Theorem resinval 15659

Description: The sine of a real number in terms of the exponential function. (Contributed by NM, 30-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
resinval	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) = (ℑ‘(exp‘(i · 𝐴))))

Proof of Theorem resinval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 10753	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
2		recn 10784	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
3		cjmul 14670	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (∗‘(i · 𝐴)) = ((∗‘i) · (∗‘𝐴)))
4	1, 2, 3	sylancr 590	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∗‘(i · 𝐴)) = ((∗‘i) · (∗‘𝐴)))
5		cji 14687	. . . . . . . . 9 ⊢ (∗‘i) = -i
6	5	oveq1i 7201	. . . . . . . 8 ⊢ ((∗‘i) · (∗‘𝐴)) = (-i · (∗‘𝐴))
7		cjre 14667	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∗‘𝐴) = 𝐴)
8	7	oveq2d 7207	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-i · (∗‘𝐴)) = (-i · 𝐴))
9	6, 8	syl5eq 2783	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((∗‘i) · (∗‘𝐴)) = (-i · 𝐴))
10	4, 9	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∗‘(i · 𝐴)) = (-i · 𝐴))
11	10	fveq2d 6699	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘(∗‘(i · 𝐴))) = (exp‘(-i · 𝐴)))
12		mulcl 10778	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
13	1, 2, 12	sylancr 590	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
14		efcj 15616	. . . . . 6 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(∗‘(i · 𝐴))) = (∗‘(exp‘(i · 𝐴))))
15	13, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘(∗‘(i · 𝐴))) = (∗‘(exp‘(i · 𝐴))))
16	11, 15	eqtr3d 2773	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘(-i · 𝐴)) = (∗‘(exp‘(i · 𝐴))))
17	16	oveq2d 7207	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) − (∗‘(exp‘(i · 𝐴)))))
18	17	oveq1d 7206	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (∗‘(exp‘(i · 𝐴)))) / (2 · i)))
19		sinval 15646	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)))
20	2, 19	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)))
21		efcl 15607	. . 3 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
22		imval2 14679	. . 3 ⊢ ((exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ → (ℑ‘(exp‘(i · 𝐴))) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (∗‘(exp‘(i · 𝐴)))) / (2 · i)))
23	13, 21, 22	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℑ‘(exp‘(i · 𝐴))) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (∗‘(exp‘(i · 𝐴)))) / (2 · i)))
24	18, 20, 23	3eqtr4d 2781	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) = (ℑ‘(exp‘(i · 𝐴))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191  ℂcc 10692  ℝcr 10693  ici 10696   · cmul 10699   − cmin 11027  -cneg 11028   / cdiv 11454  2c2 11850  ∗ccj 14624  ℑcim 14626  expce 15586  sincsin 15588

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-inf2 9234  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771  ax-pre-sup 10772

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-int 4846  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-se 5495  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-isom 6367  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-om 7623  df-1st 7739  df-2nd 7740  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-1o 8180  df-er 8369  df-pm 8489  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-fin 8608  df-sup 9036  df-inf 9037  df-oi 9104  df-card 9520  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-div 11455  df-nn 11796  df-2 11858  df-3 11859  df-n0 12056  df-z 12142  df-uz 12404  df-rp 12552  df-ico 12906  df-fz 13061  df-fzo 13204  df-fl 13332  df-seq 13540  df-exp 13601  df-fac 13805  df-hash 13862  df-shft 14595  df-cj 14627  df-re 14628  df-im 14629  df-sqrt 14763  df-abs 14764  df-limsup 14997  df-clim 15014  df-rlim 15015  df-sum 15215  df-ef 15592  df-sin 15594

This theorem is referenced by:  resin4p  15662  resincl  15664  argimgt0  25454