Theorem relexp0rel 14600

Description: The exponentiation of a class to zero is a relation. (Contributed by RP, 23-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
relexp0rel	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → Rel (𝑅↑𝑟0))

Proof of Theorem relexp0rel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relres 5880	. 2 ⊢ Rel ( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅))
2		relexp0g 14585	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅↑𝑟0) = ( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)))
3	2	releqd 5650	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (Rel (𝑅↑𝑟0) ↔ Rel ( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅))))
4	1, 3	mpbiri 261	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → Rel (𝑅↑𝑟0))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2110   ∪ cun 3864   I cid 5454  dom cdm 5551  ran crn 5552   ↾ cres 5553  Rel wrel 5556  (class class class)co 7213  0cc0 10729  ↑_𝑟crelexp 14582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-mulcl 10791  ax-i2m1 10797

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-br 5054  df-opab 5116  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fv 6388  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-n0 12091  df-relexp 14583

This theorem is referenced by:  relexprelg  14601  relexpaddg  14616