Theorem sineq0ALT 44908

Description: A complex number whose sine is zero is an integer multiple of π. The Virtual Deduction form of the proof is https://us.metamath.org/other/completeusersproof/sineq0altvd.html. The Metamath form of the proof is sineq0ALT 44908. The Virtual Deduction proof is based on Mario Carneiro's revision of Norm Megill's proof of sineq0 26584. The Virtual Deduction proof is verified by automatically transforming it into the Metamath form of the proof using completeusersproof, which is verified by the Metamath program. The proof of https://us.metamath.org/other/completeusersproof/sineq0altro.html 26584 is a form of the completed proof which preserves the Virtual Deduction proof's step numbers and their ordering. (Contributed by Alan Sare, 13-Jun-2018.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
sineq0ALT	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) = 0 ↔ (𝐴 / π) ∈ ℤ))

Proof of Theorem sineq0ALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pire 26518	. . . . 5 ⊢ π ∈ ℝ
2		pipos 26520	. . . . 5 ⊢ 0 < π
3	1, 2	elrpii 13060	. . . 4 ⊢ π ∈ ℝ+
4		2ne0 12397	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → 2 ≠ 0)
6		2cn 12368	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
7		2re 12367	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℂ → 2 ∈ ℝ)
9	6, 8	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → 2 ∈ ℝ)
11		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
12	11	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
13	6	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
14	13, 11	mulcld 11310	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
15		ax-icn 11243	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ i ∈ ℂ
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → i ∈ ℂ)
17	13, 16, 11	mul12d 11499	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (i · 𝐴)) = (i · (2 · 𝐴)))
18	16, 11	mulcld 11310	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
19	18	2timesd 12536	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (i · 𝐴)) = ((i · 𝐴) + (i · 𝐴)))
20	17, 19	eqtr3d 2782	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (2 · 𝐴)) = ((i · 𝐴) + (i · 𝐴)))
21	20	fveq2d 6924	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (2 · 𝐴))) = (exp‘((i · 𝐴) + (i · 𝐴))))
22		efadd 16142	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (exp‘((i · 𝐴) + (i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))))
23	18, 18, 22	syl2anc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘((i · 𝐴) + (i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))))
24	21, 23	eqtrd 2780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (2 · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))))
25	24	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (exp‘(i · (2 · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))))
26		sinval 16170	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)))
27		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((sin‘𝐴) = 0 → (sin‘𝐴) = 0)
28	26, 27	sylan9req 2801	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)) = 0)
29		efcl 16130	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
30	18, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
31		negicn 11537	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ -i ∈ ℂ
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -i ∈ ℂ)
33	32, 11	mulcld 11310	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
34		efcl 16130	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((-i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) ∈ ℂ)
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) ∈ ℂ)
36	30, 35	subcld 11647	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ)
37		2mulicn 12516	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 · i) ∈ ℂ
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · i) ∈ ℂ)
39		2muline0 12517	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 · i) ≠ 0
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · i) ≠ 0)
41	36, 38, 40	diveq0ad 12080	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)) = 0 ↔ ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) = 0))
42	41	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → ((((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)) = 0 ↔ ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) = 0))
