Users' Mathboxes Mathbox for Alan Sare < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sineq0ALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sineq0ALT 43199
Description: A complex number whose sine is zero is an integer multiple of π. The Virtual Deduction form of the proof is https://us.metamath.org/other/completeusersproof/sineq0altvd.html. The Metamath form of the proof is sineq0ALT 43199. The Virtual Deduction proof is based on Mario Carneiro's revision of Norm Megill's proof of sineq0 25876. The Virtual Deduction proof is verified by automatically transforming it into the Metamath form of the proof using completeusersproof, which is verified by the Metamath program. The proof of https://us.metamath.org/other/completeusersproof/sineq0altro.html 25876 is a form of the completed proof which preserves the Virtual Deduction proof's step numbers and their ordering. (Contributed by Alan Sare, 13-Jun-2018.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
sineq0ALT (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) = 0 ↔ (𝐴 / π) ∈ ℤ))

Proof of Theorem sineq0ALT
StepHypRef Expression
1 pire 25811 . . . . 5 π ∈ ℝ
2 pipos 25813 . . . . 5 0 < π
31, 2elrpii 12915 . . . 4 π ∈ ℝ+
4 2ne0 12254 . . . . . 6 2 ≠ 0
54a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → 2 ≠ 0)
6 2cn 12225 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
7 2re 12224 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
87a1i 11 . . . . . . 7 (2 ∈ ℂ → 2 ∈ ℝ)
96, 8ax-mp 5 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
109a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → 2 ∈ ℝ)
11 id 22 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
1211adantr 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
136a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
1413, 11mulcld 11172 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
15 ax-icn 11107 . . . . . . . . . . . . . . 15 i ∈ ℂ
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℂ → i ∈ ℂ)
1713, 16, 11mul12d 11361 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (i · 𝐴)) = (i · (2 · 𝐴)))
1816, 11mulcld 11172 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
19182timesd 12393 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (i · 𝐴)) = ((i · 𝐴) + (i · 𝐴)))
2017, 19eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (2 · 𝐴)) = ((i · 𝐴) + (i · 𝐴)))
2120fveq2d 6844 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (2 · 𝐴))) = (exp‘((i · 𝐴) + (i · 𝐴))))
22 efadd 15973 . . . . . . . . . . . 12 (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (exp‘((i · 𝐴) + (i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))))
2318, 18, 22syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘((i · 𝐴) + (i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))))
2421, 23eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (2 · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))))
2524adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (exp‘(i · (2 · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))))
26 sinval 16001 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)))
27 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((sin‘𝐴) = 0 → (sin‘𝐴) = 0)
2826, 27sylan9req 2797 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)) = 0)
29 efcl 15962 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
3018, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
31 negicn 11399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 -i ∈ ℂ
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ ℂ → -i ∈ ℂ)
3332, 11mulcld 11172 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ ℂ → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
34 efcl 15962 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((-i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) ∈ ℂ)
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) ∈ ℂ)
3630, 35subcld 11509 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ)
37 2mulicn 12373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 · i) ∈ ℂ
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · i) ∈ ℂ)
39 2muline0 12374 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 · i) ≠ 0
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · i) ≠ 0)
4136, 38, 40diveq0ad 11938 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)) = 0 ↔ ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) = 0))
4241adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → ((((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)) = 0 ↔ ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) = 0))
