Theorem efival 16207

Description: The exponential function in terms of sine and cosine. (Contributed by NM, 30-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
efival	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))))

Proof of Theorem efival

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 11158	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
2		mulcl 11183	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
3	1, 2	mpan 702	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
4		efcl 16135	. . . . 5 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
5	3, 4	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
6		negicn 11457	. . . . . 6 ⊢ -i ∈ ℂ
7		mulcl 11183	. . . . . 6 ⊢ ((-i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
8	6, 7	mpan 702	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
9		efcl 16135	. . . . 5 ⊢ ((-i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) ∈ ℂ)
10	8, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) ∈ ℂ)
11	5, 10	addcld 11227	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ)
12	5, 10	subcld 11568	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ)
13		2cn 12315	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
14		2ne0 12346	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
15	13, 14	pm3.2i 475	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
16		divdir 11896	. . . 4 ⊢ ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ ∧ ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) + ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴)))) / 2) = ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2) + (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / 2)))
17	15, 16	mp3an3 1476	. . 3 ⊢ ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ ∧ ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ) → ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) + ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴)))) / 2) = ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2) + (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / 2)))
18	11, 12, 17	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) + ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴)))) / 2) = ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2) + (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / 2)))
19	10, 5	pncan3d 11571	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(-i · 𝐴)) + ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴)))) = (exp‘(i · 𝐴)))
20	19	oveq2d 7427	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) + ((exp‘(-i · 𝐴)) + ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))))) = ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(i · 𝐴))))
21	5, 10, 12	addassd 11230	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) + ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴)))) = ((exp‘(i · 𝐴)) + ((exp‘(-i · 𝐴)) + ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))))))
22	5	2timesd 12486	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (exp‘(i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(i · 𝐴))))
23	20, 21, 22	3eqtr4d 2814	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) + ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴)))) = (2 · (exp‘(i · 𝐴))))
24	23	oveq1d 7426	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) + ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴)))) / 2) = ((2 · (exp‘(i · 𝐴))) / 2))
25		divcan3 11897	. . . . 5 ⊢ (((exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((2 · (exp‘(i · 𝐴))) / 2) = (exp‘(i · 𝐴)))
26	13, 14, 25	mp3an23 1479	. . . 4 ⊢ ((exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ → ((2 · (exp‘(i · 𝐴))) / 2) = (exp‘(i · 𝐴)))
27	5, 26	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · (exp‘(i · 𝐴))) / 2) = (exp‘(i · 𝐴)))
28	24, 27	eqtr2d 2805	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) + ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴)))) / 2))
29		cosval 16178	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2))
30		2mulicn 12467	. . . . . . 7 ⊢ (2 · i) ∈ ℂ
31		2muline0 12468	. . . . . . 7 ⊢ (2 · i) ≠ 0
32	30, 31	pm3.2i 475	. . . . . 6 ⊢ ((2 · i) ∈ ℂ ∧ (2 · i) ≠ 0)
33		div12 11893	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ ∧ ((2 · i) ∈ ℂ ∧ (2 · i) ≠ 0)) → (i · (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i))) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) · (i / (2 · i))))
34	1, 32, 33	mp3an13 1478	. . . . 5 ⊢ (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ → (i · (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i))) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) · (i / (2 · i))))
35	12, 34	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i))) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) · (i / (2 · i))))
36		sinval 16177	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)))
37	36	oveq2d 7427	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (sin‘𝐴)) = (i · (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i))))
38		divrec 11887	. . . . . . 7 ⊢ ((((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / 2) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) · (1 / 2)))
39	13, 14, 38	mp3an23 1479	. . . . . 6 ⊢ (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ → (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / 2) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) · (1 / 2)))
40	12, 39	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / 2) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) · (1 / 2)))
41	1	mullidi 11213	. . . . . . . 8 ⊢ (1 · i) = i
42	41	oveq1i 7421	. . . . . . 7 ⊢ ((1 · i) / (2 · i)) = (i / (2 · i))
43		ine0 11648	. . . . . . . . . . 11 ⊢ i ≠ 0
44	1, 43	dividi 11947	. . . . . . . . . 10 ⊢ (i / i) = 1
45	44	oveq2i 7422	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 2) · (i / i)) = ((1 / 2) · 1)
46		ax-1cn 11157	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
47	46, 13, 1, 1, 14, 43	divmuldivi 11974	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 2) · (i / i)) = ((1 · i) / (2 · i))
48	45, 47	eqtr3i 2794	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 2) · 1) = ((1 · i) / (2 · i))
49		halfcn 12457	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
50	49	mulridi 11212	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 2) · 1) = (1 / 2)
51	48, 50	eqtr3i 2794	. . . . . . 7 ⊢ ((1 · i) / (2 · i)) = (1 / 2)
52	42, 51	eqtr3i 2794	. . . . . 6 ⊢ (i / (2 · i)) = (1 / 2)
53	52	oveq2i 7422	. . . . 5 ⊢ (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) · (i / (2 · i))) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) · (1 / 2))
54	40, 53	eqtr4di 2822	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / 2) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) · (i / (2 · i))))
55	35, 37, 54	3eqtr4d 2814	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (sin‘𝐴)) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / 2))
56	29, 55	oveq12d 7429	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) = ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2) + (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / 2)))
57	18, 28, 56	3eqtr4d 2814	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℂcc 11097  0cc0 11099  1c1 11100  ici 11101   + caddc 11102   · cmul 11104   − cmin 11440  -cneg 11441   / cdiv 11870  2c2 12294  expce 16114  sincsin 16116  cosccos 16117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9609  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-er 8693  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9401  df-inf 9402  df-oi 9471  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-rp 13016  df-ico 13377  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-fl 13824  df-seq 14037  df-exp 14097  df-fac 14309  df-hash 14366  df-shft 15103  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151  df-sqrt 15285  df-abs 15286  df-limsup 15521  df-clim 15538  df-rlim 15539  df-sum 15737  df-ef 16120  df-sin 16122  df-cos 16123

This theorem is referenced by:  efmival  16208  efeul  16217  efieq  16218  sinadd  16219  cosadd  16220  absefi  16251  demoivre  16255  efhalfpi  26601  efipi  26603  ef2pi  26607  efimpi  26621  efif1olem4  26675  1cubrlem  26971  asinsin  27022  atantan  27053