Theorem plyssc 26103

Description: Every polynomial ring is contained in the ring of polynomials over ℂ. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
plyssc	⊢ (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)

Proof of Theorem plyssc

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 4351	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ (Poly‘ℂ)
2		sseq1 3961	. . 3 ⊢ ((Poly‘𝑆) = ∅ → ((Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ) ↔ ∅ ⊆ (Poly‘ℂ)))
3	1, 2	mpbiri 258	. 2 ⊢ ((Poly‘𝑆) = ∅ → (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ))
4		n0 4304	. . 3 ⊢ ((Poly‘𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆))
5		plybss 26097	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
6		ssid 3958	. . . . 5 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
7		plyss 26102	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ))
8	5, 6, 7	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) → (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ))
9	8	exlimiv 1930	. . 3 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) → (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ))
10	4, 9	sylbi 217	. 2 ⊢ ((Poly‘𝑆) ≠ ∅ → (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ))
11	3, 10	pm2.61ine 3008	1 ⊢ (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)

Syntax hints:   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ⊆ wss 3903  ∅c0 4284  ‘cfv 6482  ℂcc 11007  Polycply 26087

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-1cn 11067  ax-addcl 11069

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-map 8755  df-nn 12129  df-n0 12385  df-ply 26091

This theorem is referenced by:  plyaddcl  26123  plymulcl  26124  plysubcl  26125  coeval  26126  coeeu  26128  dgrval  26131  coef3  26135  coeidlem  26140  coemulc  26158  coesub  26160  dgrmulc  26175  dgrsub  26176  dgrcolem1  26177  dgrcolem2  26178  dgrco  26179  coecj  26182  coecjOLD  26184  dvply2  26192  dvnply  26194  quotval  26198  quotlem  26206  quotcl2  26208  quotdgr  26209  plyrem  26211  facth  26212  fta1  26214  quotcan  26215  vieta1lem1  26216  vieta1  26218  plyexmo  26219  ftalem7  26987  dgrsub2  43128