Theorem plyssc 25361

Description: Every polynomial ring is contained in the ring of polynomials over ℂ. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
plyssc	⊢ (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)

Proof of Theorem plyssc

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 4330	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ (Poly‘ℂ)
2		sseq1 3946	. . 3 ⊢ ((Poly‘𝑆) = ∅ → ((Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ) ↔ ∅ ⊆ (Poly‘ℂ)))
3	1, 2	mpbiri 257	. 2 ⊢ ((Poly‘𝑆) = ∅ → (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ))
4		n0 4280	. . 3 ⊢ ((Poly‘𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆))
5		plybss 25355	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
6		ssid 3943	. . . . 5 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
7		plyss 25360	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ))
8	5, 6, 7	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) → (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ))
9	8	exlimiv 1933	. . 3 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) → (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ))
10	4, 9	sylbi 216	. 2 ⊢ ((Poly‘𝑆) ≠ ∅ → (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ))
11	3, 10	pm2.61ine 3028	1 ⊢ (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)

Syntax hints:   = wceq 1539  ∃wex 1782   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256  ‘cfv 6433  ℂcc 10869  Polycply 25345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-1cn 10929  ax-addcl 10931

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-map 8617  df-nn 11974  df-n0 12234  df-ply 25349

This theorem is referenced by:  plyaddcl  25381  plymulcl  25382  plysubcl  25383  coeval  25384  coeeu  25386  dgrval  25389  coef3  25393  coeidlem  25398  coemulc  25416  coesub  25418  dgrmulc  25432  dgrsub  25433  dgrcolem1  25434  dgrcolem2  25435  dgrco  25436  coecj  25439  dvply2  25446  dvnply  25448  quotval  25452  quotlem  25460  quotcl2  25462  quotdgr  25463  plyrem  25465  facth  25466  fta1  25468  quotcan  25469  vieta1lem1  25470  vieta1  25472  plyexmo  25473  ftalem7  26228  dgrsub2  40960