Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddunN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem paddunN 39930
Description: The closure of the projective sum of two sets of atoms is the same as the closure of their union. (Closure is actually double polarity, which can be trivially inferred from this theorem using fveq2d 6909.) (Contributed by NM, 6-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
paddun.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
paddun.p + = (+𝑃𝐾)
paddun.o = (⊥𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
paddunN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ( ‘(𝑆 + 𝑇)) = ( ‘(𝑆𝑇)))

Proof of Theorem paddunN
StepHypRef Expression
1 simp1 1136 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
2 paddun.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3 paddun.p . . . 4 + = (+𝑃𝐾)
42, 3paddssat 39817 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → (𝑆 + 𝑇) ⊆ 𝐴)
52, 3paddunssN 39811 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → (𝑆𝑇) ⊆ (𝑆 + 𝑇))
6 paddun.o . . . 4 = (⊥𝑃𝐾)
72, 6polcon3N 39920 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆 + 𝑇) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑆𝑇) ⊆ (𝑆 + 𝑇)) → ( ‘(𝑆 + 𝑇)) ⊆ ( ‘(𝑆𝑇)))
81, 4, 5, 7syl3anc 1372 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ( ‘(𝑆 + 𝑇)) ⊆ ( ‘(𝑆𝑇)))
9 hlclat 39360 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
1093ad2ant1 1133 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → 𝐾 ∈ CLat)
11 unss 4189 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆𝐴𝑇𝐴) ↔ (𝑆𝑇) ⊆ 𝐴)
1211biimpi 216 . . . . . . . . . 10 ((𝑆𝐴𝑇𝐴) → (𝑆𝑇) ⊆ 𝐴)
13123adant1 1130 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → (𝑆𝑇) ⊆ 𝐴)
14 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
1514, 2atssbase 39292 . . . . . . . . 9 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)
1613, 15sstrdi 3995 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → (𝑆𝑇) ⊆ (Base‘𝐾))
17 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
1814, 17clatlubcl 18549 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ CLat ∧ (𝑆𝑇) ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇)) ∈ (Base‘𝐾))
1910, 16, 18syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇)) ∈ (Base‘𝐾))
20 eqid 2736 . . . . . . . 8 (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
2114, 20pmapssbaN 39763 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇))) ⊆ (Base‘𝐾))
221, 19, 21syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇))) ⊆ (Base‘𝐾))
232, 6polssatN 39911 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴) → ( 𝑆) ⊆ 𝐴)
24233adant3 1132 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ( 𝑆) ⊆ 𝐴)
252, 6polssatN 39911 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑆) ⊆ 𝐴) → ( ‘( 𝑆)) ⊆ 𝐴)
261, 24, 25syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ( ‘( 𝑆)) ⊆ 𝐴)
272, 6polssatN 39911 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇𝐴) → ( 𝑇) ⊆ 𝐴)
28273adant2 1131 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ( 𝑇) ⊆ 𝐴)
292, 6polssatN 39911 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑇) ⊆ 𝐴) → ( ‘( 𝑇)) ⊆ 𝐴)
301, 28, 29syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ( ‘( 𝑇)) ⊆ 𝐴)
311, 26, 303jca 1128 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → (𝐾 ∈ HL ∧ ( ‘( 𝑆)) ⊆ 𝐴 ∧ ( ‘( 𝑇)) ⊆ 𝐴))
322, 62polssN 39918 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴) → 𝑆 ⊆ ( ‘( 𝑆)))
33323adant3 1132 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → 𝑆 ⊆ ( ‘( 𝑆)))
342, 62polssN 39918 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇𝐴) → 𝑇 ⊆ ( ‘( 𝑇)))
35343adant2 1131 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → 𝑇 ⊆ ( ‘( 𝑇)))
3633, 35jca 511 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → (𝑆 ⊆ ( ‘( 𝑆)) ∧ 𝑇 ⊆ ( ‘( 𝑇))))
372, 3paddss12 39822 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ ( ‘( 𝑆)) ⊆ 𝐴 ∧ ( ‘( 𝑇)) ⊆ 𝐴) → ((𝑆 ⊆ ( ‘( 𝑆)) ∧ 𝑇 ⊆ ( ‘( 𝑇))) → (𝑆 + 𝑇) ⊆ (( ‘( 𝑆)) + ( ‘( 𝑇)))))
3831, 36, 37sylc 65 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → (𝑆 + 𝑇) ⊆ (( ‘( 𝑆)) + ( ‘( 𝑇))))
3917, 2, 20, 62polvalN 39917 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴) → ( ‘( 𝑆)) = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆)))
40393adant3 1132 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ( ‘( 𝑆)) = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆)))
4117, 2, 20, 62polvalN 39917 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇𝐴) → ( ‘( 𝑇)) = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇)))
42413adant2 1131 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ( ‘( 𝑇)) = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇)))
4340, 42oveq12d 7450 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → (( ‘( 𝑆)) + ( ‘( 𝑇))) = (((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆)) + ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇))))
4438, 43sseqtrd 4019 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → (𝑆 + 𝑇) ⊆ (((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆)) + ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇))))
45 hllat 39365 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
46453ad2ant1 1133 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
47 simp2 1137 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → 𝑆𝐴)
4847, 15sstrdi 3995 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾))
4914, 17clatlubcl 18549 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
5010, 48, 49syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ((lub‘𝐾)‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
51 simp3 1138 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → 𝑇𝐴)
5251, 15sstrdi 3995 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐾))
5314, 17clatlubcl 18549 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘𝑇) ∈ (Base‘𝐾))
5410, 52, 53syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ((lub‘𝐾)‘𝑇) ∈ (Base‘𝐾))
55 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
