MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plyaddlem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem plyaddlem 25962
Description: Lemma for plyadd 25964. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plyadd.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
plyadd.2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
plyadd.3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝑆)
plyadd.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
plyadd.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
plyadd.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0))
plyadd.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0))
plyadd.a2 (πœ‘ β†’ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0})
plyadd.b2 (πœ‘ β†’ (𝐡 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0})
plyadd.f (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
plyadd.g (πœ‘ β†’ 𝐺 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
Assertion
Ref Expression
plyaddlem (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ (Polyβ€˜π‘†))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘˜,𝑦,𝑧,𝐡   π‘₯,𝐹,𝑦,𝑧   𝑆,π‘˜,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐴,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐺,𝑦,𝑧   πœ‘,π‘˜,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘˜,𝑀,𝑧   π‘˜,𝑁,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘˜)   𝐹(π‘˜)   𝐺(π‘˜)   𝑀(π‘₯,𝑦)   𝑁(π‘₯,𝑦)
Proof of Theorem plyaddlem
StepHypRef Expression
1 plyadd.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
2 plyadd.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
3 plyadd.m . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
4 plyadd.n . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
5 plyadd.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0))
6 plybss 25941 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
71, 6syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
8 0cnd 11212 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„‚)
98snssd 4813 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ {0} βŠ† β„‚)
107, 9unssd 4187 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑆 βˆͺ {0}) βŠ† β„‚)
11 cnex 11194 . . . . . . . 8 β„‚ ∈ V
12 ssexg 5324 . . . . . . . 8 (((𝑆 βˆͺ {0}) βŠ† β„‚ ∧ β„‚ ∈ V) β†’ (𝑆 βˆͺ {0}) ∈ V)
1310, 11, 12sylancl 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑆 βˆͺ {0}) ∈ V)
14 nn0ex 12483 . . . . . . 7 β„•0 ∈ V
15 elmapg 8836 . . . . . . 7 (((𝑆 βˆͺ {0}) ∈ V ∧ β„•0 ∈ V) β†’ (𝐴 ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0) ↔ 𝐴:β„•0⟢(𝑆 βˆͺ {0})))
1613, 14, 15sylancl 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0) ↔ 𝐴:β„•0⟢(𝑆 βˆͺ {0})))
175, 16mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0⟢(𝑆 βˆͺ {0}))
1817, 10fssd 6736 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
19 plyadd.b . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0))
20 elmapg 8836 . . . . . . 7 (((𝑆 βˆͺ {0}) ∈ V ∧ β„•0 ∈ V) β†’ (𝐡 ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0) ↔ 𝐡:β„•0⟢(𝑆 βˆͺ {0})))
2113, 14, 20sylancl 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0) ↔ 𝐡:β„•0⟢(𝑆 βˆͺ {0})))
2219, 21mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡:β„•0⟢(𝑆 βˆͺ {0}))
2322, 10fssd 6736 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡:β„•0βŸΆβ„‚)
24 plyadd.a2 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0})
25 plyadd.b2 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0})
26 plyadd.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
27 plyadd.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
281, 2, 3, 4, 18, 23, 24, 25, 26, 27plyaddlem1 25960 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f + 𝐺) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀))(((𝐴 ∘f + 𝐡)β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
294, 3ifcld 4575 . . . 4 (πœ‘ β†’ if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀) ∈ β„•0)
30 eqid 2731 . . . . . . 7 (𝑆 βˆͺ {0}) = (𝑆 βˆͺ {0})
31 plyadd.3 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝑆)
327, 30, 31un0addcl 12510 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝑆 βˆͺ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆 βˆͺ {0}))) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ (𝑆 βˆͺ {0}))
3314a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ β„•0 ∈ V)
34 inidm 4219 . . . . . 6 (β„•0 ∩ β„•0) = β„•0
3532, 17, 22, 33, 33, 34off 7691 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∘f + 𝐡):β„•0⟢(𝑆 βˆͺ {0}))
36 elfznn0 13599 . . . . 5 (π‘˜ ∈ (0...if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
37 ffvelcdm 7084 . . . . 5 (((𝐴 ∘f + 𝐡):β„•0⟢(𝑆 βˆͺ {0}) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 ∘f + 𝐡)β€˜π‘˜) ∈ (𝑆 βˆͺ {0}))
3835, 36, 37syl2an 595 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀))) β†’ ((𝐴 ∘f + 𝐡)β€˜π‘˜) ∈ (𝑆 βˆͺ {0}))
3910, 29, 38elplyd 25949 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀))(((𝐴 ∘f + 𝐡)β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))) ∈ (Polyβ€˜(𝑆 βˆͺ {0})))
4028, 39eqeltrd 2832 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ (Polyβ€˜(𝑆 βˆͺ {0})))
41 plyun0 25944 . 2 (Polyβ€˜(𝑆 βˆͺ {0})) = (Polyβ€˜π‘†)
4240, 41eleqtrdi 2842 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ (Polyβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3473   βˆͺ cun 3947   βŠ† wss 3949  ifcif 4529  {csn 4629   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   β€œ cima 5680  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412   ∘f cof 7671   ↑m cmap 8823  β„‚cc 11111  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116   Β· cmul 11118   ≀ cle 11254  β„•0cn0 12477  β„€β‰₯cuz 12827  ...cfz 13489  β†‘cexp 14032  Ξ£csu 15637  Polycply 25931
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9440  df-oi 9508  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-sum 15638  df-ply 25935
This theorem is referenced by:  plyadd  25964
  Copyright terms: Public domain W3C validator