MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plyco Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem plyco 25989
Description: The composition of two polynomials is a polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plyco.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
plyco.2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
plyco.3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝑆)
plyco.4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
plyco (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (Polyβ€˜π‘†))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐹   π‘₯,𝐺,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝑆,𝑦
Proof of Theorem plyco
Dummy variables π‘˜ 𝑑 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plyco.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
2 plyf 25946 . . . . 5 (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐺:β„‚βŸΆβ„‚)
31, 2syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„‚βŸΆβ„‚)
43ffvelcdmda 7087 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
53feqmptd 6961 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (πΊβ€˜π‘§)))
6 plyco.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
7 eqid 2730 . . . . 5 (coeffβ€˜πΉ) = (coeffβ€˜πΉ)
8 eqid 2730 . . . . 5 (degβ€˜πΉ) = (degβ€˜πΉ)
97, 8coeid 25986 . . . 4 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜))))
106, 9syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜))))
11 oveq1 7420 . . . . 5 (π‘₯ = (πΊβ€˜π‘§) β†’ (π‘₯β†‘π‘˜) = ((πΊβ€˜π‘§)β†‘π‘˜))
1211oveq2d 7429 . . . 4 (π‘₯ = (πΊβ€˜π‘§) β†’ (((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) = (((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· ((πΊβ€˜π‘§)β†‘π‘˜)))
1312sumeq2sdv 15656 . . 3 (π‘₯ = (πΊβ€˜π‘§) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· ((πΊβ€˜π‘§)β†‘π‘˜)))
144, 5, 10, 13fmptco 7130 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· ((πΊβ€˜π‘§)β†‘π‘˜))))
15 dgrcl 25981 . . . 4 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (degβ€˜πΉ) ∈ β„•0)
166, 15syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (degβ€˜πΉ) ∈ β„•0)
17 oveq2 7421 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 0 β†’ (0...π‘₯) = (0...0))
1817sumeq1d 15653 . . . . . . 7 (π‘₯ = 0 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...π‘₯)(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· ((πΊβ€˜π‘§)β†‘π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...0)(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· ((πΊβ€˜π‘§)β†‘π‘˜)))
1918mpteq2dv 5251 . . . . . 6 (π‘₯ = 0 β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...π‘₯)(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· ((πΊβ€˜π‘§)β†‘π‘˜))) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...0)(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· ((πΊβ€˜π‘§)β†‘π‘˜))))
2019eleq1d 2816 . . . . 5 (π‘₯ = 0 β†’ ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...π‘₯)(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· ((πΊβ€˜π‘§)β†‘π‘˜))) ∈ (Polyβ€˜π‘†) ↔ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...0)(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· ((πΊβ€˜π‘§)β†‘π‘˜))) ∈ (Polyβ€˜π‘†)))
2120imbi2d 339 . . . 4 (π‘₯ = 0 β†’ ((πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...π‘₯)(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· ((πΊβ€˜π‘§)β†‘π‘˜))) ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ↔ (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...0)(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· ((πΊβ€˜π‘§)β†‘π‘˜))) ∈ (Polyβ€˜π‘†))))
22 oveq2 7421 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑑 β†’ (0...π‘₯) = (0...𝑑))
2322sumeq1d 15653 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑑 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...π‘₯)(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· ((πΊβ€˜π‘§)β†‘π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑑)(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· ((πΊβ€˜π‘§)β†‘π‘˜)))
2423mpteq2dv 5251 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑑 β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...π‘₯)(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· ((πΊβ€˜π‘§)β†‘π‘˜))) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑑)(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· ((πΊβ€˜π‘§)β†‘π‘˜))))
