Theorem efival 16327

Description: The exponential function in terms of sine and cosine. (Contributed by NM, 30-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
efival	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))))

Proof of Theorem efival

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 11264	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
2		mulcl 11289	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
3	1, 2	mpan 703	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
4		efcl 16255	. . . . 5 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
5	3, 4	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
6		negicn 11563	. . . . . 6 ⊢ -i ∈ ℂ
7		mulcl 11289	. . . . . 6 ⊢ (( -i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ( -i · 𝐴) ∈ ℂ)
8	6, 7	mpan 703	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ( -i · 𝐴) ∈ ℂ)
9		efcl 16255	. . . . 5 ⊢ (( -i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘( -i · 𝐴)) ∈ ℂ)
10	8, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘( -i · 𝐴)) ∈ ℂ)
11	5, 10	addcld 11333	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘( -i · 𝐴))) ∈ ℂ)
12	5, 10	subcld 11674	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) ∈ ℂ)
13		2cn 12423	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
14		2ne0 12454	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
15	13, 14	pm3.2i 476	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
16		divdir 12004	. . . 4 ⊢ ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘( -i · 𝐴))) ∈ ℂ ∧ ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘( -i · 𝐴))) + ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴)))) / 2) = ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘( -i · 𝐴))) / 2) + (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) / 2)))
17	15, 16	mp3an3 1479	. . 3 ⊢ ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘( -i · 𝐴))) ∈ ℂ ∧ ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) ∈ ℂ) → ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘( -i · 𝐴))) + ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴)))) / 2) = ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘( -i · 𝐴))) / 2) + (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) / 2)))
18	11, 12, 17	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘( -i · 𝐴))) + ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴)))) / 2) = ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘( -i · 𝐴))) / 2) + (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) / 2)))
19	10, 5	pncan3d 11677	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘( -i · 𝐴)) + ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴)))) = (exp‘(i · 𝐴)))
20	19	oveq2d 7438	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) + ((exp‘( -i · 𝐴)) + ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))))) = ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(i · 𝐴))))
21	5, 10, 12	addassd 11336	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘( -i · 𝐴))) + ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴)))) = ((exp‘(i · 𝐴)) + ((exp‘( -i · 𝐴)) + ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))))))
22	5	2timesd 12594	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (exp‘(i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(i · 𝐴))))
23	20, 21, 22	3eqtr4d 2805	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘( -i · 𝐴))) + ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴)))) = (2 · (exp‘(i · 𝐴))))
24	23	oveq1d 7437	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘( -i · 𝐴))) + ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴)))) / 2) = ((2 · (exp‘(i · 𝐴))) / 2))
25		divcan3 12005	. . . . 5 ⊢ (((exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((2 · (exp‘(i · 𝐴))) / 2) = (exp‘(i · 𝐴)))
26	13, 14, 25	mp3an23 1482	. . . 4 ⊢ ((exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ → ((2 · (exp‘(i · 𝐴))) / 2) = (exp‘(i · 𝐴)))
27	5, 26	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · (exp‘(i · 𝐴))) / 2) = (exp‘(i · 𝐴)))
28	24, 27	eqtr2d 2796	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘( -i · 𝐴))) + ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴)))) / 2))
29		cosval 16298	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘( -i · 𝐴))) / 2))
30		2mulicn 12575	. . . . . . 7 ⊢ (2 · i) ∈ ℂ
31		2muline0 12576	. . . . . . 7 ⊢ (2 · i) ≠ 0
32	30, 31	pm3.2i 476	. . . . . 6 ⊢ ((2 · i) ∈ ℂ ∧ (2 · i) ≠ 0)
33		div12 12001	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) ∈ ℂ ∧ ((2 · i) ∈ ℂ ∧ (2 · i) ≠ 0)) → (i · (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) / (2 · i))) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) · (i / (2 · i))))
34	1, 32, 33	mp3an13 1481	. . . . 5 ⊢ (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) ∈ ℂ → (i · (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) / (2 · i))) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) · (i / (2 · i))))
35	12, 34	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) / (2 · i))) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) · (i / (2 · i))))
36		sinval 16297	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) / (2 · i)))
37	36	oveq2d 7438	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (sin‘𝐴)) = (i · (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) / (2 · i))))
38		divrec 11995	. . . . . . 7 ⊢ ((((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) / 2) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) · (1 / 2)))
39	13, 14, 38	mp3an23 1482	. . . . . 6 ⊢ (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) ∈ ℂ → (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) / 2) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) · (1 / 2)))
40	12, 39	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) / 2) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) · (1 / 2)))
41	1	mullidi 11319	. . . . . . . 8 ⊢ (1 · i) = i
42	41	oveq1i 7432	. . . . . . 7 ⊢ ((1 · i) / (2 · i)) = (i / (2 · i))
43		ine0 11756	. . . . . . . . . . 11 ⊢ i ≠ 0
44	1, 43	dividi 12055	. . . . . . . . . 10 ⊢ (i / i) = 1
45	44	oveq2i 7433	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 2) · (i / i)) = ((1 / 2) · 1)
46		ax-1cn 11263	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
47	46, 13, 1, 1, 14, 43	divmuldivi 12082	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 2) · (i / i)) = ((1 · i) / (2 · i))
48	45, 47	eqtr3i 2785	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 2) · 1) = ((1 · i) / (2 · i))
49		halfcn 12565	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
50	49	mulridi 11318	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 2) · 1) = (1 / 2)
51	48, 50	eqtr3i 2785	. . . . . . 7 ⊢ ((1 · i) / (2 · i)) = (1 / 2)
52	42, 51	eqtr3i 2785	. . . . . 6 ⊢ (i / (2 · i)) = (1 / 2)
53	52	oveq2i 7433	. . . . 5 ⊢ (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) · (i / (2 · i))) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) · (1 / 2))
54	40, 53	eqtr4di 2813	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) / 2) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) · (i / (2 · i))))
55	35, 37, 54	3eqtr4d 2805	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (sin‘𝐴)) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) / 2))
56	29, 55	oveq12d 7440	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) = ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘( -i · 𝐴))) / 2) + (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) / 2)))
57	18, 28, 56	3eqtr4d 2805	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422  ℂcc 11203  0cc0 11205  1c1 11206  ici 11207   + caddc 11208   · cmul 11210   − cmin 11546   -cneg 11547   / cdiv 11978  2c2 12402  expce 16234  sincsin 16236  cosccos 16237

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-inf2 9647  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282  ax-pre-sup 11283

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-1o 8481  df-er 8722  df-pm 8855  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9509  df-card 10025  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-div 11979  df-nn 12341  df-2 12410  df-3 12411  df-n0 12612  df-z 12699  df-uz 12971  df-rp 13126  df-ico 13487  df-fz 13645  df-fzo 13794  df-fl 13937  df-seq 14150  df-exp 14210  df-fac 14423  df-hash 14480  df-shft 15227  df-cj 15273  df-re 15274  df-im 15275  df-sqrt 15409  df-abs 15410  df-limsup 15645  df-clim 15662  df-rlim 15663  df-sum 15861  df-ef 16240  df-sin 16242  df-cos 16243

This theorem is used by:  efmival  16328  efeul  16337  efieq  16338  sinadd  16339  cosadd  16340  absefi  16371  demoivre  16375  efhalfpi  26807  efipi  26809  ef2pi  26813  efimpi  26827  efif1olem4  26880  1cubrlem  27176  asinsin  27227  atantan  27258