sgnmul - Mathbox for Thierry Arnoux

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Theorem sgnmul 34523

Description: Signum of a product. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Oct-2018.)

**Assertion**
Ref	Expression
sgnmul	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)))

**Proof of Theorem sgnmul**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		remulcl 11237	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
2	1	rexrd 11308	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ^*)
3		eqeq1 2738	. 2 ⊢ ((sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 0 → ((sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)) ↔ 0 = ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵))))
4		eqeq1 2738	. 2 ⊢ ((sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 1 → ((sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)) ↔ 1 = ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵))))
5		eqeq1 2738	. 2 ⊢ ((sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = -1 → ((sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)) ↔ -1 = ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵))))
6		fveq2 6906	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 0 → (sgn‘𝐴) = (sgn‘0))
7		sgn0 15124	. . . . . . 7 ⊢ (sgn‘0) = 0
8	6, 7	eqtrdi 2790	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → (sgn‘𝐴) = 0)
9	8	oveq1d 7445	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)) = (0 · (sgn‘𝐵)))
10	9	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) = 0) ∧ 𝐴 = 0) → ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)) = (0 · (sgn‘𝐵)))
11		sgnclre 34520	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (sgn‘𝐵) ∈ ℝ)
12	11	recnd 11286	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (sgn‘𝐵) ∈ ℂ)
13	12	mul02d 11456	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 · (sgn‘𝐵)) = 0)
14	13	ad3antlr 731	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) = 0) ∧ 𝐴 = 0) → (0 · (sgn‘𝐵)) = 0)
15	10, 14	eqtr2d 2775	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) = 0) ∧ 𝐴 = 0) → 0 = ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)))
16		fveq2 6906	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = 0 → (sgn‘𝐵) = (sgn‘0))
17	16, 7	eqtrdi 2790	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 0 → (sgn‘𝐵) = 0)
18	17	oveq2d 7446	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 0 → ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)) = ((sgn‘𝐴) · 0))
19	18	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) = 0) ∧ 𝐵 = 0) → ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)) = ((sgn‘𝐴) · 0))
20		sgnclre 34520	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sgn‘𝐴) ∈ ℝ)
21	20	recnd 11286	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sgn‘𝐴) ∈ ℂ)
22	21	mul01d 11457	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((sgn‘𝐴) · 0) = 0)
23	22	ad3antrrr 730	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) = 0) ∧ 𝐵 = 0) → ((sgn‘𝐴) · 0) = 0)
24	19, 23	eqtr2d 2775	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) = 0) ∧ 𝐵 = 0) → 0 = ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)))
25		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
26	25	recnd 11286	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
27		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
28	27	recnd 11286	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
29	26, 28	mul0ord 11910	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0)))
30	29	biimpa 476	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) = 0) → (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0))
31	15, 24, 30	mpjaodan 960	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) = 0) → 0 = ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)))
32		simpll 767	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
33	32	rexrd 11308	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ^*)
34		oveq1 7437	. . . 4 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 0 → ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)) = (0 · (sgn‘𝐵)))
35	34	eqeq2d 2745	. . 3 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 0 → (1 = ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)) ↔ 1 = (0 · (sgn‘𝐵))))
36		oveq1 7437	. . . 4 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 1 → ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)) = (1 · (sgn‘𝐵)))
37	36	eqeq2d 2745	. . 3 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 1 → (1 = ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)) ↔ 1 = (1 · (sgn‘𝐵))))
38		oveq1 7437	. . . 4 ⊢ ((sgn‘𝐴) = -1 → ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)) = (-1 · (sgn‘𝐵)))
39	38	eqeq2d 2745	. . 3 ⊢ ((sgn‘𝐴) = -1 → (1 = ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)) ↔ 1 = (-1 · (sgn‘𝐵))))
40		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) ∧ 𝐴 = 0) → 𝐴 = 0)
41	26	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
42	28	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
43		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
44	43	gt0ne0d 11824	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)
45	41, 42, 44	mulne0bad 11915	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝐴 ≠ 0)
46	45	neneqd 2942	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → ¬ 𝐴 = 0)
47	46	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) ∧ 𝐴 = 0) → ¬ 𝐴 = 0)
48	40, 47	pm2.21dd 195	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) ∧ 𝐴 = 0) → 1 = (0 · (sgn‘𝐵)))
49	27	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
50	49	rexrd 11308	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
51		simpll 767	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
52		0red 11261	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) ∧ 0 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
53		simplll 775	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
54		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
55	52, 53, 54	ltled 11406	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≤ 𝐴)
56		simplr 769	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
57		prodgt0 12111	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → 0 < 𝐵)
58	51, 55, 56, 57	syl12anc 837	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐵)
