Theorem efival 16364

Description: The exponential function in terms of sine and cosine. (Contributed by NM, 30-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
efival	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))))

Proof of Theorem efival

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 11298	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
2		mulcl 11323	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
3	1, 2	mpan 703	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
4		efcl 16292	. . . . 5 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
5	3, 4	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
6		negicn 11597	. . . . . 6 ⊢ -i ∈ ℂ
7		mulcl 11323	. . . . . 6 ⊢ (( -i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ( -i · 𝐴) ∈ ℂ)
8	6, 7	mpan 703	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ( -i · 𝐴) ∈ ℂ)
9		efcl 16292	. . . . 5 ⊢ (( -i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘( -i · 𝐴)) ∈ ℂ)
10	8, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘( -i · 𝐴)) ∈ ℂ)
11	5, 10	addcld 11367	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘( -i · 𝐴))) ∈ ℂ)
12	5, 10	subcld 11708	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) ∈ ℂ)
13		2cn 12458	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
14		2ne0 12489	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
15	13, 14	pm3.2i 476	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
16		divdir 12039	. . . 4 ⊢ ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘( -i · 𝐴))) ∈ ℂ ∧ ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘( -i · 𝐴))) + ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴)))) / 2) = ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘( -i · 𝐴))) / 2) + (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) / 2)))
17	15, 16	mp3an3 1480	. . 3 ⊢ ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘( -i · 𝐴))) ∈ ℂ ∧ ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) ∈ ℂ) → ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘( -i · 𝐴))) + ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴)))) / 2) = ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘( -i · 𝐴))) / 2) + (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) / 2)))
18	11, 12, 17	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘( -i · 𝐴))) + ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴)))) / 2) = ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘( -i · 𝐴))) / 2) + (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) / 2)))
19	10, 5	pncan3d 11711	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘( -i · 𝐴)) + ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴)))) = (exp‘(i · 𝐴)))
20	19	oveq2d 7467	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) + ((exp‘( -i · 𝐴)) + ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))))) = ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(i · 𝐴))))
21	5, 10, 12	addassd 11370	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘( -i · 𝐴))) + ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴)))) = ((exp‘(i · 𝐴)) + ((exp‘( -i · 𝐴)) + ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))))))
22	5	2timesd 12629	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (exp‘(i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(i · 𝐴))))
23	20, 21, 22	3eqtr4d 2808	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘( -i · 𝐴))) + ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴)))) = (2 · (exp‘(i · 𝐴))))
24	23	oveq1d 7466	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘( -i · 𝐴))) + ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴)))) / 2) = ((2 · (exp‘(i · 𝐴))) / 2))
25		divcan3 12040	. . . . 5 ⊢ (((exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((2 · (exp‘(i · 𝐴))) / 2) = (exp‘(i · 𝐴)))
26	13, 14, 25	mp3an23 1483	. . . 4 ⊢ ((exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ → ((2 · (exp‘(i · 𝐴))) / 2) = (exp‘(i · 𝐴)))
27	5, 26	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · (exp‘(i · 𝐴))) / 2) = (exp‘(i · 𝐴)))
28	24, 27	eqtr2d 2799	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘( -i · 𝐴))) + ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴)))) / 2))
29		cosval 16335	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘( -i · 𝐴))) / 2))
30		2mulicn 12610	. . . . . . 7 ⊢ (2 · i) ∈ ℂ
31		2muline0 12611	. . . . . . 7 ⊢ (2 · i) ≠ 0
32	30, 31	pm3.2i 476	. . . . . 6 ⊢ ((2 · i) ∈ ℂ ∧ (2 · i) ≠ 0)
33		div12 12036	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) ∈ ℂ ∧ ((2 · i) ∈ ℂ ∧ (2 · i) ≠ 0)) → (i · (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) / (2 · i))) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) · (i / (2 · i))))
34	1, 32, 33	mp3an13 1482	. . . . 5 ⊢ (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) ∈ ℂ → (i · (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) / (2 · i))) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) · (i / (2 · i))))
35	12, 34	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) / (2 · i))) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) · (i / (2 · i))))
36		sinval 16334	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) / (2 · i)))
37	36	oveq2d 7467	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (sin‘𝐴)) = (i · (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) / (2 · i))))
38		divrec 12030	. . . . . . 7 ⊢ ((((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) / 2) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) · (1 / 2)))
39	13, 14, 38	mp3an23 1483	. . . . . 6 ⊢ (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) ∈ ℂ → (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) / 2) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) · (1 / 2)))
40	12, 39	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) / 2) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) · (1 / 2)))
41	1	mullidi 11353	. . . . . . . 8 ⊢ (1 · i) = i
42	41	oveq1i 7461	. . . . . . 7 ⊢ ((1 · i) / (2 · i)) = (i / (2 · i))
43		ine0 11790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ i ≠ 0
44	1, 43	dividi 12090	. . . . . . . . . 10 ⊢ (i / i) = 1
45	44	oveq2i 7462	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 2) · (i / i)) = ((1 / 2) · 1)
46		ax-1cn 11297	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
47	46, 13, 1, 1, 14, 43	divmuldivi 12117	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 2) · (i / i)) = ((1 · i) / (2 · i))
48	45, 47	eqtr3i 2788	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 2) · 1) = ((1 · i) / (2 · i))
49		halfcn 12600	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
50	49	mulridi 11352	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 2) · 1) = (1 / 2)
51	48, 50	eqtr3i 2788	. . . . . . 7 ⊢ ((1 · i) / (2 · i)) = (1 / 2)
52	42, 51	eqtr3i 2788	. . . . . 6 ⊢ (i / (2 · i)) = (1 / 2)
53	52	oveq2i 7462	. . . . 5 ⊢ (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) · (i / (2 · i))) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) · (1 / 2))
54	40, 53	eqtr4di 2816	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) / 2) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) · (i / (2 · i))))
55	35, 37, 54	3eqtr4d 2808	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (sin‘𝐴)) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) / 2))
56	29, 55	oveq12d 7469	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) = ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘( -i · 𝐴))) / 2) + (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) / 2)))
57	18, 28, 56	3eqtr4d 2808	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℂcc 11237  0cc0 11239  1c1 11240  ici 11241   + caddc 11242   · cmul 11244   − cmin 11580   -cneg 11581   / cdiv 12013  2c2 12437  expce 16271  sincsin 16273  cosccos 16274

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-pm 8888  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9541  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-rp 13161  df-ico 13522  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-fl 13972  df-seq 14185  df-exp 14245  df-fac 14459  df-hash 14516  df-shft 15263  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-limsup 15682  df-clim 15699  df-rlim 15700  df-sum 15898  df-ef 16277  df-sin 16279  df-cos 16280

This theorem is used by:  efmival  16365  efeul  16374  efieq  16375  sinadd  16376  cosadd  16377  absefi  16408  demoivre  16412  efhalfpi  26857  efipi  26859  ef2pi  26863  efimpi  26877  efif1olem4  26930  1cubrlem  27226  asinsin  27277  atantan  27308  bruval3  49748