Users' Mathboxes Mathbox for Alan Sare < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sineq0ALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sineq0ALT 44650
Description: A complex number whose sine is zero is an integer multiple of π. The Virtual Deduction form of the proof is https://us.metamath.org/other/completeusersproof/sineq0altvd.html. The Metamath form of the proof is sineq0ALT 44650. The Virtual Deduction proof is based on Mario Carneiro's revision of Norm Megill's proof of sineq0 26548. The Virtual Deduction proof is verified by automatically transforming it into the Metamath form of the proof using completeusersproof, which is verified by the Metamath program. The proof of https://us.metamath.org/other/completeusersproof/sineq0altro.html 26548 is a form of the completed proof which preserves the Virtual Deduction proof's step numbers and their ordering. (Contributed by Alan Sare, 13-Jun-2018.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
sineq0ALT (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) = 0 ↔ (𝐴 / π) ∈ ℤ))

Proof of Theorem sineq0ALT
StepHypRef Expression
1 pire 26483 . . . . 5 π ∈ ℝ
2 pipos 26485 . . . . 5 0 < π
31, 2elrpii 13025 . . . 4 π ∈ ℝ+
4 2ne0 12362 . . . . . 6 2 ≠ 0
54a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → 2 ≠ 0)
6 2cn 12333 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
7 2re 12332 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
87a1i 11 . . . . . . 7 (2 ∈ ℂ → 2 ∈ ℝ)
96, 8ax-mp 5 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
109a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → 2 ∈ ℝ)
11 id 22 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
1211adantr 479 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
136a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
1413, 11mulcld 11275 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
15 ax-icn 11208 . . . . . . . . . . . . . . 15 i ∈ ℂ
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℂ → i ∈ ℂ)
1713, 16, 11mul12d 11464 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (i · 𝐴)) = (i · (2 · 𝐴)))
1816, 11mulcld 11275 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
19182timesd 12501 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (i · 𝐴)) = ((i · 𝐴) + (i · 𝐴)))
2017, 19eqtr3d 2768 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (2 · 𝐴)) = ((i · 𝐴) + (i · 𝐴)))
2120fveq2d 6897 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (2 · 𝐴))) = (exp‘((i · 𝐴) + (i · 𝐴))))
22 efadd 16091 . . . . . . . . . . . 12 (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (exp‘((i · 𝐴) + (i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))))
2318, 18, 22syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘((i · 𝐴) + (i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))))
2421, 23eqtrd 2766 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (2 · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))))
2524adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (exp‘(i · (2 · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))))
26 sinval 16119 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)))
27 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((sin‘𝐴) = 0 → (sin‘𝐴) = 0)
2826, 27sylan9req 2787 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)) = 0)
29 efcl 16079 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
3018, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
31 negicn 11502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 -i ∈ ℂ
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ ℂ → -i ∈ ℂ)
3332, 11mulcld 11275 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ ℂ → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
34 efcl 16079 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((-i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) ∈ ℂ)
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) ∈ ℂ)
3630, 35subcld 11612 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ)
37 2mulicn 12481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 · i) ∈ ℂ
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · i) ∈ ℂ)
39 2muline0 12482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 · i) ≠ 0
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · i) ≠ 0)
4136, 38, 40diveq0ad 12045 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)) = 0 ↔ ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) = 0))
