Theorem plymullem 26194

Description: Lemma for plymul 26196. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
plyadd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
plyadd.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
plyadd.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
plyadd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
plyadd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
plyadd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0))
plyadd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0))
plyadd.a2	⊢ (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) = {0})
plyadd.b2	⊢ (𝜑 → (𝐵 “ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = {0})
plyadd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
plyadd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
plymul.x	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
plymullem	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦,𝑧,𝐵   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧   𝑆,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐺,𝑦,𝑧   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝑘,𝑀,𝑧   𝑘,𝑁,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑀(𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem plymullem

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plyadd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
2		plyadd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
3		plyadd.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
4		plyadd.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
5		plyadd.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0))
6		plybss 26172	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
7	1, 6	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
8		0cnd 11131	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
9	8	snssd 4753	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {0} ⊆ ℂ)
10	7, 9	unssd 4133	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
11		cnex 11113	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ ∈ V
12		ssexg 5261	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → (𝑆 ∪ {0}) ∈ V)
13	10, 11, 12	sylancl 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∪ {0}) ∈ V)
14		nn0ex 12437	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ∈ V
15		elmapg 8780	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∪ {0}) ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V) → (𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0) ↔ 𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
16	13, 14, 15	sylancl 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0) ↔ 𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
17	5, 16	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
18	17, 10	fssd 6680	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
19		plyadd.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0))
20		elmapg 8780	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∪ {0}) ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V) → (𝐵 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0) ↔ 𝐵:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
21	13, 14, 20	sylancl 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0) ↔ 𝐵:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
22	19, 21	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
23	22, 10	fssd 6680	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵:ℕ0⟶ℂ)
24		plyadd.a2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) = {0})
25		plyadd.b2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 “ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = {0})
26		plyadd.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
27		plyadd.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
28	1, 2, 3, 4, 18, 23, 24, 25, 26, 27	plymullem1 26192	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f · 𝐺) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))(Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴‘𝑘) · (𝐵‘(𝑛 − 𝑘))) · (𝑧↑𝑛))))
29	3, 4	nn0addcld 12496	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
30		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∪ {0}) = (𝑆 ∪ {0})
31		plyadd.3	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
32	7, 30, 31	un0addcl 12464	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑆 ∪ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆 ∪ {0}))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
33		fzfid 13929	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0...𝑛) ∈ Fin)
34		elfznn0 13568	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑛) → 𝑘 ∈ ℕ0)
35		ffvelcdm 7028	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
36	17, 34, 35	syl2an 597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (𝐴‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
37		fznn0sub 13504	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑛) → (𝑛 − 𝑘) ∈ ℕ0)
38		ffvelcdm 7028	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}) ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ ℕ0) → (𝐵‘(𝑛 − 𝑘)) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
39	22, 37, 38	syl2an 597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (𝐵‘(𝑛 − 𝑘)) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
40	36, 39	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → ((𝐴‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}) ∧ (𝐵‘(𝑛 − 𝑘)) ∈ (𝑆 ∪ {0})))
41		plymul.x	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
42	7, 30, 41	un0mulcl 12465	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑆 ∪ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆 ∪ {0}))) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
43	42	caovclg 7553	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}) ∧ (𝐵‘(𝑛 − 𝑘)) ∈ (𝑆 ∪ {0}))) → ((𝐴‘𝑘) · (𝐵‘(𝑛 − 𝑘))) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
44	40, 43	syldan 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → ((𝐴‘𝑘) · (𝐵‘(𝑛 − 𝑘))) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
45		ssun2 4120	. . . . . . . 8 ⊢ {0} ⊆ (𝑆 ∪ {0})
46		c0ex 11132	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ V
47	46	snss 4729	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ∈ (𝑆 ∪ {0}) ↔ {0} ⊆ (𝑆 ∪ {0}))
48	45, 47	mpbir 231	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ (𝑆 ∪ {0})
49	48	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (𝑆 ∪ {0}))
50	10, 32, 33, 44, 49	fsumcllem 15688	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴‘𝑘) · (𝐵‘(𝑛 − 𝑘))) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
51	50	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴‘𝑘) · (𝐵‘(𝑛 − 𝑘))) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
52	10, 29, 51	elplyd 26180	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))(Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴‘𝑘) · (𝐵‘(𝑛 − 𝑘))) · (𝑧↑𝑛))) ∈ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})))
53	28, 52	eqeltrd 2837	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f · 𝐺) ∈ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})))
54		plyun0 26175	. 2 ⊢ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})) = (Poly‘𝑆)
55	53, 54	eleqtrdi 2847	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ∪ cun 3888   ⊆ wss 3890  {csn 4568   ↦ cmpt 5167   “ cima 5628  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361   ∘_f cof 7623   ↑_m cmap 8767  ℂcc 11030  0cc0 11032  1c1 11033   + caddc 11035   · cmul 11037   − cmin 11371  ℕ₀cn0 12431  ℤ_≥cuz 12782  ...cfz 13455  ↑cexp 14017  Σcsu 15642  Polycply 26162

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-inf2 9556  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7625  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-oi 9419  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-rp 12937  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-seq 13958  df-exp 14018  df-hash 14287  df-cj 15055  df-re 15056  df-im 15057  df-sqrt 15191  df-abs 15192  df-clim 15444  df-sum 15643  df-ply 26166

This theorem is referenced by:  plymul  26196