Theorem sgnsgn 32932

Description: Signum is idempotent. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
sgnsgn	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (sgn‘(sgn‘𝐴)) = (sgn‘𝐴))

Proof of Theorem sgnsgn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		fveq2 6835	. . 3 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 0 → (sgn‘(sgn‘𝐴)) = (sgn‘0))
3		id 22	. . 3 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 0 → (sgn‘𝐴) = 0)
4	2, 3	eqeq12d 2753	. 2 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 0 → ((sgn‘(sgn‘𝐴)) = (sgn‘𝐴) ↔ (sgn‘0) = 0))
5		fveq2 6835	. . 3 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 1 → (sgn‘(sgn‘𝐴)) = (sgn‘1))
6		id 22	. . 3 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 1 → (sgn‘𝐴) = 1)
7	5, 6	eqeq12d 2753	. 2 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 1 → ((sgn‘(sgn‘𝐴)) = (sgn‘𝐴) ↔ (sgn‘1) = 1))
8		fveq2 6835	. . 3 ⊢ ((sgn‘𝐴) = -1 → (sgn‘(sgn‘𝐴)) = (sgn‘-1))
9		id 22	. . 3 ⊢ ((sgn‘𝐴) = -1 → (sgn‘𝐴) = -1)
10	8, 9	eqeq12d 2753	. 2 ⊢ ((sgn‘𝐴) = -1 → ((sgn‘(sgn‘𝐴)) = (sgn‘𝐴) ↔ (sgn‘-1) = -1))
11		sgn0 15045	. . 3 ⊢ (sgn‘0) = 0
12	11	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 = 0) → (sgn‘0) = 0)
13		sgn1 15048	. . 3 ⊢ (sgn‘1) = 1
14	13	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (sgn‘1) = 1)
15		neg1rr 12139	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℝ
16	15	rexri 11197	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℝ*
17		neg1lt0 12141	. . . 4 ⊢ -1 < 0
18		sgnn 15050	. . . 4 ⊢ ((-1 ∈ ℝ* ∧ -1 < 0) → (sgn‘-1) = -1)
19	16, 17, 18	mp2an 693	. . 3 ⊢ (sgn‘-1) = -1
20	19	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → (sgn‘-1) = -1)
21	1, 4, 7, 10, 12, 14, 20	sgn3da 32925	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (sgn‘(sgn‘𝐴)) = (sgn‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ‘cfv 6493  0cc0 11032  1c1 11033  ℝ^*cxr 11172   < clt 11173  -cneg 11372  sgncsgn 15042

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-sgn 15043

This theorem is referenced by:  signsvfn  34745  signsvfpn  34748  signsvfnn  34749