MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plymullem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem plymullem 25730
Description: Lemma for plymul 25732. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plyadd.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
plyadd.2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
plyadd.3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝑆)
plyadd.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
plyadd.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
plyadd.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0))
plyadd.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0))
plyadd.a2 (πœ‘ β†’ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0})
plyadd.b2 (πœ‘ β†’ (𝐡 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0})
plyadd.f (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
plyadd.g (πœ‘ β†’ 𝐺 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
plymul.x ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
plymullem (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∈ (Polyβ€˜π‘†))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘˜,𝑦,𝑧,𝐡   π‘₯,𝐹,𝑦,𝑧   𝑆,π‘˜,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐴,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐺,𝑦,𝑧   πœ‘,π‘˜,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘˜,𝑀,𝑧   π‘˜,𝑁,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘˜)   𝐹(π‘˜)   𝐺(π‘˜)   𝑀(π‘₯,𝑦)   𝑁(π‘₯,𝑦)
Proof of Theorem plymullem
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plyadd.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
2 plyadd.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
3 plyadd.m . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
4 plyadd.n . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
5 plyadd.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0))
6 plybss 25708 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
71, 6syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
8 0cnd 11207 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„‚)
98snssd 4813 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ {0} βŠ† β„‚)
107, 9unssd 4187 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑆 βˆͺ {0}) βŠ† β„‚)
11 cnex 11191 . . . . . . . 8 β„‚ ∈ V
12 ssexg 5324 . . . . . . . 8 (((𝑆 βˆͺ {0}) βŠ† β„‚ ∧ β„‚ ∈ V) β†’ (𝑆 βˆͺ {0}) ∈ V)
1310, 11, 12sylancl 587 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑆 βˆͺ {0}) ∈ V)
14 nn0ex 12478 . . . . . . 7 β„•0 ∈ V
15 elmapg 8833 . . . . . . 7 (((𝑆 βˆͺ {0}) ∈ V ∧ β„•0 ∈ V) β†’ (𝐴 ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0) ↔ 𝐴:β„•0⟢(𝑆 βˆͺ {0})))
1613, 14, 15sylancl 587 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0) ↔ 𝐴:β„•0⟢(𝑆 βˆͺ {0})))
175, 16mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0⟢(𝑆 βˆͺ {0}))
1817, 10fssd 6736 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
19 plyadd.b . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0))
20 elmapg 8833 . . . . . . 7 (((𝑆 βˆͺ {0}) ∈ V ∧ β„•0 ∈ V) β†’ (𝐡 ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0) ↔ 𝐡:β„•0⟢(𝑆 βˆͺ {0})))
2113, 14, 20sylancl 587 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0) ↔ 𝐡:β„•0⟢(𝑆 βˆͺ {0})))
2219, 21mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡:β„•0⟢(𝑆 βˆͺ {0}))
2322, 10fssd 6736 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡:β„•0βŸΆβ„‚)
24 plyadd.a2 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0})
25 plyadd.b2 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0})
26 plyadd.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
27 plyadd.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
281, 2, 3, 4, 18, 23, 24, 25, 26, 27plymullem1 25728 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Σ𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))(Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π΅β€˜(𝑛 βˆ’ π‘˜))) Β· (𝑧↑𝑛))))
293, 4nn0addcld 12536 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑀 + 𝑁) ∈ β„•0)
30 eqid 2733 . . . . . . 7 (𝑆 βˆͺ {0}) = (𝑆 βˆͺ {0})
31 plyadd.3 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝑆)
327, 30, 31un0addcl 12505 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝑆 βˆͺ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆 βˆͺ {0}))) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ (𝑆 βˆͺ {0}))
33 fzfid 13938 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0...𝑛) ∈ Fin)
34 elfznn0 13594 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ (0...𝑛) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
35 ffvelcdm 7084 . . . . . . . . 9 ((𝐴:β„•0⟢(𝑆 βˆͺ {0}) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ (𝑆 βˆͺ {0}))
3617, 34, 35syl2an 597 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑛)) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ (𝑆 βˆͺ {0}))
37 fznn0sub 13533 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ (0...𝑛) β†’ (𝑛 βˆ’ π‘˜) ∈ β„•0)
38 ffvelcdm 7084 . . . . . . . . 9 ((𝐡:β„•0⟢(𝑆 βˆͺ {0}) ∧ (𝑛 βˆ’ π‘˜) ∈ β„•0) β†’ (π΅β€˜(𝑛 βˆ’ π‘˜)) ∈ (𝑆 βˆͺ {0}))
3922, 37, 38syl2an 597 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑛)) β†’ (π΅β€˜(𝑛 βˆ’ π‘˜)) ∈ (𝑆 βˆͺ {0}))
4036, 39jca 513 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑛)) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) ∈ (𝑆 βˆͺ {0}) ∧ (π΅β€˜(𝑛 βˆ’ π‘˜)) ∈ (𝑆 βˆͺ {0})))
41 plymul.x . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝑆)
427, 30, 41un0mulcl 12506 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝑆 βˆͺ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆 βˆͺ {0}))) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ (𝑆 βˆͺ {0}))
4342caovclg 7599 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((π΄β€˜π‘˜) ∈ (𝑆 βˆͺ {0}) ∧ (π΅β€˜(𝑛 βˆ’ π‘˜)) ∈ (𝑆 βˆͺ {0}))) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π΅β€˜(𝑛 βˆ’ π‘˜))) ∈ (𝑆 βˆͺ {0}))
4440, 43syldan 592 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑛)) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π΅β€˜(𝑛 βˆ’ π‘˜))) ∈ (𝑆 βˆͺ {0}))
45 ssun2 4174 . . . . . . . 8 {0} βŠ† (𝑆 βˆͺ {0})
46 c0ex 11208 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
4746snss 4790 . . . . . . . 8 (0 ∈ (𝑆 βˆͺ {0}) ↔ {0} βŠ† (𝑆 βˆͺ {0}))
4845, 47mpbir 230 . . . . . . 7 0 ∈ (𝑆 βˆͺ {0})
4948a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (𝑆 βˆͺ {0}))
5010, 32, 33, 44, 49fsumcllem 15678 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π΅β€˜(𝑛 βˆ’ π‘˜))) ∈ (𝑆 βˆͺ {0}))
5150adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π΅β€˜(𝑛 βˆ’ π‘˜))) ∈ (𝑆 βˆͺ {0}))
5210, 29, 51elplyd 25716 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Σ𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))(Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π΅β€˜(𝑛 βˆ’ π‘˜))) Β· (𝑧↑𝑛))) ∈ (Polyβ€˜(𝑆 βˆͺ {0})))
5328, 52eqeltrd 2834 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∈ (Polyβ€˜(𝑆 βˆͺ {0})))
54 plyun0 25711 . 2 (Polyβ€˜(𝑆 βˆͺ {0})) = (Polyβ€˜π‘†)
5553, 54eleqtrdi 2844 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∈ (Polyβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   βˆͺ cun 3947   βŠ† wss 3949  {csn 4629   ↦ cmpt 5232   β€œ cima 5680  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∘f cof 7668   ↑m cmap 8820  β„‚cc 11108  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115   βˆ’ cmin 11444  β„•0cn0 12472  β„€β‰₯cuz 12822  ...cfz 13484  β†‘cexp 14027  Ξ£csu 15632  Polycply 25698
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-ply 25702
This theorem is referenced by:  plymul  25732
  Copyright terms: Public domain W3C validator