MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plymullem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem plymullem 25721
Description: Lemma for plymul 25723. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plyadd.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
plyadd.2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
plyadd.3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝑆)
plyadd.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
plyadd.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
plyadd.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0))
plyadd.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0))
plyadd.a2 (πœ‘ β†’ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0})
plyadd.b2 (πœ‘ β†’ (𝐡 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0})
plyadd.f (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
plyadd.g (πœ‘ β†’ 𝐺 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
plymul.x ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
plymullem (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∈ (Polyβ€˜π‘†))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘˜,𝑦,𝑧,𝐡   π‘₯,𝐹,𝑦,𝑧   𝑆,π‘˜,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐴,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐺,𝑦,𝑧   πœ‘,π‘˜,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘˜,𝑀,𝑧   π‘˜,𝑁,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘˜)   𝐹(π‘˜)   𝐺(π‘˜)   𝑀(π‘₯,𝑦)   𝑁(π‘₯,𝑦)
Proof of Theorem plymullem
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plyadd.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
2 plyadd.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
3 plyadd.m . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
4 plyadd.n . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
5 plyadd.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0))
6 plybss 25699 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
71, 6syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
8 0cnd 11203 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„‚)
98snssd 4811 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ {0} βŠ† β„‚)
107, 9unssd 4185 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑆 βˆͺ {0}) βŠ† β„‚)
11 cnex 11187 . . . . . . . 8 β„‚ ∈ V
12 ssexg 5322 . . . . . . . 8 (((𝑆 βˆͺ {0}) βŠ† β„‚ ∧ β„‚ ∈ V) β†’ (𝑆 βˆͺ {0}) ∈ V)
1310, 11, 12sylancl 586 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑆 βˆͺ {0}) ∈ V)
14 nn0ex 12474 . . . . . . 7 β„•0 ∈ V
15 elmapg 8829 . . . . . . 7 (((𝑆 βˆͺ {0}) ∈ V ∧ β„•0 ∈ V) β†’ (𝐴 ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0) ↔ 𝐴:β„•0⟢(𝑆 βˆͺ {0})))
1613, 14, 15sylancl 586 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0) ↔ 𝐴:β„•0⟢(𝑆 βˆͺ {0})))
175, 16mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0⟢(𝑆 βˆͺ {0}))
1817, 10fssd 6732 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
19 plyadd.b . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0))
20 elmapg 8829 . . . . . . 7 (((𝑆 βˆͺ {0}) ∈ V ∧ β„•0 ∈ V) β†’ (𝐡 ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0) ↔ 𝐡:β„•0⟢(𝑆 βˆͺ {0})))
2113, 14, 20sylancl 586 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0) ↔ 𝐡:β„•0⟢(𝑆 βˆͺ {0})))
2219, 21mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡:β„•0⟢(𝑆 βˆͺ {0}))
2322, 10fssd 6732 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡:β„•0βŸΆβ„‚)
24 plyadd.a2 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0})
25 plyadd.b2 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0})
26 plyadd.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
27 plyadd.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
281, 2, 3, 4, 18, 23, 24, 25, 26, 27plymullem1 25719 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Σ𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))(Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π΅β€˜(𝑛 βˆ’ π‘˜))) Β· (𝑧↑𝑛))))
293, 4nn0addcld 12532 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑀 + 𝑁) ∈ β„•0)
30 eqid 2732 . . . . . . 7 (𝑆 βˆͺ {0}) = (𝑆 βˆͺ {0})
31 plyadd.3 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝑆)
327, 30, 31un0addcl 12501 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝑆 βˆͺ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆 βˆͺ {0}))) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ (𝑆 βˆͺ {0}))
33 fzfid 13934 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0...𝑛) ∈ Fin)
34 elfznn0 13590 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ (0...𝑛) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
35 ffvelcdm 7080 . . . . . . . . 9 ((𝐴:β„•0⟢(𝑆 βˆͺ {0}) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ (𝑆 βˆͺ {0}))
3617, 34, 35syl2an 596 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑛)) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ (𝑆 βˆͺ {0}))
37 fznn0sub 13529 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ (0...𝑛) β†’ (𝑛 βˆ’ π‘˜) ∈ β„•0)
38 ffvelcdm 7080 . . . . . . . . 9 ((𝐡:β„•0⟢(𝑆 βˆͺ {0}) ∧ (𝑛 βˆ’ π‘˜) ∈ β„•0) β†’ (π΅β€˜(𝑛 βˆ’ π‘˜)) ∈ (𝑆 βˆͺ {0}))
3922, 37, 38syl2an 596 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑛)) β†’ (π΅β€˜(𝑛 βˆ’ π‘˜)) ∈ (𝑆 βˆͺ {0}))
4036, 39jca 512 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑛)) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) ∈ (𝑆 βˆͺ {0}) ∧ (π΅β€˜(𝑛 βˆ’ π‘˜)) ∈ (𝑆 βˆͺ {0})))
41 plymul.x . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝑆)
427, 30, 41un0mulcl 12502 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝑆 βˆͺ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆 βˆͺ {0}))) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ (𝑆 βˆͺ {0}))
4342caovclg 7595 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((π΄β€˜π‘˜) ∈ (𝑆 βˆͺ {0}) ∧ (π΅β€˜(𝑛 βˆ’ π‘˜)) ∈ (𝑆 βˆͺ {0}))) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π΅β€˜(𝑛 βˆ’ π‘˜))) ∈ (𝑆 βˆͺ {0}))
4440, 43syldan 591 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑛)) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π΅β€˜(𝑛 βˆ’ π‘˜))) ∈ (𝑆 βˆͺ {0}))
45 ssun2 4172 . . . . . . . 8 {0} βŠ† (𝑆 βˆͺ {0})
46 c0ex 11204 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
4746snss 4788 . . . . . . . 8 (0 ∈ (𝑆 βˆͺ {0}) ↔ {0} βŠ† (𝑆 βˆͺ {0}))
4845, 47mpbir 230 . . . . . . 7 0 ∈ (𝑆 βˆͺ {0})
4948a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (𝑆 βˆͺ {0}))
5010, 32, 33, 44, 49fsumcllem 15674 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π΅β€˜(𝑛 βˆ’ π‘˜))) ∈ (𝑆 βˆͺ {0}))
5150adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π΅β€˜(𝑛 βˆ’ π‘˜))) ∈ (𝑆 βˆͺ {0}))
5210, 29, 51elplyd 25707 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Σ𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))(Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π΅β€˜(𝑛 βˆ’ π‘˜))) Β· (𝑧↑𝑛))) ∈ (Polyβ€˜(𝑆 βˆͺ {0})))
5328, 52eqeltrd 2833 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∈ (Polyβ€˜(𝑆 βˆͺ {0})))
54 plyun0 25702 . 2 (Polyβ€˜(𝑆 βˆͺ {0})) = (Polyβ€˜π‘†)
5553, 54eleqtrdi 2843 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∈ (Polyβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   βˆͺ cun 3945   βŠ† wss 3947  {csn 4627   ↦ cmpt 5230   β€œ cima 5678  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ∘f cof 7664   ↑m cmap 8816  β„‚cc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   Β· cmul 11111   βˆ’ cmin 11440  β„•0cn0 12468  β„€β‰₯cuz 12818  ...cfz 13480  β†‘cexp 14023  Ξ£csu 15628  Polycply 25689
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-ply 25693
This theorem is referenced by:  plymul  25723
  Copyright terms: Public domain W3C validator