Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plyreres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem plyreres 24871
 Description: Real-coefficient polynomials restrict to real functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
plyreres (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝐹 ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)

Proof of Theorem plyreres
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plybss 24783 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → ℝ ⊆ ℂ)
2 plyf 24787 . . . 4 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
3 ffn 6513 . . . 4 (𝐹:ℂ⟶ℂ → 𝐹 Fn ℂ)
4 fnssresb 6468 . . . 4 (𝐹 Fn ℂ → ((𝐹 ↾ ℝ) Fn ℝ ↔ ℝ ⊆ ℂ))
52, 3, 43syl 18 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → ((𝐹 ↾ ℝ) Fn ℝ ↔ ℝ ⊆ ℂ))
61, 5mpbird 259 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝐹 ↾ ℝ) Fn ℝ)
7 fvres 6688 . . . . . 6 (𝑎 ∈ ℝ → ((𝐹 ↾ ℝ)‘𝑎) = (𝐹𝑎))
87adantl 484 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((𝐹 ↾ ℝ)‘𝑎) = (𝐹𝑎))
9 recn 10626 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℂ)
10 ffvelrn 6848 . . . . . . 7 ((𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → (𝐹𝑎) ∈ ℂ)
112, 9, 10syl2an 597 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝐹𝑎) ∈ ℂ)
12 plyrecj 24868 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → (∗‘(𝐹𝑎)) = (𝐹‘(∗‘𝑎)))
139, 12sylan2 594 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (∗‘(𝐹𝑎)) = (𝐹‘(∗‘𝑎)))
14 cjre 14497 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ ℝ → (∗‘𝑎) = 𝑎)
1514adantl 484 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (∗‘𝑎) = 𝑎)
1615fveq2d 6673 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝐹‘(∗‘𝑎)) = (𝐹𝑎))
1713, 16eqtrd 2856 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (∗‘(𝐹𝑎)) = (𝐹𝑎))
1811, 17cjrebd 14560 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝐹𝑎) ∈ ℝ)
198, 18eqeltrd 2913 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((𝐹 ↾ ℝ)‘𝑎) ∈ ℝ)
2019ralrimiva 3182 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → ∀𝑎 ∈ ℝ ((𝐹 ↾ ℝ)‘𝑎) ∈ ℝ)
21 fnfvrnss 6883 . . 3 (((𝐹 ↾ ℝ) Fn ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ ((𝐹 ↾ ℝ)‘𝑎) ∈ ℝ) → ran (𝐹 ↾ ℝ) ⊆ ℝ)
226, 20, 21syl2anc 586 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → ran (𝐹 ↾ ℝ) ⊆ ℝ)
23 df-f 6358 . 2 ((𝐹 ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ ↔ ((𝐹 ↾ ℝ) Fn ℝ ∧ ran (𝐹 ↾ ℝ) ⊆ ℝ))
246, 22, 23sylanbrc 585 1 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝐹 ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∀wral 3138   ⊆ wss 3935  ran crn 5555   ↾ cres 5556   Fn wfn 6349  ⟶wf 6350  ‘cfv 6354  ℂcc 10534  ℝcr 10535  ∗ccj 14454  Polycply 24773 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-inf2 9103  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614  ax-addf 10615 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-of 7408  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-oadd 8105  df-er 8288  df-map 8407  df-pm 8408  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-sup 8905  df-inf 8906  df-oi 8973  df-card 9367  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-rp 12389  df-fz 12892  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-seq 13369  df-exp 13429  df-hash 13690  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594  df-clim 14844  df-rlim 14845  df-sum 15042  df-0p 24270  df-ply 24777  df-coe 24779  df-dgr 24780 This theorem is referenced by:  aalioulem3  24922  taylthlem2  24961  plyrecld  31819
 Copyright terms: Public domain W3C validator