Theorem sgnsgn 32933

Description: Signum is idempotent. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
sgnsgn	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (sgn‘(sgn‘𝐴)) = (sgn‘𝐴))

Proof of Theorem sgnsgn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		fveq2 6827	. . 3 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 0 → (sgn‘(sgn‘𝐴)) = (sgn‘0))
3		id 22	. . 3 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 0 → (sgn‘𝐴) = 0)
4	2, 3	eqeq12d 2755	. 2 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 0 → ((sgn‘(sgn‘𝐴)) = (sgn‘𝐴) ↔ (sgn‘0) = 0))
5		fveq2 6827	. . 3 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 1 → (sgn‘(sgn‘𝐴)) = (sgn‘1))
6		id 22	. . 3 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 1 → (sgn‘𝐴) = 1)
7	5, 6	eqeq12d 2755	. 2 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 1 → ((sgn‘(sgn‘𝐴)) = (sgn‘𝐴) ↔ (sgn‘1) = 1))
8		fveq2 6827	. . 3 ⊢ ((sgn‘𝐴) = -1 → (sgn‘(sgn‘𝐴)) = (sgn‘-1))
9		id 22	. . 3 ⊢ ((sgn‘𝐴) = -1 → (sgn‘𝐴) = -1)
10	8, 9	eqeq12d 2755	. 2 ⊢ ((sgn‘𝐴) = -1 → ((sgn‘(sgn‘𝐴)) = (sgn‘𝐴) ↔ (sgn‘-1) = -1))
11		sgn0 15042	. . 3 ⊢ (sgn‘0) = 0
12	11	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 = 0) → (sgn‘0) = 0)
13		sgn1 15045	. . 3 ⊢ (sgn‘1) = 1
14	13	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (sgn‘1) = 1)
15		neg1rr 12136	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℝ
16	15	rexri 11194	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℝ*
17		neg1lt0 12138	. . . 4 ⊢ -1 < 0
18		sgnn 15047	. . . 4 ⊢ ((-1 ∈ ℝ* ∧ -1 < 0) → (sgn‘-1) = -1)
19	16, 17, 18	mp2an 698	. . 3 ⊢ (sgn‘-1) = -1
20	19	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → (sgn‘-1) = -1)
21	1, 4, 7, 10, 12, 14, 20	sgn3da 32926	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (sgn‘(sgn‘𝐴)) = (sgn‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485  0cc0 11029  1c1 11030  ℝ^*cxr 11169   < clt 11170  -cneg 11369  sgncsgn 15039

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-po 5526  df-so 5527  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-sgn 15040

This theorem is referenced by:  signsvfn  34766  signsvfpn  34769  signsvfnn  34770