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Theorem paddunN 38798
Description: The closure of the projective sum of two sets of atoms is the same as the closure of their union. (Closure is actually double polarity, which can be trivially inferred from this theorem using fveq2d 6896.) (Contributed by NM, 6-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
paddun.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
paddun.p + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
paddun.o βŠ₯ = (βŠ₯π‘ƒβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
paddunN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑇 βŠ† 𝐴) β†’ ( βŠ₯ β€˜(𝑆 + 𝑇)) = ( βŠ₯ β€˜(𝑆 βˆͺ 𝑇)))
Proof of Theorem paddunN
StepHypRef Expression
1 simp1 1137 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑇 βŠ† 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 paddun.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
3 paddun.p . . . 4 + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
42, 3paddssat 38685 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑇 βŠ† 𝐴) β†’ (𝑆 + 𝑇) βŠ† 𝐴)
52, 3paddunssN 38679 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑇 βŠ† 𝐴) β†’ (𝑆 βˆͺ 𝑇) βŠ† (𝑆 + 𝑇))
6 paddun.o . . . 4 βŠ₯ = (βŠ₯π‘ƒβ€˜πΎ)
72, 6polcon3N 38788 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆 + 𝑇) βŠ† 𝐴 ∧ (𝑆 βˆͺ 𝑇) βŠ† (𝑆 + 𝑇)) β†’ ( βŠ₯ β€˜(𝑆 + 𝑇)) βŠ† ( βŠ₯ β€˜(𝑆 βˆͺ 𝑇)))
81, 4, 5, 7syl3anc 1372 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑇 βŠ† 𝐴) β†’ ( βŠ₯ β€˜(𝑆 + 𝑇)) βŠ† ( βŠ₯ β€˜(𝑆 βˆͺ 𝑇)))
9 hlclat 38228 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ CLat)
1093ad2ant1 1134 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑇 βŠ† 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ CLat)
11 unss 4185 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑇 βŠ† 𝐴) ↔ (𝑆 βˆͺ 𝑇) βŠ† 𝐴)
1211biimpi 215 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑇 βŠ† 𝐴) β†’ (𝑆 βˆͺ 𝑇) βŠ† 𝐴)
13123adant1 1131 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑇 βŠ† 𝐴) β†’ (𝑆 βˆͺ 𝑇) βŠ† 𝐴)
14 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
1514, 2atssbase 38160 . . . . . . . . 9 𝐴 βŠ† (Baseβ€˜πΎ)
1613, 15sstrdi 3995 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑇 βŠ† 𝐴) β†’ (𝑆 βˆͺ 𝑇) βŠ† (Baseβ€˜πΎ))
17 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (lubβ€˜πΎ) = (lubβ€˜πΎ)
1814, 17clatlubcl 18456 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ CLat ∧ (𝑆 βˆͺ 𝑇) βŠ† (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((lubβ€˜πΎ)β€˜(𝑆 βˆͺ 𝑇)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1910, 16, 18syl2anc 585 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑇 βŠ† 𝐴) β†’ ((lubβ€˜πΎ)β€˜(𝑆 βˆͺ 𝑇)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
20 eqid 2733 . . . . . . . 8 (pmapβ€˜πΎ) = (pmapβ€˜πΎ)
2114, 20pmapssbaN 38631 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((lubβ€˜πΎ)β€˜(𝑆 βˆͺ 𝑇)) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((pmapβ€˜πΎ)β€˜((lubβ€˜πΎ)β€˜(𝑆 βˆͺ 𝑇))) βŠ† (Baseβ€˜πΎ))
221, 19, 21syl2anc 585 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑇 βŠ† 𝐴) β†’ ((pmapβ€˜πΎ)β€˜((lubβ€˜πΎ)β€˜(𝑆 βˆͺ 𝑇))) βŠ† (Baseβ€˜πΎ))
