Theorem sineq0ALT 45473

Description: A complex number whose sine is zero is an integer multiple of π. The Virtual Deduction form of the proof is https://us.metamath.org/other/completeusersproof/sineq0altvd.html. The Metamath form of the proof is sineq0ALT 45473. The Virtual Deduction proof is based on Mario Carneiro's revision of Norm Megill's proof of sineq0 26577. The Virtual Deduction proof is verified by automatically transforming it into the Metamath form of the proof using completeusersproof, which is verified by the Metamath program. The proof of https://us.metamath.org/other/completeusersproof/sineq0altro.html 26577 is a form of the completed proof which preserves the Virtual Deduction proof's step numbers and their ordering. (Contributed by Alan Sare, 13-Jun-2018.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
sineq0ALT	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) = 0 ↔ (𝐴 / π) ∈ ℤ))

Proof of Theorem sineq0ALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pire 26507	. . . . 5 ⊢ π ∈ ℝ
2		pipos 26511	. . . . 5 ⊢ 0 < π
3	1, 2	elrpii 12990	. . . 4 ⊢ π ∈ ℝ+
4		2ne0 12318	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → 2 ≠ 0)
6		2cn 12287	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
7		2re 12286	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℂ → 2 ∈ ℝ)
9	6, 8	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → 2 ∈ ℝ)
11		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
12	11	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
13	6	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
14	13, 11	mulcld 11196	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
15		ax-icn 11126	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ i ∈ ℂ
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → i ∈ ℂ)
17	13, 16, 11	mul12d 11386	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (i · 𝐴)) = (i · (2 · 𝐴)))
18	16, 11	mulcld 11196	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
19	18	2timesd 12458	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (i · 𝐴)) = ((i · 𝐴) + (i · 𝐴)))
20	17, 19	eqtr3d 2798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (2 · 𝐴)) = ((i · 𝐴) + (i · 𝐴)))
21	20	fveq2d 6866	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (2 · 𝐴))) = (exp‘((i · 𝐴) + (i · 𝐴))))
22		efadd 16115	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (exp‘((i · 𝐴) + (i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))))
23	18, 18, 22	syl2anc 593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘((i · 𝐴) + (i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))))
24	21, 23	eqtrd 2796	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (2 · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))))
25	24	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (exp‘(i · (2 · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))))
26		sinval 16145	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)))
27		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((sin‘𝐴) = 0 → (sin‘𝐴) = 0)
28	26, 27	sylan9req 2817	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)) = 0)
29		efcl 16103	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
30	18, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
31		negicn 11425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ -i ∈ ℂ
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -i ∈ ℂ)
33	32, 11	mulcld 11196	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
34		efcl 16103	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((-i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) ∈ ℂ)
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) ∈ ℂ)
36	30, 35	subcld 11536	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ)
37		2mulicn 12439	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 · i) ∈ ℂ
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · i) ∈ ℂ)
39		2muline0 12440	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 · i) ≠ 0
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · i) ≠ 0)
41	36, 38, 40	diveq0ad 11971	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)) = 0 ↔ ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) = 0))
42	41	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → ((((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)) = 0 ↔ ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) = 0))
43	28, 42	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) = 0)
44	30, 35	subeq0ad 11546	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) = 0 ↔ (exp‘(i · 𝐴)) = (exp‘(-i · 𝐴))))