5614, 55, 20, 3pmapjoin 39855 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑇) ∈ (Base‘𝐾)) → (((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆)) + ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇))) ⊆ ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑆)(join‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑇))))
5746, 50, 54, 56syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → (((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆)) + ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇))) ⊆ ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑆)(join‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑇))))
5844, 57sstrd 3993 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → (𝑆 + 𝑇) ⊆ ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑆)(join‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑇))))
5914, 55, 17lubun 18561 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾) ∧ 𝑇 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇)) = (((lub‘𝐾)‘𝑆)(join‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑇)))
6010, 48, 52, 59syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇)) = (((lub‘𝐾)‘𝑆)(join‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑇)))
6160fveq2d 6909 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇))) = ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑆)(join‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑇))))
6258, 61sseqtrrd 4020 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → (𝑆 + 𝑇) ⊆ ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇))))
63 eqid 2736 . . . . . . 7 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
6414, 63, 17lubss 18559 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CLat ∧ ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇))) ⊆ (Base‘𝐾) ∧ (𝑆 + 𝑇) ⊆ ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇)))) → ((lub‘𝐾)‘(𝑆 + 𝑇))(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇)))))
6510, 22, 62, 64syl3anc 1372 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ((lub‘𝐾)‘(𝑆 + 𝑇))(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇)))))
664, 15sstrdi 3995 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → (𝑆 + 𝑇) ⊆ (Base‘𝐾))
6714, 17clatlubcl 18549 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ CLat ∧ (𝑆 + 𝑇) ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘(𝑆 + 𝑇)) ∈ (Base‘𝐾))
6810, 66, 67syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ((lub‘𝐾)‘(𝑆 + 𝑇)) ∈ (Base‘𝐾))
6914, 17clatlubcl 18549 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ CLat ∧ ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇))) ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇)))) ∈ (Base‘𝐾))
7010, 22, 69syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ((lub‘𝐾)‘((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇)))) ∈ (Base‘𝐾))
7114, 63, 20pmaple 39764 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((lub‘𝐾)‘(𝑆 + 𝑇)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((lub‘𝐾)‘((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇)))) ∈ (Base‘𝐾)) → (((lub‘𝐾)‘(𝑆 + 𝑇))(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇)))) ↔ ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆 + 𝑇))) ⊆ ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇)))))))
721, 68, 70, 71syl3anc 1372 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → (((lub‘𝐾)‘(𝑆 + 𝑇))(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇)))) ↔ ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆 + 𝑇))) ⊆ ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇)))))))
7365, 72mpbid 232 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆 + 𝑇))) ⊆ ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇))))))
7417, 2, 20, 62polvalN 39917 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆 + 𝑇) ⊆ 𝐴) → ( ‘( ‘(𝑆 + 𝑇))) = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆 + 𝑇))))
751, 4, 74syl2anc 584 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ( ‘( ‘(𝑆 + 𝑇))) = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆 + 𝑇))))
7617, 2, 20, 62polvalN 39917 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆𝑇) ⊆ 𝐴) → ( ‘( ‘(𝑆𝑇))) = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇))))
771, 13, 76syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ( ‘( ‘(𝑆𝑇))) = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇))))
7817, 2, 202pmaplubN 39929 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆𝑇) ⊆ 𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇))))) = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇))))
791, 13, 78syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇))))) = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇))))
8077, 79eqtr4d 2779 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ( ‘( ‘(𝑆𝑇))) = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇))))))
8173, 75, 803sstr4d 4038 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ( ‘( ‘(𝑆 + 𝑇))) ⊆ ( ‘( ‘(𝑆𝑇))))
822, 62polcon4bN 39921 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆 + 𝑇) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑆𝑇) ⊆ 𝐴) → (( ‘( ‘(𝑆 + 𝑇))) ⊆ ( ‘( ‘(𝑆𝑇))) ↔ ( ‘(𝑆𝑇)) ⊆ ( ‘(𝑆 + 𝑇))))
831, 4, 13, 82syl3anc 1372 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → (( ‘( ‘(𝑆 + 𝑇))) ⊆ ( ‘( ‘(𝑆𝑇))) ↔ ( ‘(𝑆𝑇)) ⊆ ( ‘(𝑆 + 𝑇))))
8481, 83mpbid 232 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ( ‘(𝑆𝑇)) ⊆ ( ‘(𝑆 + 𝑇)))
858, 84eqssd 4000 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ( ‘(𝑆 + 𝑇)) = ( ‘(𝑆𝑇)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  cun 3948  wss 3950   class class class wbr 5142  cfv 6560  (class class class)co 7432  Basecbs 17248  lecple 17305  lubclub 18356  joincjn 18358  Latclat 18477  CLatccla 18544  Atomscatm 39265  HLchlt 39352  pmapcpmap 39500  +𝑃cpadd 39798  𝑃cpolN 39905
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-proset 18341  df-poset 18360  df-plt 18376  df-lub 18392  df-glb 18393  df-join 18394  df-meet 18395  df-p0 18471  df-p1 18472  df-lat 18478  df-clat 18545  df-oposet 39178  df-ol 39180  df-oml 39181  df-covers 39268  df-ats 39269  df-atl 39300  df-cvlat 39324  df-hlat 39353  df-psubsp 39506  df-pmap 39507  df-padd 39799  df-polarityN 39906
This theorem is referenced by:  poldmj1N  39931
  Copyright terms: Public domain W3C validator