4328, 42mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) = 0)
4430, 35subeq0ad 11519 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) = 0 ↔ (exp‘(i · 𝐴)) = (exp‘(-i · 𝐴))))
4544adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) = 0 ↔ (exp‘(i · 𝐴)) = (exp‘(-i · 𝐴))))
4643, 45mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (exp‘(i · 𝐴)) = (exp‘(-i · 𝐴)))
4746oveq2d 7370 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴))))
48 efadd 15973 . . . . . . . . . . . . 13 (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (-i · 𝐴) ∈ ℂ) → (exp‘((i · 𝐴) + (-i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴))))
4918, 33, 48syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘((i · 𝐴) + (-i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴))))
5049adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (exp‘((i · 𝐴) + (-i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴))))
5147, 50eqtr4d 2779 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))) = (exp‘((i · 𝐴) + (-i · 𝐴))))
5216, 32, 11adddird 11177 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℂ → ((i + -i) · 𝐴) = ((i · 𝐴) + (-i · 𝐴)))
5315negidi 11467 . . . . . . . . . . . . . . 15 (i + -i) = 0
5453oveq1i 7364 . . . . . . . . . . . . . 14 ((i + -i) · 𝐴) = (0 · 𝐴)
5552, 54eqtr3di 2791 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) + (-i · 𝐴)) = (0 · 𝐴))
5611mul02d 11350 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℂ → (0 · 𝐴) = 0)
5755, 56eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) + (-i · 𝐴)) = 0)
5857fveq2d 6844 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘((i · 𝐴) + (-i · 𝐴))) = (exp‘0))
5958adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (exp‘((i · 𝐴) + (-i · 𝐴))) = (exp‘0))
60 ef0 15970 . . . . . . . . . . 11 (exp‘0) = 1
6160a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (exp‘0) = 1)
6251, 59, 613eqtrd 2780 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))) = 1)
6325, 62eqtrd 2776 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (exp‘(i · (2 · 𝐴))) = 1)
6463fveq2d 6844 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = (abs‘1))
65 abs1 15179 . . . . . . 7 (abs‘1) = 1
6664, 65eqtrdi 2792 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = 1)
67 absefib 16077 . . . . . . . 8 ((2 · 𝐴) ∈ ℂ → ((2 · 𝐴) ∈ ℝ ↔ (abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = 1))
6867biimparc 480 . . . . . . 7 (((abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = 1 ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℂ) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
6968ancoms 459 . . . . . 6 (((2 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = 1) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
7014, 66, 69syl2an2r 683 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
71 mulre 15003 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 2 ≠ 0) → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (2 · 𝐴) ∈ ℝ))
72714animp1 42759 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℝ) ∧ 2 ≠ 0) ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
73724an31 42760 . . . . 5 ((((2 ≠ 0 ∧ 2 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
745, 10, 12, 70, 73syl1111anc 838 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
753a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → π ∈ ℝ+)
7674, 75modcld 13777 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 mod π) ∈ ℝ)
7776recnd 11180 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 mod π) ∈ ℂ)
7877sincld 16009 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (sin‘(𝐴 mod π)) ∈ ℂ)
791a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → π ∈ ℝ)
80 0re 11154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ ℝ
8180, 1, 2ltleii 11275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 0 ≤ π
82 gt0ne0 11617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((π ∈ ℝ ∧ 0 < π) → π ≠ 0)
83823adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π ∈ ℝ ∧ 0 < π ∧ 0 ≤ π) → π ≠ 0)
84833com23 1126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π ∈ ℝ ∧ 0 ≤ π ∧ 0 < π) → π ≠ 0)
851, 81, 2, 84mp3an 1461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 π ≠ 0
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → π ≠ 0)
8774, 79, 86redivcld 11980 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 / π) ∈ ℝ)
8887flcld 13700 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (⌊‘(𝐴 / π)) ∈ ℤ)
8988znegcld 12606 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → -(⌊‘(𝐴 / π)) ∈ ℤ)