232, 6polssatN 38779 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 βŠ† 𝐴) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘†) βŠ† 𝐴)
24233adant3 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑇 βŠ† 𝐴) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘†) βŠ† 𝐴)
252, 6polssatN 38779 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘†) βŠ† 𝐴) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘†)) βŠ† 𝐴)
261, 24, 25syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑇 βŠ† 𝐴) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘†)) βŠ† 𝐴)
272, 6polssatN 38779 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇 βŠ† 𝐴) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‡) βŠ† 𝐴)
28273adant2 1132 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑇 βŠ† 𝐴) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‡) βŠ† 𝐴)
292, 6polssatN 38779 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘‡) βŠ† 𝐴) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‡)) βŠ† 𝐴)
301, 28, 29syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑇 βŠ† 𝐴) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‡)) βŠ† 𝐴)
311, 26, 303jca 1129 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑇 βŠ† 𝐴) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘†)) βŠ† 𝐴 ∧ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‡)) βŠ† 𝐴))
322, 62polssN 38786 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 βŠ† 𝐴) β†’ 𝑆 βŠ† ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘†)))
33323adant3 1133 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑇 βŠ† 𝐴) β†’ 𝑆 βŠ† ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘†)))
342, 62polssN 38786 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇 βŠ† 𝐴) β†’ 𝑇 βŠ† ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‡)))
35343adant2 1132 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑇 βŠ† 𝐴) β†’ 𝑇 βŠ† ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‡)))
3633, 35jca 513 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑇 βŠ† 𝐴) β†’ (𝑆 βŠ† ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘†)) ∧ 𝑇 βŠ† ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‡))))
372, 3paddss12 38690 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘†)) βŠ† 𝐴 ∧ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‡)) βŠ† 𝐴) β†’ ((𝑆 βŠ† ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘†)) ∧ 𝑇 βŠ† ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‡))) β†’ (𝑆 + 𝑇) βŠ† (( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘†)) + ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‡)))))
3831, 36, 37sylc 65 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑇 βŠ† 𝐴) β†’ (𝑆 + 𝑇) βŠ† (( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘†)) + ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‡))))
3917, 2, 20, 62polvalN 38785 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 βŠ† 𝐴) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘†)) = ((pmapβ€˜πΎ)β€˜((lubβ€˜πΎ)β€˜π‘†)))
40393adant3 1133 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑇 βŠ† 𝐴) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘†)) = ((pmapβ€˜πΎ)β€˜((lubβ€˜πΎ)β€˜π‘†)))
