Theorem plyaddlem 26178

Description: Lemma for plyadd 26180. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
plyadd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
plyadd.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
plyadd.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
plyadd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
plyadd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
plyadd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0))
plyadd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0))
plyadd.a2	⊢ (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) = {0})
plyadd.b2	⊢ (𝜑 → (𝐵 “ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = {0})
plyadd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
plyadd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))

Assertion

Ref	Expression
plyaddlem	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦,𝑧,𝐵   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧   𝑆,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐺,𝑦,𝑧   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝑘,𝑀,𝑧   𝑘,𝑁,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑀(𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem plyaddlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plyadd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
2		plyadd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
3		plyadd.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
4		plyadd.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
5		plyadd.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0))
6		plybss 26157	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
7	1, 6	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
8		0cnd 11127	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
9	8	snssd 4764	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {0} ⊆ ℂ)
10	7, 9	unssd 4143	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
11		cnex 11109	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ ∈ V
12		ssexg 5267	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → (𝑆 ∪ {0}) ∈ V)
13	10, 11, 12	sylancl 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∪ {0}) ∈ V)
14		nn0ex 12409	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ∈ V
15		elmapg 8778	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∪ {0}) ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V) → (𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0) ↔ 𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
16	13, 14, 15	sylancl 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0) ↔ 𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
17	5, 16	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
18	17, 10	fssd 6678	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
19		plyadd.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0))
20		elmapg 8778	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∪ {0}) ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V) → (𝐵 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0) ↔ 𝐵:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
21	13, 14, 20	sylancl 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0) ↔ 𝐵:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
22	19, 21	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
23	22, 10	fssd 6678	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵:ℕ0⟶ℂ)
24		plyadd.a2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) = {0})
25		plyadd.b2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 “ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = {0})
26		plyadd.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
27		plyadd.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
28	1, 2, 3, 4, 18, 23, 24, 25, 26, 27	plyaddlem1 26176	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f + 𝐺) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀))(((𝐴 ∘f + 𝐵)‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
29	4, 3	ifcld 4525	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀) ∈ ℕ0)
30		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∪ {0}) = (𝑆 ∪ {0})
31		plyadd.3	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
32	7, 30, 31	un0addcl 12436	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑆 ∪ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆 ∪ {0}))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
33	14	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
34		inidm 4178	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 ∩ ℕ0) = ℕ0
35	32, 17, 22, 33, 33, 34	off 7640	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∘f + 𝐵):ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
36		elfznn0 13538	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (0...if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
37		ffvelcdm 7026	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∘f + 𝐵):ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴 ∘f + 𝐵)‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
38	35, 36, 37	syl2an 597	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀))) → ((𝐴 ∘f + 𝐵)‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
39	10, 29, 38	elplyd 26165	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀))(((𝐴 ∘f + 𝐵)‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))) ∈ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})))
40	28, 39	eqeltrd 2835	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})))
41		plyun0 26160	. 2 ⊢ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})) = (Poly‘𝑆)
42	40, 41	eleqtrdi 2845	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3439   ∪ cun 3898   ⊆ wss 3900  ifcif 4478  {csn 4579   class class class wbr 5097   ↦ cmpt 5178   “ cima 5626  ⟶wf 6487  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358   ∘_f cof 7620   ↑_m cmap 8765  ℂcc 11026  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031   · cmul 11033   ≤ cle 11169  ℕ₀cn0 12403  ℤ_≥cuz 12753  ...cfz 13425  ↑cexp 13986  Σcsu 15611  Polycply 26147

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-inf2 9552  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4902  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-isom 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8767  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-sup 9347  df-oi 9417  df-card 9853  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12754  df-rp 12908  df-fz 13426  df-fzo 13573  df-seq 13927  df-exp 13987  df-hash 14256  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-clim 15413  df-sum 15612  df-ply 26151

This theorem is referenced by:  plyadd  26180