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Theorem efival 15368
Description: The exponential function in terms of sine and cosine. (Contributed by NM, 30-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
efival (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))))

Proof of Theorem efival
StepHypRef Expression
1 ax-icn 10396 . . . . . 6 i ∈ ℂ
2 mulcl 10421 . . . . . 6 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
31, 2mpan 677 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
4 efcl 15299 . . . . 5 ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
53, 4syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
6 negicn 10689 . . . . . 6 -i ∈ ℂ
7 mulcl 10421 . . . . . 6 ((-i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
86, 7mpan 677 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
9 efcl 15299 . . . . 5 ((-i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) ∈ ℂ)
108, 9syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) ∈ ℂ)
115, 10addcld 10461 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ)
125, 10subcld 10800 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ)
13 2cn 11518 . . . . 5 2 ∈ ℂ
14 2ne0 11554 . . . . 5 2 ≠ 0
1513, 14pm3.2i 463 . . . 4 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
16 divdir 11126 . . . 4 ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ ∧ ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) + ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴)))) / 2) = ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2) + (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / 2)))
1715, 16mp3an3 1429 . . 3 ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ ∧ ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ) → ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) + ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴)))) / 2) = ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2) + (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / 2)))
1811, 12, 17syl2anc 576 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) + ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴)))) / 2) = ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2) + (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / 2)))
1910, 5pncan3d 10803 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(-i · 𝐴)) + ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴)))) = (exp‘(i · 𝐴)))
2019oveq2d 6994 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) + ((exp‘(-i · 𝐴)) + ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))))) = ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(i · 𝐴))))
215, 10, 12addassd 10464 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) + ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴)))) = ((exp‘(i · 𝐴)) + ((exp‘(-i · 𝐴)) + ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))))))
2252timesd 11693 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (exp‘(i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(i · 𝐴))))
2320, 21, 223eqtr4d 2824 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) + ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴)))) = (2 · (exp‘(i · 𝐴))))
2423oveq1d 6993 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) + ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴)))) / 2) = ((2 · (exp‘(i · 𝐴))) / 2))
25 divcan3 11127 . . . . 5 (((exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((2 · (exp‘(i · 𝐴))) / 2) = (exp‘(i · 𝐴)))
2613, 14, 25mp3an23 1432 . . . 4 ((exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ → ((2 · (exp‘(i · 𝐴))) / 2) = (exp‘(i · 𝐴)))
275, 26syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · (exp‘(i · 𝐴))) / 2) = (exp‘(i · 𝐴)))
2824, 27eqtr2d 2815 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) + ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴)))) / 2))
29 cosval 15339 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2))
30 2mulicn 11673 . . . . . . 7 (2 · i) ∈ ℂ
31 2muline0 11674 . . . . . . 7 (2 · i) ≠ 0
3230, 31pm3.2i 463 . . . . . 6 ((2 · i) ∈ ℂ ∧ (2 · i) ≠ 0)
33 div12 11123 . . . . . 6 ((i ∈ ℂ ∧ ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ ∧ ((2 · i) ∈ ℂ ∧ (2 · i) ≠ 0)) → (i · (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i))) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) · (i / (2 · i))))
341, 32, 33mp3an13 1431 . . . . 5 (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ → (i · (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i))) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) · (i / (2 · i))))