90 abssinper 25873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -(⌊‘(𝐴 / π)) ∈ ℤ) → (abs‘(sin‘(𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π)))) = (abs‘(sin‘𝐴)))
9190eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -(⌊‘(𝐴 / π)) ∈ ℤ) → (abs‘(sin‘𝐴)) = (abs‘(sin‘(𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π)))))
9291ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℂ → (-(⌊‘(𝐴 / π)) ∈ ℤ → (abs‘(sin‘𝐴)) = (abs‘(sin‘(𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π))))))
9392adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (-(⌊‘(𝐴 / π)) ∈ ℤ → (abs‘(sin‘𝐴)) = (abs‘(sin‘(𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π))))))
9489, 93mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (abs‘(sin‘𝐴)) = (abs‘(sin‘(𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π)))))
9588zcnd 12605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (⌊‘(𝐴 / π)) ∈ ℂ)
9695negcld 11496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → -(⌊‘(𝐴 / π)) ∈ ℂ)
971recni 11166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 π ∈ ℂ
9897a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → π ∈ ℂ)
9996, 98mulcld 11172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π) ∈ ℂ)
10098, 95mulcld 11172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (π · (⌊‘(𝐴 / π))) ∈ ℂ)
101100negcld 11496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → -(π · (⌊‘(𝐴 / π))) ∈ ℂ)
10295, 98mulneg1d 11605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π) = -((⌊‘(𝐴 / π)) · π))
10395, 98mulcomd 11173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → ((⌊‘(𝐴 / π)) · π) = (π · (⌊‘(𝐴 / π))))
104103negeqd 11392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → -((⌊‘(𝐴 / π)) · π) = -(π · (⌊‘(𝐴 / π))))
105102, 104eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π) = -(π · (⌊‘(𝐴 / π))))
106 oveq2 7362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((-(⌊‘(𝐴 / π)) · π) = -(π · (⌊‘(𝐴 / π))) → (𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π)) = (𝐴 + -(π · (⌊‘(𝐴 / π)))))
107106ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((-(⌊‘(𝐴 / π)) · π) = -(π · (⌊‘(𝐴 / π))) ∧ -(π · (⌊‘(𝐴 / π))) ∈ ℂ) ∧ (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π) ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π)) = (𝐴 + -(π · (⌊‘(𝐴 / π)))))
1081074an4132 42761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π) ∈ ℂ) ∧ -(π · (⌊‘(𝐴 / π))) ∈ ℂ) ∧ (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π) = -(π · (⌊‘(𝐴 / π)))) → (𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π)) = (𝐴 + -(π · (⌊‘(𝐴 / π)))))
10912, 99, 101, 105, 108syl1111anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π)) = (𝐴 + -(π · (⌊‘(𝐴 / π)))))
11012, 100negsubd 11515 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 + -(π · (⌊‘(𝐴 / π)))) = (𝐴 − (π · (⌊‘(𝐴 / π)))))
111109, 110eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π)) = (𝐴 − (π · (⌊‘(𝐴 / π)))))
112111fveq2d 6844 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (sin‘(𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π))) = (sin‘(𝐴 − (π · (⌊‘(𝐴 / π))))))
113112fveq2d 6844 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (abs‘(sin‘(𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π)))) = (abs‘(sin‘(𝐴 − (π · (⌊‘(𝐴 / π)))))))
11494, 113eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (abs‘(sin‘𝐴)) = (abs‘(sin‘(𝐴 − (π · (⌊‘(𝐴 / π)))))))
115 modval 13773 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+) → (𝐴 mod π) = (𝐴 − (π · (⌊‘(𝐴 / π)))))
116115fveq2d 6844 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+) → (sin‘(𝐴 mod π)) = (sin‘(𝐴 − (π · (⌊‘(𝐴 / π))))))
117116fveq2d 6844 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+) → (abs‘(sin‘(𝐴 mod π))) = (abs‘(sin‘(𝐴 − (π · (⌊‘(𝐴 / π)))))))
1183, 117mpan2 689 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘(sin‘(𝐴 mod π))) = (abs‘(sin‘(𝐴 − (π · (⌊‘(𝐴 / π)))))))
11974, 118syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (abs‘(sin‘(𝐴 mod π))) = (abs‘(sin‘(𝐴 − (π · (⌊‘(𝐴 / π)))))))
120114, 119eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (abs‘(sin‘𝐴)) = (abs‘(sin‘(𝐴 mod π))))
12127fveq2d 6844 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((sin‘𝐴) = 0 → (abs‘(sin‘𝐴)) = (abs‘0))
122 abs0 15167 . . . . . . . . . . . . . . 15 (abs‘0) = 0
123121, 122eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . . 14 ((sin‘𝐴) = 0 → (abs‘(sin‘𝐴)) = 0)
124123adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (abs‘(sin‘𝐴)) = 0)
125120, 124eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (abs‘(sin‘(𝐴 mod π))) = 0)