45	44	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) = 0 ↔ (exp‘(i · 𝐴)) = (exp‘(-i · 𝐴))))
46	43, 45	mpbid 234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (exp‘(i · 𝐴)) = (exp‘(-i · 𝐴)))
47	46	oveq2d 7407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴))))
48		efadd 16115	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (-i · 𝐴) ∈ ℂ) → (exp‘((i · 𝐴) + (-i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴))))
49	18, 33, 48	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘((i · 𝐴) + (-i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴))))
50	49	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (exp‘((i · 𝐴) + (-i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴))))
51	47, 50	eqtr4d 2799	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))) = (exp‘((i · 𝐴) + (-i · 𝐴))))
52	16, 32, 11	adddird 11201	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i + -i) · 𝐴) = ((i · 𝐴) + (-i · 𝐴)))
53	15	negidi 11494	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (i + -i) = 0
54	53	oveq1i 7401	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((i + -i) · 𝐴) = (0 · 𝐴)
55	52, 54	eqtr3di 2811	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) + (-i · 𝐴)) = (0 · 𝐴))
56	11	mul02d 11375	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 · 𝐴) = 0)
57	55, 56	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) + (-i · 𝐴)) = 0)
58	57	fveq2d 6866	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘((i · 𝐴) + (-i · 𝐴))) = (exp‘0))
59	58	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (exp‘((i · 𝐴) + (-i · 𝐴))) = (exp‘0))
60		ef0 16112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (exp‘0) = 1
61	60	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (exp‘0) = 1)
62	51, 59, 61	3eqtrd 2800	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))) = 1)
63	25, 62	eqtrd 2796	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (exp‘(i · (2 · 𝐴))) = 1)
64	63	fveq2d 6866	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = (abs‘1))
65		abs1 15315	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘1) = 1
66	64, 65	eqtrdi 2812	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = 1)
67		absefib 16221	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 𝐴) ∈ ℂ → ((2 · 𝐴) ∈ ℝ ↔ (abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = 1))
68	67	biimparc 483	. . . . . . 7 ⊢ (((abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = 1 ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℂ) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
69	68	ancoms 462	. . . . . 6 ⊢ (((2 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = 1) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
70	14, 66, 69	syl2an2r 695	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
71		mulre 15139	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 2 ≠ 0) → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (2 · 𝐴) ∈ ℝ))
72	71	4animp1 45034	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℝ) ∧ 2 ≠ 0) ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
73	72	4an31 45035	. . . . 5 ⊢ ((((2 ≠ 0 ∧ 2 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
74	5, 10, 12, 70, 73	syl1111anc 851	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
75	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → π ∈ ℝ+)
76	74, 75	modcld 13879	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 mod π) ∈ ℝ)
77	76	recnd 11204	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 mod π) ∈ ℂ)
78	77	sincld 16153	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (sin‘(𝐴 mod π)) ∈ ℂ)
79	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → π ∈ ℝ)
80		0re 11177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 0 ∈ ℝ
81	80, 1, 2	ltleii 11300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 0 ≤ π
82		gt0ne0 11646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ 0 < π) → π ≠ 0)
83	82	3adant3 1144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ 0 < π ∧ 0 ≤ π) → π ≠ 0)
84	83	3com23 1138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ 0 ≤ π ∧ 0 < π) → π ≠ 0)
85	1, 81, 2, 84	mp3an 1481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ π ≠ 0
86	85	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → π ≠ 0)
87	74, 79, 86	redivcld 12013	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 / π) ∈ ℝ)
88	87	flcld 13802	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (⌊‘(𝐴 / π)) ∈ ℤ)
89	88	znegcld 12673	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → -(⌊‘(𝐴 / π)) ∈ ℤ)
