Theorem sinadd 15801

Description: Addition formula for sine. Equation 14 of [Gleason] p. 310. (Contributed by Steve Rodriguez, 10-Nov-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sinadd	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sin‘(𝐴 + 𝐵)) = (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))))

Proof of Theorem sinadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcl 10884	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
2		sinval 15759	. . 3 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ → (sin‘(𝐴 + 𝐵)) = (((exp‘(i · (𝐴 + 𝐵))) − (exp‘(-i · (𝐴 + 𝐵)))) / (2 · i)))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sin‘(𝐴 + 𝐵)) = (((exp‘(i · (𝐴 + 𝐵))) − (exp‘(-i · (𝐴 + 𝐵)))) / (2 · i)))
4		2cn 11978	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
5	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 2 ∈ ℂ)
6		ax-icn 10861	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → i ∈ ℂ)
8		coscl 15764	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
9	8	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
10		sincl 15763	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (sin‘𝐵) ∈ ℂ)
11	10	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sin‘𝐵) ∈ ℂ)
12	9, 11	mulcld 10926	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵)) ∈ ℂ)
13		sincl 15763	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
14	13	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
15		coscl 15764	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (cos‘𝐵) ∈ ℂ)
16	15	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (cos‘𝐵) ∈ ℂ)
17	14, 16	mulcld 10926	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) ∈ ℂ)
18	12, 17	addcld 10925	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵)) + ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵))) ∈ ℂ)
19	5, 7, 18	mulassd 10929	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((2 · i) · (((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵)) + ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)))) = (2 · (i · (((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵)) + ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵))))))
20	7, 12, 17	adddid 10930	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · (((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵)) + ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)))) = ((i · ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))) + (i · ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)))))
21	7, 9, 11	mul12d 11114	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))) = ((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))))
22	14, 16	mulcomd 10927	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) = ((cos‘𝐵) · (sin‘𝐴)))
23	22	oveq2d 7271	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵))) = (i · ((cos‘𝐵) · (sin‘𝐴))))
24	7, 16, 14	mul12d 11114	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · ((cos‘𝐵) · (sin‘𝐴))) = ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))
25	23, 24	eqtrd 2778	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵))) = ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))
26	21, 25	oveq12d 7273	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((i · ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))) + (i · ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)))) = (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴)))))
27	20, 26	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · (((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵)) + ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)))) = (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴)))))
28	27	oveq2d 7271	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · (i · (((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵)) + ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵))))) = (2 · (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))))
29	19, 28	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((2 · i) · (((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵)) + ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)))) = (2 · (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))))
30		mulcl 10886	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐵) ∈ ℂ) → (i · (sin‘𝐵)) ∈ ℂ)
31	6, 11, 30	sylancr 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · (sin‘𝐵)) ∈ ℂ)
32	9, 31	mulcld 10926	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) ∈ ℂ)
33		mulcl 10886	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ)
34	6, 14, 33	sylancr 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ)
35	16, 34	mulcld 10926	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))) ∈ ℂ)
36	32, 35	addcld 10925	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴)))) ∈ ℂ)
37		mulcl 10886	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴)))) ∈ ℂ) → (2 · (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))) ∈ ℂ)
38	4, 36, 37	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))) ∈ ℂ)
39		2mulicn 12126	. . . . . 6 ⊢ (2 · i) ∈ ℂ
40	39	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · i) ∈ ℂ)
41		2muline0 12127	. . . . . 6 ⊢ (2 · i) ≠ 0
42	41	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · i) ≠ 0)
43	38, 40, 18, 42	divmuld 11703	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((2 · (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))) / (2 · i)) = (((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵)) + ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵))) ↔ ((2 · i) · (((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵)) + ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)))) = (2 · (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴)))))))
44	29, 43	mpbird 256	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((2 · (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))) / (2 · i)) = (((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵)) + ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵))))
45	9, 16	mulcld 10926	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) ∈ ℂ)
46	31, 34	mulcld 10926	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((i · (sin‘𝐵)) · (i · (sin‘𝐴))) ∈ ℂ)
47	45, 46	addcld 10925	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((i · (sin‘𝐵)) · (i · (sin‘𝐴)))) ∈ ℂ)
48	47, 36, 36	pnncand 11301	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((i · (sin‘𝐵)) · (i · (sin‘𝐴)))) + (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))) − ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((i · (sin‘𝐵)) · (i · (sin‘𝐴)))) − (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴)))))) = ((((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴)))) + (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))))