4241adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → ((((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)) = 0 ↔ ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) = 0))
4328, 42mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) = 0)
4430, 35subeq0ad 11622 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) = 0 ↔ (exp‘(i · 𝐴)) = (exp‘(-i · 𝐴))))
4544adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) = 0 ↔ (exp‘(i · 𝐴)) = (exp‘(-i · 𝐴))))
4643, 45mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (exp‘(i · 𝐴)) = (exp‘(-i · 𝐴)))
4746oveq2d 7432 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴))))
48 efadd 16091 . . . . . . . . . . . . 13 (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (-i · 𝐴) ∈ ℂ) → (exp‘((i · 𝐴) + (-i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴))))
4918, 33, 48syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘((i · 𝐴) + (-i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴))))
5049adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (exp‘((i · 𝐴) + (-i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴))))
5147, 50eqtr4d 2769 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))) = (exp‘((i · 𝐴) + (-i · 𝐴))))
5216, 32, 11adddird 11280 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℂ → ((i + -i) · 𝐴) = ((i · 𝐴) + (-i · 𝐴)))
5315negidi 11570 . . . . . . . . . . . . . . 15 (i + -i) = 0
5453oveq1i 7426 . . . . . . . . . . . . . 14 ((i + -i) · 𝐴) = (0 · 𝐴)
5552, 54eqtr3di 2781 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) + (-i · 𝐴)) = (0 · 𝐴))
5611mul02d 11453 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℂ → (0 · 𝐴) = 0)
5755, 56eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) + (-i · 𝐴)) = 0)
5857fveq2d 6897 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘((i · 𝐴) + (-i · 𝐴))) = (exp‘0))
5958adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (exp‘((i · 𝐴) + (-i · 𝐴))) = (exp‘0))
60 ef0 16088 . . . . . . . . . . 11 (exp‘0) = 1
6160a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (exp‘0) = 1)
6251, 59, 613eqtrd 2770 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))) = 1)
6325, 62eqtrd 2766 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (exp‘(i · (2 · 𝐴))) = 1)
6463fveq2d 6897 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = (abs‘1))
65 abs1 15297 . . . . . . 7 (abs‘1) = 1
6664, 65eqtrdi 2782 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = 1)
67 absefib 16195 . . . . . . . 8 ((2 · 𝐴) ∈ ℂ → ((2 · 𝐴) ∈ ℝ ↔ (abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = 1))
6867biimparc 478 . . . . . . 7 (((abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = 1 ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℂ) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
6968ancoms 457 . . . . . 6 (((2 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = 1) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
7014, 66, 69syl2an2r 683 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
71 mulre 15121 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 2 ≠ 0) → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (2 · 𝐴) ∈ ℝ))
72714animp1 44210 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℝ) ∧ 2 ≠ 0) ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
73724an31 44211 . . . . 5 ((((2 ≠ 0 ∧ 2 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
745, 10, 12, 70, 73syl1111anc 838 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
753a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → π ∈ ℝ+)
7674, 75modcld 13889 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 mod π) ∈ ℝ)
7776recnd 11283 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 mod π) ∈ ℂ)
7877sincld 16127 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (sin‘(𝐴 mod π)) ∈ ℂ)
791a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → π ∈ ℝ)
80 0re 11257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ ℝ
8180, 1, 2ltleii 11378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 0 ≤ π
82 gt0ne0 11720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((π ∈ ℝ ∧ 0 < π) → π ≠ 0)
83823adant3 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π ∈ ℝ ∧ 0 < π ∧ 0 ≤ π) → π ≠ 0)
84833com23 1123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π ∈ ℝ ∧ 0 ≤ π ∧ 0 < π) → π ≠ 0)
851, 81, 2, 84mp3an 1458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 π ≠ 0
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → π ≠ 0)
8774, 79, 86redivcld 12087 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 / π) ∈ ℝ)
