Theorem resinval 16074

Description: The sine of a real number in terms of the exponential function. (Contributed by NM, 30-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
resinval	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) = (ℑ‘(exp‘(i · 𝐴))))

Proof of Theorem resinval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 11165	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
2		recn 11196	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
3		cjmul 15085	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (∗‘(i · 𝐴)) = ((∗‘i) · (∗‘𝐴)))
4	1, 2, 3	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∗‘(i · 𝐴)) = ((∗‘i) · (∗‘𝐴)))
5		cji 15102	. . . . . . . . 9 ⊢ (∗‘i) = -i
6	5	oveq1i 7415	. . . . . . . 8 ⊢ ((∗‘i) · (∗‘𝐴)) = (-i · (∗‘𝐴))
7		cjre 15082	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∗‘𝐴) = 𝐴)
8	7	oveq2d 7421	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-i · (∗‘𝐴)) = (-i · 𝐴))
9	6, 8	eqtrid 2784	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((∗‘i) · (∗‘𝐴)) = (-i · 𝐴))
10	4, 9	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∗‘(i · 𝐴)) = (-i · 𝐴))
11	10	fveq2d 6892	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘(∗‘(i · 𝐴))) = (exp‘(-i · 𝐴)))
12		mulcl 11190	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
13	1, 2, 12	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
14		efcj 16031	. . . . . 6 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(∗‘(i · 𝐴))) = (∗‘(exp‘(i · 𝐴))))
15	13, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘(∗‘(i · 𝐴))) = (∗‘(exp‘(i · 𝐴))))
16	11, 15	eqtr3d 2774	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘(-i · 𝐴)) = (∗‘(exp‘(i · 𝐴))))
17	16	oveq2d 7421	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) − (∗‘(exp‘(i · 𝐴)))))
18	17	oveq1d 7420	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (∗‘(exp‘(i · 𝐴)))) / (2 · i)))
19		sinval 16061	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)))
20	2, 19	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)))
21		efcl 16022	. . 3 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
22		imval2 15094	. . 3 ⊢ ((exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ → (ℑ‘(exp‘(i · 𝐴))) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (∗‘(exp‘(i · 𝐴)))) / (2 · i)))
23	13, 21, 22	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℑ‘(exp‘(i · 𝐴))) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (∗‘(exp‘(i · 𝐴)))) / (2 · i)))
24	18, 20, 23	3eqtr4d 2782	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) = (ℑ‘(exp‘(i · 𝐴))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  ℂcc 11104  ℝcr 11105  ici 11108   · cmul 11111   − cmin 11440  -cneg 11441   / cdiv 11867  2c2 12263  ∗ccj 15039  ℑcim 15041  expce 16001  sincsin 16003

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-ico 13326  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-ef 16007  df-sin 16009

This theorem is referenced by:  resin4p  16077  resincl  16079  argimgt0  26111