43	28, 42	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) = 0)
44	30, 35	subeq0ad 11657	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) = 0 ↔ (exp‘(i · 𝐴)) = (exp‘(-i · 𝐴))))
45	44	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) = 0 ↔ (exp‘(i · 𝐴)) = (exp‘(-i · 𝐴))))
46	43, 45	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (exp‘(i · 𝐴)) = (exp‘(-i · 𝐴)))
47	46	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴))))
48		efadd 16142	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (-i · 𝐴) ∈ ℂ) → (exp‘((i · 𝐴) + (-i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴))))
49	18, 33, 48	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘((i · 𝐴) + (-i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴))))
50	49	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (exp‘((i · 𝐴) + (-i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴))))
51	47, 50	eqtr4d 2783	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))) = (exp‘((i · 𝐴) + (-i · 𝐴))))
52	16, 32, 11	adddird 11315	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i + -i) · 𝐴) = ((i · 𝐴) + (-i · 𝐴)))
53	15	negidi 11605	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (i + -i) = 0
54	53	oveq1i 7458	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((i + -i) · 𝐴) = (0 · 𝐴)
55	52, 54	eqtr3di 2795	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) + (-i · 𝐴)) = (0 · 𝐴))
56	11	mul02d 11488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 · 𝐴) = 0)
57	55, 56	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) + (-i · 𝐴)) = 0)
58	57	fveq2d 6924	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘((i · 𝐴) + (-i · 𝐴))) = (exp‘0))
59	58	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (exp‘((i · 𝐴) + (-i · 𝐴))) = (exp‘0))
60		ef0 16139	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (exp‘0) = 1
61	60	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (exp‘0) = 1)
62	51, 59, 61	3eqtrd 2784	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))) = 1)
63	25, 62	eqtrd 2780	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (exp‘(i · (2 · 𝐴))) = 1)
64	63	fveq2d 6924	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = (abs‘1))
65		abs1 15346	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘1) = 1
66	64, 65	eqtrdi 2796	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = 1)
67		absefib 16246	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 𝐴) ∈ ℂ → ((2 · 𝐴) ∈ ℝ ↔ (abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = 1))
68	67	biimparc 479	. . . . . . 7 ⊢ (((abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = 1 ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℂ) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
69	68	ancoms 458	. . . . . 6 ⊢ (((2 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = 1) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
70	14, 66, 69	syl2an2r 684	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
71		mulre 15170	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 2 ≠ 0) → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (2 · 𝐴) ∈ ℝ))
72	71	4animp1 44468	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℝ) ∧ 2 ≠ 0) ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
73	72	4an31 44469	. . . . 5 ⊢ ((((2 ≠ 0 ∧ 2 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
74	5, 10, 12, 70, 73	syl1111anc 839	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
75	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → π ∈ ℝ+)
76	74, 75	modcld 13926	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 mod π) ∈ ℝ)
77	76	recnd 11318	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 mod π) ∈ ℂ)
78	77	sincld 16178	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (sin‘(𝐴 mod π)) ∈ ℂ)
79	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → π ∈ ℝ)
80		0re 11292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 0 ∈ ℝ
81	80, 1, 2	ltleii 11413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 0 ≤ π
82		gt0ne0 11755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ 0 < π) → π ≠ 0)
83	82	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ 0 < π ∧ 0 ≤ π) → π ≠ 0)
84	83	3com23 1126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ 0 ≤ π ∧ 0 < π) → π ≠ 0)
85	1, 81, 2, 84	mp3an 1461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ π ≠ 0
