Theorem pmapssat 37055

Description: The projective map of a Hilbert lattice is a set of atoms. (Contributed by NM, 14-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmapssat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapssat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pmapssat.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pmapssat	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑋) ⊆ 𝐴)

Proof of Theorem pmapssat

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmapssat.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2798	. . 3 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		pmapssat.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		pmapssat.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	pmapval 37053	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑋) = {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝(le‘𝐾)𝑋})
6		ssrab2 4007	. 2 ⊢ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝(le‘𝐾)𝑋} ⊆ 𝐴
7	5, 6	eqsstrdi 3969	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑋) ⊆ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {crab 3110   ⊆ wss 3881   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  Basecbs 16475  lecple 16564  Atomscatm 36559  pmapcpmap 36793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5295

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-pmap 36800

This theorem is referenced by:  pmapssbaN  37056  pmapglb2N  37067  pmapglb2xN  37068  pmapjoin  37148  pmapjat1  37149  pmapjat2  37150  pmapjlln1  37151  hlmod1i  37152  polpmapN  37208  2pmaplubN  37222  pmapj2N  37225  pmapocjN  37226  polatN  37227  pmapsubclN  37242  ispsubcl2N  37243  pl42lem2N  37276  pl42lem3N  37277