Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sgnsgn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sgnsgn 30950
 Description: Signum is idempotent. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
sgnsgn (𝐴 ∈ ℝ* → (sgn‘(sgn‘𝐴)) = (sgn‘𝐴))

Proof of Theorem sgnsgn
StepHypRef Expression
1 id 22 . 2 (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*)
2 fveq2 6332 . . 3 ((sgn‘𝐴) = 0 → (sgn‘(sgn‘𝐴)) = (sgn‘0))
3 id 22 . . 3 ((sgn‘𝐴) = 0 → (sgn‘𝐴) = 0)
42, 3eqeq12d 2786 . 2 ((sgn‘𝐴) = 0 → ((sgn‘(sgn‘𝐴)) = (sgn‘𝐴) ↔ (sgn‘0) = 0))
5 fveq2 6332 . . 3 ((sgn‘𝐴) = 1 → (sgn‘(sgn‘𝐴)) = (sgn‘1))
6 id 22 . . 3 ((sgn‘𝐴) = 1 → (sgn‘𝐴) = 1)
75, 6eqeq12d 2786 . 2 ((sgn‘𝐴) = 1 → ((sgn‘(sgn‘𝐴)) = (sgn‘𝐴) ↔ (sgn‘1) = 1))
8 fveq2 6332 . . 3 ((sgn‘𝐴) = -1 → (sgn‘(sgn‘𝐴)) = (sgn‘-1))
9 id 22 . . 3 ((sgn‘𝐴) = -1 → (sgn‘𝐴) = -1)
108, 9eqeq12d 2786 . 2 ((sgn‘𝐴) = -1 → ((sgn‘(sgn‘𝐴)) = (sgn‘𝐴) ↔ (sgn‘-1) = -1))
11 sgn0 14037 . . 3 (sgn‘0) = 0
1211a1i 11 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 = 0) → (sgn‘0) = 0)
13 sgn1 14040 . . 3 (sgn‘1) = 1
1413a1i 11 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (sgn‘1) = 1)
15 neg1rr 11327 . . . . 5 -1 ∈ ℝ
1615rexri 10299 . . . 4 -1 ∈ ℝ*
17 neg1lt0 11329 . . . 4 -1 < 0
18 sgnn 14042 . . . 4 ((-1 ∈ ℝ* ∧ -1 < 0) → (sgn‘-1) = -1)
1916, 17, 18mp2an 672 . . 3 (sgn‘-1) = -1
2019a1i 11 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → (sgn‘-1) = -1)
211, 4, 7, 10, 12, 14, 20sgn3da 30943 1 (𝐴 ∈ ℝ* → (sgn‘(sgn‘𝐴)) = (sgn‘𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   class class class wbr 4786  ‘cfv 6031  0cc0 10138  1c1 10139  ℝ*cxr 10275   < clt 10276  -cneg 10469  sgncsgn 14034 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-sgn 14035 This theorem is referenced by:  signsvfn  30999  signsvfpn  31002  signsvfnn  31003
 Copyright terms: Public domain W3C validator