Theorem pmapssbaN 41009

Description: A weakening of pmapssat 41008 to shorten some proofs. (Contributed by NM, 7-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmapssba.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapssba.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pmapssbaN	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑋) ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem pmapssbaN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmapssba.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
3		pmapssba.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
4	1, 2, 3	pmapssat 41008	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾))
5	1, 2	atssbase 40539	. 2 ⊢ (Atoms‘𝐾) ⊆ 𝐵
6	4, 5	sstrdi 3925	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑋) ⊆ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900  ‘cfv 6558  Basecbs 17416  Atomscatm 40512  pmapcpmap 40746

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ats 40516  df-pmap 40753

This theorem is used by:  paddunN  41176