sgnmul - Mathbox for Thierry Arnoux

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Theorem sgnmul 32829

Description: Signum of a product. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Oct-2018.)

**Assertion**
Ref	Expression
sgnmul	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)))

**Proof of Theorem sgnmul**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		remulcl 11101	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
2	1	rexrd 11172	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ^*)
3		eqeq1 2737	. 2 ⊢ ((sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 0 → ((sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)) ↔ 0 = ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵))))
4		eqeq1 2737	. 2 ⊢ ((sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 1 → ((sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)) ↔ 1 = ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵))))
5		eqeq1 2737	. 2 ⊢ ((sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = -1 → ((sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)) ↔ -1 = ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵))))
6		fveq2 6831	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 0 → (sgn‘𝐴) = (sgn‘0))
7		sgn0 15006	. . . . . . 7 ⊢ (sgn‘0) = 0
8	6, 7	eqtrdi 2784	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → (sgn‘𝐴) = 0)
9	8	oveq1d 7370	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)) = (0 · (sgn‘𝐵)))
10	9	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) = 0) ∧ 𝐴 = 0) → ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)) = (0 · (sgn‘𝐵)))
11		sgnclre 32826	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (sgn‘𝐵) ∈ ℝ)
12	11	recnd 11150	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (sgn‘𝐵) ∈ ℂ)
13	12	mul02d 11321	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 · (sgn‘𝐵)) = 0)
14	13	ad3antlr 731	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) = 0) ∧ 𝐴 = 0) → (0 · (sgn‘𝐵)) = 0)
15	10, 14	eqtr2d 2769	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) = 0) ∧ 𝐴 = 0) → 0 = ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)))
16		fveq2 6831	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = 0 → (sgn‘𝐵) = (sgn‘0))
17	16, 7	eqtrdi 2784	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 0 → (sgn‘𝐵) = 0)
18	17	oveq2d 7371	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 0 → ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)) = ((sgn‘𝐴) · 0))
19	18	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) = 0) ∧ 𝐵 = 0) → ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)) = ((sgn‘𝐴) · 0))
20		sgnclre 32826	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sgn‘𝐴) ∈ ℝ)
21	20	recnd 11150	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sgn‘𝐴) ∈ ℂ)
22	21	mul01d 11322	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((sgn‘𝐴) · 0) = 0)
23	22	ad3antrrr 730	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) = 0) ∧ 𝐵 = 0) → ((sgn‘𝐴) · 0) = 0)
24	19, 23	eqtr2d 2769	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) = 0) ∧ 𝐵 = 0) → 0 = ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)))
25		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
26	25	recnd 11150	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
27		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
28	27	recnd 11150	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
29	26, 28	mul0ord 11775	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0)))
30	29	biimpa 476	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) = 0) → (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0))
31	15, 24, 30	mpjaodan 960	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) = 0) → 0 = ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)))
32		simpll 766	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
33	32	rexrd 11172	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ^*)
34		oveq1 7362	. . . 4 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 0 → ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)) = (0 · (sgn‘𝐵)))
35	34	eqeq2d 2744	. . 3 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 0 → (1 = ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)) ↔ 1 = (0 · (sgn‘𝐵))))
36		oveq1 7362	. . . 4 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 1 → ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)) = (1 · (sgn‘𝐵)))
37	36	eqeq2d 2744	. . 3 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 1 → (1 = ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)) ↔ 1 = (1 · (sgn‘𝐵))))
38		oveq1 7362	. . . 4 ⊢ ((sgn‘𝐴) = -1 → ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)) = (-1 · (sgn‘𝐵)))
39	38	eqeq2d 2744	. . 3 ⊢ ((sgn‘𝐴) = -1 → (1 = ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)) ↔ 1 = (-1 · (sgn‘𝐵))))
40		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) ∧ 𝐴 = 0) → 𝐴 = 0)
41	26	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
42	28	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
43		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
44	43	gt0ne0d 11691	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)
45	41, 42, 44	mulne0bad 11782	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝐴 ≠ 0)
46	45	neneqd 2935	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → ¬ 𝐴 = 0)
47	46	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) ∧ 𝐴 = 0) → ¬ 𝐴 = 0)
48	40, 47	pm2.21dd 195	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) ∧ 𝐴 = 0) → 1 = (0 · (sgn‘𝐵)))
49	27	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
50	49	rexrd 11172	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
51		simpll 766	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
52		0red 11125	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) ∧ 0 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
53		simplll 774	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
54		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
55	52, 53, 54	ltled 11271	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≤ 𝐴)
56		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
57		prodgt0 11978	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → 0 < 𝐵)
58	51, 55, 56, 57	syl12anc 836	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐵)