8887flcld 13812 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (⌊‘(𝐴 / π)) ∈ ℤ)
8988znegcld 12714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → -(⌊‘(𝐴 / π)) ∈ ℤ)
90 abssinper 26545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -(⌊‘(𝐴 / π)) ∈ ℤ) → (abs‘(sin‘(𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π)))) = (abs‘(sin‘𝐴)))
9190eqcomd 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -(⌊‘(𝐴 / π)) ∈ ℤ) → (abs‘(sin‘𝐴)) = (abs‘(sin‘(𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π)))))
9291ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℂ → (-(⌊‘(𝐴 / π)) ∈ ℤ → (abs‘(sin‘𝐴)) = (abs‘(sin‘(𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π))))))
9392adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (-(⌊‘(𝐴 / π)) ∈ ℤ → (abs‘(sin‘𝐴)) = (abs‘(sin‘(𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π))))))
9489, 93mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (abs‘(sin‘𝐴)) = (abs‘(sin‘(𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π)))))
9588zcnd 12713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (⌊‘(𝐴 / π)) ∈ ℂ)
9695negcld 11599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → -(⌊‘(𝐴 / π)) ∈ ℂ)
971recni 11269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 π ∈ ℂ
9897a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → π ∈ ℂ)
9996, 98mulcld 11275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π) ∈ ℂ)
10098, 95mulcld 11275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (π · (⌊‘(𝐴 / π))) ∈ ℂ)
101100negcld 11599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → -(π · (⌊‘(𝐴 / π))) ∈ ℂ)
10295, 98mulneg1d 11708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π) = -((⌊‘(𝐴 / π)) · π))
10395, 98mulcomd 11276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → ((⌊‘(𝐴 / π)) · π) = (π · (⌊‘(𝐴 / π))))
104103negeqd 11495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → -((⌊‘(𝐴 / π)) · π) = -(π · (⌊‘(𝐴 / π))))
105102, 104eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π) = -(π · (⌊‘(𝐴 / π))))
106 oveq2 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((-(⌊‘(𝐴 / π)) · π) = -(π · (⌊‘(𝐴 / π))) → (𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π)) = (𝐴 + -(π · (⌊‘(𝐴 / π)))))
107106ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((-(⌊‘(𝐴 / π)) · π) = -(π · (⌊‘(𝐴 / π))) ∧ -(π · (⌊‘(𝐴 / π))) ∈ ℂ) ∧ (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π) ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π)) = (𝐴 + -(π · (⌊‘(𝐴 / π)))))
1081074an4132 44212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π) ∈ ℂ) ∧ -(π · (⌊‘(𝐴 / π))) ∈ ℂ) ∧ (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π) = -(π · (⌊‘(𝐴 / π)))) → (𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π)) = (𝐴 + -(π · (⌊‘(𝐴 / π)))))
10912, 99, 101, 105, 108syl1111anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π)) = (𝐴 + -(π · (⌊‘(𝐴 / π)))))
11012, 100negsubd 11618 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 + -(π · (⌊‘(𝐴 / π)))) = (𝐴 − (π · (⌊‘(𝐴 / π)))))
111109, 110eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π)) = (𝐴 − (π · (⌊‘(𝐴 / π)))))
112111fveq2d 6897 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (sin‘(𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π))) = (sin‘(𝐴 − (π · (⌊‘(𝐴 / π))))))
113112fveq2d 6897 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (abs‘(sin‘(𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π)))) = (abs‘(sin‘(𝐴 − (π · (⌊‘(𝐴 / π)))))))
11494, 113eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (abs‘(sin‘𝐴)) = (abs‘(sin‘(𝐴 − (π · (⌊‘(𝐴 / π)))))))
115 modval 13885 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+) → (𝐴 mod π) = (𝐴 − (π · (⌊‘(𝐴 / π)))))
116115fveq2d 6897 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+) → (sin‘(𝐴 mod π)) = (sin‘(𝐴 − (π · (⌊‘(𝐴 / π))))))
117116fveq2d 6897 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+) → (abs‘(sin‘(𝐴 mod π))) = (abs‘(sin‘(𝐴 − (π · (⌊‘(𝐴 / π)))))))
1183, 117mpan2 689 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘(sin‘(𝐴 mod π))) = (abs‘(sin‘(𝐴 − (π · (⌊‘(𝐴 / π)))))))
11974, 118syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (abs‘(sin‘(𝐴 mod π))) = (abs‘(sin‘(𝐴 − (π · (⌊‘(𝐴 / π)))))))
120114, 119eqtr4d 2769 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (abs‘(sin‘𝐴)) = (abs‘(sin‘(𝐴 mod π))))
12127fveq2d 6897 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((sin‘𝐴) = 0 → (abs‘(sin‘𝐴)) = (abs‘0))
122 abs0 15285 . . . . . . . . . . . . . . 15 (abs‘0) = 0
