Theorem plymullem 26590

Description: Lemma for plymul 26592. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
plyadd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
plyadd.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
plyadd.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
plyadd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
plyadd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
plyadd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0))
plyadd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0))
plyadd.a2	⊢ (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) = {0})
plyadd.b2	⊢ (𝜑 → (𝐵 “ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = {0})
plyadd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
plyadd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
plymul.x	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
plymullem	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦,𝑧,𝐵   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧   𝑆,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐺,𝑦,𝑧   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝑘,𝑀,𝑧   𝑘,𝑁,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑀(𝑥, 𝑦)   𝑁(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem plymullem

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plyadd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
2		plyadd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
3		plyadd.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
4		plyadd.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
5		plyadd.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0))
6		plybss 26567	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
7	1, 6	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
8		0cnd 11338	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
9	8	snssd 4749	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {0} ⊆ ℂ)
10	7, 9	unssd 4193	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
11		cnex 11320	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ ∈ V
12		ssexg 5288	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → (𝑆 ∪ {0}) ∈ V)
13	10, 11, 12	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∪ {0}) ∈ V)
14		nn0ex 12652	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ∈ V
15		elmapg 8897	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∪ {0}) ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V) → (𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0) ↔ 𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
16	13, 14, 15	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0) ↔ 𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
17	5, 16	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
18	17, 10	fssd 6757	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
19		plyadd.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0))
20		elmapg 8897	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∪ {0}) ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V) → (𝐵 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0) ↔ 𝐵:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
21	13, 14, 20	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0) ↔ 𝐵:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
22	19, 21	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
23	22, 10	fssd 6757	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵:ℕ0⟶ℂ)
24		plyadd.a2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) = {0})
25		plyadd.b2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 “ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = {0})
26		plyadd.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
27		plyadd.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
28	1, 2, 3, 4, 18, 23, 24, 25, 26, 27	plymullem1 26588	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f · 𝐺) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))(Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴‘𝑘) · (𝐵‘(𝑛 − 𝑘))) · (𝑧↑𝑛))))
29	3, 4	nn0addcld 12711	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
30		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∪ {0}) = (𝑆 ∪ {0})
31		plyadd.3	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
32	7, 30, 31	un0addcl 12679	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑆 ∪ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆 ∪ {0}))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
33		fzfid 14156	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0...𝑛) ∈ Fin)
34		elfznn0 13794	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑛) → 𝑘 ∈ ℕ0)
35		ffvelcdm 7113	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
36	17, 34, 35	syl2an 608	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (𝐴‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
37		fznn0sub 13730	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑛) → (𝑛 − 𝑘) ∈ ℕ0)
38		ffvelcdm 7113	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}) ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ ℕ0) → (𝐵‘(𝑛 − 𝑘)) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
39	22, 37, 38	syl2an 608	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (𝐵‘(𝑛 − 𝑘)) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
40	36, 39	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → ((𝐴‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}) ∧ (𝐵‘(𝑛 − 𝑘)) ∈ (𝑆 ∪ {0})))
41		plymul.x	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
42	7, 30, 41	un0mulcl 12680	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑆 ∪ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆 ∪ {0}))) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
43	42	caovclg 7645	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}) ∧ (𝐵‘(𝑛 − 𝑘)) ∈ (𝑆 ∪ {0}))) → ((𝐴‘𝑘) · (𝐵‘(𝑛 − 𝑘))) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
44	40, 43	syldan 603	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → ((𝐴‘𝑘) · (𝐵‘(𝑛 − 𝑘))) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
45		ssun2 4180	. . . . . . . 8 ⊢ {0} ⊆ (𝑆 ∪ {0})
46		c0ex 11339	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ V
47	46	snss 4747	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ∈ (𝑆 ∪ {0}) ↔ {0} ⊆ (𝑆 ∪ {0}))
48	45, 47	mpbir 234	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ (𝑆 ∪ {0})
49	48	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (𝑆 ∪ {0}))
50	10, 32, 33, 44, 49	fsumcllem 15942	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴‘𝑘) · (𝐵‘(𝑛 − 𝑘))) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
51	50	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴‘𝑘) · (𝐵‘(𝑛 − 𝑘))) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
52	10, 29, 51	elplyd 26575	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))(Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴‘𝑘) · (𝐵‘(𝑛 − 𝑘))) · (𝑧↑𝑛))) ∈ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})))
53	28, 52	eqeltrd 2864	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f · 𝐺) ∈ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})))
54		plyun0 26570	. 2 ⊢ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})) = (Poly‘𝑆)
55	53, 54	eleqtrdi 2874	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∪ cun 4152  {csn 4588   ↦ cmpt 5192   “ cima 5661  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   ∘_f cof 7723   ↑_m cmap 8885  ℂcc 11237  0cc0 11239  1c1 11240   + caddc 11242   · cmul 11244   − cmin 11580  ℕ₀cn0 12646  ℤ_≥cuz 13005  ...cfz 13679  ↑cexp 14244  Σcsu 15897  Polycply 26557

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-sup 9471  df-oi 9541  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-rp 13161  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-seq 14185  df-exp 14245  df-hash 14516  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-clim 15699  df-sum 15898  df-ply 26561

This theorem is used by:  plymul  26592