Theorem plyssc 26326

Description: Every polynomial ring is contained in the ring of polynomials over ℂ. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
plyssc	⊢ (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)

Proof of Theorem plyssc

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 4362	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ (Poly‘ℂ)
2		sseq1 3968	. . 3 ⊢ ((Poly‘𝑆) = ∅ → ((Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ) ↔ ∅ ⊆ (Poly‘ℂ)))
3	1, 2	mpbiri 261	. 2 ⊢ ((Poly‘𝑆) = ∅ → (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ))
4		n0 4313	. . 3 ⊢ ((Poly‘𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆))
5		plybss 26320	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
6		ssid 3965	. . . . 5 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
7		plyss 26325	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ))
8	5, 6, 7	sylancl 597	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) → (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ))
9	8	exlimiv 1957	. . 3 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) → (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ))
10	4, 9	sylbi 220	. 2 ⊢ ((Poly‘𝑆) ≠ ∅ → (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ))
11	3, 10	pm2.61ine 3047	1 ⊢ (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)

Syntax hints:   = wceq 1567  ∃wex 1806   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964   ⊆ wss 3911  ∅c0 4292  ‘cfv 6537  ℂcc 11098  Polycply 26310

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-1cn 11158  ax-addcl 11160

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-map 8826  df-nn 12234  df-n0 12505  df-ply 26314

This theorem is referenced by:  plyaddcl  26346  plymulcl  26347  plysubcl  26348  coeval  26349  coeeu  26351  dgrval  26354  coef3  26358  coeidlem  26363  coemulc  26381  coesub  26383  dgrmulc  26397  dgrsub  26398  dgrcolem1  26399  dgrcolem2  26400  dgrco  26401  coecj  26404  coecjOLD  26406  dvply2  26416  dvnply  26418  quotval  26422  quotlem  26430  quotcl2  26432  quotdgr  26433  plyrem  26435  facth  26436  fta1  26438  quotcan  26439  vieta1lem1  26440  vieta1  26442  plyexmo  26443  ftalem7  27209  dgrsub2  43789