123121, 122eqtrdi 2782 . . . . . . . . . . . . . 14 ((sin‘𝐴) = 0 → (abs‘(sin‘𝐴)) = 0)
124123adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (abs‘(sin‘𝐴)) = 0)
125120, 124eqtr3d 2768 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (abs‘(sin‘(𝐴 mod π))) = 0)
12678, 125abs00d 15446 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (sin‘(𝐴 mod π)) = 0)
127 notnotb 314 . . . . . . . . . . . . 13 ((sin‘(𝐴 mod π)) = 0 ↔ ¬ ¬ (sin‘(𝐴 mod π)) = 0)
128127bicomi 223 . . . . . . . . . . . 12 (¬ ¬ (sin‘(𝐴 mod π)) = 0 ↔ (sin‘(𝐴 mod π)) = 0)
129 ltne 11352 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ∈ ℝ ∧ 0 < (sin‘(𝐴 mod π))) → (sin‘(𝐴 mod π)) ≠ 0)
130129neneqd 2935 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ ∧ 0 < (sin‘(𝐴 mod π))) → ¬ (sin‘(𝐴 mod π)) = 0)
131130expcom 412 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 < (sin‘(𝐴 mod π)) → (0 ∈ ℝ → ¬ (sin‘(𝐴 mod π)) = 0))
13280, 131mpi 20 . . . . . . . . . . . . 13 (0 < (sin‘(𝐴 mod π)) → ¬ (sin‘(𝐴 mod π)) = 0)
133132con3i 154 . . . . . . . . . . . 12 (¬ ¬ (sin‘(𝐴 mod π)) = 0 → ¬ 0 < (sin‘(𝐴 mod π)))
134128, 133sylbir 234 . . . . . . . . . . 11 ((sin‘(𝐴 mod π)) = 0 → ¬ 0 < (sin‘(𝐴 mod π)))
135126, 134syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → ¬ 0 < (sin‘(𝐴 mod π)))
136 sinq12gt0 26532 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) → 0 < (sin‘(𝐴 mod π)))
137135, 136nsyl 140 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → ¬ (𝐴 mod π) ∈ (0(,)π))
13880rexri 11313 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
1391rexri 11313 . . . . . . . . . . 11 π ∈ ℝ*
140 elioo2 13413 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) ↔ ((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 mod π) ∧ (𝐴 mod π) < π)))
141138, 139, 140mp2an 690 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) ↔ ((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 mod π) ∧ (𝐴 mod π) < π))
142141notbii 319 . . . . . . . . 9 (¬ (𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) ↔ ¬ ((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 mod π) ∧ (𝐴 mod π) < π))
143137, 142sylib 217 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → ¬ ((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 mod π) ∧ (𝐴 mod π) < π))
144 3anan12 1093 . . . . . . . . 9 (((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 mod π) ∧ (𝐴 mod π) < π) ↔ (0 < (𝐴 mod π) ∧ ((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod π) < π)))
145144notbii 319 . . . . . . . 8 (¬ ((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 mod π) ∧ (𝐴 mod π) < π) ↔ ¬ (0 < (𝐴 mod π) ∧ ((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod π) < π)))
146143, 145sylib 217 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → ¬ (0 < (𝐴 mod π) ∧ ((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod π) < π)))
147 modlt 13894 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+) → (𝐴 mod π) < π)
148147ancoms 457 . . . . . . . . 9 ((π ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 mod π) < π)
1493, 74, 148sylancr 585 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 mod π) < π)
15076, 149jca 510 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → ((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod π) < π))
151 not12an2impnot1 44281 . . . . . . 7 ((¬ (0 < (𝐴 mod π) ∧ ((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod π) < π)) ∧ ((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod π) < π)) → ¬ 0 < (𝐴 mod π))
152146, 150, 151syl2anc 582 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → ¬ 0 < (𝐴 mod π))
153 modge0 13893 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+) → 0 ≤ (𝐴 mod π))
154153ancoms 457 . . . . . . . 8 ((π ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐴 mod π))
1553, 74, 154sylancr 585 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → 0 ≤ (𝐴 mod π))
156 leloe 11341 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod π) ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 mod π) ↔ (0 < (𝐴 mod π) ∨ 0 = (𝐴 mod π))))
157156biimp3a 1466 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 mod π)) → (0 < (𝐴 mod π) ∨ 0 = (𝐴 mod π)))
158157idiALT 44190 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 mod π)) → (0 < (𝐴 mod π) ∨ 0 = (𝐴 mod π)))
15980, 76, 155, 158mp3an2i 1463 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (0 < (𝐴 mod π) ∨ 0 = (𝐴 mod π)))
160 pm2.53 849 . . . . . . . 8 ((0 < (𝐴 mod π) ∨ 0 = (𝐴 mod π)) → (¬ 0 < (𝐴 mod π) → 0 = (𝐴 mod π)))
