Theorem sinval 16216

Description: Value of the sine function. (Contributed by NM, 14-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
sinval	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)))

Proof of Theorem sinval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7425	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (i · 𝑥) = (i · 𝐴))
2	1	fveq2d 6886	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (exp‘(i · 𝑥)) = (exp‘(i · 𝐴)))
3		oveq2 7425	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (-i · 𝑥) = (-i · 𝐴))
4	3	fveq2d 6886	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (exp‘(-i · 𝑥)) = (exp‘(-i · 𝐴)))
5	2, 4	oveq12d 7435	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) = ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))))
6	5	oveq1d 7432	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / (2 · i)) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)))
7		df-sin 16161	. 2 ⊢ sin = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / (2 · i)))
8		ovex 7450	. 2 ⊢ (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)) ∈ V
9	6, 7, 8	fvmpt 6990	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  ℂcc 11126  ici 11130   · cmul 11133   − cmin 11469  -cneg 11470   / cdiv 11899  2c2 12323  expce 16153  sincsin 16155

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fv 6545  df-ov 7420  df-sin 16161

This theorem is used by:  tanval2  16227  resinval  16229  sinneg  16240  efival  16246  sinhval  16248  sinadd  16258  dvsincos  26215  sinper  26726  sineq0  26769  efeq1  26773  sinasin  27134  sineq0ALT  45767