Theorem sgnsgn 34010

Description: Signum is idempotent. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
sgnsgn	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (sgn‘(sgn‘𝐴)) = (sgn‘𝐴))

Proof of Theorem sgnsgn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		fveq2 6891	. . 3 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 0 → (sgn‘(sgn‘𝐴)) = (sgn‘0))
3		id 22	. . 3 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 0 → (sgn‘𝐴) = 0)
4	2, 3	eqeq12d 2747	. 2 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 0 → ((sgn‘(sgn‘𝐴)) = (sgn‘𝐴) ↔ (sgn‘0) = 0))
5		fveq2 6891	. . 3 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 1 → (sgn‘(sgn‘𝐴)) = (sgn‘1))
6		id 22	. . 3 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 1 → (sgn‘𝐴) = 1)
7	5, 6	eqeq12d 2747	. 2 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 1 → ((sgn‘(sgn‘𝐴)) = (sgn‘𝐴) ↔ (sgn‘1) = 1))
8		fveq2 6891	. . 3 ⊢ ((sgn‘𝐴) = -1 → (sgn‘(sgn‘𝐴)) = (sgn‘-1))
9		id 22	. . 3 ⊢ ((sgn‘𝐴) = -1 → (sgn‘𝐴) = -1)
10	8, 9	eqeq12d 2747	. 2 ⊢ ((sgn‘𝐴) = -1 → ((sgn‘(sgn‘𝐴)) = (sgn‘𝐴) ↔ (sgn‘-1) = -1))
11		sgn0 15043	. . 3 ⊢ (sgn‘0) = 0
12	11	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 = 0) → (sgn‘0) = 0)
13		sgn1 15046	. . 3 ⊢ (sgn‘1) = 1
14	13	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (sgn‘1) = 1)
15		neg1rr 12334	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℝ
16	15	rexri 11279	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℝ*
17		neg1lt0 12336	. . . 4 ⊢ -1 < 0
18		sgnn 15048	. . . 4 ⊢ ((-1 ∈ ℝ* ∧ -1 < 0) → (sgn‘-1) = -1)
19	16, 17, 18	mp2an 689	. . 3 ⊢ (sgn‘-1) = -1
20	19	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → (sgn‘-1) = -1)
21	1, 4, 7, 10, 12, 14, 20	sgn3da 34003	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (sgn‘(sgn‘𝐴)) = (sgn‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  0cc0 11116  1c1 11117  ℝ^*cxr 11254   < clt 11255  -cneg 11452  sgncsgn 15040

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-sgn 15041

This theorem is referenced by:  signsvfn  34056  signsvfpn  34059  signsvfnn  34060