Theorem relexp0rel 15190

Description: The exponentiation of a class to zero is a relation. (Contributed by RP, 23-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
relexp0rel	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → Rel (𝑅↑𝑟0))

Proof of Theorem relexp0rel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relres 5996	. 2 ⊢ Rel ( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅))
2		relexp0g 15175	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅↑𝑟0) = ( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)))
3	2	releqd 5755	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (Rel (𝑅↑𝑟0) ↔ Rel ( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅))))
4	1, 3	mpbiri 261	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → Rel (𝑅↑𝑟0))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   ∪ cun 3897   I cid 5545  dom cdm 5651  ran crn 5652   ↾ cres 5653  Rel wrel 5656  (class class class)co 7420  0cc0 11200  ↑_𝑟crelexp 15172

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-mulcl 11262  ax-i2m1 11268

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-n0 12607  df-relexp 15173

This theorem is used by:  relexprelg  15191  relexpaddg  15206