Theorem pmapssbaN 38935

Description: A weakening of pmapssat 38934 to shorten some proofs. (Contributed by NM, 7-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmapssba.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapssba.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pmapssbaN	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑋) ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem pmapssbaN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmapssba.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
3		pmapssba.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
4	1, 2, 3	pmapssat 38934	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾))
5	1, 2	atssbase 38464	. 2 ⊢ (Atoms‘𝐾) ⊆ 𝐵
6	4, 5	sstrdi 3995	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑋) ⊆ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ⊆ wss 3949  ‘cfv 6544  Basecbs 17149  Atomscatm 38437  pmapcpmap 38672

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ats 38441  df-pmap 38679

This theorem is referenced by:  paddunN  39102