86	85	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → π ≠ 0)
87	74, 79, 86	redivcld 12122	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 / π) ∈ ℝ)
88	87	flcld 13849	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (⌊‘(𝐴 / π)) ∈ ℤ)
89	88	znegcld 12749	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → -(⌊‘(𝐴 / π)) ∈ ℤ)
90		abssinper 26581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -(⌊‘(𝐴 / π)) ∈ ℤ) → (abs‘(sin‘(𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π)))) = (abs‘(sin‘𝐴)))
91	90	eqcomd 2746	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -(⌊‘(𝐴 / π)) ∈ ℤ) → (abs‘(sin‘𝐴)) = (abs‘(sin‘(𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π)))))
92	91	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-(⌊‘(𝐴 / π)) ∈ ℤ → (abs‘(sin‘𝐴)) = (abs‘(sin‘(𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π))))))
93	92	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (-(⌊‘(𝐴 / π)) ∈ ℤ → (abs‘(sin‘𝐴)) = (abs‘(sin‘(𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π))))))
94	89, 93	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (abs‘(sin‘𝐴)) = (abs‘(sin‘(𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π)))))
95	88	zcnd 12748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (⌊‘(𝐴 / π)) ∈ ℂ)
96	95	negcld 11634	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → -(⌊‘(𝐴 / π)) ∈ ℂ)
97	1	recni 11304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ π ∈ ℂ
98	97	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → π ∈ ℂ)
99	96, 98	mulcld 11310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π) ∈ ℂ)
100	98, 95	mulcld 11310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (π · (⌊‘(𝐴 / π))) ∈ ℂ)
101	100	negcld 11634	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → -(π · (⌊‘(𝐴 / π))) ∈ ℂ)
102	95, 98	mulneg1d 11743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π) = -((⌊‘(𝐴 / π)) · π))
103	95, 98	mulcomd 11311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → ((⌊‘(𝐴 / π)) · π) = (π · (⌊‘(𝐴 / π))))
104	103	negeqd 11530	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → -((⌊‘(𝐴 / π)) · π) = -(π · (⌊‘(𝐴 / π))))
105	102, 104	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π) = -(π · (⌊‘(𝐴 / π))))
106		oveq2 7456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((-(⌊‘(𝐴 / π)) · π) = -(π · (⌊‘(𝐴 / π))) → (𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π)) = (𝐴 + -(π · (⌊‘(𝐴 / π)))))
107	106	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((-(⌊‘(𝐴 / π)) · π) = -(π · (⌊‘(𝐴 / π))) ∧ -(π · (⌊‘(𝐴 / π))) ∈ ℂ) ∧ (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π) ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π)) = (𝐴 + -(π · (⌊‘(𝐴 / π)))))
108	107	4an4132 44470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π) ∈ ℂ) ∧ -(π · (⌊‘(𝐴 / π))) ∈ ℂ) ∧ (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π) = -(π · (⌊‘(𝐴 / π)))) → (𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π)) = (𝐴 + -(π · (⌊‘(𝐴 / π)))))
109	12, 99, 101, 105, 108	syl1111anc 839	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π)) = (𝐴 + -(π · (⌊‘(𝐴 / π)))))
110	12, 100	negsubd 11653	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 + -(π · (⌊‘(𝐴 / π)))) = (𝐴 − (π · (⌊‘(𝐴 / π)))))
111	109, 110	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π)) = (𝐴 − (π · (⌊‘(𝐴 / π)))))
112	111	fveq2d 6924	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (sin‘(𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π))) = (sin‘(𝐴 − (π · (⌊‘(𝐴 / π))))))
113	112	fveq2d 6924	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (abs‘(sin‘(𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π)))) = (abs‘(sin‘(𝐴 − (π · (⌊‘(𝐴 / π)))))))
114	94, 113	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (abs‘(sin‘𝐴)) = (abs‘(sin‘(𝐴 − (π · (⌊‘(𝐴 / π)))))))
115		modval 13922	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+) → (𝐴 mod π) = (𝐴 − (π · (⌊‘(𝐴 / π)))))
116	115	fveq2d 6924	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+) → (sin‘(𝐴 mod π)) = (sin‘(𝐴 − (π · (⌊‘(𝐴 / π))))))
117	116	fveq2d 6924	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+) → (abs‘(sin‘(𝐴 mod π))) = (abs‘(sin‘(𝐴 − (π · (⌊‘(𝐴 / π)))))))
118	3, 117	mpan2 690	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘(sin‘(𝐴 mod π))) = (abs‘(sin‘(𝐴 − (π · (⌊‘(𝐴 / π)))))))
