Theorem pmapssat 40418

Description: The projective map of a Hilbert lattice is a set of atoms. (Contributed by NM, 14-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmapssat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapssat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pmapssat.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pmapssat	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑋) ⊆ 𝐴)

Proof of Theorem pmapssat

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmapssat.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2769	. . 3 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		pmapssat.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		pmapssat.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	pmapval 40416	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑋) = {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝(le‘𝐾)𝑋})
6		ssrab2 4042	. 2 ⊢ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝(le‘𝐾)𝑋} ⊆ 𝐴
7	5, 6	eqsstrdi 3989	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑋) ⊆ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {crab 3423   ⊆ wss 3913   class class class wbr 5110  ‘cfv 6533  Basecbs 17265  lecple 17313  Atomscatm 39922  pmapcpmap 40156

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-pmap 40163

This theorem is referenced by:  pmapssbaN  40419  pmapglb2N  40430  pmapglb2xN  40431  pmapjoin  40511  pmapjat1  40512  pmapjat2  40513  pmapjlln1  40514  hlmod1i  40515  polpmapN  40571  2pmaplubN  40585  pmapj2N  40588  pmapocjN  40589  polatN  40590  pmapsubclN  40605  ispsubcl2N  40606  pl42lem2N  40639  pl42lem3N  40640