Theorem efival 15789

Description: The exponential function in terms of sine and cosine. (Contributed by NM, 30-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
efival	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))))

Proof of Theorem efival

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 10861	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
2		mulcl 10886	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
3	1, 2	mpan 686	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
4		efcl 15720	. . . . 5 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
5	3, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
6		negicn 11152	. . . . . 6 ⊢ -i ∈ ℂ
7		mulcl 10886	. . . . . 6 ⊢ ((-i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
8	6, 7	mpan 686	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
9		efcl 15720	. . . . 5 ⊢ ((-i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) ∈ ℂ)
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) ∈ ℂ)
11	5, 10	addcld 10925	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ)
12	5, 10	subcld 11262	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ)
13		2cn 11978	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
14		2ne0 12007	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
15	13, 14	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
16		divdir 11588	. . . 4 ⊢ ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ ∧ ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) + ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴)))) / 2) = ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2) + (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / 2)))
17	15, 16	mp3an3 1448	. . 3 ⊢ ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ ∧ ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ) → ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) + ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴)))) / 2) = ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2) + (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / 2)))
18	11, 12, 17	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) + ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴)))) / 2) = ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2) + (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / 2)))
19	10, 5	pncan3d 11265	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(-i · 𝐴)) + ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴)))) = (exp‘(i · 𝐴)))
20	19	oveq2d 7271	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) + ((exp‘(-i · 𝐴)) + ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))))) = ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(i · 𝐴))))
21	5, 10, 12	addassd 10928	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) + ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴)))) = ((exp‘(i · 𝐴)) + ((exp‘(-i · 𝐴)) + ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))))))
22	5	2timesd 12146	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (exp‘(i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(i · 𝐴))))
23	20, 21, 22	3eqtr4d 2788	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) + ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴)))) = (2 · (exp‘(i · 𝐴))))
24	23	oveq1d 7270	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) + ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴)))) / 2) = ((2 · (exp‘(i · 𝐴))) / 2))
25		divcan3 11589	. . . . 5 ⊢ (((exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((2 · (exp‘(i · 𝐴))) / 2) = (exp‘(i · 𝐴)))
26	13, 14, 25	mp3an23 1451	. . . 4 ⊢ ((exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ → ((2 · (exp‘(i · 𝐴))) / 2) = (exp‘(i · 𝐴)))
27	5, 26	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · (exp‘(i · 𝐴))) / 2) = (exp‘(i · 𝐴)))
28	24, 27	eqtr2d 2779	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) + ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴)))) / 2))
29		cosval 15760	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2))
30		2mulicn 12126	. . . . . . 7 ⊢ (2 · i) ∈ ℂ
31		2muline0 12127	. . . . . . 7 ⊢ (2 · i) ≠ 0
32	30, 31	pm3.2i 470	. . . . . 6 ⊢ ((2 · i) ∈ ℂ ∧ (2 · i) ≠ 0)
33		div12 11585	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ ∧ ((2 · i) ∈ ℂ ∧ (2 · i) ≠ 0)) → (i · (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i))) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) · (i / (2 · i))))
34	1, 32, 33	mp3an13 1450	. . . . 5 ⊢ (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ → (i · (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i))) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) · (i / (2 · i))))
35	12, 34	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i))) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) · (i / (2 · i))))
36		sinval 15759	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)))
37	36	oveq2d 7271	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (sin‘𝐴)) = (i · (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i))))
38		divrec 11579	. . . . . . 7 ⊢ ((((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / 2) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) · (1 / 2)))
39	13, 14, 38	mp3an23 1451	. . . . . 6 ⊢ (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ → (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / 2) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) · (1 / 2)))
40	12, 39	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / 2) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) · (1 / 2)))
41	1	mulid2i 10911	. . . . . . . 8 ⊢ (1 · i) = i
42	41	oveq1i 7265	. . . . . . 7 ⊢ ((1 · i) / (2 · i)) = (i / (2 · i))
43		ine0 11340	. . . . . . . . . . 11 ⊢ i ≠ 0
44	1, 43	dividi 11638	. . . . . . . . . 10 ⊢ (i / i) = 1
45	44	oveq2i 7266	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 2) · (i / i)) = ((1 / 2) · 1)
46		ax-1cn 10860	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
47	46, 13, 1, 1, 14, 43	divmuldivi 11665	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 2) · (i / i)) = ((1 · i) / (2 · i))
48	45, 47	eqtr3i 2768	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 2) · 1) = ((1 · i) / (2 · i))
49		halfcn 12118	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
50	49	mulid1i 10910	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 2) · 1) = (1 / 2)
51	48, 50	eqtr3i 2768	. . . . . . 7 ⊢ ((1 · i) / (2 · i)) = (1 / 2)
52	42, 51	eqtr3i 2768	. . . . . 6 ⊢ (i / (2 · i)) = (1 / 2)
53	52	oveq2i 7266	. . . . 5 ⊢ (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) · (i / (2 · i))) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) · (1 / 2))
54	40, 53	eqtr4di 2797	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / 2) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) · (i / (2 · i))))
55	35, 37, 54	3eqtr4d 2788	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (sin‘𝐴)) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / 2))
56	29, 55	oveq12d 7273	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) = ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2) + (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / 2)))
57	18, 28, 56	3eqtr4d 2788	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  0cc0 10802  1c1 10803  ici 10804   + caddc 10805   · cmul 10807   − cmin 11135  -cneg 11136   / cdiv 11562  2c2 11958  expce 15699  sincsin 15701  cosccos 15702

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-ico 13014  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-seq 13650  df-exp 13711  df-fac 13916  df-hash 13973  df-shft 14706  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-limsup 15108  df-clim 15125  df-rlim 15126  df-sum 15326  df-ef 15705  df-sin 15707  df-cos 15708

This theorem is referenced by:  efmival  15790  efeul  15799  efieq  15800  sinadd  15801  cosadd  15802  absefi  15833  demoivre  15837  efhalfpi  25533  efipi  25535  ef2pi  25539  efimpi  25553  efif1olem4  25606  1cubrlem  25896  asinsin  25947  atantan  25978