119	74, 118	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (abs‘(sin‘(𝐴 mod π))) = (abs‘(sin‘(𝐴 − (π · (⌊‘(𝐴 / π)))))))
120	114, 119	eqtr4d 2783	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (abs‘(sin‘𝐴)) = (abs‘(sin‘(𝐴 mod π))))
121	27	fveq2d 6924	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((sin‘𝐴) = 0 → (abs‘(sin‘𝐴)) = (abs‘0))
122		abs0 15334	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (abs‘0) = 0
123	121, 122	eqtrdi 2796	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((sin‘𝐴) = 0 → (abs‘(sin‘𝐴)) = 0)
124	123	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (abs‘(sin‘𝐴)) = 0)
125	120, 124	eqtr3d 2782	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (abs‘(sin‘(𝐴 mod π))) = 0)
126	78, 125	abs00d 15495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (sin‘(𝐴 mod π)) = 0)
127		notnotb 315	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((sin‘(𝐴 mod π)) = 0 ↔ ¬ ¬ (sin‘(𝐴 mod π)) = 0)
128	127	bicomi 224	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ ¬ (sin‘(𝐴 mod π)) = 0 ↔ (sin‘(𝐴 mod π)) = 0)
129		ltne 11387	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 < (sin‘(𝐴 mod π))) → (sin‘(𝐴 mod π)) ≠ 0)
130	129	neneqd 2951	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 < (sin‘(𝐴 mod π))) → ¬ (sin‘(𝐴 mod π)) = 0)
131	130	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 < (sin‘(𝐴 mod π)) → (0 ∈ ℝ → ¬ (sin‘(𝐴 mod π)) = 0))
132	80, 131	mpi 20	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 < (sin‘(𝐴 mod π)) → ¬ (sin‘(𝐴 mod π)) = 0)
133	132	con3i 154	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ ¬ (sin‘(𝐴 mod π)) = 0 → ¬ 0 < (sin‘(𝐴 mod π)))
134	128, 133	sylbir 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((sin‘(𝐴 mod π)) = 0 → ¬ 0 < (sin‘(𝐴 mod π)))
135	126, 134	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → ¬ 0 < (sin‘(𝐴 mod π)))
136		sinq12gt0 26567	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) → 0 < (sin‘(𝐴 mod π)))
137	135, 136	nsyl 140	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → ¬ (𝐴 mod π) ∈ (0(,)π))
138	80	rexri 11348	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ*
139	1	rexri 11348	. . . . . . . . . . 11 ⊢ π ∈ ℝ*
140		elioo2 13448	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) ↔ ((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 mod π) ∧ (𝐴 mod π) < π)))
141	138, 139, 140	mp2an 691	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) ↔ ((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 mod π) ∧ (𝐴 mod π) < π))
142	141	notbii 320	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) ↔ ¬ ((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 mod π) ∧ (𝐴 mod π) < π))
143	137, 142	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → ¬ ((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 mod π) ∧ (𝐴 mod π) < π))
144		3anan12 1096	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 mod π) ∧ (𝐴 mod π) < π) ↔ (0 < (𝐴 mod π) ∧ ((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod π) < π)))
145	144	notbii 320	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ ((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 mod π) ∧ (𝐴 mod π) < π) ↔ ¬ (0 < (𝐴 mod π) ∧ ((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod π) < π)))
146	143, 145	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → ¬ (0 < (𝐴 mod π) ∧ ((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod π) < π)))
147		modlt 13931	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+) → (𝐴 mod π) < π)
148	147	ancoms 458	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 mod π) < π)
149	3, 74, 148	sylancr 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 mod π) < π)
150	76, 149	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → ((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod π) < π))
151		not12an2impnot1 44539	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ (0 < (𝐴 mod π) ∧ ((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod π) < π)) ∧ ((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod π) < π)) → ¬ 0 < (𝐴 mod π))
152	146, 150, 151	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → ¬ 0 < (𝐴 mod π))
153		modge0 13930	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+) → 0 ≤ (𝐴 mod π))
154	153	ancoms 458	. . . . . . . 8 ⊢ ((π ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐴 mod π))
