Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmapssat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmapssat 38630
Description: The projective map of a Hilbert lattice is a set of atoms. (Contributed by NM, 14-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
pmapssat.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
pmapssat.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
pmapssat.m 𝑀 = (pmapβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
pmapssat ((𝐾 ∈ 𝐢 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘€β€˜π‘‹) βŠ† 𝐴)

Proof of Theorem pmapssat
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pmapssat.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 eqid 2733 . . 3 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
3 pmapssat.a . . 3 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
4 pmapssat.m . . 3 𝑀 = (pmapβ€˜πΎ)
51, 2, 3, 4pmapval 38628 . 2 ((𝐾 ∈ 𝐢 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘€β€˜π‘‹) = {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋})
6 ssrab2 4078 . 2 {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋} βŠ† 𝐴
75, 6eqsstrdi 4037 1 ((𝐾 ∈ 𝐢 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘€β€˜π‘‹) βŠ† 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3433   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  Basecbs 17144  lecple 17204  Atomscatm 38133  pmapcpmap 38368
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-pmap 38375
This theorem is referenced by:  pmapssbaN  38631  pmapglb2N  38642  pmapglb2xN  38643  pmapjoin  38723  pmapjat1  38724  pmapjat2  38725  pmapjlln1  38726  hlmod1i  38727  polpmapN  38783  2pmaplubN  38797  pmapj2N  38800  pmapocjN  38801  polatN  38802  pmapsubclN  38817  ispsubcl2N  38818  pl42lem2N  38851  pl42lem3N  38852
  Copyright terms: Public domain W3C validator