Theorem relexp0rel 14993

Description: The exponentiation of a class to zero is a relation. (Contributed by RP, 23-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
relexp0rel	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → Rel (𝑅↑𝑟0))

Proof of Theorem relexp0rel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relres 5965	. 2 ⊢ Rel ( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅))
2		relexp0g 14978	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅↑𝑟0) = ( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)))
3	2	releqd 5729	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (Rel (𝑅↑𝑟0) ↔ Rel ( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅))))
4	1, 3	mpbiri 258	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → Rel (𝑅↑𝑟0))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   ∪ cun 3888   I cid 5519  dom cdm 5625  ran crn 5626   ↾ cres 5627  Rel wrel 5630  (class class class)co 7361  0cc0 11032  ↑_𝑟crelexp 14975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-mulcl 11094  ax-i2m1 11100

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fv 6501  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-n0 12432  df-relexp 14976

This theorem is referenced by:  relexprelg  14994  relexpaddg  15009