2524eleq1d 2816 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑑 β†’ ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...π‘₯)(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· ((πΊβ€˜π‘§)β†‘π‘˜))) ∈ (Polyβ€˜π‘†) ↔ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑑)(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· ((πΊβ€˜π‘§)β†‘π‘˜))) ∈ (Polyβ€˜π‘†)))
2625imbi2d 339 . . . 4 (π‘₯ = 𝑑 β†’ ((πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...π‘₯)(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· ((πΊβ€˜π‘§)β†‘π‘˜))) ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ↔ (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑑)(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· ((πΊβ€˜π‘§)β†‘π‘˜))) ∈ (Polyβ€˜π‘†))))
27 oveq2 7421 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (𝑑 + 1) β†’ (0...π‘₯) = (0...(𝑑 + 1)))
2827sumeq1d 15653 . . . . . . 7 (π‘₯ = (𝑑 + 1) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...π‘₯)(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· ((πΊβ€˜π‘§)β†‘π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑑 + 1))(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· ((πΊβ€˜π‘§)β†‘π‘˜)))
2928mpteq2dv 5251 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝑑 + 1) β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...π‘₯)(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· ((πΊβ€˜π‘§)β†‘π‘˜))) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑑 + 1))(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· ((πΊβ€˜π‘§)β†‘π‘˜))))
3029eleq1d 2816 . . . . 5 (π‘₯ = (𝑑 + 1) β†’ ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...π‘₯)(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· ((πΊβ€˜π‘§)β†‘π‘˜))) ∈ (Polyβ€˜π‘†) ↔ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑑 + 1))(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· ((πΊβ€˜π‘§)β†‘π‘˜))) ∈ (Polyβ€˜π‘†)))
3130imbi2d 339 . . . 4 (π‘₯ = (𝑑 + 1) β†’ ((πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...π‘₯)(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· ((πΊβ€˜π‘§)β†‘π‘˜))) ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ↔ (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑑 + 1))(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· ((πΊβ€˜π‘§)β†‘π‘˜))) ∈ (Polyβ€˜π‘†))))
32 oveq2 7421 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (degβ€˜πΉ) β†’ (0...π‘₯) = (0...(degβ€˜πΉ)))
3332sumeq1d 15653 . . . . . . 7 (π‘₯ = (degβ€˜πΉ) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...π‘₯)(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· ((πΊβ€˜π‘§)β†‘π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· ((πΊβ€˜π‘§)β†‘π‘˜)))
3433mpteq2dv 5251 . . . . . 6 (π‘₯ = (degβ€˜πΉ) β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...π‘₯)(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· ((πΊβ€˜π‘§)β†‘π‘˜))) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· ((πΊβ€˜π‘§)β†‘π‘˜))))
3534eleq1d 2816 . . . . 5 (π‘₯ = (degβ€˜πΉ) β†’ ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...π‘₯)(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· ((πΊβ€˜π‘§)β†‘π‘˜))) ∈ (Polyβ€˜π‘†) ↔ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· ((πΊβ€˜π‘§)β†‘π‘˜))) ∈ (Polyβ€˜π‘†)))
3635imbi2d 339 . . . 4 (π‘₯ = (degβ€˜πΉ) β†’ ((πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...π‘₯)(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· ((πΊβ€˜π‘§)β†‘π‘˜))) ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ↔ (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· ((πΊβ€˜π‘§)β†‘π‘˜))) ∈ (Polyβ€˜π‘†))))
37 0z 12575 . . . . . . . . 9 0 ∈ β„€
384exp0d 14111 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ ((πΊβ€˜π‘§)↑0) = 1)
3938oveq2d 7429 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (((coeffβ€˜πΉ)β€˜0) Β· ((πΊβ€˜π‘§)↑0)) = (((coeffβ€˜πΉ)β€˜0) Β· 1))
40 plybss 25942 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
416, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
42 0cnd 11213 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„‚)
4342snssd 4813 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ {0} βŠ† β„‚)
4441, 43unssd 4187 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝑆 βˆͺ {0}) βŠ† β„‚)
457coef 25978 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (coeffβ€˜πΉ):β„•0⟢(𝑆 βˆͺ {0}))
466, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (coeffβ€˜πΉ):β„•0⟢(𝑆 βˆͺ {0}))
47 0nn0 12493 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ β„•0
48 ffvelcdm 7084 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((coeffβ€˜πΉ):β„•0⟢(𝑆 βˆͺ {0}) ∧ 0 ∈ β„•0) β†’ ((coeffβ€˜πΉ)β€˜0) ∈ (𝑆 βˆͺ {0}))
4946, 47, 48sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((coeffβ€˜πΉ)β€˜0) ∈ (𝑆 βˆͺ {0}))
