Theorem plyssc 26518

Description: Every polynomial ring is contained in the ring of polynomials over ℂ. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
plyssc	⊢ (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)

Proof of Theorem plyssc

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 4349	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ (Poly‘ℂ)
2		sseq1 3933	. . 3 ⊢ ((Poly‘𝑆) = ∅ → ((Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ) ↔ ∅ ⊆ (Poly‘ℂ)))
3	1, 2	mpbiri 261	. 2 ⊢ ((Poly‘𝑆) = ∅ → (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ))
4		n0 4299	. . 3 ⊢ ((Poly‘𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆))
5		plybss 26512	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
6		ssid 3930	. . . . 5 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
7		plyss 26517	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ))
8	5, 6, 7	sylancl 598	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) → (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ))
9	8	exlimiv 1962	. . 3 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) → (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ))
10	4, 9	sylbi 220	. 2 ⊢ ((Poly‘𝑆) ≠ ∅ → (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ))
11	3, 10	pm2.61ine 3038	1 ⊢ (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569  ∃wex 1811   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   ⊆ wss 3895  ∅c0 4278  ‘cfv 6538  ℂcc 11198  Polycply 26502

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-1cn 11258  ax-addcl 11260

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-map 8849  df-nn 12336  df-n0 12607  df-ply 26506

This theorem is used by:  plyaddcl  26539  plymulcl  26540  plysubcl  26541  coeval  26542  coeeu  26544  dgrval  26547  coef3  26551  coeidlem  26556  coemulc  26574  coesub  26576  dgrmulc  26590  dgrsub  26591  dgrcolem1  26592  dgrcolem2  26593  dgrco  26594  coecj  26597  dvply2  26607  dvnply  26609  quotval  26613  quotlem  26621  quotcl2  26623  quotdgr  26624  plyrem  26626  facth  26627  fta1  26629  rnplynfin  26630  quotcan  26632  vieta1lem1  26633  vieta1  26635  plyexmo  26636  ftalem7  27406  dgrsub2  44137