90		abssinper 26574	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -(⌊‘(𝐴 / π)) ∈ ℤ) → (abs‘(sin‘(𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π)))) = (abs‘(sin‘𝐴)))
91	90	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -(⌊‘(𝐴 / π)) ∈ ℤ) → (abs‘(sin‘𝐴)) = (abs‘(sin‘(𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π)))))
92	91	ex 416	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-(⌊‘(𝐴 / π)) ∈ ℤ → (abs‘(sin‘𝐴)) = (abs‘(sin‘(𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π))))))
93	92	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (-(⌊‘(𝐴 / π)) ∈ ℤ → (abs‘(sin‘𝐴)) = (abs‘(sin‘(𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π))))))
94	89, 93	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (abs‘(sin‘𝐴)) = (abs‘(sin‘(𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π)))))
95	88	zcnd 12672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (⌊‘(𝐴 / π)) ∈ ℂ)
96	95	negcld 11523	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → -(⌊‘(𝐴 / π)) ∈ ℂ)
97	1	recni 11190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ π ∈ ℂ
98	97	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → π ∈ ℂ)
99	96, 98	mulcld 11196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π) ∈ ℂ)
100	98, 95	mulcld 11196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (π · (⌊‘(𝐴 / π))) ∈ ℂ)
101	100	negcld 11523	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → -(π · (⌊‘(𝐴 / π))) ∈ ℂ)
102	95, 98	mulneg1d 11634	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π) = -((⌊‘(𝐴 / π)) · π))
103	95, 98	mulcomd 11197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → ((⌊‘(𝐴 / π)) · π) = (π · (⌊‘(𝐴 / π))))
104	103	negeqd 11418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → -((⌊‘(𝐴 / π)) · π) = -(π · (⌊‘(𝐴 / π))))
105	102, 104	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π) = -(π · (⌊‘(𝐴 / π))))
106		oveq2 7399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((-(⌊‘(𝐴 / π)) · π) = -(π · (⌊‘(𝐴 / π))) → (𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π)) = (𝐴 + -(π · (⌊‘(𝐴 / π)))))
107	106	ad3antrrr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((-(⌊‘(𝐴 / π)) · π) = -(π · (⌊‘(𝐴 / π))) ∧ -(π · (⌊‘(𝐴 / π))) ∈ ℂ) ∧ (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π) ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π)) = (𝐴 + -(π · (⌊‘(𝐴 / π)))))
108	107	4an4132 45036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π) ∈ ℂ) ∧ -(π · (⌊‘(𝐴 / π))) ∈ ℂ) ∧ (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π) = -(π · (⌊‘(𝐴 / π)))) → (𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π)) = (𝐴 + -(π · (⌊‘(𝐴 / π)))))
109	12, 99, 101, 105, 108	syl1111anc 851	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π)) = (𝐴 + -(π · (⌊‘(𝐴 / π)))))
110	12, 100	negsubd 11542	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 + -(π · (⌊‘(𝐴 / π)))) = (𝐴 − (π · (⌊‘(𝐴 / π)))))
111	109, 110	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π)) = (𝐴 − (π · (⌊‘(𝐴 / π)))))
112	111	fveq2d 6866	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (sin‘(𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π))) = (sin‘(𝐴 − (π · (⌊‘(𝐴 / π))))))
113	112	fveq2d 6866	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (abs‘(sin‘(𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π)))) = (abs‘(sin‘(𝐴 − (π · (⌊‘(𝐴 / π)))))))
114	94, 113	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (abs‘(sin‘𝐴)) = (abs‘(sin‘(𝐴 − (π · (⌊‘(𝐴 / π)))))))
115		modval 13875	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+) → (𝐴 mod π) = (𝐴 − (π · (⌊‘(𝐴 / π)))))
116	115	fveq2d 6866	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+) → (sin‘(𝐴 mod π)) = (sin‘(𝐴 − (π · (⌊‘(𝐴 / π))))))
117	116	fveq2d 6866	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+) → (abs‘(sin‘(𝐴 mod π))) = (abs‘(sin‘(𝐴 − (π · (⌊‘(𝐴 / π)))))))
118	3, 117	mpan2 701	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘(sin‘(𝐴 mod π))) = (abs‘(sin‘(𝐴 − (π · (⌊‘(𝐴 / π)))))))
119	74, 118	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (abs‘(sin‘(𝐴 mod π))) = (abs‘(sin‘(𝐴 − (π · (⌊‘(𝐴 / π)))))))
120	114, 119	eqtr4d 2799	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (abs‘(sin‘𝐴)) = (abs‘(sin‘(𝐴 mod π))))
121	27	fveq2d 6866	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((sin‘𝐴) = 0 → (abs‘(sin‘𝐴)) = (abs‘0))
122		abs0 15303	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (abs‘0) = 0
123	121, 122	eqtrdi 2812	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((sin‘𝐴) = 0 → (abs‘(sin‘𝐴)) = 0)
124	123	adantl 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (abs‘(sin‘𝐴)) = 0)
