MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plymullem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem plymullem 25699
Description: Lemma for plymul 25701. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plyadd.1 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
plyadd.2 (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
plyadd.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
plyadd.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
plyadd.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
plyadd.a (𝜑𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0))
plyadd.b (𝜑𝐵 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0))
plyadd.a2 (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ‘(𝑀 + 1))) = {0})
plyadd.b2 (𝜑 → (𝐵 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0})
plyadd.f (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))))
plyadd.g (𝜑𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
plymul.x ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
plymullem (𝜑 → (𝐹f · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦,𝑧,𝐵   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧   𝑆,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐺,𝑦,𝑧   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝑘,𝑀,𝑧   𝑘,𝑁,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑀(𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem plymullem
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plyadd.1 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
2 plyadd.2 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
3 plyadd.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
4 plyadd.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
5 plyadd.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0))
6 plybss 25677 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
71, 6syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
8 0cnd 11194 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
98snssd 4808 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {0} ⊆ ℂ)
107, 9unssd 4184 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
11 cnex 11178 . . . . . . . 8 ℂ ∈ V
12 ssexg 5319 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → (𝑆 ∪ {0}) ∈ V)
1310, 11, 12sylancl 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 ∪ {0}) ∈ V)
14 nn0ex 12465 . . . . . . 7 0 ∈ V
15 elmapg 8821 . . . . . . 7 (((𝑆 ∪ {0}) ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V) → (𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0) ↔ 𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
1613, 14, 15sylancl 587 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0) ↔ 𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
175, 16mpbid 231 . . . . 5 (𝜑𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
1817, 10fssd 6725 . . . 4 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
19 plyadd.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0))
20 elmapg 8821 . . . . . . 7 (((𝑆 ∪ {0}) ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V) → (𝐵 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0) ↔ 𝐵:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
2113, 14, 20sylancl 587 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0) ↔ 𝐵:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
2219, 21mpbid 231 . . . . 5 (𝜑𝐵:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
2322, 10fssd 6725 . . . 4 (𝜑𝐵:ℕ0⟶ℂ)
24 plyadd.a2 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ‘(𝑀 + 1))) = {0})
25 plyadd.b2 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0})
26 plyadd.f . . . 4 (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))))
27 plyadd.g . . . 4 (𝜑𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
281, 2, 3, 4, 18, 23, 24, 25, 26, 27plymullem1 25697 . . 3 (𝜑 → (𝐹f · 𝐺) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))(Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘))) · (𝑧𝑛))))
293, 4nn0addcld 12523 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
30 eqid 2733 . . . . . . 7 (𝑆 ∪ {0}) = (𝑆 ∪ {0})
31 plyadd.3 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
327, 30, 31un0addcl 12492 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑆 ∪ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆 ∪ {0}))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
33 fzfid 13925 . . . . . 6 (𝜑 → (0...𝑛) ∈ Fin)
34 elfznn0 13581 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...𝑛) → 𝑘 ∈ ℕ0)
35 ffvelcdm 7071 . . . . . . . . 9 ((𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
3617, 34, 35syl2an 597 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (𝐴𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
37 fznn0sub 13520 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...𝑛) → (𝑛𝑘) ∈ ℕ0)
38 ffvelcdm 7071 . . . . . . . . 9 ((𝐵:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}) ∧ (𝑛𝑘) ∈ ℕ0) → (𝐵‘(𝑛𝑘)) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
3922, 37, 38syl2an 597 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (𝐵‘(𝑛𝑘)) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
4036, 39jca 513 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑛)) → ((𝐴𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}) ∧ (𝐵‘(𝑛𝑘)) ∈ (𝑆 ∪ {0})))
41 plymul.x . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
427, 30, 41un0mulcl 12493 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑆 ∪ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆 ∪ {0}))) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
4342caovclg 7586 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝐴𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}) ∧ (𝐵‘(𝑛𝑘)) ∈ (𝑆 ∪ {0}))) → ((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘))) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
4440, 43syldan 592 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑛)) → ((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘))) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
45 ssun2 4171 . . . . . . . 8 {0} ⊆ (𝑆 ∪ {0})
46 c0ex 11195 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
4746snss 4785 . . . . . . . 8 (0 ∈ (𝑆 ∪ {0}) ↔ {0} ⊆ (𝑆 ∪ {0}))
4845, 47mpbir 230 . . . . . . 7 0 ∈ (𝑆 ∪ {0})
4948a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ (𝑆 ∪ {0}))
5010, 32, 33, 44, 49fsumcllem 15665 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘))) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
5150adantr 482 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘))) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
5210, 29, 51elplyd 25685 . . 3 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))(Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘))) · (𝑧𝑛))) ∈ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})))
5328, 52eqeltrd 2834 . 2 (𝜑 → (𝐹f · 𝐺) ∈ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})))
54 plyun0 25680 . 2 (Poly‘(𝑆 ∪ {0})) = (Poly‘𝑆)
5553, 54eleqtrdi 2844 1 (𝜑 → (𝐹f · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3475  cun 3944  wss 3946  {csn 4624  cmpt 5227  cima 5675  wf 6531  cfv 6535  (class class class)co 7396  f cof 7655  m cmap 8808  cc 11095  0cc0 11097  1c1 11098   + caddc 11100   · cmul 11102  cmin 11431  0cn0 12459  cuz 12809  ...cfz 13471  cexp 14014  Σcsu 15619  Polycply 25667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-inf2 9623  ax-cnex 11153  ax-resscn 11154  ax-1cn 11155  ax-icn 11156  ax-addcl 11157  ax-addrcl 11158  ax-mulcl 11159  ax-mulrcl 11160  ax-mulcom 11161  ax-addass 11162  ax-mulass 11163  ax-distr 11164  ax-i2m1 11165  ax-1ne0 11166  ax-1rid 11167  ax-rnegex 11168  ax-rrecex 11169  ax-cnre 11170  ax-pre-lttri 11171  ax-pre-lttrn 11172  ax-pre-ltadd 11173  ax-pre-mulgt0 11174  ax-pre-sup 11175
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4905  df-int 4947  df-iun 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6292  df-ord 6359  df-on 6360  df-lim 6361  df-suc 6362  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-isom 6544  df-riota 7352  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7657  df-om 7843  df-1st 7962  df-2nd 7963  df-frecs 8253  df-wrecs 8284  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8691  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-sup 9424  df-oi 9492  df-card 9921  df-pnf 11237  df-mnf 11238  df-xr 11239  df-ltxr 11240  df-le 11241  df-sub 11433  df-neg 11434  df-div 11859  df-nn 12200  df-2 12262  df-3 12263  df-n0 12460  df-z 12546  df-uz 12810  df-rp 12962  df-fz 13472  df-fzo 13615  df-seq 13954  df-exp 14015  df-hash 14278  df-cj 15033  df-re 15034  df-im 15035  df-sqrt 15169  df-abs 15170  df-clim 15419  df-sum 15620  df-ply 25671
This theorem is referenced by:  plymul  25701
  Copyright terms: Public domain W3C validator