59		sgnp 15125	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 0 < 𝐵) → (sgn‘𝐵) = 1)
60	50, 58, 59	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) ∧ 0 < 𝐴) → (sgn‘𝐵) = 1)
61	60	oveq2d 7446	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) ∧ 0 < 𝐴) → (1 · (sgn‘𝐵)) = (1 · 1))
62		1t1e1 12425	. . . 4 ⊢ (1 · 1) = 1
63	61, 62	eqtr2di 2791	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) ∧ 0 < 𝐴) → 1 = (1 · (sgn‘𝐵)))
64	27	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
65	64	rexrd 11308	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
66		simplll 775	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
67	66	renegcld 11687	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 ∈ ℝ)
68	64	renegcld 11687	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐵 ∈ ℝ)
69		0red 11261	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) ∧ 𝐴 < 0) → 0 ∈ ℝ)
70		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 < 0)
71	25	lt0neg1d 11829	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
72	71	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
73	70, 72	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) ∧ 𝐴 < 0) → 0 < -𝐴)
74	69, 67, 73	ltled 11406	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) ∧ 𝐴 < 0) → 0 ≤ -𝐴)
75		simplr 769	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) ∧ 𝐴 < 0) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
76	26	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
77	28	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
78	76, 77	mul2negd 11715	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) ∧ 𝐴 < 0) → (-𝐴 · -𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
79	75, 78	breqtrrd 5175	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) ∧ 𝐴 < 0) → 0 < (-𝐴 · -𝐵))
80		prodgt0 12111	. . . . . . . 8 ⊢ (((-𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ -𝐴 ∧ 0 < (-𝐴 · -𝐵))) → 0 < -𝐵)
81	67, 68, 74, 79, 80	syl22anc 839	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) ∧ 𝐴 < 0) → 0 < -𝐵)
82	27	lt0neg1d 11829	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 < 0 ↔ 0 < -𝐵))
83	82	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐵 < 0 ↔ 0 < -𝐵))
84	81, 83	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐵 < 0)
85		sgnn 15129	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 < 0) → (sgn‘𝐵) = -1)
86	65, 84, 85	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) ∧ 𝐴 < 0) → (sgn‘𝐵) = -1)
87	86	oveq2d 7446	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) ∧ 𝐴 < 0) → (-1 · (sgn‘𝐵)) = (-1 · -1))
88		neg1mulneg1e1 12476	. . . 4 ⊢ (-1 · -1) = 1
89	87, 88	eqtr2di 2791	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) ∧ 𝐴 < 0) → 1 = (-1 · (sgn‘𝐵)))
90	33, 35, 37, 39, 48, 63, 89	sgn3da 34522	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 1 = ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)))
91		simpll 767	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
92	91	rexrd 11308	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 𝐴 ∈ ℝ^*)
93	34	eqeq2d 2745	. . 3 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 0 → (-1 = ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)) ↔ -1 = (0 · (sgn‘𝐵))))
94	36	eqeq2d 2745	. . 3 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 1 → (-1 = ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)) ↔ -1 = (1 · (sgn‘𝐵))))
95	38	eqeq2d 2745	. . 3 ⊢ ((sgn‘𝐴) = -1 → (-1 = ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)) ↔ -1 = (-1 · (sgn‘𝐵))))
96		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 = 0) → 𝐴 = 0)
97	26	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 = 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
98	28	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 = 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
99		simplr 769	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 = 0) → (𝐴 · 𝐵) < 0)
100	99	lt0ne0d 11825	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 = 0) → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)
101	97, 98, 100	mulne0bad 11915	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 = 0) → 𝐴 ≠ 0)
102	101	neneqd 2942	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 = 0) → ¬ 𝐴 = 0)
103	96, 102	pm2.21dd 195	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 = 0) → -1 = (0 · (sgn‘𝐵)))
104	27	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
105	104	rexrd 11308	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
106		simplr 769	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
107	26, 28	mulcomd 11279	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
108	107	breq1d 5157	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ (𝐵 · 𝐴) < 0))
109	108	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝐵 · 𝐴) < 0)
110	106, 91, 109	mul2lt0rgt0 13135	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 < 0)
111	105, 110, 85	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 0 < 𝐴) → (sgn‘𝐵) = -1)
112	111	oveq2d 7446	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 0 < 𝐴) → (1 · (sgn‘𝐵)) = (1 · -1))
113		neg1cn 12377	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℂ
114	113	mullidi 11263	. . . 4 ⊢ (1 · -1) = -1
115	112, 114	eqtr2di 2791	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 0 < 𝐴) → -1 = (1 · (sgn‘𝐵)))
116	106	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
117	116	rexrd 11308	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
118	106, 91, 109	mul2lt0rlt0 13134	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → 0 < 𝐵)
119	117, 118, 59	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → (sgn‘𝐵) = 1)
120	119	oveq2d 7446	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → (-1 · (sgn‘𝐵)) = (-1 · 1))
121	113	mulridi 11262	. . . 4 ⊢ (-1 · 1) = -1
122	120, 121	eqtr2di 2791	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → -1 = (-1 · (sgn‘𝐵)))
123	92, 93, 94, 95, 103, 115, 122	sgn3da 34522	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → -1 = ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)))
124	2, 3, 4, 5, 31, 90, 123	sgn3da 34522	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∨ wo 847 = wceq 1536 ∈ wcel 2105 class class class wbr 5147 ‘cfv 6562 (class class class)co 7430 ℂcc 11150 ℝcr 11151 0cc0 11152 1c1 11153 · cmul 11157 ℝ^*cxr 11291 < clt 11292 ≤ cle 11293 -cneg 11490 sgncsgn 15121