59		sgnp 15007	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 0 < 𝐵) → (sgn‘𝐵) = 1)
60	50, 58, 59	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) ∧ 0 < 𝐴) → (sgn‘𝐵) = 1)
61	60	oveq2d 7371	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) ∧ 0 < 𝐴) → (1 · (sgn‘𝐵)) = (1 · 1))
62		1t1e1 12292	. . . 4 ⊢ (1 · 1) = 1
63	61, 62	eqtr2di 2785	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) ∧ 0 < 𝐴) → 1 = (1 · (sgn‘𝐵)))
64	27	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
65	64	rexrd 11172	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
66		simplll 774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
67	66	renegcld 11554	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 ∈ ℝ)
68	64	renegcld 11554	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐵 ∈ ℝ)
69		0red 11125	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) ∧ 𝐴 < 0) → 0 ∈ ℝ)
70		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 < 0)
71	25	lt0neg1d 11696	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
72	71	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
73	70, 72	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) ∧ 𝐴 < 0) → 0 < -𝐴)
74	69, 67, 73	ltled 11271	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) ∧ 𝐴 < 0) → 0 ≤ -𝐴)
75		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) ∧ 𝐴 < 0) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
76	26	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
77	28	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
78	76, 77	mul2negd 11582	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) ∧ 𝐴 < 0) → (-𝐴 · -𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
79	75, 78	breqtrrd 5123	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) ∧ 𝐴 < 0) → 0 < (-𝐴 · -𝐵))
80		prodgt0 11978	. . . . . . . 8 ⊢ (((-𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ -𝐴 ∧ 0 < (-𝐴 · -𝐵))) → 0 < -𝐵)
81	67, 68, 74, 79, 80	syl22anc 838	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) ∧ 𝐴 < 0) → 0 < -𝐵)
82	27	lt0neg1d 11696	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 < 0 ↔ 0 < -𝐵))
83	82	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐵 < 0 ↔ 0 < -𝐵))
84	81, 83	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐵 < 0)
85		sgnn 15011	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 < 0) → (sgn‘𝐵) = -1)
86	65, 84, 85	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) ∧ 𝐴 < 0) → (sgn‘𝐵) = -1)
87	86	oveq2d 7371	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) ∧ 𝐴 < 0) → (-1 · (sgn‘𝐵)) = (-1 · -1))
88		neg1mulneg1e1 12343	. . . 4 ⊢ (-1 · -1) = 1
89	87, 88	eqtr2di 2785	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) ∧ 𝐴 < 0) → 1 = (-1 · (sgn‘𝐵)))
90	33, 35, 37, 39, 48, 63, 89	sgn3da 32828	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 1 = ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)))
91		simpll 766	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
92	91	rexrd 11172	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 𝐴 ∈ ℝ^*)
93	34	eqeq2d 2744	. . 3 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 0 → (-1 = ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)) ↔ -1 = (0 · (sgn‘𝐵))))
94	36	eqeq2d 2744	. . 3 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 1 → (-1 = ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)) ↔ -1 = (1 · (sgn‘𝐵))))
95	38	eqeq2d 2744	. . 3 ⊢ ((sgn‘𝐴) = -1 → (-1 = ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)) ↔ -1 = (-1 · (sgn‘𝐵))))
96		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 = 0) → 𝐴 = 0)
97	26	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 = 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
98	28	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 = 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
99		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 = 0) → (𝐴 · 𝐵) < 0)
100	99	lt0ne0d 11692	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 = 0) → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)
101	97, 98, 100	mulne0bad 11782	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 = 0) → 𝐴 ≠ 0)
102	101	neneqd 2935	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 = 0) → ¬ 𝐴 = 0)
103	96, 102	pm2.21dd 195	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 = 0) → -1 = (0 · (sgn‘𝐵)))
104	27	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
105	104	rexrd 11172	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
106		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
107	26, 28	mulcomd 11143	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
108	107	breq1d 5105	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ (𝐵 · 𝐴) < 0))
109	108	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝐵 · 𝐴) < 0)
110	106, 91, 109	mul2lt0rgt0 13005	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 < 0)
111	105, 110, 85	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 0 < 𝐴) → (sgn‘𝐵) = -1)
112	111	oveq2d 7371	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 0 < 𝐴) → (1 · (sgn‘𝐵)) = (1 · -1))
113		neg1cn 12120	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℂ
114	113	mullidi 11127	. . . 4 ⊢ (1 · -1) = -1
115	112, 114	eqtr2di 2785	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 0 < 𝐴) → -1 = (1 · (sgn‘𝐵)))
116	106	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
117	116	rexrd 11172	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
118	106, 91, 109	mul2lt0rlt0 13004	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → 0 < 𝐵)
119	117, 118, 59	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → (sgn‘𝐵) = 1)
120	119	oveq2d 7371	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → (-1 · (sgn‘𝐵)) = (-1 · 1))
121	113	mulridi 11126	. . . 4 ⊢ (-1 · 1) = -1
122	120, 121	eqtr2di 2785	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → -1 = (-1 · (sgn‘𝐵)))
123	92, 93, 94, 95, 103, 115, 122	sgn3da 32828	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → -1 = ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)))
124	2, 3, 4, 5, 31, 90, 123	sgn3da 32828	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∨ wo 847 = wceq 1541 ∈ wcel 2113 class class class wbr 5095 ‘cfv 6489 (class class class)co 7355 ℂcc 11014 ℝcr 11015 0cc0 11016 1c1 11017 · cmul 11021 ℝ^*cxr 11155 < clt 11156 ≤ cle 11157 -cneg 11355 sgncsgn 15003

