MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resinval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resinval 16085
Description: The sine of a real number in terms of the exponential function. (Contributed by NM, 30-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
resinval (𝐴 ∈ ℝ β†’ (sinβ€˜π΄) = (β„‘β€˜(expβ€˜(i Β· 𝐴))))

Proof of Theorem resinval
StepHypRef Expression
1 ax-icn 11171 . . . . . . . 8 i ∈ β„‚
2 recn 11202 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
3 cjmul 15095 . . . . . . . 8 ((i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (βˆ—β€˜(i Β· 𝐴)) = ((βˆ—β€˜i) Β· (βˆ—β€˜π΄)))
41, 2, 3sylancr 586 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (βˆ—β€˜(i Β· 𝐴)) = ((βˆ—β€˜i) Β· (βˆ—β€˜π΄)))
5 cji 15112 . . . . . . . . 9 (βˆ—β€˜i) = -i
65oveq1i 7415 . . . . . . . 8 ((βˆ—β€˜i) Β· (βˆ—β€˜π΄)) = (-i Β· (βˆ—β€˜π΄))
7 cjre 15092 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (βˆ—β€˜π΄) = 𝐴)
87oveq2d 7421 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (-i Β· (βˆ—β€˜π΄)) = (-i Β· 𝐴))
96, 8eqtrid 2778 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((βˆ—β€˜i) Β· (βˆ—β€˜π΄)) = (-i Β· 𝐴))
104, 9eqtrd 2766 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (βˆ—β€˜(i Β· 𝐴)) = (-i Β· 𝐴))
1110fveq2d 6889 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (expβ€˜(βˆ—β€˜(i Β· 𝐴))) = (expβ€˜(-i Β· 𝐴)))
12 mulcl 11196 . . . . . . 7 ((i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (i Β· 𝐴) ∈ β„‚)
131, 2, 12sylancr 586 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (i Β· 𝐴) ∈ β„‚)
14 efcj 16042 . . . . . 6 ((i Β· 𝐴) ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(βˆ—β€˜(i Β· 𝐴))) = (βˆ—β€˜(expβ€˜(i Β· 𝐴))))
1513, 14syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (expβ€˜(βˆ—β€˜(i Β· 𝐴))) = (βˆ—β€˜(expβ€˜(i Β· 𝐴))))
1611, 15eqtr3d 2768 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴)) = (βˆ—β€˜(expβ€˜(i Β· 𝐴))))
1716oveq2d 7421 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((expβ€˜(i Β· 𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴))) = ((expβ€˜(i Β· 𝐴)) βˆ’ (βˆ—β€˜(expβ€˜(i Β· 𝐴)))))
1817oveq1d 7420 . 2 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (((expβ€˜(i Β· 𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴))) / (2 Β· i)) = (((expβ€˜(i Β· 𝐴)) βˆ’ (βˆ—β€˜(expβ€˜(i Β· 𝐴)))) / (2 Β· i)))
19 sinval 16072 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜π΄) = (((expβ€˜(i Β· 𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴))) / (2 Β· i)))
202, 19syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (sinβ€˜π΄) = (((expβ€˜(i Β· 𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴))) / (2 Β· i)))
21 efcl 16032 . . 3 ((i Β· 𝐴) ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(i Β· 𝐴)) ∈ β„‚)
22 imval2 15104 . . 3 ((expβ€˜(i Β· 𝐴)) ∈ β„‚ β†’ (β„‘β€˜(expβ€˜(i Β· 𝐴))) = (((expβ€˜(i Β· 𝐴)) βˆ’ (βˆ—β€˜(expβ€˜(i Β· 𝐴)))) / (2 Β· i)))
2313, 21, 223syl 18 . 2 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (β„‘β€˜(expβ€˜(i Β· 𝐴))) = (((expβ€˜(i Β· 𝐴)) βˆ’ (βˆ—β€˜(expβ€˜(i Β· 𝐴)))) / (2 Β· i)))
2418, 20, 233eqtr4d 2776 1 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (sinβ€˜π΄) = (β„‘β€˜(expβ€˜(i Β· 𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110  β„cr 11111  ici 11114   Β· cmul 11117   βˆ’ cmin 11448  -cneg 11449   / cdiv 11875  2c2 12271  βˆ—ccj 15049  β„‘cim 15051  expce 16011  sincsin 16013
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-ico 13336  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-hash 14296  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-ef 16017  df-sin 16019
This theorem is referenced by:  resin4p  16088  resincl  16090  argimgt0  26501
  Copyright terms: Public domain W3C validator