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1791 ax-4 1805 ax-5 1907 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2107 ax-9 2115 ax-10 2138 ax-11 2154 ax-12 2174 ax-ext 2705 ax-sep 5301 ax-nul 5311 ax-pow 5370 ax-pr 5437 ax-un 7753 ax-cnex 11208 ax-resscn 11209 ax-1cn 11210 ax-icn 11211 ax-addcl 11212 ax-addrcl 11213 ax-mulcl 11214 ax-mulrcl 11215 ax-mulcom 11216 ax-addass 11217 ax-mulass 11218 ax-distr 11219 ax-i2m1 11220 ax-1ne0 11221 ax-1rid 11222 ax-rnegex 11223 ax-rrecex 11224 ax-cnre 11225 ax-pre-lttri 11226 ax-pre-lttrn 11227 ax-pre-ltadd 11228 ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1539 df-fal 1549 df-ex 1776 df-nf 1780 df-sb 2062 df-mo 2537 df-eu 2566 df-clab 2712 df-cleq 2726 df-clel 2813 df-nfc 2889 df-ne 2938 df-nel 3044 df-ral 3059 df-rex 3068 df-rmo 3377 df-reu 3378 df-rab 3433 df-v 3479 df-sbc 3791 df-csb 3908 df-dif 3965 df-un 3967 df-in 3969 df-ss 3979 df-nul 4339 df-if 4531 df-pw 4606 df-sn 4631 df-pr 4633 df-tp 4635 df-op 4637 df-uni 4912 df-br 5148 df-opab 5210 df-mpt 5231 df-id 5582 df-po 5596 df-so 5597 df-xp 5694 df-rel 5695 df-cnv 5696 df-co 5697 df-dm 5698 df-rn 5699 df-res 5700 df-ima 5701 df-iota 6515 df-fun 6564 df-fn 6565 df-f 6566 df-f1 6567 df-fo 6568 df-f1o 6569 df-fv 6570 df-riota 7387 df-ov 7433 df-oprab 7434 df-mpo 7435 df-er 8743 df-en 8984 df-dom 8985 df-sdom 8986 df-pnf 11294 df-mnf 11295 df-xr 11296 df-ltxr 11297 df-le 11298 df-sub 11491 df-neg 11492 df-div 11918 df-rp 13032 df-sgn 15122

This theorem is referenced by: sgnmulrp2 34524 sgnmulsgn 34530 sgnmulsgp 34531

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