12678, 125abs00d 15328 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (sin‘(𝐴 mod π)) = 0)
127 notnotb 314 . . . . . . . . . . . . 13 ((sin‘(𝐴 mod π)) = 0 ↔ ¬ ¬ (sin‘(𝐴 mod π)) = 0)
128127bicomi 223 . . . . . . . . . . . 12 (¬ ¬ (sin‘(𝐴 mod π)) = 0 ↔ (sin‘(𝐴 mod π)) = 0)
129 ltne 11249 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ∈ ℝ ∧ 0 < (sin‘(𝐴 mod π))) → (sin‘(𝐴 mod π)) ≠ 0)
130129neneqd 2947 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ ∧ 0 < (sin‘(𝐴 mod π))) → ¬ (sin‘(𝐴 mod π)) = 0)
131130expcom 414 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 < (sin‘(𝐴 mod π)) → (0 ∈ ℝ → ¬ (sin‘(𝐴 mod π)) = 0))
13280, 131mpi 20 . . . . . . . . . . . . 13 (0 < (sin‘(𝐴 mod π)) → ¬ (sin‘(𝐴 mod π)) = 0)
133132con3i 154 . . . . . . . . . . . 12 (¬ ¬ (sin‘(𝐴 mod π)) = 0 → ¬ 0 < (sin‘(𝐴 mod π)))
134128, 133sylbir 234 . . . . . . . . . . 11 ((sin‘(𝐴 mod π)) = 0 → ¬ 0 < (sin‘(𝐴 mod π)))
135126, 134syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → ¬ 0 < (sin‘(𝐴 mod π)))
136 sinq12gt0 25860 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) → 0 < (sin‘(𝐴 mod π)))
137135, 136nsyl 140 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → ¬ (𝐴 mod π) ∈ (0(,)π))
13880rexri 11210 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
1391rexri 11210 . . . . . . . . . . 11 π ∈ ℝ*
140 elioo2 13302 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) ↔ ((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 mod π) ∧ (𝐴 mod π) < π)))
141138, 139, 140mp2an 690 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) ↔ ((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 mod π) ∧ (𝐴 mod π) < π))
142141notbii 319 . . . . . . . . 9 (¬ (𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) ↔ ¬ ((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 mod π) ∧ (𝐴 mod π) < π))
143137, 142sylib 217 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → ¬ ((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 mod π) ∧ (𝐴 mod π) < π))
144 3anan12 1096 . . . . . . . . 9 (((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 mod π) ∧ (𝐴 mod π) < π) ↔ (0 < (𝐴 mod π) ∧ ((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod π) < π)))
145144notbii 319 . . . . . . . 8 (¬ ((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 mod π) ∧ (𝐴 mod π) < π) ↔ ¬ (0 < (𝐴 mod π) ∧ ((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod π) < π)))
146143, 145sylib 217 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → ¬ (0 < (𝐴 mod π) ∧ ((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod π) < π)))
147 modlt 13782 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+) → (𝐴 mod π) < π)
148147ancoms 459 . . . . . . . . 9 ((π ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 mod π) < π)
1493, 74, 148sylancr 587 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 mod π) < π)
15076, 149jca 512 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → ((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod π) < π))
151 not12an2impnot1 42830 . . . . . . 7 ((¬ (0 < (𝐴 mod π) ∧ ((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod π) < π)) ∧ ((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod π) < π)) → ¬ 0 < (𝐴 mod π))
152146, 150, 151syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → ¬ 0 < (𝐴 mod π))
153 modge0 13781 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+) → 0 ≤ (𝐴 mod π))
154153ancoms 459 . . . . . . . 8 ((π ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐴 mod π))
1553, 74, 154sylancr 587 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → 0 ≤ (𝐴 mod π))
156 leloe 11238 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod π) ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 mod π) ↔ (0 < (𝐴 mod π) ∨ 0 = (𝐴 mod π))))
157156biimp3a 1469 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 mod π)) → (0 < (𝐴 mod π) ∨ 0 = (𝐴 mod π)))
158157idiALT 42739 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 mod π)) → (0 < (𝐴 mod π) ∨ 0 = (𝐴 mod π)))
15980, 76, 155, 158mp3an2i 1466 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (0 < (𝐴 mod π) ∨ 0 = (𝐴 mod π)))
160 pm2.53 849 . . . . . . . 8 ((0 < (𝐴 mod π) ∨ 0 = (𝐴 mod π)) → (¬ 0 < (𝐴 mod π) → 0 = (𝐴 mod π)))
161160imp 407 . . . . . . 7 (((0 < (𝐴 mod π) ∨ 0 = (𝐴 mod π)) ∧ ¬ 0 < (𝐴 mod π)) → 0 = (𝐴 mod π))
162161ancoms 459 . . . . . 6 ((¬ 0 < (𝐴 mod π) ∧ (0 < (𝐴 mod π) ∨ 0 = (𝐴 mod π))) → 0 = (𝐴 mod π))
163152, 159, 162syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → 0 = (𝐴 mod π))
164163eqcomd 2742 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 mod π) = 0)