5044, 49sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((coeffβ€˜πΉ)β€˜0) ∈ β„‚)
5150adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ ((coeffβ€˜πΉ)β€˜0) ∈ β„‚)
5251mulridd 11237 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (((coeffβ€˜πΉ)β€˜0) Β· 1) = ((coeffβ€˜πΉ)β€˜0))
5339, 52eqtrd 2770 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (((coeffβ€˜πΉ)β€˜0) Β· ((πΊβ€˜π‘§)↑0)) = ((coeffβ€˜πΉ)β€˜0))
5453, 51eqeltrd 2831 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (((coeffβ€˜πΉ)β€˜0) Β· ((πΊβ€˜π‘§)↑0)) ∈ β„‚)
55 fveq2 6892 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 0 β†’ ((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) = ((coeffβ€˜πΉ)β€˜0))
56 oveq2 7421 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 0 β†’ ((πΊβ€˜π‘§)β†‘π‘˜) = ((πΊβ€˜π‘§)↑0))
5755, 56oveq12d 7431 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 0 β†’ (((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· ((πΊβ€˜π‘§)β†‘π‘˜)) = (((coeffβ€˜πΉ)β€˜0) Β· ((πΊβ€˜π‘§)↑0)))
5857fsum1 15699 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ β„€ ∧ (((coeffβ€˜πΉ)β€˜0) Β· ((πΊβ€˜π‘§)↑0)) ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...0)(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· ((πΊβ€˜π‘§)β†‘π‘˜)) = (((coeffβ€˜πΉ)β€˜0) Β· ((πΊβ€˜π‘§)↑0)))
5937, 54, 58sylancr 585 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...0)(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· ((πΊβ€˜π‘§)β†‘π‘˜)) = (((coeffβ€˜πΉ)β€˜0) Β· ((πΊβ€˜π‘§)↑0)))
6059, 53eqtrd 2770 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...0)(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· ((πΊβ€˜π‘§)β†‘π‘˜)) = ((coeffβ€˜πΉ)β€˜0))
6160mpteq2dva 5249 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...0)(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· ((πΊβ€˜π‘§)β†‘π‘˜))) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((coeffβ€˜πΉ)β€˜0)))
62 fconstmpt 5739 . . . . . 6 (β„‚ Γ— {((coeffβ€˜πΉ)β€˜0)}) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((coeffβ€˜πΉ)β€˜0))
6361, 62eqtr4di 2788 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...0)(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· ((πΊβ€˜π‘§)β†‘π‘˜))) = (β„‚ Γ— {((coeffβ€˜πΉ)β€˜0)}))
64 plyconst 25954 . . . . . . 7 (((𝑆 βˆͺ {0}) βŠ† β„‚ ∧ ((coeffβ€˜πΉ)β€˜0) ∈ (𝑆 βˆͺ {0})) β†’ (β„‚ Γ— {((coeffβ€˜πΉ)β€˜0)}) ∈ (Polyβ€˜(𝑆 βˆͺ {0})))
6544, 49, 64syl2anc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β„‚ Γ— {((coeffβ€˜πΉ)β€˜0)}) ∈ (Polyβ€˜(𝑆 βˆͺ {0})))
66 plyun0 25945 . . . . . 6 (Polyβ€˜(𝑆 βˆͺ {0})) = (Polyβ€˜π‘†)
6765, 66eleqtrdi 2841 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β„‚ Γ— {((coeffβ€˜πΉ)β€˜0)}) ∈ (Polyβ€˜π‘†))
6863, 67eqeltrd 2831 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...0)(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· ((πΊβ€˜π‘§)β†‘π‘˜))) ∈ (Polyβ€˜π‘†))
69 simprr 769 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ β„•0 ∧ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑑)(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· ((πΊβ€˜π‘§)β†‘π‘˜))) ∈ (Polyβ€˜π‘†))) β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑑)(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· ((πΊβ€˜π‘§)β†‘π‘˜))) ∈ (Polyβ€˜π‘†))
7044adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•0) β†’ (𝑆 βˆͺ {0}) βŠ† β„‚)
71 peano2nn0 12518 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 ∈ β„•0 β†’ (𝑑 + 1) ∈ β„•0)
72 ffvelcdm 7084 . . . . . . . . . . . . . 14 (((coeffβ€˜πΉ):β„•0⟢(𝑆 βˆͺ {0}) ∧ (𝑑 + 1) ∈ β„•0) β†’ ((coeffβ€˜πΉ)β€˜(𝑑 + 1)) ∈ (𝑆 βˆͺ {0}))
7346, 71, 72syl2an 594 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•0) β†’ ((coeffβ€˜πΉ)β€˜(𝑑 + 1)) ∈ (𝑆 βˆͺ {0}))
74 plyconst 25954 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆 βˆͺ {0}) βŠ† β„‚ ∧ ((coeffβ€˜πΉ)β€˜(𝑑 + 1)) ∈ (𝑆 βˆͺ {0})) β†’ (β„‚ Γ— {((coeffβ€˜πΉ)β€˜(𝑑 + 1))}) ∈ (Polyβ€˜(𝑆 βˆͺ {0})))
7570, 73, 74syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•0) β†’ (β„‚ Γ— {((coeffβ€˜πΉ)β€˜(𝑑 + 1))}) ∈ (Polyβ€˜(𝑆 βˆͺ {0})))
7675, 66eleqtrdi 2841 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•0) β†’ (β„‚ Γ— {((coeffβ€˜πΉ)β€˜(𝑑 + 1))}) ∈ (Polyβ€˜π‘†))
77 nn0p1nn 12517 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 ∈ β„•0 β†’ (𝑑 + 1) ∈ β„•)
78 oveq2 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 1 β†’ ((πΊβ€˜π‘§)↑π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘§)↑1))
