Theorem sinval 16295

Description: Value of the sine function. (Contributed by NM, 14-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
sinval	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) / (2 · i)))

Proof of Theorem sinval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7428	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (i · 𝑥) = (i · 𝐴))
2	1	fveq2d 6889	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (exp‘(i · 𝑥)) = (exp‘(i · 𝐴)))
3		oveq2 7428	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ( -i · 𝑥) = ( -i · 𝐴))
4	3	fveq2d 6889	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (exp‘( -i · 𝑥)) = (exp‘( -i · 𝐴)))
5	2, 4	oveq12d 7438	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘( -i · 𝑥))) = ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))))
6	5	oveq1d 7435	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘( -i · 𝑥))) / (2 · i)) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) / (2 · i)))
7		df-sin 16240	. 2 ⊢ sin = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘( -i · 𝑥))) / (2 · i)))
8		ovex 7453	. 2 ⊢ (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) / (2 · i)) ∈ V
9	6, 7, 8	fvmpt 6993	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) / (2 · i)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11201  ici 11205   · cmul 11208   − cmin 11544   -cneg 11545   / cdiv 11976  2c2 12400  expce 16232  sincsin 16234

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fv 6546  df-ov 7423  df-sin 16240

This theorem is used by:  tanval2  16306  resinval  16308  sinneg  16319  efival  16325  sinhval  16327  sinadd  16337  dvsincos  26306  sinper  26815  sineq0  26857  efeq1  26861  sinasin  27222  sineq0ALT  46012