161160imp 405 . . . . . . 7 (((0 < (𝐴 mod π) ∨ 0 = (𝐴 mod π)) ∧ ¬ 0 < (𝐴 mod π)) → 0 = (𝐴 mod π))
162161ancoms 457 . . . . . 6 ((¬ 0 < (𝐴 mod π) ∧ (0 < (𝐴 mod π) ∨ 0 = (𝐴 mod π))) → 0 = (𝐴 mod π))
163152, 159, 162syl2anc 582 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → 0 = (𝐴 mod π))
164163eqcomd 2732 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 mod π) = 0)
165 mod0 13890 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod π) = 0 ↔ (𝐴 / π) ∈ ℤ))
166165biimp3a 1466 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod π) = 0) → (𝐴 / π) ∈ ℤ)
1671663com12 1120 . . . 4 ((π ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod π) = 0) → (𝐴 / π) ∈ ℤ)
1683, 74, 164, 167mp3an2i 1463 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 / π) ∈ ℤ)
169168ex 411 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) = 0 → (𝐴 / π) ∈ ℤ))
17097a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → π ∈ ℂ)
17185a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → π ≠ 0)
17211, 170, 171divcan1d 12036 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 / π) · π) = 𝐴)
173172fveq2d 6897 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘((𝐴 / π) · π)) = (sin‘𝐴))
174 id 22 . . . . 5 ((𝐴 / π) ∈ ℤ → (𝐴 / π) ∈ ℤ)
175 sinkpi 26546 . . . . 5 ((𝐴 / π) ∈ ℤ → (sin‘((𝐴 / π) · π)) = 0)
176174, 175syl 17 . . . 4 ((𝐴 / π) ∈ ℤ → (sin‘((𝐴 / π) · π)) = 0)
177173, 176sylan9req 2787 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 / π) ∈ ℤ) → (sin‘𝐴) = 0)
178177ex 411 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 / π) ∈ ℤ → (sin‘𝐴) = 0))
179169, 178impbid 211 1 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) = 0 ↔ (𝐴 / π) ∈ ℤ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930   class class class wbr 5145  cfv 6546  (class class class)co 7416  cc 11147  cr 11148  0cc0 11149  1c1 11150  ici 11151   + caddc 11152   · cmul 11154  *cxr 11288   < clt 11289  cle 11290  cmin 11485  -cneg 11486   / cdiv 11912  2c2 12313  cz 12604  +crp 13022  (,)cioo 13372  cfl 13804   mod cmo 13883  abscabs 15234  expce 16058  sincsin 16060  πcpi 16063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-inf2 9677  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227  ax-addf 11228
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-iin 4996  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-se 5630  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-isom 6555  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8167  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-2o 8489  df-er 8726  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8919  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fsupp 9399  df-fi 9447  df-sup 9478  df-inf 9479  df-oi 9546  df-card 9975  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-div 11913  df-nn 12259  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12519  df-z 12605  df-dec 12724  df-uz 12869  df-q 12979  df-rp 13023  df-xneg 13140  df-xadd 13141  df-xmul 13142  df-ioo 13376  df-ioc 13377  df-ico 13378  df-icc 13379  df-fz 13533  df-fzo 13676  df-fl 13806  df-mod 13884  df-seq 14016  df-exp 14076  df-fac 14286  df-bc 14315  df-hash 14343  df-shft 15067  df-cj 15099  df-re 15100  df-im 15101  df-sqrt 15235  df-abs 15236  df-limsup 15468  df-clim 15485  df-rlim 15486  df-sum 15686  df-ef 16064  df-sin 16066  df-cos 16067  df-pi 16069  df-struct 17144  df-sets 17161  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-ress 17238  df-plusg 17274  df-mulr 17275  df-starv 17276  df-sca 17277  df-vsca 17278  df-ip 17279  df-tset 17280  df-ple 17281  df-ds 17283  df-unif 17284  df-hom 17285  df-cco 17286  df-rest 17432  df-topn 17433  df-0g 17451  df-gsum 17452  df-topgen 17453  df-pt 17454  df-prds 17457  df-xrs 17512  df-qtop 17517  df-imas 17518  df-xps 17520  df-mre 17594  df-mrc 17595  df-acs 17597  df-mgm 18628  df-sgrp 18707  df-mnd 18723  df-submnd 18769  df-mulg 19058  df-cntz 19307  df-cmn 19776  df-psmet 21331  df-xmet 21332  df-met 21333  df-bl 21334  df-mopn 21335  df-fbas 21336  df-fg 21337  df-cnfld 21340  df-top 22884  df-topon 22901  df-topsp 22923  df-bases 22937  df-cld 23011  df-ntr 23012  df-cls 23013  df-nei 23090  df-lp 23128  df-perf 23129  df-cn 23219  df-cnp 23220  df-haus 23307  df-tx 23554  df-hmeo 23747  df-fil 23838  df-fm 23930  df-flim 23931  df-flf 23932  df-xms 24314  df-ms 24315  df-tms 24316  df-cncf 24886  df-limc 25883  df-dv 25884
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator