Theorem plyreres 26223

Description: Real-coefficient polynomials restrict to real functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
plyreres	⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝐹 ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)

Proof of Theorem plyreres

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plybss 26132	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → ℝ ⊆ ℂ)
2		plyf 26136	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
3		ffn 6657	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℂ⟶ℂ → 𝐹 Fn ℂ)
4		fnssresb 6609	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn ℂ → ((𝐹 ↾ ℝ) Fn ℝ ↔ ℝ ⊆ ℂ))
5	2, 3, 4	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → ((𝐹 ↾ ℝ) Fn ℝ ↔ ℝ ⊆ ℂ))
6	1, 5	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝐹 ↾ ℝ) Fn ℝ)
7		fvres 6847	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → ((𝐹 ↾ ℝ)‘𝑎) = (𝐹‘𝑎))
8	7	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((𝐹 ↾ ℝ)‘𝑎) = (𝐹‘𝑎))
9		recn 11102	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℂ)
10		ffvelcdm 7020	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑎) ∈ ℂ)
11	2, 9, 10	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑎) ∈ ℂ)
12		plyrecj 26220	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → (∗‘(𝐹‘𝑎)) = (𝐹‘(∗‘𝑎)))
13	9, 12	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (∗‘(𝐹‘𝑎)) = (𝐹‘(∗‘𝑎)))
14		cjre 15052	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (∗‘𝑎) = 𝑎)
15	14	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (∗‘𝑎) = 𝑎)
16	15	fveq2d 6832	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝐹‘(∗‘𝑎)) = (𝐹‘𝑎))
17	13, 16	eqtrd 2766	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (∗‘(𝐹‘𝑎)) = (𝐹‘𝑎))
18	11, 17	cjrebd 15115	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑎) ∈ ℝ)
19	8, 18	eqeltrd 2831	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((𝐹 ↾ ℝ)‘𝑎) ∈ ℝ)
20	19	ralrimiva 3124	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → ∀𝑎 ∈ ℝ ((𝐹 ↾ ℝ)‘𝑎) ∈ ℝ)
21		fnfvrnss 7060	. . 3 ⊢ (((𝐹 ↾ ℝ) Fn ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ ((𝐹 ↾ ℝ)‘𝑎) ∈ ℝ) → ran (𝐹 ↾ ℝ) ⊆ ℝ)
22	6, 20, 21	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → ran (𝐹 ↾ ℝ) ⊆ ℝ)
23		df-f 6491	. 2 ⊢ ((𝐹 ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ ↔ ((𝐹 ↾ ℝ) Fn ℝ ∧ ran (𝐹 ↾ ℝ) ⊆ ℝ))
24	6, 22, 23	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝐹 ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047   ⊆ wss 3897  ran crn 5620   ↾ cres 5621   Fn wfn 6482  ⟶wf 6483  ‘cfv 6487  ℂcc 11010  ℝcr 11011  ∗ccj 15009  Polycply 26122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-inf2 9537  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089  ax-pre-sup 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-isom 6496  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7616  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-er 8628  df-map 8758  df-pm 8759  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-sup 9332  df-inf 9333  df-oi 9402  df-card 9838  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-div 11781  df-nn 12132  df-2 12194  df-3 12195  df-n0 12388  df-z 12475  df-uz 12739  df-rp 12897  df-fz 13414  df-fzo 13561  df-fl 13702  df-seq 13915  df-exp 13975  df-hash 14244  df-cj 15012  df-re 15013  df-im 15014  df-sqrt 15148  df-abs 15149  df-clim 15401  df-rlim 15402  df-sum 15600  df-0p 25604  df-ply 26126  df-coe 26128  df-dgr 26129

This theorem is referenced by:  aalioulem3  26275  taylthlem2  26315  taylthlem2OLD  26316  plyrecld  34569