7978mpteq2dv 5251 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 1 β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘§)↑π‘₯)) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘§)↑1)))
8079eleq1d 2816 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 1 β†’ ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘§)↑π‘₯)) ∈ (Polyβ€˜π‘†) ↔ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘§)↑1)) ∈ (Polyβ€˜π‘†)))
8180imbi2d 339 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 1 β†’ ((πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘§)↑π‘₯)) ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ↔ (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘§)↑1)) ∈ (Polyβ€˜π‘†))))
82 oveq2 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑑 β†’ ((πΊβ€˜π‘§)↑π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘§)↑𝑑))
8382mpteq2dv 5251 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 𝑑 β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘§)↑π‘₯)) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘§)↑𝑑)))
8483eleq1d 2816 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 𝑑 β†’ ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘§)↑π‘₯)) ∈ (Polyβ€˜π‘†) ↔ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘§)↑𝑑)) ∈ (Polyβ€˜π‘†)))
8584imbi2d 339 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑑 β†’ ((πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘§)↑π‘₯)) ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ↔ (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘§)↑𝑑)) ∈ (Polyβ€˜π‘†))))
86 oveq2 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = (𝑑 + 1) β†’ ((πΊβ€˜π‘§)↑π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘§)↑(𝑑 + 1)))
8786mpteq2dv 5251 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = (𝑑 + 1) β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘§)↑π‘₯)) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘§)↑(𝑑 + 1))))
8887eleq1d 2816 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = (𝑑 + 1) β†’ ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘§)↑π‘₯)) ∈ (Polyβ€˜π‘†) ↔ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘§)↑(𝑑 + 1))) ∈ (Polyβ€˜π‘†)))
8988imbi2d 339 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = (𝑑 + 1) β†’ ((πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘§)↑π‘₯)) ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ↔ (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘§)↑(𝑑 + 1))) ∈ (Polyβ€˜π‘†))))
904exp1d 14112 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ ((πΊβ€˜π‘§)↑1) = (πΊβ€˜π‘§))
9190mpteq2dva 5249 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘§)↑1)) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (πΊβ€˜π‘§)))
9291, 5eqtr4d 2773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘§)↑1)) = 𝐺)
9392, 1eqeltrd 2831 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘§)↑1)) ∈ (Polyβ€˜π‘†))
94 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘§)↑𝑑)) ∈ (Polyβ€˜π‘†))) β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘§)↑𝑑)) ∈ (Polyβ€˜π‘†))
951adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘§)↑𝑑)) ∈ (Polyβ€˜π‘†))) β†’ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
96 plyco.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝑆)
9796adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘§)↑𝑑)) ∈ (Polyβ€˜π‘†))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝑆)
98 plyco.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝑆)
9998adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘§)↑𝑑)) ∈ (Polyβ€˜π‘†))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝑆)
10094, 95, 97, 99plymul 25966 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘§)↑𝑑)) ∈ (Polyβ€˜π‘†))) β†’ ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘§)↑𝑑)) ∘f Β· 𝐺) ∈ (Polyβ€˜π‘†))
101100expr 455 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘§)↑𝑑)) ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘§)↑𝑑)) ∘f Β· 𝐺) ∈ (Polyβ€˜π‘†)))
102 cnex 11195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 β„‚ ∈ V
103102a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ β„‚ ∈ V)
104 ovexd 7448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ ((πΊβ€˜π‘§)↑𝑑) ∈ V)
1054adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
106 eqidd 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘§)↑𝑑)) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘§)↑𝑑)))
1075adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ 𝐺 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (πΊβ€˜π‘§)))