49		adddi 10891	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · (𝐴 + 𝐵)) = ((i · 𝐴) + (i · 𝐵)))
50	6, 49	mp3an1 1446	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · (𝐴 + 𝐵)) = ((i · 𝐴) + (i · 𝐵)))
51	50	fveq2d 6760	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (exp‘(i · (𝐴 + 𝐵))) = (exp‘((i · 𝐴) + (i · 𝐵))))
52		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
53		mulcl 10886	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
54	6, 52, 53	sylancr 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
55		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
56		mulcl 10886	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
57	6, 55, 56	sylancr 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
58		efadd 15731	. . . . . . . 8 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · 𝐵) ∈ ℂ) → (exp‘((i · 𝐴) + (i · 𝐵))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐵))))
59	54, 57, 58	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (exp‘((i · 𝐴) + (i · 𝐵))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐵))))
60		efival 15789	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))))
61		efival 15789	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐵)) = ((cos‘𝐵) + (i · (sin‘𝐵))))
62	60, 61	oveqan12d 7274	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐵))) = (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) · ((cos‘𝐵) + (i · (sin‘𝐵)))))
63	9, 34, 16, 31	muladdd 11363	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) · ((cos‘𝐵) + (i · (sin‘𝐵)))) = ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((i · (sin‘𝐵)) · (i · (sin‘𝐴)))) + (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))))
64	62, 63	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐵))) = ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((i · (sin‘𝐵)) · (i · (sin‘𝐴)))) + (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))))
65	51, 59, 64	3eqtrd 2782	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (exp‘(i · (𝐴 + 𝐵))) = ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((i · (sin‘𝐵)) · (i · (sin‘𝐴)))) + (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))))
66		negicn 11152	. . . . . . . . 9 ⊢ -i ∈ ℂ
67		adddi 10891	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-i · (𝐴 + 𝐵)) = ((-i · 𝐴) + (-i · 𝐵)))
68	66, 67	mp3an1 1446	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-i · (𝐴 + 𝐵)) = ((-i · 𝐴) + (-i · 𝐵)))
69	68	fveq2d 6760	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (exp‘(-i · (𝐴 + 𝐵))) = (exp‘((-i · 𝐴) + (-i · 𝐵))))
70		mulcl 10886	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
71	66, 52, 70	sylancr 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
72		mulcl 10886	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-i ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-i · 𝐵) ∈ ℂ)
73	66, 55, 72	sylancr 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-i · 𝐵) ∈ ℂ)
74		efadd 15731	. . . . . . . 8 ⊢ (((-i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (-i · 𝐵) ∈ ℂ) → (exp‘((-i · 𝐴) + (-i · 𝐵))) = ((exp‘(-i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐵))))
75	71, 73, 74	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (exp‘((-i · 𝐴) + (-i · 𝐵))) = ((exp‘(-i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐵))))
76		efmival 15790	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) = ((cos‘𝐴) − (i · (sin‘𝐴))))
77		efmival 15790	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐵)) = ((cos‘𝐵) − (i · (sin‘𝐵))))
78	76, 77	oveqan12d 7274	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((exp‘(-i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐵))) = (((cos‘𝐴) − (i · (sin‘𝐴))) · ((cos‘𝐵) − (i · (sin‘𝐵)))))
79	9, 34, 16, 31	mulsubd 11364	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((cos‘𝐴) − (i · (sin‘𝐴))) · ((cos‘𝐵) − (i · (sin‘𝐵)))) = ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((i · (sin‘𝐵)) · (i · (sin‘𝐴)))) − (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))))
80	78, 79	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((exp‘(-i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐵))) = ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((i · (sin‘𝐵)) · (i · (sin‘𝐴)))) − (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))))
81	69, 75, 80	3eqtrd 2782	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (exp‘(-i · (𝐴 + 𝐵))) = ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((i · (sin‘𝐵)) · (i · (sin‘𝐴)))) − (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))))
82	65, 81	oveq12d 7273	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((exp‘(i · (𝐴 + 𝐵))) − (exp‘(-i · (𝐴 + 𝐵)))) = (((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((i · (sin‘𝐵)) · (i · (sin‘𝐴)))) + (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))) − ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((i · (sin‘𝐵)) · (i · (sin‘𝐴)))) − (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴)))))))
83	36	2timesd 12146	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))) = ((((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴)))) + (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))))
84	48, 82, 83	3eqtr4d 2788	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((exp‘(i · (𝐴 + 𝐵))) − (exp‘(-i · (𝐴 + 𝐵)))) = (2 · (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))))
85	84	oveq1d 7270	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · (𝐴 + 𝐵))) − (exp‘(-i · (𝐴 + 𝐵)))) / (2 · i)) = ((2 · (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))) / (2 · i)))
86	17, 12	addcomd 11107	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))) = (((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵)) + ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵))))
87	44, 85, 86	3eqtr4d 2788	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · (𝐴 + 𝐵))) − (exp‘(-i · (𝐴 + 𝐵)))) / (2 · i)) = (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
88	3, 87	eqtrd 2778	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sin‘(𝐴 + 𝐵)) = (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  0cc0 10802  ici 10804   + caddc 10805   · cmul 10807   − cmin 11135  -cneg 11136   / cdiv 11562  2c2 11958  expce 15699  sincsin 15701  cosccos 15702

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-ico 13014  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-seq 13650  df-exp 13711  df-fac 13916  df-bc 13945  df-hash 13973  df-shft 14706  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-limsup 15108  df-clim 15125  df-rlim 15126  df-sum 15326  df-ef 15705  df-sin 15707  df-cos 15708

This theorem is referenced by:  tanadd  15804  sinsub  15805  addsin  15807  subsin  15808  sin2t  15814  demoivreALT  15838  sinppi  25551  sinhalfpip  25554  sinmulcos  43296