Theorem efival 15937

Description: The exponential function in terms of sine and cosine. (Contributed by NM, 30-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
efival	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))))

Proof of Theorem efival

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 11009	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
2		mulcl 11034	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
3	1, 2	mpan 687	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
4		efcl 15868	. . . . 5 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
5	3, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
6		negicn 11301	. . . . . 6 ⊢ -i ∈ ℂ
7		mulcl 11034	. . . . . 6 ⊢ ((-i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
8	6, 7	mpan 687	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
9		efcl 15868	. . . . 5 ⊢ ((-i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) ∈ ℂ)
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) ∈ ℂ)
11	5, 10	addcld 11073	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ)
12	5, 10	subcld 11411	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ)
13		2cn 12127	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
14		2ne0 12156	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
15	13, 14	pm3.2i 471	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
16		divdir 11737	. . . 4 ⊢ ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ ∧ ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) + ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴)))) / 2) = ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2) + (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / 2)))
17	15, 16	mp3an3 1449	. . 3 ⊢ ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ ∧ ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ) → ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) + ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴)))) / 2) = ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2) + (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / 2)))
18	11, 12, 17	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) + ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴)))) / 2) = ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2) + (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / 2)))
19	10, 5	pncan3d 11414	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(-i · 𝐴)) + ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴)))) = (exp‘(i · 𝐴)))
20	19	oveq2d 7332	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) + ((exp‘(-i · 𝐴)) + ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))))) = ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(i · 𝐴))))
21	5, 10, 12	addassd 11076	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) + ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴)))) = ((exp‘(i · 𝐴)) + ((exp‘(-i · 𝐴)) + ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))))))
22	5	2timesd 12295	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (exp‘(i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(i · 𝐴))))
23	20, 21, 22	3eqtr4d 2786	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) + ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴)))) = (2 · (exp‘(i · 𝐴))))
24	23	oveq1d 7331	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) + ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴)))) / 2) = ((2 · (exp‘(i · 𝐴))) / 2))
25		divcan3 11738	. . . . 5 ⊢ (((exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((2 · (exp‘(i · 𝐴))) / 2) = (exp‘(i · 𝐴)))
26	13, 14, 25	mp3an23 1452	. . . 4 ⊢ ((exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ → ((2 · (exp‘(i · 𝐴))) / 2) = (exp‘(i · 𝐴)))
27	5, 26	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · (exp‘(i · 𝐴))) / 2) = (exp‘(i · 𝐴)))
28	24, 27	eqtr2d 2777	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) + ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴)))) / 2))
29		cosval 15908	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2))
30		2mulicn 12275	. . . . . . 7 ⊢ (2 · i) ∈ ℂ
31		2muline0 12276	. . . . . . 7 ⊢ (2 · i) ≠ 0
32	30, 31	pm3.2i 471	. . . . . 6 ⊢ ((2 · i) ∈ ℂ ∧ (2 · i) ≠ 0)
33		div12 11734	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ ∧ ((2 · i) ∈ ℂ ∧ (2 · i) ≠ 0)) → (i · (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i))) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) · (i / (2 · i))))
34	1, 32, 33	mp3an13 1451	. . . . 5 ⊢ (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ → (i · (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i))) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) · (i / (2 · i))))
35	12, 34	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i))) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) · (i / (2 · i))))
36		sinval 15907	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)))
37	36	oveq2d 7332	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (sin‘𝐴)) = (i · (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i))))
38		divrec 11728	. . . . . . 7 ⊢ ((((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / 2) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) · (1 / 2)))
39	13, 14, 38	mp3an23 1452	. . . . . 6 ⊢ (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ → (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / 2) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) · (1 / 2)))
40	12, 39	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / 2) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) · (1 / 2)))
41	1	mulid2i 11059	. . . . . . . 8 ⊢ (1 · i) = i
42	41	oveq1i 7326	. . . . . . 7 ⊢ ((1 · i) / (2 · i)) = (i / (2 · i))
43		ine0 11489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ i ≠ 0
44	1, 43	dividi 11787	. . . . . . . . . 10 ⊢ (i / i) = 1
45	44	oveq2i 7327	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 2) · (i / i)) = ((1 / 2) · 1)
46		ax-1cn 11008	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
47	46, 13, 1, 1, 14, 43	divmuldivi 11814	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 2) · (i / i)) = ((1 · i) / (2 · i))
48	45, 47	eqtr3i 2766	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 2) · 1) = ((1 · i) / (2 · i))
49		halfcn 12267	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
50	49	mulid1i 11058	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 2) · 1) = (1 / 2)
51	48, 50	eqtr3i 2766	. . . . . . 7 ⊢ ((1 · i) / (2 · i)) = (1 / 2)
52	42, 51	eqtr3i 2766	. . . . . 6 ⊢ (i / (2 · i)) = (1 / 2)
53	52	oveq2i 7327	. . . . 5 ⊢ (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) · (i / (2 · i))) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) · (1 / 2))
54	40, 53	eqtr4di 2794	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / 2) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) · (i / (2 · i))))
55	35, 37, 54	3eqtr4d 2786	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (sin‘𝐴)) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / 2))
56	29, 55	oveq12d 7334	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) = ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2) + (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / 2)))
57	18, 28, 56	3eqtr4d 2786	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2940  ‘cfv 6465  (class class class)co 7316  ℂcc 10948  0cc0 10950  1c1 10951  ici 10952   + caddc 10953   · cmul 10955   − cmin 11284  -cneg 11285   / cdiv 11711  2c2 12107  expce 15847  sincsin 15849  cosccos 15850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5237  ax-nul 5244  ax-pow 5302  ax-pr 5366  ax-un 7629  ax-inf2 9476  ax-cnex 11006  ax-resscn 11007  ax-1cn 11008  ax-icn 11009  ax-addcl 11010  ax-addrcl 11011  ax-mulcl 11012  ax-mulrcl 11013  ax-mulcom 11014  ax-addass 11015  ax-mulass 11016  ax-distr 11017  ax-i2m1 11018  ax-1ne0 11019  ax-1rid 11020  ax-rnegex 11021  ax-rrecex 11022  ax-cnre 11023  ax-pre-lttri 11024  ax-pre-lttrn 11025  ax-pre-ltadd 11026  ax-pre-mulgt0 11027  ax-pre-sup 11028

