Theorem atssbase 39286

Description: The set of atoms is a subset of the base set. (atssch 32274 analog.) (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
atombase.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
atombase.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atssbase	⊢ 𝐴 ⊆ 𝐵

Proof of Theorem atssbase

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atombase.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		atombase.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3	1, 2	atbase 39285	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵)
4	3	ssriv 3935	1 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝐵

Syntax hints:   = wceq 1540   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6476  Basecbs 17107  Atomscatm 39259

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5367

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3393  df-v 3435  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5089  df-opab 5151  df-mpt 5170  df-id 5508  df-xp 5619  df-rel 5620  df-cnv 5621  df-co 5622  df-dm 5623  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fv 6484  df-ats 39263

This theorem is referenced by:  atlatmstc  39315  atlatle  39316  pmapssbaN  39756  pmaple  39757  polsubN  39903  2polvalN  39910  2polssN  39911  3polN  39912  2pmaplubN  39922  paddunN  39923  poldmj1N  39924  pnonsingN  39929  ispsubcl2N  39943  psubclinN  39944  paddatclN  39945  polsubclN  39948  poml4N  39949