MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resinval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resinval 16121
Description: The sine of a real number in terms of the exponential function. (Contributed by NM, 30-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
resinval (𝐴 ∈ ℝ β†’ (sinβ€˜π΄) = (β„‘β€˜(expβ€˜(i Β· 𝐴))))

Proof of Theorem resinval
StepHypRef Expression
1 ax-icn 11207 . . . . . . . 8 i ∈ β„‚
2 recn 11238 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
3 cjmul 15131 . . . . . . . 8 ((i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (βˆ—β€˜(i Β· 𝐴)) = ((βˆ—β€˜i) Β· (βˆ—β€˜π΄)))
41, 2, 3sylancr 585 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (βˆ—β€˜(i Β· 𝐴)) = ((βˆ—β€˜i) Β· (βˆ—β€˜π΄)))
5 cji 15148 . . . . . . . . 9 (βˆ—β€˜i) = -i
65oveq1i 7436 . . . . . . . 8 ((βˆ—β€˜i) Β· (βˆ—β€˜π΄)) = (-i Β· (βˆ—β€˜π΄))
7 cjre 15128 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (βˆ—β€˜π΄) = 𝐴)
87oveq2d 7442 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (-i Β· (βˆ—β€˜π΄)) = (-i Β· 𝐴))
96, 8eqtrid 2780 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((βˆ—β€˜i) Β· (βˆ—β€˜π΄)) = (-i Β· 𝐴))
104, 9eqtrd 2768 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (βˆ—β€˜(i Β· 𝐴)) = (-i Β· 𝐴))
1110fveq2d 6906 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (expβ€˜(βˆ—β€˜(i Β· 𝐴))) = (expβ€˜(-i Β· 𝐴)))
12 mulcl 11232 . . . . . . 7 ((i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (i Β· 𝐴) ∈ β„‚)
131, 2, 12sylancr 585 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (i Β· 𝐴) ∈ β„‚)
14 efcj 16078 . . . . . 6 ((i Β· 𝐴) ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(βˆ—β€˜(i Β· 𝐴))) = (βˆ—β€˜(expβ€˜(i Β· 𝐴))))
1513, 14syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (expβ€˜(βˆ—β€˜(i Β· 𝐴))) = (βˆ—β€˜(expβ€˜(i Β· 𝐴))))
1611, 15eqtr3d 2770 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴)) = (βˆ—β€˜(expβ€˜(i Β· 𝐴))))
1716oveq2d 7442 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((expβ€˜(i Β· 𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴))) = ((expβ€˜(i Β· 𝐴)) βˆ’ (βˆ—β€˜(expβ€˜(i Β· 𝐴)))))
1817oveq1d 7441 . 2 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (((expβ€˜(i Β· 𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴))) / (2 Β· i)) = (((expβ€˜(i Β· 𝐴)) βˆ’ (βˆ—β€˜(expβ€˜(i Β· 𝐴)))) / (2 Β· i)))
19 sinval 16108 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜π΄) = (((expβ€˜(i Β· 𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴))) / (2 Β· i)))
202, 19syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (sinβ€˜π΄) = (((expβ€˜(i Β· 𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴))) / (2 Β· i)))
21 efcl 16068 . . 3 ((i Β· 𝐴) ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(i Β· 𝐴)) ∈ β„‚)
22 imval2 15140 . . 3 ((expβ€˜(i Β· 𝐴)) ∈ β„‚ β†’ (β„‘β€˜(expβ€˜(i Β· 𝐴))) = (((expβ€˜(i Β· 𝐴)) βˆ’ (βˆ—β€˜(expβ€˜(i Β· 𝐴)))) / (2 Β· i)))
2313, 21, 223syl 18 . 2 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (β„‘β€˜(expβ€˜(i Β· 𝐴))) = (((expβ€˜(i Β· 𝐴)) βˆ’ (βˆ—β€˜(expβ€˜(i Β· 𝐴)))) / (2 Β· i)))
2418, 20, 233eqtr4d 2778 1 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (sinβ€˜π΄) = (β„‘β€˜(expβ€˜(i Β· 𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„‚cc 11146  β„cr 11147  ici 11150   Β· cmul 11153   βˆ’ cmin 11484  -cneg 11485   / cdiv 11911  2c2 12307  βˆ—ccj 15085  β„‘cim 15087  expce 16047  sincsin 16049
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-inf2 9674  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-pm 8856  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-sup 9475  df-inf 9476  df-oi 9543  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-rp 13017  df-ico 13372  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-fl 13799  df-seq 14009  df-exp 14069  df-fac 14275  df-hash 14332  df-shft 15056  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090  df-sqrt 15224  df-abs 15225  df-limsup 15457  df-clim 15474  df-rlim 15475  df-sum 15675  df-ef 16053  df-sin 16055
This theorem is referenced by:  resin4p  16124  resincl  16126  argimgt0  26574
  Copyright terms: Public domain W3C validator