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3442  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4471  df-pw 4546  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4850  df-int 4892  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5170  df-tr 5204  df-id 5506  df-eprel 5512  df-po 5520  df-so 5521  df-fr 5562  df-se 5563  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-isom 6474  df-riota 7273  df-ov 7319  df-oprab 7320  df-mpo 7321  df-om 7759  df-1st 7877  df-2nd 7878  df-frecs 8145  df-wrecs 8176  df-recs 8250  df-rdg 8289  df-1o 8345  df-er 8547  df-pm 8667  df-en 8783  df-dom 8784  df-sdom 8785  df-fin 8786  df-sup 9277  df-inf 9278  df-oi 9345  df-card 9774  df-pnf 11090  df-mnf 11091  df-xr 11092  df-ltxr 11093  df-le 11094  df-sub 11286  df-neg 11287  df-div 11712  df-nn 12053  df-2 12115  df-3 12116  df-n0 12313  df-z 12399  df-uz 12662  df-rp 12810  df-ico 13164  df-fz 13319  df-fzo 13462  df-fl 13591  df-seq 13801  df-exp 13862  df-fac 14067  df-hash 14124  df-shft 14854  df-cj 14886  df-re 14887  df-im 14888  df-sqrt 15022  df-abs 15023  df-limsup 15256  df-clim 15273  df-rlim 15274  df-sum 15474  df-ef 15853  df-sin 15855  df-cos 15856

This theorem is referenced by:  efmival  15938  efeul  15947  efieq  15948  sinadd  15949  cosadd  15950  absefi  15981  demoivre  15985  efhalfpi  25708  efipi  25710  ef2pi  25714  efimpi  25728  efif1olem4  25781  1cubrlem  26071  asinsin  26122  atantan  26153