4117, 2, 20, 62polvalN 38785 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇 βŠ† 𝐴) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‡)) = ((pmapβ€˜πΎ)β€˜((lubβ€˜πΎ)β€˜π‘‡)))
42413adant2 1132 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑇 βŠ† 𝐴) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‡)) = ((pmapβ€˜πΎ)β€˜((lubβ€˜πΎ)β€˜π‘‡)))
4340, 42oveq12d 7427 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑇 βŠ† 𝐴) β†’ (( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘†)) + ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‡))) = (((pmapβ€˜πΎ)β€˜((lubβ€˜πΎ)β€˜π‘†)) + ((pmapβ€˜πΎ)β€˜((lubβ€˜πΎ)β€˜π‘‡))))
4438, 43sseqtrd 4023 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑇 βŠ† 𝐴) β†’ (𝑆 + 𝑇) βŠ† (((pmapβ€˜πΎ)β€˜((lubβ€˜πΎ)β€˜π‘†)) + ((pmapβ€˜πΎ)β€˜((lubβ€˜πΎ)β€˜π‘‡))))
45 hllat 38233 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
46453ad2ant1 1134 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑇 βŠ† 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
47 simp2 1138 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑇 βŠ† 𝐴) β†’ 𝑆 βŠ† 𝐴)
4847, 15sstrdi 3995 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑇 βŠ† 𝐴) β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΎ))
4914, 17clatlubcl 18456 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((lubβ€˜πΎ)β€˜π‘†) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5010, 48, 49syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑇 βŠ† 𝐴) β†’ ((lubβ€˜πΎ)β€˜π‘†) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
51 simp3 1139 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑇 βŠ† 𝐴) β†’ 𝑇 βŠ† 𝐴)
5251, 15sstrdi 3995 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑇 βŠ† 𝐴) β†’ 𝑇 βŠ† (Baseβ€˜πΎ))
5314, 17clatlubcl 18456 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 βŠ† (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((lubβ€˜πΎ)β€˜π‘‡) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5410, 52, 53syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑇 βŠ† 𝐴) β†’ ((lubβ€˜πΎ)β€˜π‘‡) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
55 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (joinβ€˜πΎ) = (joinβ€˜πΎ)
5614, 55, 20, 3pmapjoin 38723 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((lubβ€˜πΎ)β€˜π‘†) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((lubβ€˜πΎ)β€˜π‘‡) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (((pmapβ€˜πΎ)β€˜((lubβ€˜πΎ)β€˜π‘†)) + ((pmapβ€˜πΎ)β€˜((lubβ€˜πΎ)β€˜π‘‡))) βŠ† ((pmapβ€˜πΎ)β€˜(((lubβ€˜πΎ)β€˜π‘†)(joinβ€˜πΎ)((lubβ€˜πΎ)β€˜π‘‡))))
5746, 50, 54, 56syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑇 βŠ† 𝐴) β†’ (((pmapβ€˜πΎ)β€˜((lubβ€˜πΎ)β€˜π‘†)) + ((pmapβ€˜πΎ)β€˜((lubβ€˜πΎ)β€˜π‘‡))) βŠ† ((pmapβ€˜πΎ)β€˜(((lubβ€˜πΎ)β€˜π‘†)(joinβ€˜πΎ)((lubβ€˜πΎ)β€˜π‘‡))))
5844, 57sstrd 3993 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑇 βŠ† 𝐴) β†’ (𝑆 + 𝑇) βŠ† ((pmapβ€˜πΎ)β€˜(((lubβ€˜πΎ)β€˜π‘†)(joinβ€˜πΎ)((lubβ€˜πΎ)β€˜π‘‡))))
5914, 55, 17lubun 18468 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑇 βŠ† (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((lubβ€˜πΎ)β€˜(𝑆 βˆͺ 𝑇)) = (((lubβ€˜πΎ)β€˜π‘†)(joinβ€˜πΎ)((lubβ€˜πΎ)β€˜π‘‡)))
