Theorem plymullem 24917

Description: Lemma for plymul 24919. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
plyadd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
plyadd.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
plyadd.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
plyadd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
plyadd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
plyadd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0))
plyadd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0))
plyadd.a2	⊢ (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) = {0})
plyadd.b2	⊢ (𝜑 → (𝐵 “ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = {0})
plyadd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
plyadd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
plymul.x	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
plymullem	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦,𝑧,𝐵   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧   𝑆,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐺,𝑦,𝑧   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝑘,𝑀,𝑧   𝑘,𝑁,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑀(𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem plymullem

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plyadd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
2		plyadd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
3		plyadd.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
4		plyadd.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
5		plyadd.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0))
6		plybss 24895	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
7	1, 6	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
8		0cnd 10677	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
9	8	snssd 4702	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {0} ⊆ ℂ)
10	7, 9	unssd 4093	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
11		cnex 10661	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ ∈ V
12		ssexg 5196	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → (𝑆 ∪ {0}) ∈ V)
13	10, 11, 12	sylancl 589	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∪ {0}) ∈ V)
14		nn0ex 11945	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ∈ V
15		elmapg 8434	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∪ {0}) ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V) → (𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0) ↔ 𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
16	13, 14, 15	sylancl 589	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0) ↔ 𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
17	5, 16	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
18	17, 10	fssd 6517	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
19		plyadd.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0))
20		elmapg 8434	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∪ {0}) ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V) → (𝐵 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0) ↔ 𝐵:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
21	13, 14, 20	sylancl 589	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0) ↔ 𝐵:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
22	19, 21	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
23	22, 10	fssd 6517	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵:ℕ0⟶ℂ)
24		plyadd.a2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) = {0})
25		plyadd.b2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 “ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = {0})
26		plyadd.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
27		plyadd.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
28	1, 2, 3, 4, 18, 23, 24, 25, 26, 27	plymullem1 24915	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f · 𝐺) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))(Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴‘𝑘) · (𝐵‘(𝑛 − 𝑘))) · (𝑧↑𝑛))))
29	3, 4	nn0addcld 12003	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
30		eqid 2758	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∪ {0}) = (𝑆 ∪ {0})
31		plyadd.3	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
32	7, 30, 31	un0addcl 11972	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑆 ∪ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆 ∪ {0}))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
33		fzfid 13395	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0...𝑛) ∈ Fin)
34		elfznn0 13054	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑛) → 𝑘 ∈ ℕ0)
35		ffvelrn 6845	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
36	17, 34, 35	syl2an 598	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (𝐴‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
37		fznn0sub 12993	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑛) → (𝑛 − 𝑘) ∈ ℕ0)
38		ffvelrn 6845	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}) ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ ℕ0) → (𝐵‘(𝑛 − 𝑘)) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
39	22, 37, 38	syl2an 598	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (𝐵‘(𝑛 − 𝑘)) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
40	36, 39	jca 515	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → ((𝐴‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}) ∧ (𝐵‘(𝑛 − 𝑘)) ∈ (𝑆 ∪ {0})))
41		plymul.x	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
42	7, 30, 41	un0mulcl 11973	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑆 ∪ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆 ∪ {0}))) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
43	42	caovclg 7341	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}) ∧ (𝐵‘(𝑛 − 𝑘)) ∈ (𝑆 ∪ {0}))) → ((𝐴‘𝑘) · (𝐵‘(𝑛 − 𝑘))) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
44	40, 43	syldan 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → ((𝐴‘𝑘) · (𝐵‘(𝑛 − 𝑘))) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
45		ssun2 4080	. . . . . . . 8 ⊢ {0} ⊆ (𝑆 ∪ {0})
46		c0ex 10678	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ V
47	46	snss 4679	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ∈ (𝑆 ∪ {0}) ↔ {0} ⊆ (𝑆 ∪ {0}))
48	45, 47	mpbir 234	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ (𝑆 ∪ {0})
49	48	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (𝑆 ∪ {0}))
50	10, 32, 33, 44, 49	fsumcllem 15142	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴‘𝑘) · (𝐵‘(𝑛 − 𝑘))) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
51	50	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴‘𝑘) · (𝐵‘(𝑛 − 𝑘))) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
52	10, 29, 51	elplyd 24903	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))(Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴‘𝑘) · (𝐵‘(𝑛 − 𝑘))) · (𝑧↑𝑛))) ∈ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})))
53	28, 52	eqeltrd 2852	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f · 𝐺) ∈ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})))
54		plyun0 24898	. 2 ⊢ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})) = (Poly‘𝑆)
55	53, 54	eleqtrdi 2862	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3409   ∪ cun 3858   ⊆ wss 3860  {csn 4525   ↦ cmpt 5115   “ cima 5530  ⟶wf 6335  ‘cfv 6339  (class class class)co 7155   ∘_f cof 7408   ↑_m cmap 8421  ℂcc 10578  0cc0 10580  1c1 10581   + caddc 10583   · cmul 10585   − cmin 10913  ℕ₀cn0 11939  ℤ_≥cuz 12287  ...cfz 12944  ↑cexp 13484  Σcsu 15095  Polycply 24885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5159  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-inf2 9142  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657  ax-pre-sup 10658

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-se 5487  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-of 7410  df-om 7585  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-1o 8117  df-er 8304  df-map 8423  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-fin 8536  df-sup 8944  df-oi 9012  df-card 9406  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-div 11341  df-nn 11680  df-2 11742  df-3 11743  df-n0 11940  df-z 12026  df-uz 12288  df-rp 12436  df-fz 12945  df-fzo 13088  df-seq 13424  df-exp 13485  df-hash 13746  df-cj 14511  df-re 14512  df-im 14513  df-sqrt 14647  df-abs 14648  df-clim 14898  df-sum 15096  df-ply 24889

This theorem is referenced by:  plymul  24919