Theorem sgnsgn 32820

Description: Signum is idempotent. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
sgnsgn	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (sgn‘(sgn‘𝐴)) = (sgn‘𝐴))

Proof of Theorem sgnsgn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		fveq2 6876	. . 3 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 0 → (sgn‘(sgn‘𝐴)) = (sgn‘0))
3		id 22	. . 3 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 0 → (sgn‘𝐴) = 0)
4	2, 3	eqeq12d 2751	. 2 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 0 → ((sgn‘(sgn‘𝐴)) = (sgn‘𝐴) ↔ (sgn‘0) = 0))
5		fveq2 6876	. . 3 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 1 → (sgn‘(sgn‘𝐴)) = (sgn‘1))
6		id 22	. . 3 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 1 → (sgn‘𝐴) = 1)
7	5, 6	eqeq12d 2751	. 2 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 1 → ((sgn‘(sgn‘𝐴)) = (sgn‘𝐴) ↔ (sgn‘1) = 1))
8		fveq2 6876	. . 3 ⊢ ((sgn‘𝐴) = -1 → (sgn‘(sgn‘𝐴)) = (sgn‘-1))
9		id 22	. . 3 ⊢ ((sgn‘𝐴) = -1 → (sgn‘𝐴) = -1)
10	8, 9	eqeq12d 2751	. 2 ⊢ ((sgn‘𝐴) = -1 → ((sgn‘(sgn‘𝐴)) = (sgn‘𝐴) ↔ (sgn‘-1) = -1))
11		sgn0 15108	. . 3 ⊢ (sgn‘0) = 0
12	11	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 = 0) → (sgn‘0) = 0)
13		sgn1 15111	. . 3 ⊢ (sgn‘1) = 1
14	13	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (sgn‘1) = 1)
15		neg1rr 12355	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℝ
16	15	rexri 11293	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℝ*
17		neg1lt0 12357	. . . 4 ⊢ -1 < 0
18		sgnn 15113	. . . 4 ⊢ ((-1 ∈ ℝ* ∧ -1 < 0) → (sgn‘-1) = -1)
19	16, 17, 18	mp2an 692	. . 3 ⊢ (sgn‘-1) = -1
20	19	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → (sgn‘-1) = -1)
21	1, 4, 7, 10, 12, 14, 20	sgn3da 32813	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (sgn‘(sgn‘𝐴)) = (sgn‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119  ‘cfv 6531  0cc0 11129  1c1 11130  ℝ^*cxr 11268   < clt 11269  -cneg 11467  sgncsgn 15105

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-sgn 15106

This theorem is referenced by:  signsvfn  34614  signsvfpn  34617  signsvfnn  34618