6010, 48, 52, 59syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑇 βŠ† 𝐴) β†’ ((lubβ€˜πΎ)β€˜(𝑆 βˆͺ 𝑇)) = (((lubβ€˜πΎ)β€˜π‘†)(joinβ€˜πΎ)((lubβ€˜πΎ)β€˜π‘‡)))
6160fveq2d 6896 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑇 βŠ† 𝐴) β†’ ((pmapβ€˜πΎ)β€˜((lubβ€˜πΎ)β€˜(𝑆 βˆͺ 𝑇))) = ((pmapβ€˜πΎ)β€˜(((lubβ€˜πΎ)β€˜π‘†)(joinβ€˜πΎ)((lubβ€˜πΎ)β€˜π‘‡))))
6258, 61sseqtrrd 4024 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑇 βŠ† 𝐴) β†’ (𝑆 + 𝑇) βŠ† ((pmapβ€˜πΎ)β€˜((lubβ€˜πΎ)β€˜(𝑆 βˆͺ 𝑇))))
63 eqid 2733 . . . . . . 7 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
6414, 63, 17lubss 18466 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CLat ∧ ((pmapβ€˜πΎ)β€˜((lubβ€˜πΎ)β€˜(𝑆 βˆͺ 𝑇))) βŠ† (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑆 + 𝑇) βŠ† ((pmapβ€˜πΎ)β€˜((lubβ€˜πΎ)β€˜(𝑆 βˆͺ 𝑇)))) β†’ ((lubβ€˜πΎ)β€˜(𝑆 + 𝑇))(leβ€˜πΎ)((lubβ€˜πΎ)β€˜((pmapβ€˜πΎ)β€˜((lubβ€˜πΎ)β€˜(𝑆 βˆͺ 𝑇)))))
6510, 22, 62, 64syl3anc 1372 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑇 βŠ† 𝐴) β†’ ((lubβ€˜πΎ)β€˜(𝑆 + 𝑇))(leβ€˜πΎ)((lubβ€˜πΎ)β€˜((pmapβ€˜πΎ)β€˜((lubβ€˜πΎ)β€˜(𝑆 βˆͺ 𝑇)))))
664, 15sstrdi 3995 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑇 βŠ† 𝐴) β†’ (𝑆 + 𝑇) βŠ† (Baseβ€˜πΎ))
6714, 17clatlubcl 18456 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ CLat ∧ (𝑆 + 𝑇) βŠ† (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((lubβ€˜πΎ)β€˜(𝑆 + 𝑇)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
6810, 66, 67syl2anc 585 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑇 βŠ† 𝐴) β†’ ((lubβ€˜πΎ)β€˜(𝑆 + 𝑇)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
6914, 17clatlubcl 18456 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ CLat ∧ ((pmapβ€˜πΎ)β€˜((lubβ€˜πΎ)β€˜(𝑆 βˆͺ 𝑇))) βŠ† (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((lubβ€˜πΎ)β€˜((pmapβ€˜πΎ)β€˜((lubβ€˜πΎ)β€˜(𝑆 βˆͺ 𝑇)))) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
7010, 22, 69syl2anc 585 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑇 βŠ† 𝐴) β†’ ((lubβ€˜πΎ)β€˜((pmapβ€˜πΎ)β€˜((lubβ€˜πΎ)β€˜(𝑆 βˆͺ 𝑇)))) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
7114, 63, 20pmaple 38632 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((lubβ€˜πΎ)β€˜(𝑆 + 𝑇)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((lubβ€˜πΎ)β€˜((pmapβ€˜πΎ)β€˜((lubβ€˜πΎ)β€˜(𝑆 βˆͺ 𝑇)))) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (((lubβ€˜πΎ)β€˜(𝑆 + 𝑇))(leβ€˜πΎ)((lubβ€˜πΎ)β€˜((pmapβ€˜πΎ)β€˜((lubβ€˜πΎ)β€˜(𝑆 βˆͺ 𝑇)))) ↔ ((pmapβ€˜πΎ)β€˜((lubβ€˜πΎ)β€˜(𝑆 + 𝑇))) βŠ† ((pmapβ€˜πΎ)β€˜((lubβ€˜πΎ)β€˜((pmapβ€˜πΎ)β€˜((lubβ€˜πΎ)β€˜(𝑆 βˆͺ 𝑇)))))))
721, 68, 70, 71syl3anc 1372 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑇 βŠ† 𝐴) β†’ (((lubβ€˜πΎ)β€˜(𝑆 + 𝑇))(leβ€˜πΎ)((lubβ€˜πΎ)β€˜((pmapβ€˜πΎ)β€˜((lubβ€˜πΎ)β€˜(𝑆 βˆͺ 𝑇)))) ↔ ((pmapβ€˜πΎ)β€˜((lubβ€˜πΎ)β€˜(𝑆 + 𝑇))) βŠ† ((pmapβ€˜πΎ)β€˜((lubβ€˜πΎ)β€˜((pmapβ€˜πΎ)β€˜((lubβ€˜πΎ)β€˜(𝑆 βˆͺ 𝑇)))))))
7365, 72mpbid 231 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑇 βŠ† 𝐴) β†’ ((pmapβ€˜πΎ)β€˜((lubβ€˜πΎ)β€˜(𝑆 + 𝑇))) βŠ† ((pmapβ€˜πΎ)β€˜((lubβ€˜πΎ)β€˜((pmapβ€˜πΎ)β€˜((lubβ€˜πΎ)β€˜(𝑆 βˆͺ 𝑇))))))
