Theorem pmapssat 40205

Description: The projective map of a Hilbert lattice is a set of atoms. (Contributed by NM, 14-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmapssat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapssat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pmapssat.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pmapssat	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑋) ⊆ 𝐴)

Proof of Theorem pmapssat

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmapssat.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2736	. . 3 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		pmapssat.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		pmapssat.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	pmapval 40203	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑋) = {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝(le‘𝐾)𝑋})
6		ssrab2 4020	. 2 ⊢ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝(le‘𝐾)𝑋} ⊆ 𝐴
7	5, 6	eqsstrdi 3966	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑋) ⊆ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3389   ⊆ wss 3889   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  Basecbs 17179  lecple 17227  Atomscatm 39709  pmapcpmap 39943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-pmap 39950

This theorem is referenced by:  pmapssbaN  40206  pmapglb2N  40217  pmapglb2xN  40218  pmapjoin  40298  pmapjat1  40299  pmapjat2  40300  pmapjlln1  40301  hlmod1i  40302  polpmapN  40358  2pmaplubN  40372  pmapj2N  40375  pmapocjN  40376  polatN  40377  pmapsubclN  40392  ispsubcl2N  40393  pl42lem2N  40426  pl42lem3N  40427