Theorem plyaddlem 24191

Description: Lemma for plyadd 24193. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
plyadd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
plyadd.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
plyadd.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
plyadd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
plyadd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
plyadd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))
plyadd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))
plyadd.a2	⊢ (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) = {0})
plyadd.b2	⊢ (𝜑 → (𝐵 “ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = {0})
plyadd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
plyadd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))

Assertion

Ref	Expression
plyaddlem	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦,𝑧,𝐵   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧   𝑆,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐺,𝑦,𝑧   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝑘,𝑀,𝑧   𝑘,𝑁,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑀(𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem plyaddlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plyadd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
2		plyadd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
3		plyadd.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
4		plyadd.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
5		plyadd.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))
6		plybss 24170	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
7	1, 6	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
8		0cnd 10239	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
9	8	snssd 4476	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {0} ⊆ ℂ)
10	7, 9	unssd 3940	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
11		cnex 10223	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ ∈ V
12		ssexg 4939	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → (𝑆 ∪ {0}) ∈ V)
13	10, 11, 12	sylancl 574	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∪ {0}) ∈ V)
14		nn0ex 11505	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ∈ V
15		elmapg 8026	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∪ {0}) ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V) → (𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0) ↔ 𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
16	13, 14, 15	sylancl 574	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0) ↔ 𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
17	5, 16	mpbid 222	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
18	17, 10	fssd 6198	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
19		plyadd.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))
20		elmapg 8026	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∪ {0}) ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V) → (𝐵 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0) ↔ 𝐵:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
21	13, 14, 20	sylancl 574	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0) ↔ 𝐵:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
22	19, 21	mpbid 222	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
23	22, 10	fssd 6198	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵:ℕ0⟶ℂ)
24		plyadd.a2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) = {0})
25		plyadd.b2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 “ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = {0})
26		plyadd.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
27		plyadd.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
28	1, 2, 3, 4, 18, 23, 24, 25, 26, 27	plyaddlem1 24189	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀))(((𝐴 ∘𝑓 + 𝐵)‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
29	4, 3	ifcld 4271	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀) ∈ ℕ0)
30		eqid 2771	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∪ {0}) = (𝑆 ∪ {0})
31		plyadd.3	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
32	7, 30, 31	un0addcl 11533	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑆 ∪ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆 ∪ {0}))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
33	14	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
34		inidm 3971	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 ∩ ℕ0) = ℕ0
35	32, 17, 22, 33, 33, 34	off 7063	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∘𝑓 + 𝐵):ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
36		elfznn0 12640	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (0...if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
37		ffvelrn 6502	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∘𝑓 + 𝐵):ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴 ∘𝑓 + 𝐵)‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
38	35, 36, 37	syl2an 583	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀))) → ((𝐴 ∘𝑓 + 𝐵)‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
39	10, 29, 38	elplyd 24178	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀))(((𝐴 ∘𝑓 + 𝐵)‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))) ∈ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})))
40	28, 39	eqeltrd 2850	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺) ∈ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})))
41		plyun0 24173	. 2 ⊢ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})) = (Poly‘𝑆)
42	40, 41	syl6eleq 2860	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  Vcvv 3351   ∪ cun 3721   ⊆ wss 3723  ifcif 4226  {csn 4317   class class class wbr 4787   ↦ cmpt 4864   “ cima 5253  ⟶wf 6026  ‘cfv 6030  (class class class)co 6796   ∘_𝑓 cof 7046   ↑_𝑚 cmap 8013  ℂcc 10140  0cc0 10142  1c1 10143   + caddc 10145   · cmul 10147   ≤ cle 10281  ℕ₀cn0 11499  ℤ_≥cuz 11893  ...cfz 12533  ↑cexp 13067  Σcsu 14624  Polycply 24160

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-of 7048  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8508  df-oi 8575  df-card 8969  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-rp 12036  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-sum 14625  df-ply 24164

This theorem is referenced by:  plyadd  24193