MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plyaddlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem plyaddlem 24523
Description: Lemma for plyadd 24525. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plyadd.1 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
plyadd.2 (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
plyadd.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
plyadd.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
plyadd.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
plyadd.a (𝜑𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0))
plyadd.b (𝜑𝐵 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0))
plyadd.a2 (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ‘(𝑀 + 1))) = {0})
plyadd.b2 (𝜑 → (𝐵 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0})
plyadd.f (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))))
plyadd.g (𝜑𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
Assertion
Ref Expression
plyaddlem (𝜑 → (𝐹𝑓 + 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦,𝑧,𝐵   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧   𝑆,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐺,𝑦,𝑧   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝑘,𝑀,𝑧   𝑘,𝑁,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑀(𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem plyaddlem
StepHypRef Expression
1 plyadd.1 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
2 plyadd.2 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
3 plyadd.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
4 plyadd.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
5 plyadd.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0))
6 plybss 24502 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
71, 6syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
8 0cnd 10430 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
98snssd 4612 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {0} ⊆ ℂ)
107, 9unssd 4044 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
11 cnex 10414 . . . . . . . 8 ℂ ∈ V
12 ssexg 5079 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → (𝑆 ∪ {0}) ∈ V)
1310, 11, 12sylancl 578 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 ∪ {0}) ∈ V)
14 nn0ex 11712 . . . . . . 7 0 ∈ V
15 elmapg 8217 . . . . . . 7 (((𝑆 ∪ {0}) ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V) → (𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ↔ 𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
1613, 14, 15sylancl 578 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ↔ 𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
175, 16mpbid 224 . . . . 5 (𝜑𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
1817, 10fssd 6355 . . . 4 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
19 plyadd.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0))
20 elmapg 8217 . . . . . . 7 (((𝑆 ∪ {0}) ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V) → (𝐵 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ↔ 𝐵:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
2113, 14, 20sylancl 578 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ↔ 𝐵:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
2219, 21mpbid 224 . . . . 5 (𝜑𝐵:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
2322, 10fssd 6355 . . . 4 (𝜑𝐵:ℕ0⟶ℂ)
24 plyadd.a2 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ‘(𝑀 + 1))) = {0})
25 plyadd.b2 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0})
26 plyadd.f . . . 4 (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))))
27 plyadd.g . . . 4 (𝜑𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
281, 2, 3, 4, 18, 23, 24, 25, 26, 27plyaddlem1 24521 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑓 + 𝐺) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))(((𝐴𝑓 + 𝐵)‘𝑘) · (𝑧𝑘))))
294, 3ifcld 4389 . . . 4 (𝜑 → if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀) ∈ ℕ0)
30 eqid 2771 . . . . . . 7 (𝑆 ∪ {0}) = (𝑆 ∪ {0})
31 plyadd.3 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
327, 30, 31un0addcl 11740 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑆 ∪ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆 ∪ {0}))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
3314a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
34 inidm 4076 . . . . . 6 (ℕ0 ∩ ℕ0) = ℕ0
3532, 17, 22, 33, 33, 34off 7240 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝑓 + 𝐵):ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
36 elfznn0 12814 . . . . 5 (𝑘 ∈ (0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
37 ffvelrn 6672 . . . . 5 (((𝐴𝑓 + 𝐵):ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑓 + 𝐵)‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
3835, 36, 37syl2an 587 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))) → ((𝐴𝑓 + 𝐵)‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
3910, 29, 38elplyd 24510 . . 3 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))(((𝐴𝑓 + 𝐵)‘𝑘) · (𝑧𝑘))) ∈ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})))
4028, 39eqeltrd 2859 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑓 + 𝐺) ∈ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})))
41 plyun0 24505 . 2 (Poly‘(𝑆 ∪ {0})) = (Poly‘𝑆)
4240, 41syl6eleq 2869 1 (𝜑 → (𝐹𝑓 + 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387   = wceq 1508  wcel 2051  Vcvv 3408  cun 3820  wss 3822  ifcif 4344  {csn 4435   class class class wbr 4925  cmpt 5004  cima 5406  wf 6181  cfv 6185  (class class class)co 6974  𝑓 cof 7223  𝑚 cmap 8204  cc 10331  0cc0 10333  1c1 10334   + caddc 10336   · cmul 10338  cle 10473  0cn0 11705  cuz 12056  ...cfz 12706  cexp 13242  Σcsu 14901  Polycply 24492
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-inf2 8896  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410  ax-pre-sup 10411
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-fal 1521  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rmo 3089  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-se 5363  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-isom 6194  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-of 7225  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-1o 7903  df-oadd 7907  df-er 8087  df-map 8206  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-fin 8308  df-sup 8699  df-oi 8767  df-card 9160  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-div 11097  df-nn 11438  df-2 11501  df-3 11502  df-n0 11706  df-z 11792  df-uz 12057  df-rp 12203  df-fz 12707  df-fzo 12848  df-seq 13183  df-exp 13243  df-hash 13504  df-cj 14317  df-re 14318  df-im 14319  df-sqrt 14453  df-abs 14454  df-clim 14704  df-sum 14902  df-ply 24496
This theorem is referenced by:  plyadd  24525
  Copyright terms: Public domain W3C validator