108103, 104, 105, 106, 107offval2 7694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘§)↑𝑑)) ∘f Β· 𝐺) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (((πΊβ€˜π‘§)↑𝑑) Β· (πΊβ€˜π‘§))))
109 nnnn0 12485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑑 ∈ β„• β†’ 𝑑 ∈ β„•0)
110109ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ 𝑑 ∈ β„•0)
111105, 110expp1d 14118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ ((πΊβ€˜π‘§)↑(𝑑 + 1)) = (((πΊβ€˜π‘§)↑𝑑) Β· (πΊβ€˜π‘§)))
112111mpteq2dva 5249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘§)↑(𝑑 + 1))) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (((πΊβ€˜π‘§)↑𝑑) Β· (πΊβ€˜π‘§))))
113108, 112eqtr4d 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘§)↑𝑑)) ∘f Β· 𝐺) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘§)↑(𝑑 + 1))))
114113eleq1d 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ (((𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘§)↑𝑑)) ∘f Β· 𝐺) ∈ (Polyβ€˜π‘†) ↔ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘§)↑(𝑑 + 1))) ∈ (Polyβ€˜π‘†)))
115101, 114sylibd 238 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘§)↑𝑑)) ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘§)↑(𝑑 + 1))) ∈ (Polyβ€˜π‘†)))
116115expcom 412 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 ∈ β„• β†’ (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘§)↑𝑑)) ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘§)↑(𝑑 + 1))) ∈ (Polyβ€˜π‘†))))
117116a2d 29 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 ∈ β„• β†’ ((πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘§)↑𝑑)) ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘§)↑(𝑑 + 1))) ∈ (Polyβ€˜π‘†))))
11881, 85, 89, 89, 93, 117nnind 12236 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑑 + 1) ∈ β„• β†’ (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘§)↑(𝑑 + 1))) ∈ (Polyβ€˜π‘†)))
11977, 118syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 ∈ β„•0 β†’ (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘§)↑(𝑑 + 1))) ∈ (Polyβ€˜π‘†)))
120119impcom 406 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•0) β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘§)↑(𝑑 + 1))) ∈ (Polyβ€˜π‘†))
12196adantlr 711 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•0) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝑆)
12298adantlr 711 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•0) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝑆)
12376, 120, 121, 122plymul 25966 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•0) β†’ ((β„‚ Γ— {((coeffβ€˜πΉ)β€˜(𝑑 + 1))}) ∘f Β· (𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘§)↑(𝑑 + 1)))) ∈ (Polyβ€˜π‘†))
124123adantrr 713 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ β„•0 ∧ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑑)(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· ((πΊβ€˜π‘§)β†‘π‘˜))) ∈ (Polyβ€˜π‘†))) β†’ ((β„‚ Γ— {((coeffβ€˜πΉ)β€˜(𝑑 + 1))}) ∘f Β· (𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘§)↑(𝑑 + 1)))) ∈ (Polyβ€˜π‘†))
12596adantlr 711 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ β„•0 ∧ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑑)(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· ((πΊβ€˜π‘§)β†‘π‘˜))) ∈ (Polyβ€˜π‘†))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝑆)
12669, 124, 125plyadd 25965 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ β„•0 ∧ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑑)(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· ((πΊβ€˜π‘§)β†‘π‘˜))) ∈ (Polyβ€˜π‘†))) β†’ ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑑)(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· ((πΊβ€˜π‘§)β†‘π‘˜))) ∘f + ((β„‚ Γ— {((coeffβ€˜πΉ)β€˜(𝑑 + 1))}) ∘f Β· (𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘§)↑(𝑑 + 1))))) ∈ (Polyβ€˜π‘†))
127126expr 455 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•0) β†’ ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑑)(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· ((πΊβ€˜π‘§)β†‘π‘˜))) ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑑)(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· ((πΊβ€˜π‘§)β†‘π‘˜))) ∘f + ((β„‚ Γ— {((coeffβ€˜πΉ)β€˜(𝑑 + 1))}) ∘f Β· (𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘§)↑(𝑑 + 1))))) ∈ (Polyβ€˜π‘†)))
128102a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•0) β†’ β„‚ ∈ V)
129 sumex 15640 . . . . . . . . . . 11 Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑑)(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· ((πΊβ€˜π‘§)β†‘π‘˜)) ∈ V
