Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plymullem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem plymullem 24721
 Description: Lemma for plymul 24723. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plyadd.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
plyadd.a (𝜑𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0))
plyadd.b (𝜑𝐵 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0))
plyadd.a2 (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ‘(𝑀 + 1))) = {0})
plyadd.b2 (𝜑 → (𝐵 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0})
plyadd.f (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))))
plyadd.g (𝜑𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
plymul.x ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
plymullem (𝜑 → (𝐹f · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦,𝑧,𝐵   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧   𝑆,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐺,𝑦,𝑧   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝑘,𝑀,𝑧   𝑘,𝑁,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑀(𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem plymullem
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plyadd.1 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
2 plyadd.2 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
3 plyadd.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
4 plyadd.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
5 plyadd.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0))
6 plybss 24699 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
71, 6syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
8 0cnd 10626 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
98snssd 4740 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {0} ⊆ ℂ)
107, 9unssd 4165 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
11 cnex 10610 . . . . . . . 8 ℂ ∈ V
12 ssexg 5223 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → (𝑆 ∪ {0}) ∈ V)
1310, 11, 12sylancl 586 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 ∪ {0}) ∈ V)
14 nn0ex 11895 . . . . . . 7 0 ∈ V
15 elmapg 8412 . . . . . . 7 (((𝑆 ∪ {0}) ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V) → (𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0) ↔ 𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
1613, 14, 15sylancl 586 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0) ↔ 𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
175, 16mpbid 233 . . . . 5 (𝜑𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
1817, 10fssd 6524 . . . 4 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
19 plyadd.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0))
20 elmapg 8412 . . . . . . 7 (((𝑆 ∪ {0}) ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V) → (𝐵 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0) ↔ 𝐵:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
2113, 14, 20sylancl 586 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0) ↔ 𝐵:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
2219, 21mpbid 233 . . . . 5 (𝜑𝐵:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
2322, 10fssd 6524 . . . 4 (𝜑𝐵:ℕ0⟶ℂ)
24 plyadd.a2 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ‘(𝑀 + 1))) = {0})
25 plyadd.b2 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0})
26 plyadd.f . . . 4 (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))))
27 plyadd.g . . . 4 (𝜑𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
281, 2, 3, 4, 18, 23, 24, 25, 26, 27plymullem1 24719 . . 3 (𝜑 → (𝐹f · 𝐺) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))(Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘))) · (𝑧𝑛))))
293, 4nn0addcld 11951 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
30 eqid 2824 . . . . . . 7 (𝑆 ∪ {0}) = (𝑆 ∪ {0})
31 plyadd.3 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
327, 30, 31un0addcl 11922 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑆 ∪ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆 ∪ {0}))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
33 fzfid 13334 . . . . . 6 (𝜑 → (0...𝑛) ∈ Fin)
34 elfznn0 12993 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...𝑛) → 𝑘 ∈ ℕ0)
35 ffvelrn 6844 . . . . . . . . 9 ((𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
3617, 34, 35syl2an 595 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (𝐴𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
37 fznn0sub 12932 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...𝑛) → (𝑛𝑘) ∈ ℕ0)
38 ffvelrn 6844 . . . . . . . . 9 ((𝐵:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}) ∧ (𝑛𝑘) ∈ ℕ0) → (𝐵‘(𝑛𝑘)) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
3922, 37, 38syl2an 595 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (𝐵‘(𝑛𝑘)) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
4036, 39jca 512 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑛)) → ((𝐴𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}) ∧ (𝐵‘(𝑛𝑘)) ∈ (𝑆 ∪ {0})))
41 plymul.x . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
427, 30, 41un0mulcl 11923 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑆 ∪ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆 ∪ {0}))) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
4342caovclg 7333 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝐴𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}) ∧ (𝐵‘(𝑛𝑘)) ∈ (𝑆 ∪ {0}))) → ((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘))) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
4440, 43syldan 591 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑛)) → ((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘))) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
45 ssun2 4152 . . . . . . . 8 {0} ⊆ (𝑆 ∪ {0})
46 c0ex 10627 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
4746snss 4716 . . . . . . . 8 (0 ∈ (𝑆 ∪ {0}) ↔ {0} ⊆ (𝑆 ∪ {0}))
4845, 47mpbir 232 . . . . . . 7 0 ∈ (𝑆 ∪ {0})
4948a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ (𝑆 ∪ {0}))
5010, 32, 33, 44, 49fsumcllem 15081 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘))) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
5150adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘))) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
5210, 29, 51elplyd 24707 . . 3 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))(Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘))) · (𝑧𝑛))) ∈ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})))
5328, 52eqeltrd 2917 . 2 (𝜑 → (𝐹f · 𝐺) ∈ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})))
54 plyun0 24702 . 2 (Poly‘(𝑆 ∪ {0})) = (Poly‘𝑆)
5553, 54syl6eleq 2927 1 (𝜑 → (𝐹f · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1530   ∈ wcel 2106  Vcvv 3499   ∪ cun 3937   ⊆ wss 3939  {csn 4563   ↦ cmpt 5142   “ cima 5556  ⟶wf 6347  ‘cfv 6351  (class class class)co 7151   ∘f cof 7400   ↑m cmap 8399  ℂcc 10527  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   · cmul 10534   − cmin 10862  ℕ0cn0 11889  ℤ≥cuz 12235  ...cfz 12885  ↑cexp 13422  Σcsu 15035  Polycply 24689 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2152  ax-12 2167  ax-13 2385  ax-ext 2796  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-inf2 9096  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2615  df-eu 2649  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-se 5513  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-isom 6360  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7402  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8282  df-map 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8898  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12383  df-fz 12886  df-fzo 13027  df-seq 13363  df-exp 13423  df-hash 13684  df-cj 14451  df-re 14452  df-im 14453  df-sqrt 14587  df-abs 14588  df-clim 14838  df-sum 15036  df-ply 24693 This theorem is referenced by:  plymul  24723
 Copyright terms: Public domain W3C validator