Theorem pmapssat 40251

Description: The projective map of a Hilbert lattice is a set of atoms. (Contributed by NM, 14-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmapssat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapssat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pmapssat.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pmapssat	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑋) ⊆ 𝐴)

Proof of Theorem pmapssat

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmapssat.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2739	. . 3 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		pmapssat.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		pmapssat.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	pmapval 40249	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑋) = {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝(le‘𝐾)𝑋})
6		ssrab2 4011	. 2 ⊢ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝(le‘𝐾)𝑋} ⊆ 𝐴
7	5, 6	eqsstrdi 3959	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑋) ⊆ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  {crab 3391   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485  Basecbs 17170  lecple 17218  Atomscatm 39755  pmapcpmap 39989

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pr 5362

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-pmap 39996

This theorem is referenced by:  pmapssbaN  40252  pmapglb2N  40263  pmapglb2xN  40264  pmapjoin  40344  pmapjat1  40345  pmapjat2  40346  pmapjlln1  40347  hlmod1i  40348  polpmapN  40404  2pmaplubN  40418  pmapj2N  40421  pmapocjN  40422  polatN  40423  pmapsubclN  40438  ispsubcl2N  40439  pl42lem2N  40472  pl42lem3N  40473