130129a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•0) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑑)(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· ((πΊβ€˜π‘§)β†‘π‘˜)) ∈ V)
131 ovexd 7448 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•0) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (((coeffβ€˜πΉ)β€˜(𝑑 + 1)) Β· ((πΊβ€˜π‘§)↑(𝑑 + 1))) ∈ V)
132 eqidd 2731 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•0) β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑑)(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· ((πΊβ€˜π‘§)β†‘π‘˜))) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑑)(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· ((πΊβ€˜π‘§)β†‘π‘˜))))
133 fvexd 6907 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•0) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ ((coeffβ€˜πΉ)β€˜(𝑑 + 1)) ∈ V)
134 ovexd 7448 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•0) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ ((πΊβ€˜π‘§)↑(𝑑 + 1)) ∈ V)
135 fconstmpt 5739 . . . . . . . . . . . 12 (β„‚ Γ— {((coeffβ€˜πΉ)β€˜(𝑑 + 1))}) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((coeffβ€˜πΉ)β€˜(𝑑 + 1)))
136135a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•0) β†’ (β„‚ Γ— {((coeffβ€˜πΉ)β€˜(𝑑 + 1))}) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((coeffβ€˜πΉ)β€˜(𝑑 + 1))))
137 eqidd 2731 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•0) β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘§)↑(𝑑 + 1))) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘§)↑(𝑑 + 1))))
138128, 133, 134, 136, 137offval2 7694 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•0) β†’ ((β„‚ Γ— {((coeffβ€˜πΉ)β€˜(𝑑 + 1))}) ∘f Β· (𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘§)↑(𝑑 + 1)))) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (((coeffβ€˜πΉ)β€˜(𝑑 + 1)) Β· ((πΊβ€˜π‘§)↑(𝑑 + 1)))))
139128, 130, 131, 132, 138offval2 7694 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•0) β†’ ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑑)(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· ((πΊβ€˜π‘§)β†‘π‘˜))) ∘f + ((β„‚ Γ— {((coeffβ€˜πΉ)β€˜(𝑑 + 1))}) ∘f Β· (𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘§)↑(𝑑 + 1))))) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑑)(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· ((πΊβ€˜π‘§)β†‘π‘˜)) + (((coeffβ€˜πΉ)β€˜(𝑑 + 1)) Β· ((πΊβ€˜π‘§)↑(𝑑 + 1))))))
140 simplr 765 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•0) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ 𝑑 ∈ β„•0)
141 nn0uz 12870 . . . . . . . . . . . 12 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
142140, 141eleqtrdi 2841 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•0) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ 𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
1437coef3 25980 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (coeffβ€˜πΉ):β„•0βŸΆβ„‚)
1446, 143syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (coeffβ€˜πΉ):β„•0βŸΆβ„‚)
145144ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•0) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (coeffβ€˜πΉ):β„•0βŸΆβ„‚)
146 elfznn0 13600 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ (0...(𝑑 + 1)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
147 ffvelcdm 7084 . . . . . . . . . . . . 13 (((coeffβ€˜πΉ):β„•0βŸΆβ„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
148145, 146, 147syl2an 594 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•0) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑑 + 1))) β†’ ((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
1494adantlr 711 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•0) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
150 expcl 14051 . . . . . . . . . . . . 13 (((πΊβ€˜π‘§) ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((πΊβ€˜π‘§)β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
151149, 146, 150syl2an 594 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•0) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑑 + 1))) β†’ ((πΊβ€˜π‘§)β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
152148, 151mulcld 11240 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•0) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑑 + 1))) β†’ (((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· ((πΊβ€˜π‘§)β†‘π‘˜)) ∈ β„‚)
153 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = (𝑑 + 1) β†’ ((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) = ((coeffβ€˜πΉ)β€˜(𝑑 + 1)))