125	120, 124	eqtr3d 2798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (abs‘(sin‘(𝐴 mod π))) = 0)
126	78, 125	abs00d 15467	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (sin‘(𝐴 mod π)) = 0)
127		notnotb 317	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((sin‘(𝐴 mod π)) = 0 ↔ ¬ ¬ (sin‘(𝐴 mod π)) = 0)
128	127	bicomi 226	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ ¬ (sin‘(𝐴 mod π)) = 0 ↔ (sin‘(𝐴 mod π)) = 0)
129		ltne 11274	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 < (sin‘(𝐴 mod π))) → (sin‘(𝐴 mod π)) ≠ 0)
130	129	neneqd 2961	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 < (sin‘(𝐴 mod π))) → ¬ (sin‘(𝐴 mod π)) = 0)
131	130	expcom 417	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 < (sin‘(𝐴 mod π)) → (0 ∈ ℝ → ¬ (sin‘(𝐴 mod π)) = 0))
132	80, 131	mpi 20	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 < (sin‘(𝐴 mod π)) → ¬ (sin‘(𝐴 mod π)) = 0)
133	132	con3i 154	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ ¬ (sin‘(𝐴 mod π)) = 0 → ¬ 0 < (sin‘(𝐴 mod π)))
134	128, 133	sylbir 237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((sin‘(𝐴 mod π)) = 0 → ¬ 0 < (sin‘(𝐴 mod π)))
135	126, 134	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → ¬ 0 < (sin‘(𝐴 mod π)))
136		sinq12gt0 26560	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) → 0 < (sin‘(𝐴 mod π)))
137	135, 136	nsyl 140	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → ¬ (𝐴 mod π) ∈ (0(,)π))
138	80	rexri 11234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ*
139	1	rexri 11234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ π ∈ ℝ*
140		elioo2 13384	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) ↔ ((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 mod π) ∧ (𝐴 mod π) < π)))
141	138, 139, 140	mp2an 702	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) ↔ ((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 mod π) ∧ (𝐴 mod π) < π))
142	141	notbii 322	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) ↔ ¬ ((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 mod π) ∧ (𝐴 mod π) < π))
143	137, 142	sylib 220	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → ¬ ((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 mod π) ∧ (𝐴 mod π) < π))
144		3anan12 1106	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 mod π) ∧ (𝐴 mod π) < π) ↔ (0 < (𝐴 mod π) ∧ ((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod π) < π)))
145	144	notbii 322	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ ((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 mod π) ∧ (𝐴 mod π) < π) ↔ ¬ (0 < (𝐴 mod π) ∧ ((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod π) < π)))
146	143, 145	sylib 220	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → ¬ (0 < (𝐴 mod π) ∧ ((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod π) < π)))
147		modlt 13884	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+) → (𝐴 mod π) < π)
148	147	ancoms 462	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 mod π) < π)
149	3, 74, 148	sylancr 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 mod π) < π)
150	76, 149	jca 519	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → ((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod π) < π))
151		not12an2impnot1 45105	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ (0 < (𝐴 mod π) ∧ ((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod π) < π)) ∧ ((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod π) < π)) → ¬ 0 < (𝐴 mod π))
152	146, 150, 151	syl2anc 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → ¬ 0 < (𝐴 mod π))
153		modge0 13883	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+) → 0 ≤ (𝐴 mod π))
154	153	ancoms 462	. . . . . . . 8 ⊢ ((π ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐴 mod π))
155	3, 74, 154	sylancr 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → 0 ≤ (𝐴 mod π))
156		leloe 11263	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod π) ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 mod π) ↔ (0 < (𝐴 mod π) ∨ 0 = (𝐴 mod π))))
157	156	biimp3a 1489	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 mod π)) → (0 < (𝐴 mod π) ∨ 0 = (𝐴 mod π)))
158	157	idiALT 45015	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 mod π)) → (0 < (𝐴 mod π) ∨ 0 = (𝐴 mod π)))
159	80, 76, 155, 158	mp3an2i 1486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (0 < (𝐴 mod π) ∨ 0 = (𝐴 mod π)))
160		pm2.53 862	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 < (𝐴 mod π) ∨ 0 = (𝐴 mod π)) → (¬ 0 < (𝐴 mod π) → 0 = (𝐴 mod π)))
