑛) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
35 ffvelcdm 7083 . . . . . . . . 9 ((𝐴:β„•0⟢(𝑆 βˆͺ {0}) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ (𝑆 βˆͺ {0}))
3617, 34, 35syl2an 595 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑛)) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ (𝑆 βˆͺ {0}))
37 fznn0sub 13538 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ (0...𝑛) β†’ (𝑛 βˆ’ π‘˜) ∈ β„•0)
38 ffvelcdm 7083 . . . . . . . . 9 ((𝐡:β„•0⟢(𝑆 βˆͺ {0}) ∧ (𝑛 βˆ’ π‘˜) ∈ β„•0) β†’ (π΅β€˜(𝑛 βˆ’ π‘˜)) ∈ (𝑆 βˆͺ {0}))
3922, 37, 38syl2an 595 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑛)) β†’ (π΅β€˜(𝑛 βˆ’ π‘˜)) ∈ (𝑆 βˆͺ {0}))
4036, 39jca 511 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑛)) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) ∈ (𝑆 βˆͺ {0}) ∧ (π΅β€˜(𝑛 βˆ’ π‘˜)) ∈ (𝑆 βˆͺ {0})))
41 plymul.x . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝑆)
427, 30, 41un0mulcl 12511 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝑆 βˆͺ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆 βˆͺ {0}))) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ (𝑆 βˆͺ {0}))
4342caovclg 7603 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((π΄β€˜π‘˜) ∈ (𝑆 βˆͺ {0}) ∧ (π΅β€˜(𝑛 βˆ’ π‘˜)) ∈ (𝑆 βˆͺ {0}))) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π΅β€˜(𝑛 βˆ’ π‘˜))) ∈ (𝑆 βˆͺ {0}))
4440, 43syldan 590 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑛)) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π΅β€˜(𝑛 βˆ’ π‘˜))) ∈ (𝑆 βˆͺ {0}))
45 ssun2 4173 . . . . . . . 8 {0} βŠ† (𝑆 βˆͺ {0})
46 c0ex 11213 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
4746snss 4789 . . . . . . . 8 (0 ∈ (𝑆 βˆͺ {0}) ↔ {0} βŠ† (𝑆 βˆͺ {0}))
4845, 47mpbir 230 . . . . . . 7 0 ∈ (𝑆 βˆͺ {0})
4948a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (𝑆 βˆͺ {0}))
5010, 32, 33, 44, 49fsumcllem 15683 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π΅β€˜(𝑛 βˆ’ π‘˜))) ∈ (𝑆 βˆͺ {0}))
5150adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π΅β€˜(𝑛 βˆ’ π‘˜))) ∈ (𝑆 βˆͺ {0}))
5210, 29, 51elplyd 25952 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Σ𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))(Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π΅β€˜(𝑛 βˆ’ π‘˜))) Β· (𝑧↑𝑛))) ∈ (Polyβ€˜(𝑆 βˆͺ {0})))
5328, 52eqeltrd 2832 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∈ (Polyβ€˜(𝑆 βˆͺ {0})))
54 plyun0 25947 . 2 (Polyβ€˜(𝑆 βˆͺ {0})) = (Polyβ€˜π‘†)
5553, 54eleqtrdi 2842 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∈ (Polyβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3473   βˆͺ cun 3946   βŠ† wss 3948  {csn 4628   ↦ cmpt 5231   β€œ cima 5679  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412   ∘f cof 7672   ↑m cmap 8824  β„‚cc 11112  0cc0 11114  1c1 11115   + caddc 11117   Β· cmul 11119   βˆ’ cmin 11449  β„•0cn0 12477  β„€β‰₯cuz 12827  ...cfz 13489  β†‘cexp 14032  Ξ£csu 15637  Polycply 25934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9441  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-sum 15638  df-ply 25938
This theorem is referenced by:  plymul  25968
  Copyright terms: Public domain W3C validator