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1968 ax-7 2009 ax-8 2115 ax-9 2123 ax-10 2146 ax-11 2162 ax-12 2182 ax-ext 2705 ax-sep 5238 ax-nul 5248 ax-pow 5307 ax-pr 5374 ax-un 7677 ax-cnex 11072 ax-resscn 11073 ax-1cn 11074 ax-icn 11075 ax-addcl 11076 ax-addrcl 11077 ax-mulcl 11078 ax-mulrcl 11079 ax-mulcom 11080 ax-addass 11081 ax-mulass 11082 ax-distr 11083 ax-i2m1 11084 ax-1ne0 11085 ax-1rid 11086 ax-rnegex 11087 ax-rrecex 11088 ax-cnre 11089 ax-pre-lttri 11090 ax-pre-lttrn 11091 ax-pre-ltadd 11092 ax-pre-mulgt0 11093

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2068 df-mo 2537 df-eu 2566 df-clab 2712 df-cleq 2725 df-clel 2808 df-nfc 2883 df-ne 2931 df-nel 3035 df-ral 3050 df-rex 3059 df-rmo 3348 df-reu 3349 df-rab 3398 df-v 3440 df-sbc 3739 df-csb 3848 df-dif 3902 df-un 3904 df-in 3906 df-ss 3916 df-nul 4285 df-if 4477 df-pw 4553 df-sn 4578 df-pr 4580 df-tp 4582 df-op 4584 df-uni 4861 df-br 5096 df-opab 5158 df-mpt 5177 df-id 5516 df-po 5529 df-so 5530 df-xp 5627 df-rel 5628 df-cnv 5629 df-co 5630 df-dm 5631 df-rn 5632 df-res 5633 df-ima 5634 df-iota 6445 df-fun 6491 df-fn 6492 df-f 6493 df-f1 6494 df-fo 6495 df-f1o 6496 df-fv 6497 df-riota 7312 df-ov 7358 df-oprab 7359 df-mpo 7360 df-er 8631 df-en 8879 df-dom 8880 df-sdom 8881 df-pnf 11158 df-mnf 11159 df-xr 11160 df-ltxr 11161 df-le 11162 df-sub 11356 df-neg 11357 df-div 11785 df-rp 12901 df-sgn 15004

This theorem is referenced by: sgnmulrp2 32830 sgnmulsgn 32836 sgnmulsgp 32837

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