Theorem sinadd 16337

Description: Addition formula for sine. Equation 14 of [Gleason] p. 310. (Contributed by Steve Rodriguez, 10-Nov-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sinadd	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sin‘(𝐴 + 𝐵)) = (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))))

Proof of Theorem sinadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcl 11285	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
2		sinval 16295	. . 3 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ → (sin‘(𝐴 + 𝐵)) = (((exp‘(i · (𝐴 + 𝐵))) − (exp‘( -i · (𝐴 + 𝐵)))) / (2 · i)))
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sin‘(𝐴 + 𝐵)) = (((exp‘(i · (𝐴 + 𝐵))) − (exp‘( -i · (𝐴 + 𝐵)))) / (2 · i)))
4		2cn 12421	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
5	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 2 ∈ ℂ)
6		ax-icn 11262	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → i ∈ ℂ)
8		coscl 16300	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
9	8	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
10		sincl 16299	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (sin‘𝐵) ∈ ℂ)
11	10	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sin‘𝐵) ∈ ℂ)
12	9, 11	mulcld 11332	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵)) ∈ ℂ)
13		sincl 16299	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
14	13	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
15		coscl 16300	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (cos‘𝐵) ∈ ℂ)
16	15	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (cos‘𝐵) ∈ ℂ)
17	14, 16	mulcld 11332	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) ∈ ℂ)
18	12, 17	addcld 11331	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵)) + ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵))) ∈ ℂ)
19	5, 7, 18	mulassd 11335	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((2 · i) · (((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵)) + ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)))) = (2 · (i · (((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵)) + ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵))))))
20	7, 12, 17	adddid 11336	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · (((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵)) + ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)))) = ((i · ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))) + (i · ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)))))
21	7, 9, 11	mul12d 11522	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))) = ((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))))
22	14, 16	mulcomd 11333	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) = ((cos‘𝐵) · (sin‘𝐴)))
23	22	oveq2d 7436	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵))) = (i · ((cos‘𝐵) · (sin‘𝐴))))
24	7, 16, 14	mul12d 11522	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · ((cos‘𝐵) · (sin‘𝐴))) = ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))
25	23, 24	eqtrd 2795	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵))) = ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))
26	21, 25	oveq12d 7438	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((i · ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))) + (i · ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)))) = (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴)))))
27	20, 26	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · (((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵)) + ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)))) = (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴)))))
28	27	oveq2d 7436	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · (i · (((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵)) + ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵))))) = (2 · (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))))
29	19, 28	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((2 · i) · (((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵)) + ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)))) = (2 · (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))))
30		mulcl 11287	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐵) ∈ ℂ) → (i · (sin‘𝐵)) ∈ ℂ)
31	6, 11, 30	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · (sin‘𝐵)) ∈ ℂ)
32	9, 31	mulcld 11332	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) ∈ ℂ)
33		mulcl 11287	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ)
34	6, 14, 33	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ)
35	16, 34	mulcld 11332	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))) ∈ ℂ)
36	32, 35	addcld 11331	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴)))) ∈ ℂ)
37		mulcl 11287	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴)))) ∈ ℂ) → (2 · (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))) ∈ ℂ)
38	4, 36, 37	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))) ∈ ℂ)
39		2mulicn 12573	. . . . . 6 ⊢ (2 · i) ∈ ℂ
40	39	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · i) ∈ ℂ)
41		2muline0 12574	. . . . . 6 ⊢ (2 · i) ≠ 0
42	41	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · i) ≠ 0)
43	38, 40, 18, 42	divmuld 12118	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((2 · (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))) / (2 · i)) = (((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵)) + ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵))) ↔ ((2 · i) · (((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵)) + ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)))) = (2 · (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴)))))))
44	29, 43	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((2 · (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))) / (2 · i)) = (((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵)) + ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵))))
45	9, 16	mulcld 11332	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) ∈ ℂ)
46	31, 34	mulcld 11332	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((i · (sin‘𝐵)) · (i · (sin‘𝐴))) ∈ ℂ)
47	45, 46	addcld 11331	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((i · (sin‘𝐵)) · (i · (sin‘𝐴)))) ∈ ℂ)
48	47, 36, 36	pnncand 11711	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((i · (sin‘𝐵)) · (i · (sin‘𝐴)))) + (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))) − ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((i · (sin‘𝐵)) · (i · (sin‘𝐴)))) − (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴)))))) = ((((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴)))) + (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))))
49		adddi 11292	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · (𝐴 + 𝐵)) = ((i · 𝐴) + (i · 𝐵)))
