Theorem plyreres 26270

Description: Real-coefficient polynomials restrict to real functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
plyreres	⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝐹 ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)

Proof of Theorem plyreres

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plybss 26180	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → ℝ ⊆ ℂ)
2		plyf 26184	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
3		ffn 6658	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℂ⟶ℂ → 𝐹 Fn ℂ)
4		fnssresb 6610	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn ℂ → ((𝐹 ↾ ℝ) Fn ℝ ↔ ℝ ⊆ ℂ))
5	2, 3, 4	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → ((𝐹 ↾ ℝ) Fn ℝ ↔ ℝ ⊆ ℂ))
6	1, 5	mpbird 259	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝐹 ↾ ℝ) Fn ℝ)
7		fvres 6849	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → ((𝐹 ↾ ℝ)‘𝑎) = (𝐹‘𝑎))
8	7	adantl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((𝐹 ↾ ℝ)‘𝑎) = (𝐹‘𝑎))
9		recn 11124	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℂ)
10		ffvelcdm 7025	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑎) ∈ ℂ)
11	2, 9, 10	syl2an 603	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑎) ∈ ℂ)
12		plyrecj 26267	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → (∗‘(𝐹‘𝑎)) = (𝐹‘(∗‘𝑎)))
13	9, 12	sylan2 600	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (∗‘(𝐹‘𝑎)) = (𝐹‘(∗‘𝑎)))
14		cjre 15096	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (∗‘𝑎) = 𝑎)
15	14	adantl 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (∗‘𝑎) = 𝑎)
16	15	fveq2d 6834	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝐹‘(∗‘𝑎)) = (𝐹‘𝑎))
17	13, 16	eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (∗‘(𝐹‘𝑎)) = (𝐹‘𝑎))
18	11, 17	cjrebd 15159	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑎) ∈ ℝ)
19	8, 18	eqeltrd 2841	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((𝐹 ↾ ℝ)‘𝑎) ∈ ℝ)
20	19	ralrimiva 3133	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → ∀𝑎 ∈ ℝ ((𝐹 ↾ ℝ)‘𝑎) ∈ ℝ)
21		fnfvrnss 7065	. . 3 ⊢ (((𝐹 ↾ ℝ) Fn ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ ((𝐹 ↾ ℝ)‘𝑎) ∈ ℝ) → ran (𝐹 ↾ ℝ) ⊆ ℝ)
22	6, 20, 21	syl2anc 591	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → ran (𝐹 ↾ ℝ) ⊆ ℝ)
23		df-f 6492	. 2 ⊢ ((𝐹 ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ ↔ ((𝐹 ↾ ℝ) Fn ℝ ∧ ran (𝐹 ↾ ℝ) ⊆ ℝ))
24	6, 22, 23	sylanbrc 590	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝐹 ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ∀wral 3055   ⊆ wss 3884  ran crn 5621   ↾ cres 5622   Fn wfn 6483  ⟶wf 6484  ‘cfv 6488  ℂcc 11032  ℝcr 11033  ∗ccj 15053  Polycply 26170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-inf2 9557  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111  ax-pre-sup 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-se 5574  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-isom 6497  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-of 7623  df-om 7810  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-card 9858  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376  df-div 11804  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-rp 12938  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-fl 13746  df-seq 13959  df-exp 14019  df-hash 14288  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-clim 15445  df-rlim 15446  df-sum 15644  df-0p 25658  df-ply 26174  df-coe 26176  df-dgr 26177

This theorem is referenced by:  aalioulem3  26321  taylthlem2  26360  plyrecld  34743