165 mod0 13778 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod π) = 0 ↔ (𝐴 / π) ∈ ℤ))
166165biimp3a 1469 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod π) = 0) → (𝐴 / π) ∈ ℤ)
1671663com12 1123 . . . 4 ((π ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod π) = 0) → (𝐴 / π) ∈ ℤ)
1683, 74, 164, 167mp3an2i 1466 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 / π) ∈ ℤ)
169168ex 413 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) = 0 → (𝐴 / π) ∈ ℤ))
17097a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → π ∈ ℂ)
17185a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → π ≠ 0)
17211, 170, 171divcan1d 11929 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 / π) · π) = 𝐴)
173172fveq2d 6844 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘((𝐴 / π) · π)) = (sin‘𝐴))
174 id 22 . . . . 5 ((𝐴 / π) ∈ ℤ → (𝐴 / π) ∈ ℤ)
175 sinkpi 25874 . . . . 5 ((𝐴 / π) ∈ ℤ → (sin‘((𝐴 / π) · π)) = 0)
176174, 175syl 17 . . . 4 ((𝐴 / π) ∈ ℤ → (sin‘((𝐴 / π) · π)) = 0)
177173, 176sylan9req 2797 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 / π) ∈ ℤ) → (sin‘𝐴) = 0)
178177ex 413 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 / π) ∈ ℤ → (sin‘𝐴) = 0))
179169, 178impbid 211 1 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) = 0 ↔ (𝐴 / π) ∈ ℤ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2942   class class class wbr 5104  cfv 6494  (class class class)co 7354  cc 11046  cr 11047  0cc0 11048  1c1 11049  ici 11050   + caddc 11051   · cmul 11053  *cxr 11185   < clt 11186  cle 11187  cmin 11382  -cneg 11383   / cdiv 11809  2c2 12205  cz 12496  +crp 12912  (,)cioo 13261  cfl 13692   mod cmo 13771  abscabs 15116  expce 15941  sincsin 15943  πcpi 15946
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7669  ax-inf2 9574  ax-cnex 11104  ax-resscn 11105  ax-1cn 11106  ax-icn 11107  ax-addcl 11108  ax-addrcl 11109  ax-mulcl 11110  ax-mulrcl 11111  ax-mulcom 11112  ax-addass 11113  ax-mulass 11114  ax-distr 11115  ax-i2m1 11116  ax-1ne0 11117  ax-1rid 11118  ax-rnegex 11119  ax-rrecex 11120  ax-cnre 11121  ax-pre-lttri 11122  ax-pre-lttrn 11123  ax-pre-ltadd 11124  ax-pre-mulgt0 11125  ax-pre-sup 11126  ax-addf 11127  ax-mulf 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-iin 4956  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-se 5588  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-isom 6503  df-riota 7310  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-of 7614  df-om 7800  df-1st 7918  df-2nd 7919  df-supp 8090  df-frecs 8209  df-wrecs 8240  df-recs 8314  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-2o 8410  df-er 8645  df-map 8764  df-pm 8765  df-ixp 8833  df-en 8881  df-dom 8882  df-sdom 8883  df-fin 8884  df-fsupp 9303  df-fi 9344  df-sup 9375  df-inf 9376  df-oi 9443  df-card 9872  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11384  df-neg 11385  df-div 11810  df-nn 12151  df-2 12213  df-3 12214  df-4 12215  df-5 12216  df-6 12217  df-7 12218  df-8 12219  df-9 12220  df-n0 12411  df-z 12497  df-dec 12616  df-uz 12761  df-q 12871  df-rp 12913  df-xneg 13030  df-xadd 13031  df-xmul 13032  df-ioo 13265  df-ioc 13266  df-ico 13267  df-icc 13268  df-fz 13422  df-fzo 13565  df-fl 13694  df-mod 13772  df-seq 13904  df-exp 13965  df-fac 14171  df-bc 14200  df-hash 14228  df-shft 14949  df-cj 14981  df-re 14982  df-im 14983  df-sqrt 15117  df-abs 15118  df-limsup 15350  df-clim 15367  df-rlim 15368  df-sum 15568  df-ef 15947  df-sin 15949  df-cos 15950  df-pi 15952  df-struct 17016  df-sets 17033  df-slot 17051  df-ndx 17063  df-base 17081  df-ress 17110  df-plusg 17143  df-mulr 17144  df-starv 17145  df-sca 17146  df-vsca 17147  df-ip 17148  df-tset 17149  df-ple 17150  df-ds 17152  df-unif 17153  df-hom 17154  df-cco 17155  df-rest 17301  df-topn 17302  df-0g 17320  df-gsum 17321  df-topgen 17322  df-pt 17323  df-prds 17326  df-xrs 17381  df-qtop 17386  df-imas 17387  df-xps 17389  df-mre 17463  df-mrc 17464  df-acs 17466  df-mgm 18494  df-sgrp 18543  df-mnd 18554  df-submnd 18599  df-mulg 18869  df-cntz 19093  df-cmn 19560  df-psmet 20784  df-xmet 20785  df-met 20786  df-bl 20787  df-mopn 20788  df-fbas 20789  df-fg 20790  df-cnfld 20793  df-top 22239  df-topon 22256  df-topsp 22278  df-bases 22292  df-cld 22366  df-ntr 22367  df-cls 22368  df-nei 22445  df-lp 22483  df-perf 22484  df-cn 22574  df-cnp 22575  df-haus 22662  df-tx 22909  df-hmeo 23102  df-fil 23193  df-fm 23285  df-flim 23286  df-flf 23287  df-xms 23669  df-ms 23670  df-tms 23671  df-cncf 24237  df-limc 25226  df-dv 25227
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator