Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddunN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem paddunN 39910
Description: The closure of the projective sum of two sets of atoms is the same as the closure of their union. (Closure is actually double polarity, which can be trivially inferred from this theorem using fveq2d 6911.) (Contributed by NM, 6-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
paddun.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
paddun.p + = (+𝑃𝐾)
paddun.o = (⊥𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
paddunN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ( ‘(𝑆 + 𝑇)) = ( ‘(𝑆𝑇)))

Proof of Theorem paddunN
StepHypRef Expression
1 simp1 1135 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
2 paddun.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3 paddun.p . . . 4 + = (+𝑃𝐾)
42, 3paddssat 39797 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → (𝑆 + 𝑇) ⊆ 𝐴)
52, 3paddunssN 39791 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → (𝑆𝑇) ⊆ (𝑆 + 𝑇))
6 paddun.o . . . 4 = (⊥𝑃𝐾)
72, 6polcon3N 39900 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆 + 𝑇) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑆𝑇) ⊆ (𝑆 + 𝑇)) → ( ‘(𝑆 + 𝑇)) ⊆ ( ‘(𝑆𝑇)))
81, 4, 5, 7syl3anc 1370 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ( ‘(𝑆 + 𝑇)) ⊆ ( ‘(𝑆𝑇)))
9 hlclat 39340 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
1093ad2ant1 1132 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → 𝐾 ∈ CLat)
11 unss 4200 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆𝐴𝑇𝐴) ↔ (𝑆𝑇) ⊆ 𝐴)
1211biimpi 216 . . . . . . . . . 10 ((𝑆𝐴𝑇𝐴) → (𝑆𝑇) ⊆ 𝐴)
13123adant1 1129 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → (𝑆𝑇) ⊆ 𝐴)
14 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
1514, 2atssbase 39272 . . . . . . . . 9 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)
1613, 15sstrdi 4008 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → (𝑆𝑇) ⊆ (Base‘𝐾))
17 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
1814, 17clatlubcl 18561 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ CLat ∧ (𝑆𝑇) ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇)) ∈ (Base‘𝐾))
1910, 16, 18syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇)) ∈ (Base‘𝐾))
20 eqid 2735 . . . . . . . 8 (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
2114, 20pmapssbaN 39743 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇))) ⊆ (Base‘𝐾))
221, 19, 21syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇))) ⊆ (Base‘𝐾))
232, 6polssatN 39891 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴) → ( 𝑆) ⊆ 𝐴)
24233adant3 1131 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ( 𝑆) ⊆ 𝐴)
252, 6polssatN 39891 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑆) ⊆ 𝐴) → ( ‘( 𝑆)) ⊆ 𝐴)
261, 24, 25syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ( ‘( 𝑆)) ⊆ 𝐴)
272, 6polssatN 39891 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇𝐴) → ( 𝑇) ⊆ 𝐴)
28273adant2 1130 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ( 𝑇) ⊆ 𝐴)
292, 6polssatN 39891 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑇) ⊆ 𝐴) → ( ‘( 𝑇)) ⊆ 𝐴)
301, 28, 29syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ( ‘( 𝑇)) ⊆ 𝐴)
311, 26, 303jca 1127 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → (𝐾 ∈ HL ∧ ( ‘( 𝑆)) ⊆ 𝐴 ∧ ( ‘( 𝑇)) ⊆ 𝐴))
322, 62polssN 39898 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴) → 𝑆 ⊆ ( ‘( 𝑆)))
33323adant3 1131 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → 𝑆 ⊆ ( ‘( 𝑆)))
342, 62polssN 39898 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇𝐴) → 𝑇 ⊆ ( ‘( 𝑇)))
35343adant2 1130 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → 𝑇 ⊆ ( ‘( 𝑇)))
3633, 35jca 511 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → (𝑆 ⊆ ( ‘( 𝑆)) ∧ 𝑇 ⊆ ( ‘( 𝑇))))
372, 3paddss12 39802 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ ( ‘( 𝑆)) ⊆ 𝐴 ∧ ( ‘( 𝑇)) ⊆ 𝐴) → ((𝑆 ⊆ ( ‘( 𝑆)) ∧ 𝑇 ⊆ ( ‘( 𝑇))) → (𝑆 + 𝑇) ⊆ (( ‘( 𝑆)) + ( ‘( 𝑇)))))
3831, 36, 37sylc 65 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → (𝑆 + 𝑇) ⊆ (( ‘( 𝑆)) + ( ‘( 𝑇))))
3917, 2, 20, 62polvalN 39897 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴) → ( ‘( 𝑆)) = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆)))
40393adant3 1131 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ( ‘( 𝑆)) = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆)))
4117, 2, 20, 62polvalN 39897 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇𝐴) → ( ‘( 𝑇)) = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇)))
42413adant2 1130 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ( ‘( 𝑇)) = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇)))
4340, 42oveq12d 7449 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → (( ‘( 𝑆)) + ( ‘( 𝑇))) = (((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆)) + ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇))))
4438, 43sseqtrd 4036 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → (𝑆 + 𝑇) ⊆ (((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆)) + ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇))))
45 hllat 39345 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
46453ad2ant1 1132 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
47 simp2 1136 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → 𝑆𝐴)
4847, 15sstrdi 4008 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾))
4914, 17clatlubcl 18561 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
5010, 48, 49syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ((lub‘𝐾)‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
51 simp3 1137 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → 𝑇𝐴)
5251, 15sstrdi 4008 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐾))
5314, 17clatlubcl 18561 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘𝑇) ∈ (Base‘𝐾))
5410, 52, 53syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ((lub‘𝐾)‘𝑇) ∈ (Base‘𝐾))
55 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