3512, 34syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i))) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) · (i / (2 · i))))
36 sinval 15338 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)))
3736oveq2d 6994 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (sin‘𝐴)) = (i · (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i))))
38 divrec 11117 . . . . . . 7 ((((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / 2) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) · (1 / 2)))
3913, 14, 38mp3an23 1432 . . . . . 6 (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ → (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / 2) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) · (1 / 2)))
4012, 39syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / 2) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) · (1 / 2)))
411mulid2i 10447 . . . . . . . 8 (1 · i) = i
4241oveq1i 6988 . . . . . . 7 ((1 · i) / (2 · i)) = (i / (2 · i))
43 ine0 10878 . . . . . . . . . . 11 i ≠ 0
441, 43dividi 11176 . . . . . . . . . 10 (i / i) = 1
4544oveq2i 6989 . . . . . . . . 9 ((1 / 2) · (i / i)) = ((1 / 2) · 1)
46 ax-1cn 10395 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
4746, 13, 1, 1, 14, 43divmuldivi 11203 . . . . . . . . 9 ((1 / 2) · (i / i)) = ((1 · i) / (2 · i))
4845, 47eqtr3i 2804 . . . . . . . 8 ((1 / 2) · 1) = ((1 · i) / (2 · i))
49 halfcn 11665 . . . . . . . . 9 (1 / 2) ∈ ℂ
5049mulid1i 10446 . . . . . . . 8 ((1 / 2) · 1) = (1 / 2)
5148, 50eqtr3i 2804 . . . . . . 7 ((1 · i) / (2 · i)) = (1 / 2)
5242, 51eqtr3i 2804 . . . . . 6 (i / (2 · i)) = (1 / 2)
5352oveq2i 6989 . . . . 5 (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) · (i / (2 · i))) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) · (1 / 2))
5440, 53syl6eqr 2832 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / 2) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) · (i / (2 · i))))
5535, 37, 543eqtr4d 2824 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (sin‘𝐴)) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / 2))
5629, 55oveq12d 6996 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) = ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2) + (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / 2)))
5718, 28, 563eqtr4d 2824 1 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  wne 2967  cfv 6190  (class class class)co 6978  cc 10335  0cc0 10337  1c1 10338  ici 10339   + caddc 10340   · cmul 10342  cmin 10672  -cneg 10673   / cdiv 11100  2c2 11498  expce 15278  sincsin 15280  cosccos 15281
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5050  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-inf2 8900  ax-cnex 10393  ax-resscn 10394  ax-1cn 10395  ax-icn 10396  ax-addcl 10397  ax-addrcl 10398  ax-mulcl 10399  ax-mulrcl 10400  ax-mulcom 10401  ax-addass 10402  ax-mulass 10403  ax-distr 10404  ax-i2m1 10405  ax-1ne0 10406  ax-1rid 10407  ax-rnegex 10408  ax-rrecex 10409  ax-cnre 10410  ax-pre-lttri 10411  ax-pre-lttrn 10412  ax-pre-ltadd 10413  ax-pre-mulgt0 10414  ax-pre-sup 10415  ax-addf 10416  ax-mulf 10417
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-tp 4447  df-op 4449  df-uni 4714  df-int 4751  df-iun 4795  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-tr 5032  df-id 5313  df-eprel 5318  df-po 5327  df-so 5328  df-fr 5367  df-se 5368  df-we 5369  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-pred 5988  df-ord 6034  df-on 6035  df-lim 6036  df-suc 6037  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-isom 6199  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-om 7399  df-1st 7503  df-2nd 7504  df-wrecs 7752  df-recs 7814  df-rdg 7852  df-1o 7907  df-oadd 7911  df-er 8091  df-pm 8211  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-fin 8312  df-sup 8703  df-inf 8704  df-oi 8771  df-card 9164  df-pnf 10478  df-mnf 10479  df-xr 10480  df-ltxr 10481  df-le 10482  df-sub 10674  df-neg 10675  df-div 11101  df-nn 11442  df-2 11506  df-3 11507  df-n0 11711  df-z 11797  df-uz 12062  df-rp 12208  df-ico 12563  df-fz 12712  df-fzo 12853  df-fl 12980  df-seq 13188  df-exp 13248  df-fac 13452  df-hash 13509  df-shft 14290  df-cj 14322  df-re 14323  df-im 14324  df-sqrt 14458  df-abs 14459  df-limsup 14692  df-clim 14709  df-rlim 14710  df-sum 14907  df-ef 15284  df-sin 15286  df-cos 15287
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