154 oveq2 7421 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = (𝑑 + 1) β†’ ((πΊβ€˜π‘§)β†‘π‘˜) = ((πΊβ€˜π‘§)↑(𝑑 + 1)))
155153, 154oveq12d 7431 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = (𝑑 + 1) β†’ (((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· ((πΊβ€˜π‘§)β†‘π‘˜)) = (((coeffβ€˜πΉ)β€˜(𝑑 + 1)) Β· ((πΊβ€˜π‘§)↑(𝑑 + 1))))
156142, 152, 155fsump1 15708 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•0) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑑 + 1))(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· ((πΊβ€˜π‘§)β†‘π‘˜)) = (Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑑)(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· ((πΊβ€˜π‘§)β†‘π‘˜)) + (((coeffβ€˜πΉ)β€˜(𝑑 + 1)) Β· ((πΊβ€˜π‘§)↑(𝑑 + 1)))))
157156mpteq2dva 5249 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•0) β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑑 + 1))(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· ((πΊβ€˜π‘§)β†‘π‘˜))) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑑)(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· ((πΊβ€˜π‘§)β†‘π‘˜)) + (((coeffβ€˜πΉ)β€˜(𝑑 + 1)) Β· ((πΊβ€˜π‘§)↑(𝑑 + 1))))))
158139, 157eqtr4d 2773 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•0) β†’ ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑑)(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· ((πΊβ€˜π‘§)β†‘π‘˜))) ∘f + ((β„‚ Γ— {((coeffβ€˜πΉ)β€˜(𝑑 + 1))}) ∘f Β· (𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘§)↑(𝑑 + 1))))) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑑 + 1))(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· ((πΊβ€˜π‘§)β†‘π‘˜))))
159158eleq1d 2816 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•0) β†’ (((𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑑)(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· ((πΊβ€˜π‘§)β†‘π‘˜))) ∘f + ((β„‚ Γ— {((coeffβ€˜πΉ)β€˜(𝑑 + 1))}) ∘f Β· (𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘§)↑(𝑑 + 1))))) ∈ (Polyβ€˜π‘†) ↔ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑑 + 1))(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· ((πΊβ€˜π‘§)β†‘π‘˜))) ∈ (Polyβ€˜π‘†)))
160127, 159sylibd 238 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„•0) β†’ ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑑)(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· ((πΊβ€˜π‘§)β†‘π‘˜))) ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑑 + 1))(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· ((πΊβ€˜π‘§)β†‘π‘˜))) ∈ (Polyβ€˜π‘†)))
161160expcom 412 . . . . 5 (𝑑 ∈ β„•0 β†’ (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑑)(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· ((πΊβ€˜π‘§)β†‘π‘˜))) ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑑 + 1))(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· ((πΊβ€˜π‘§)β†‘π‘˜))) ∈ (Polyβ€˜π‘†))))
162161a2d 29 . . . 4 (𝑑 ∈ β„•0 β†’ ((πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑑)(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· ((πΊβ€˜π‘§)β†‘π‘˜))) ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑑 + 1))(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· ((πΊβ€˜π‘§)β†‘π‘˜))) ∈ (Polyβ€˜π‘†))))
16321, 26, 31, 36, 68, 162nn0ind 12663 . . 3 ((degβ€˜πΉ) ∈ β„•0 β†’ (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· ((πΊβ€˜π‘§)β†‘π‘˜))) ∈ (Polyβ€˜π‘†)))
16416, 163mpcom 38 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· ((πΊβ€˜π‘§)β†‘π‘˜))) ∈ (Polyβ€˜π‘†))
16514, 164eqeltrd 2831 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (Polyβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  Vcvv 3472   βˆͺ cun 3947   βŠ† wss 3949  {csn 4629   ↦ cmpt 5232   Γ— cxp 5675   ∘ ccom 5681  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7413   ∘f cof 7672  β„‚cc 11112  0cc0 11114  1c1 11115   + caddc 11117   Β· cmul 11119  β„•cn 12218  β„•0cn0 12478  β„€cz 12564  β„€β‰₯cuz 12828  ...cfz 13490  β†‘cexp 14033  Ξ£csu 15638  Polycply 25932  coeffccoe 25934  degcdgr 25935
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-div 11878  df-nn 12219  df-2 12281  df-3 12282  df-n0 12479  df-z 12565  df-uz 12829  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14034  df-hash 14297  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-0p 25421  df-ply 25936  df-coe 25938  df-dgr 25939
This theorem is referenced by:  dgrcolem1  26021  dgrcolem2  26022  taylply2  26114  ftalem7  26817
  Copyright terms: Public domain W3C validator