161	160	imp 410	. . . . . . 7 ⊢ (((0 < (𝐴 mod π) ∨ 0 = (𝐴 mod π)) ∧ ¬ 0 < (𝐴 mod π)) → 0 = (𝐴 mod π))
162	161	ancoms 462	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 0 < (𝐴 mod π) ∧ (0 < (𝐴 mod π) ∨ 0 = (𝐴 mod π))) → 0 = (𝐴 mod π))
163	152, 159, 162	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → 0 = (𝐴 mod π))
164	163	eqcomd 2767	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 mod π) = 0)
165		mod0 13880	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod π) = 0 ↔ (𝐴 / π) ∈ ℤ))
166	165	biimp3a 1489	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod π) = 0) → (𝐴 / π) ∈ ℤ)
167	166	3com12 1135	. . . 4 ⊢ ((π ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod π) = 0) → (𝐴 / π) ∈ ℤ)
168	3, 74, 164, 167	mp3an2i 1486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 / π) ∈ ℤ)
169	168	ex 416	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) = 0 → (𝐴 / π) ∈ ℤ))
170	97	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → π ∈ ℂ)
171	85	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → π ≠ 0)
172	11, 170, 171	divcan1d 11962	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 / π) · π) = 𝐴)
173	172	fveq2d 6866	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘((𝐴 / π) · π)) = (sin‘𝐴))
174		id 22	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 / π) ∈ ℤ → (𝐴 / π) ∈ ℤ)
175		sinkpi 26575	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 / π) ∈ ℤ → (sin‘((𝐴 / π) · π)) = 0)
176	174, 175	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 / π) ∈ ℤ → (sin‘((𝐴 / π) · π)) = 0)
177	173, 176	sylan9req 2817	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 / π) ∈ ℤ) → (sin‘𝐴) = 0)
178	177	ex 416	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 / π) ∈ ℤ → (sin‘𝐴) = 0))
179	169, 178	impbid 214	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) = 0 ↔ (𝐴 / π) ∈ ℤ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∨ wo 858   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   class class class wbr 5097  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  ℂcc 11065  ℝcr 11066  0cc0 11067  1c1 11068  ici 11069   + caddc 11070   · cmul 11072  ℝ^*cxr 11209   < clt 11210   ≤ cle 11211   − cmin 11408  -cneg 11409   / cdiv 11838  2c2 12266  ℤcz 12562  ℝ⁺crp 12987  (,)cioo 13343  ⌊cfl 13794   mod cmo 13873  abscabs 15252  expce 16082  sincsin 16084  πcpi 16087

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-inf2 9590  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144  ax-pre-sup 11145  ax-addf 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-isom 6525  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-of 7655  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-supp 8135  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-2o 8432  df-er 8672  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9302  df-fi 9351  df-sup 9382  df-inf 9383  df-oi 9452  df-card 9891  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-div 11839  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12476  df-z 12563  df-dec 12683  df-uz 12834  df-q 12944  df-rp 12988  df-xneg 13108  df-xadd 13109  df-xmul 13110  df-ioo 13347  df-ioc 13348  df-ico 13349  df-icc 13350  df-fz 13507  df-fzo 13654  df-fl 13796  df-mod 13874  df-seq 14009  df-exp 14069  df-fac 14281  df-bc 14310  df-hash 14338  df-shft 15074  df-cj 15117  df-re 15118  df-im 15119  df-sqrt 15253  df-abs 15254  df-limsup 15489  df-clim 15506  df-rlim 15507  df-sum 15705  df-ef 16088  df-sin 16090  df-cos 16091  df-pi 16093  df-struct 17174  df-sets 17191  df-slot 17209  df-ndx 17221  df-base 17237  df-ress 17258  df-plusg 17290  df-mulr 17291  df-starv 17292  df-sca 17293  df-vsca 17294  df-ip 17295  df-tset 17296  df-ple 17297  df-ds 17299  df-unif 17300  df-hom 17301  df-cco 17302  df-rest 17442  df-topn 17443  df-0g 17461  df-gsum 17462  df-topgen 17463  df-pt 17464  df-prds 17467  df-xrs 17523  df-qtop 17528  df-imas 17529  df-xps 17531  df-mre 17605  df-mrc 17606  df-acs 17608  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19101  df-cntz 19348  df-cmn 19813  df-psmet 21404  df-xmet 21405  df-met 21406  df-bl 21407  df-mopn 21408  df-fbas 21409  df-fg 21410  df-cnfld 21413  df-top 22942  df-topon 22959  df-topsp 22981  df-bases 22994  df-cld 23067  df-ntr 23068  df-cls 23069  df-nei 23146  df-lp 23184  df-perf 23185  df-cn 23275  df-cnp 23276  df-haus 23363  df-tx 23610  df-hmeo 23803  df-fil 23894  df-fm 23986  df-flim 23987  df-flf 23988  df-xms 24368  df-ms 24369  df-tms 24370  df-cncf 24928  df-limc 25916  df-dv 25917

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