Theorem plyssc 26165

Description: Every polynomial ring is contained in the ring of polynomials over ℂ. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
plyssc	⊢ (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)

Proof of Theorem plyssc

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 4340	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ (Poly‘ℂ)
2		sseq1 3947	. . 3 ⊢ ((Poly‘𝑆) = ∅ → ((Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ) ↔ ∅ ⊆ (Poly‘ℂ)))
3	1, 2	mpbiri 258	. 2 ⊢ ((Poly‘𝑆) = ∅ → (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ))
4		n0 4293	. . 3 ⊢ ((Poly‘𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆))
5		plybss 26159	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
6		ssid 3944	. . . . 5 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
7		plyss 26164	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ))
8	5, 6, 7	sylancl 587	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) → (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ))
9	8	exlimiv 1932	. . 3 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) → (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ))
10	4, 9	sylbi 217	. 2 ⊢ ((Poly‘𝑆) ≠ ∅ → (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ))
11	3, 10	pm2.61ine 3015	1 ⊢ (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)

Syntax hints:   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932   ⊆ wss 3889  ∅c0 4273  ‘cfv 6498  ℂcc 11036  Polycply 26149

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-1cn 11096  ax-addcl 11098

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-map 8775  df-nn 12175  df-n0 12438  df-ply 26153

This theorem is referenced by:  plyaddcl  26185  plymulcl  26186  plysubcl  26187  coeval  26188  coeeu  26190  dgrval  26193  coef3  26197  coeidlem  26202  coemulc  26220  coesub  26222  dgrmulc  26236  dgrsub  26237  dgrcolem1  26238  dgrcolem2  26239  dgrco  26240  coecj  26243  coecjOLD  26245  dvply2  26252  dvnply  26254  quotval  26258  quotlem  26266  quotcl2  26268  quotdgr  26269  plyrem  26271  facth  26272  fta1  26274  quotcan  26275  vieta1lem1  26276  vieta1  26278  plyexmo  26279  ftalem7  27042  dgrsub2  43563