7417, 2, 20, 62polvalN 38785 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆 + 𝑇) βŠ† 𝐴) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(𝑆 + 𝑇))) = ((pmapβ€˜πΎ)β€˜((lubβ€˜πΎ)β€˜(𝑆 + 𝑇))))
751, 4, 74syl2anc 585 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑇 βŠ† 𝐴) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(𝑆 + 𝑇))) = ((pmapβ€˜πΎ)β€˜((lubβ€˜πΎ)β€˜(𝑆 + 𝑇))))
7617, 2, 20, 62polvalN 38785 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆 βˆͺ 𝑇) βŠ† 𝐴) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(𝑆 βˆͺ 𝑇))) = ((pmapβ€˜πΎ)β€˜((lubβ€˜πΎ)β€˜(𝑆 βˆͺ 𝑇))))
771, 13, 76syl2anc 585 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑇 βŠ† 𝐴) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(𝑆 βˆͺ 𝑇))) = ((pmapβ€˜πΎ)β€˜((lubβ€˜πΎ)β€˜(𝑆 βˆͺ 𝑇))))
7817, 2, 202pmaplubN 38797 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆 βˆͺ 𝑇) βŠ† 𝐴) β†’ ((pmapβ€˜πΎ)β€˜((lubβ€˜πΎ)β€˜((pmapβ€˜πΎ)β€˜((lubβ€˜πΎ)β€˜(𝑆 βˆͺ 𝑇))))) = ((pmapβ€˜πΎ)β€˜((lubβ€˜πΎ)β€˜(𝑆 βˆͺ 𝑇))))
791, 13, 78syl2anc 585 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑇 βŠ† 𝐴) β†’ ((pmapβ€˜πΎ)β€˜((lubβ€˜πΎ)β€˜((pmapβ€˜πΎ)β€˜((lubβ€˜πΎ)β€˜(𝑆 βˆͺ 𝑇))))) = ((pmapβ€˜πΎ)β€˜((lubβ€˜πΎ)β€˜(𝑆 βˆͺ 𝑇))))
8077, 79eqtr4d 2776 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑇 βŠ† 𝐴) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(𝑆 βˆͺ 𝑇))) = ((pmapβ€˜πΎ)β€˜((lubβ€˜πΎ)β€˜((pmapβ€˜πΎ)β€˜((lubβ€˜πΎ)β€˜(𝑆 βˆͺ 𝑇))))))
8173, 75, 803sstr4d 4030 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑇 βŠ† 𝐴) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(𝑆 + 𝑇))) βŠ† ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(𝑆 βˆͺ 𝑇))))
822, 62polcon4bN 38789 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆 + 𝑇) βŠ† 𝐴 ∧ (𝑆 βˆͺ 𝑇) βŠ† 𝐴) β†’ (( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(𝑆 + 𝑇))) βŠ† ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(𝑆 βˆͺ 𝑇))) ↔ ( βŠ₯ β€˜(𝑆 βˆͺ 𝑇)) βŠ† ( βŠ₯ β€˜(𝑆 + 𝑇))))
831, 4, 13, 82syl3anc 1372 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑇 βŠ† 𝐴) β†’ (( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(𝑆 + 𝑇))) βŠ† ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(𝑆 βˆͺ 𝑇))) ↔ ( βŠ₯ β€˜(𝑆 βˆͺ 𝑇)) βŠ† ( βŠ₯ β€˜(𝑆 + 𝑇))))
8481, 83mpbid 231 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑇 βŠ† 𝐴) β†’ ( βŠ₯ β€˜(𝑆 βˆͺ 𝑇)) βŠ† ( βŠ₯ β€˜(𝑆 + 𝑇)))
858, 84eqssd 4000 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑇 βŠ† 𝐴) β†’ ( βŠ₯ β€˜(𝑆 + 𝑇)) = ( βŠ₯ β€˜(𝑆 βˆͺ 𝑇)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βˆͺ cun 3947   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  lecple 17204  lubclub 18262  joincjn 18264  Latclat 18384  CLatccla 18451  Atomscatm 38133  HLchlt 38220  pmapcpmap 38368  +𝑃cpadd 38666  βŠ₯𝑃cpolN 38773
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-proset 18248  df-poset 18266  df-plt 18283  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-p0 18378  df-p1 18379  df-lat 18385  df-clat 18452  df-oposet 38046  df-ol 38048  df-oml 38049  df-covers 38136  df-ats 38137  df-atl 38168  df-cvlat 38192  df-hlat 38221  df-psubsp 38374  df-pmap 38375  df-padd 38667  df-polarityN 38774
This theorem is referenced by:  poldmj1N  38799
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