MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sinval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sinval 16009
Description: Value of the sine function. (Contributed by NM, 14-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
sinval (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)))

Proof of Theorem sinval
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7366 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (i · 𝑥) = (i · 𝐴))
21fveq2d 6847 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (exp‘(i · 𝑥)) = (exp‘(i · 𝐴)))
3 oveq2 7366 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (-i · 𝑥) = (-i · 𝐴))
43fveq2d 6847 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (exp‘(-i · 𝑥)) = (exp‘(-i · 𝐴)))
52, 4oveq12d 7376 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → ((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) = ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))))
65oveq1d 7373 . 2 (𝑥 = 𝐴 → (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / (2 · i)) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)))
7 df-sin 15957 . 2 sin = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / (2 · i)))
8 ovex 7391 . 2 (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)) ∈ V
96, 7, 8fvmpt 6949 1 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  cfv 6497  (class class class)co 7358  cc 11054  ici 11058   · cmul 11061  cmin 11390  -cneg 11391   / cdiv 11817  2c2 12213  expce 15949  sincsin 15951
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fv 6505  df-ov 7361  df-sin 15957
This theorem is referenced by:  tanval2  16020  resinval  16022  sinneg  16033  efival  16039  sinhval  16041  sinadd  16051  dvsincos  25361  sinper  25854  sineq0  25896  efeq1  25900  sinasin  26255  sineq0ALT  43307
  Copyright terms: Public domain W3C validator