Theorem plyreres 25443

Description: Real-coefficient polynomials restrict to real functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
plyreres	⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝐹 ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)

Proof of Theorem plyreres

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plybss 25355	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → ℝ ⊆ ℂ)
2		plyf 25359	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
3		ffn 6600	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℂ⟶ℂ → 𝐹 Fn ℂ)
4		fnssresb 6554	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn ℂ → ((𝐹 ↾ ℝ) Fn ℝ ↔ ℝ ⊆ ℂ))
5	2, 3, 4	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → ((𝐹 ↾ ℝ) Fn ℝ ↔ ℝ ⊆ ℂ))
6	1, 5	mpbird 256	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝐹 ↾ ℝ) Fn ℝ)
7		fvres 6793	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → ((𝐹 ↾ ℝ)‘𝑎) = (𝐹‘𝑎))
8	7	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((𝐹 ↾ ℝ)‘𝑎) = (𝐹‘𝑎))
9		recn 10961	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℂ)
10		ffvelrn 6959	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑎) ∈ ℂ)
11	2, 9, 10	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑎) ∈ ℂ)
12		plyrecj 25440	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → (∗‘(𝐹‘𝑎)) = (𝐹‘(∗‘𝑎)))
13	9, 12	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (∗‘(𝐹‘𝑎)) = (𝐹‘(∗‘𝑎)))
14		cjre 14850	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (∗‘𝑎) = 𝑎)
15	14	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (∗‘𝑎) = 𝑎)
16	15	fveq2d 6778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝐹‘(∗‘𝑎)) = (𝐹‘𝑎))
17	13, 16	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (∗‘(𝐹‘𝑎)) = (𝐹‘𝑎))
18	11, 17	cjrebd 14913	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑎) ∈ ℝ)
19	8, 18	eqeltrd 2839	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((𝐹 ↾ ℝ)‘𝑎) ∈ ℝ)
20	19	ralrimiva 3103	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → ∀𝑎 ∈ ℝ ((𝐹 ↾ ℝ)‘𝑎) ∈ ℝ)
21		fnfvrnss 6994	. . 3 ⊢ (((𝐹 ↾ ℝ) Fn ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ ((𝐹 ↾ ℝ)‘𝑎) ∈ ℝ) → ran (𝐹 ↾ ℝ) ⊆ ℝ)
22	6, 20, 21	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → ran (𝐹 ↾ ℝ) ⊆ ℝ)
23		df-f 6437	. 2 ⊢ ((𝐹 ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ ↔ ((𝐹 ↾ ℝ) Fn ℝ ∧ ran (𝐹 ↾ ℝ) ⊆ ℝ))
24	6, 22, 23	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝐹 ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064   ⊆ wss 3887  ran crn 5590   ↾ cres 5591   Fn wfn 6428  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  ℂcc 10869  ℝcr 10870  ∗ccj 14807  Polycply 25345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398  df-0p 24834  df-ply 25349  df-coe 25351  df-dgr 25352

This theorem is referenced by:  aalioulem3  25494  taylthlem2  25533  plyrecld  32528