155	3, 74, 154	sylancr 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → 0 ≤ (𝐴 mod π))
156		leloe 11376	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod π) ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 mod π) ↔ (0 < (𝐴 mod π) ∨ 0 = (𝐴 mod π))))
157	156	biimp3a 1469	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 mod π)) → (0 < (𝐴 mod π) ∨ 0 = (𝐴 mod π)))
158	157	idiALT 44448	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 mod π)) → (0 < (𝐴 mod π) ∨ 0 = (𝐴 mod π)))
159	80, 76, 155, 158	mp3an2i 1466	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (0 < (𝐴 mod π) ∨ 0 = (𝐴 mod π)))
160		pm2.53 850	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 < (𝐴 mod π) ∨ 0 = (𝐴 mod π)) → (¬ 0 < (𝐴 mod π) → 0 = (𝐴 mod π)))
161	160	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ (((0 < (𝐴 mod π) ∨ 0 = (𝐴 mod π)) ∧ ¬ 0 < (𝐴 mod π)) → 0 = (𝐴 mod π))
162	161	ancoms 458	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 0 < (𝐴 mod π) ∧ (0 < (𝐴 mod π) ∨ 0 = (𝐴 mod π))) → 0 = (𝐴 mod π))
163	152, 159, 162	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → 0 = (𝐴 mod π))
164	163	eqcomd 2746	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 mod π) = 0)
165		mod0 13927	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod π) = 0 ↔ (𝐴 / π) ∈ ℤ))
166	165	biimp3a 1469	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod π) = 0) → (𝐴 / π) ∈ ℤ)
167	166	3com12 1123	. . . 4 ⊢ ((π ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod π) = 0) → (𝐴 / π) ∈ ℤ)
168	3, 74, 164, 167	mp3an2i 1466	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 / π) ∈ ℤ)
169	168	ex 412	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) = 0 → (𝐴 / π) ∈ ℤ))
170	97	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → π ∈ ℂ)
171	85	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → π ≠ 0)
172	11, 170, 171	divcan1d 12071	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 / π) · π) = 𝐴)
173	172	fveq2d 6924	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘((𝐴 / π) · π)) = (sin‘𝐴))
174		id 22	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 / π) ∈ ℤ → (𝐴 / π) ∈ ℤ)
175		sinkpi 26582	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 / π) ∈ ℤ → (sin‘((𝐴 / π) · π)) = 0)
176	174, 175	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 / π) ∈ ℤ → (sin‘((𝐴 / π) · π)) = 0)
177	173, 176	sylan9req 2801	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 / π) ∈ ℤ) → (sin‘𝐴) = 0)
178	177	ex 412	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 / π) ∈ ℤ → (sin‘𝐴) = 0))
179	169, 178	impbid 212	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) = 0 ↔ (𝐴 / π) ∈ ℤ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 846   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185  ici 11186   + caddc 11187   · cmul 11189  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324   ≤ cle 11325   − cmin 11520  -cneg 11521   / cdiv 11947  2c2 12348  ℤcz 12639  ℝ⁺crp 13057  (,)cioo 13407  ⌊cfl 13841   mod cmo 13920  abscabs 15283  expce 16109  sincsin 16111  πcpi 16114

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262  ax-addf 11263

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ioo 13411  df-ioc 13412  df-ico 13413  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14053  df-exp 14113  df-fac 14323  df-bc 14352  df-hash 14380  df-shft 15116  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-limsup 15517  df-clim 15534  df-rlim 15535  df-sum 15735  df-ef 16115  df-sin 16117  df-cos 16118  df-pi 16120  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17482  df-topn 17483  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-topgen 17503  df-pt 17504  df-prds 17507  df-xrs 17562  df-qtop 17567  df-imas 17568  df-xps 17570  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-mulg 19108  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-fbas 21384  df-fg 21385  df-cnfld 21388  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-cld 23048  df-ntr 23049  df-cls 23050  df-nei 23127  df-lp 23165  df-perf 23166  df-cn 23256  df-cnp 23257  df-haus 23344  df-tx 23591  df-hmeo 23784  df-fil 23875  df-fm 23967  df-flim 23968  df-flf 23969  df-xms 24351  df-ms 24352  df-tms 24353  df-cncf 24923  df-limc 25921  df-dv 25922

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