50	6, 49	mp3an1 1477	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · (𝐴 + 𝐵)) = ((i · 𝐴) + (i · 𝐵)))
51	50	fveq2d 6889	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (exp‘(i · (𝐴 + 𝐵))) = (exp‘((i · 𝐴) + (i · 𝐵))))
52		simpl 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
53		mulcl 11287	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
54	6, 52, 53	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
55		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
56		mulcl 11287	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
57	6, 55, 56	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
58		efadd 16265	. . . . . . . 8 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · 𝐵) ∈ ℂ) → (exp‘((i · 𝐴) + (i · 𝐵))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐵))))
59	54, 57, 58	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (exp‘((i · 𝐴) + (i · 𝐵))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐵))))
60		efival 16325	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))))
61		efival 16325	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐵)) = ((cos‘𝐵) + (i · (sin‘𝐵))))
62	60, 61	oveqan12d 7439	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐵))) = (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) · ((cos‘𝐵) + (i · (sin‘𝐵)))))
63	9, 34, 16, 31	muladdd 11777	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) · ((cos‘𝐵) + (i · (sin‘𝐵)))) = ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((i · (sin‘𝐵)) · (i · (sin‘𝐴)))) + (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))))
64	62, 63	eqtrd 2795	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐵))) = ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((i · (sin‘𝐵)) · (i · (sin‘𝐴)))) + (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))))
65	51, 59, 64	3eqtrd 2799	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (exp‘(i · (𝐴 + 𝐵))) = ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((i · (sin‘𝐵)) · (i · (sin‘𝐴)))) + (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))))
66		negicn 11561	. . . . . . . . 9 ⊢ -i ∈ ℂ
67		adddi 11292	. . . . . . . . 9 ⊢ (( -i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ( -i · (𝐴 + 𝐵)) = (( -i · 𝐴) + ( -i · 𝐵)))
68	66, 67	mp3an1 1477	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ( -i · (𝐴 + 𝐵)) = (( -i · 𝐴) + ( -i · 𝐵)))
69	68	fveq2d 6889	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (exp‘( -i · (𝐴 + 𝐵))) = (exp‘(( -i · 𝐴) + ( -i · 𝐵))))
70		mulcl 11287	. . . . . . . . 9 ⊢ (( -i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ( -i · 𝐴) ∈ ℂ)
71	66, 52, 70	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ( -i · 𝐴) ∈ ℂ)
72		mulcl 11287	. . . . . . . . 9 ⊢ (( -i ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ( -i · 𝐵) ∈ ℂ)
73	66, 55, 72	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ( -i · 𝐵) ∈ ℂ)
74		efadd 16265	. . . . . . . 8 ⊢ ((( -i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ ( -i · 𝐵) ∈ ℂ) → (exp‘(( -i · 𝐴) + ( -i · 𝐵))) = ((exp‘( -i · 𝐴)) · (exp‘( -i · 𝐵))))
75	71, 73, 74	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (exp‘(( -i · 𝐴) + ( -i · 𝐵))) = ((exp‘( -i · 𝐴)) · (exp‘( -i · 𝐵))))
76		efmival 16326	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘( -i · 𝐴)) = ((cos‘𝐴) − (i · (sin‘𝐴))))
77		efmival 16326	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (exp‘( -i · 𝐵)) = ((cos‘𝐵) − (i · (sin‘𝐵))))
78	76, 77	oveqan12d 7439	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((exp‘( -i · 𝐴)) · (exp‘( -i · 𝐵))) = (((cos‘𝐴) − (i · (sin‘𝐴))) · ((cos‘𝐵) − (i · (sin‘𝐵)))))
79	9, 34, 16, 31	mulsubd 11778	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((cos‘𝐴) − (i · (sin‘𝐴))) · ((cos‘𝐵) − (i · (sin‘𝐵)))) = ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((i · (sin‘𝐵)) · (i · (sin‘𝐴)))) − (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))))
80	78, 79	eqtrd 2795	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((exp‘( -i · 𝐴)) · (exp‘( -i · 𝐵))) = ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((i · (sin‘𝐵)) · (i · (sin‘𝐴)))) − (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))))
81	69, 75, 80	3eqtrd 2799	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (exp‘( -i · (𝐴 + 𝐵))) = ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((i · (sin‘𝐵)) · (i · (sin‘𝐴)))) − (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))))
82	65, 81	oveq12d 7438	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((exp‘(i · (𝐴 + 𝐵))) − (exp‘( -i · (𝐴 + 𝐵)))) = (((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((i · (sin‘𝐵)) · (i · (sin‘𝐴)))) + (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))) − ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((i · (sin‘𝐵)) · (i · (sin‘𝐴)))) − (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴)))))))
83	36	2timesd 12592	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))) = ((((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴)))) + (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))))
84	48, 82, 83	3eqtr4d 2805	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((exp‘(i · (𝐴 + 𝐵))) − (exp‘( -i · (𝐴 + 𝐵)))) = (2 · (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))))
85	84	oveq1d 7435	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · (𝐴 + 𝐵))) − (exp‘( -i · (𝐴 + 𝐵)))) / (2 · i)) = ((2 · (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))) / (2 · i)))
86	17, 12	addcomd 11515	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))) = (((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵)) + ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵))))
87	44, 85, 86	3eqtr4d 2805	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · (𝐴 + 𝐵))) − (exp‘( -i · (𝐴 + 𝐵)))) / (2 · i)) = (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
88	3, 87	eqtrd 2795	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sin‘(𝐴 + 𝐵)) = (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11201  0cc0 11203  ici 11205   + caddc 11206   · cmul 11208   − cmin 11544   -cneg 11545   / cdiv 11976  2c2 12400  expce 16232  sincsin 16234  cosccos 16235

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9645  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-er 8720  df-pm 8853  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9507  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-rp 13124  df-ico 13485  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-fl 13935  df-seq 14148  df-exp 14208  df-fac 14421  df-bc 14450  df-hash 14478  df-shft 15225  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407  df-abs 15408  df-limsup 15643  df-clim 15660  df-rlim 15661  df-sum 15859  df-ef 16238  df-sin 16240  df-cos 16241

This theorem is used by:  tanadd  16340  sinsub  16341  addsin  16343  subsin  16344  sin2t  16350  demoivreALT  16374  sinppi  26823  sinhalfpip  26826  sinmulcos  46968  sin3t  48010  sin5t  48017