Theorem plyreres 26349

Description: Real-coefficient polynomials restrict to real functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
plyreres	⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝐹 ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)

Proof of Theorem plyreres

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plybss 26256	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → ℝ ⊆ ℂ)
2		plyf 26260	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
3		ffn 6693	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℂ⟶ℂ → 𝐹 Fn ℂ)
4		fnssresb 6645	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn ℂ → ((𝐹 ↾ ℝ) Fn ℝ ↔ ℝ ⊆ ℂ))
5	2, 3, 4	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → ((𝐹 ↾ ℝ) Fn ℝ ↔ ℝ ⊆ ℂ))
6	1, 5	mpbird 259	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝐹 ↾ ℝ) Fn ℝ)
7		fvres 6888	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → ((𝐹 ↾ ℝ)‘𝑎) = (𝐹‘𝑎))
8	7	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((𝐹 ↾ ℝ)‘𝑎) = (𝐹‘𝑎))
9		recn 11165	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℂ)
10		ffvelcdm 7064	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑎) ∈ ℂ)
11	2, 9, 10	syl2an 605	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑎) ∈ ℂ)
12		plyrecj 26343	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → (∗‘(𝐹‘𝑎)) = (𝐹‘(∗‘𝑎)))
13	9, 12	sylan2 602	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (∗‘(𝐹‘𝑎)) = (𝐹‘(∗‘𝑎)))
14		cjre 15168	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (∗‘𝑎) = 𝑎)
15	14	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (∗‘𝑎) = 𝑎)
16	15	fveq2d 6873	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝐹‘(∗‘𝑎)) = (𝐹‘𝑎))
17	13, 16	eqtrd 2799	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (∗‘(𝐹‘𝑎)) = (𝐹‘𝑎))
18	11, 17	cjrebd 15231	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑎) ∈ ℝ)
19	8, 18	eqeltrd 2864	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((𝐹 ↾ ℝ)‘𝑎) ∈ ℝ)
20	19	ralrimiva 3156	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → ∀𝑎 ∈ ℝ ((𝐹 ↾ ℝ)‘𝑎) ∈ ℝ)
21		fnfvrnss 7104	. . 3 ⊢ (((𝐹 ↾ ℝ) Fn ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ ((𝐹 ↾ ℝ)‘𝑎) ∈ ℝ) → ran (𝐹 ↾ ℝ) ⊆ ℝ)
22	6, 20, 21	syl2anc 593	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → ran (𝐹 ↾ ℝ) ⊆ ℝ)
23		df-f 6527	. 2 ⊢ ((𝐹 ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ ↔ ((𝐹 ↾ ℝ) Fn ℝ ∧ ran (𝐹 ↾ ℝ) ⊆ ℝ))
24	6, 22, 23	sylanbrc 592	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝐹 ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  ∀wral 3078   ⊆ wss 3906  ran crn 5650   ↾ cres 5651   Fn wfn 6518  ⟶wf 6519  ‘cfv 6523  ℂcc 11073  ℝcr 11074  ∗ccj 15125  Polycply 26246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-inf2 9598  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-se 5603  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-isom 6532  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-of 7662  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-er 8680  df-map 8812  df-pm 8813  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-card 9899  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-div 11847  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12484  df-z 12571  df-uz 12842  df-rp 12996  df-fz 13515  df-fzo 13662  df-fl 13804  df-seq 14017  df-exp 14077  df-hash 14346  df-cj 15128  df-re 15129  df-im 15130  df-sqrt 15264  df-abs 15265  df-clim 15517  df-rlim 15518  df-sum 15716  df-0p 25734  df-ply 26250  df-coe 26252  df-dgr 26253

This theorem is referenced by:  aalioulem3  26400  taylthlem2  26439  plyrecld  34845