5614, 55, 20, 3pmapjoin 39835 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑇) ∈ (Base‘𝐾)) → (((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆)) + ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇))) ⊆ ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑆)(join‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑇))))
5746, 50, 54, 56syl3anc 1370 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → (((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆)) + ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇))) ⊆ ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑆)(join‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑇))))
5844, 57sstrd 4006 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → (𝑆 + 𝑇) ⊆ ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑆)(join‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑇))))
5914, 55, 17lubun 18573 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾) ∧ 𝑇 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇)) = (((lub‘𝐾)‘𝑆)(join‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑇)))
6010, 48, 52, 59syl3anc 1370 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇)) = (((lub‘𝐾)‘𝑆)(join‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑇)))
6160fveq2d 6911 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇))) = ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑆)(join‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑇))))
6258, 61sseqtrrd 4037 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → (𝑆 + 𝑇) ⊆ ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇))))
63 eqid 2735 . . . . . . 7 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
6414, 63, 17lubss 18571 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CLat ∧ ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇))) ⊆ (Base‘𝐾) ∧ (𝑆 + 𝑇) ⊆ ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇)))) → ((lub‘𝐾)‘(𝑆 + 𝑇))(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇)))))
6510, 22, 62, 64syl3anc 1370 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ((lub‘𝐾)‘(𝑆 + 𝑇))(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇)))))
664, 15sstrdi 4008 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → (𝑆 + 𝑇) ⊆ (Base‘𝐾))
6714, 17clatlubcl 18561 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ CLat ∧ (𝑆 + 𝑇) ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘(𝑆 + 𝑇)) ∈ (Base‘𝐾))
6810, 66, 67syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ((lub‘𝐾)‘(𝑆 + 𝑇)) ∈ (Base‘𝐾))
6914, 17clatlubcl 18561 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ CLat ∧ ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇))) ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇)))) ∈ (Base‘𝐾))
7010, 22, 69syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ((lub‘𝐾)‘((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇)))) ∈ (Base‘𝐾))
7114, 63, 20pmaple 39744 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((lub‘𝐾)‘(𝑆 + 𝑇)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((lub‘𝐾)‘((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇)))) ∈ (Base‘𝐾)) → (((lub‘𝐾)‘(𝑆 + 𝑇))(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇)))) ↔ ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆 + 𝑇))) ⊆ ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇)))))))
721, 68, 70, 71syl3anc 1370 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → (((lub‘𝐾)‘(𝑆 + 𝑇))(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇)))) ↔ ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆 + 𝑇))) ⊆ ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇)))))))
7365, 72mpbid 232 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆 + 𝑇))) ⊆ ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇))))))
7417, 2, 20, 62polvalN 39897 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆 + 𝑇) ⊆ 𝐴) → ( ‘( ‘(𝑆 + 𝑇))) = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆 + 𝑇))))
751, 4, 74syl2anc 584 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ( ‘( ‘(𝑆 + 𝑇))) = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆 + 𝑇))))
7617, 2, 20, 62polvalN 39897 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆𝑇) ⊆ 𝐴) → ( ‘( ‘(𝑆𝑇))) = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇))))
771, 13, 76syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ( ‘( ‘(𝑆𝑇))) = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇))))
7817, 2, 202pmaplubN 39909 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆𝑇) ⊆ 𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇))))) = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇))))
791, 13, 78syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇))))) = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇))))
8077, 79eqtr4d 2778 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ( ‘( ‘(𝑆𝑇))) = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇))))))
8173, 75, 803sstr4d 4043 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ( ‘( ‘(𝑆 + 𝑇))) ⊆ ( ‘( ‘(𝑆𝑇))))
822, 62polcon4bN 39901 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆 + 𝑇) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑆𝑇) ⊆ 𝐴) → (( ‘( ‘(𝑆 + 𝑇))) ⊆ ( ‘( ‘(𝑆𝑇))) ↔ ( ‘(𝑆𝑇)) ⊆ ( ‘(𝑆 + 𝑇))))
831, 4, 13, 82syl3anc 1370 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → (( ‘( ‘(𝑆 + 𝑇))) ⊆ ( ‘( ‘(𝑆𝑇))) ↔ ( ‘(𝑆𝑇)) ⊆ ( ‘(𝑆 + 𝑇))))
8481, 83mpbid 232 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ( ‘(𝑆𝑇)) ⊆ ( ‘(𝑆 + 𝑇)))
858, 84eqssd 4013 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ( ‘(𝑆 + 𝑇)) = ( ‘(𝑆𝑇)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  cun 3961  wss 3963   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  lecple 17305  lubclub 18367  joincjn 18369  Latclat 18489  CLatccla 18556  Atomscatm 39245  HLchlt 39332  pmapcpmap 39480  +𝑃cpadd 39778  𝑃cpolN 39885
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-p1 18484  df-lat 18490  df-clat 18557  df-oposet 39158  df-ol 39160  df-oml 39161  df-covers 39248  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333  df-psubsp 39486  df-pmap 39487  df-padd 39779  df-polarityN 39886
This theorem is referenced by:  poldmj1N  39911
  Copyright terms: Public domain W3C validator