Theorem sinadd 15873

Description: Addition formula for sine. Equation 14 of [Gleason] p. 310. (Contributed by Steve Rodriguez, 10-Nov-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sinadd	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sin‘(𝐴 + 𝐵)) = (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))))

Proof of Theorem sinadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcl 10953	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
2		sinval 15831	. . 3 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ → (sin‘(𝐴 + 𝐵)) = (((exp‘(i · (𝐴 + 𝐵))) − (exp‘(-i · (𝐴 + 𝐵)))) / (2 · i)))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sin‘(𝐴 + 𝐵)) = (((exp‘(i · (𝐴 + 𝐵))) − (exp‘(-i · (𝐴 + 𝐵)))) / (2 · i)))
4		2cn 12048	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
5	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 2 ∈ ℂ)
6		ax-icn 10930	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → i ∈ ℂ)
8		coscl 15836	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
9	8	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
10		sincl 15835	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (sin‘𝐵) ∈ ℂ)
11	10	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sin‘𝐵) ∈ ℂ)
12	9, 11	mulcld 10995	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵)) ∈ ℂ)
13		sincl 15835	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
14	13	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
15		coscl 15836	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (cos‘𝐵) ∈ ℂ)
16	15	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (cos‘𝐵) ∈ ℂ)
17	14, 16	mulcld 10995	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) ∈ ℂ)
18	12, 17	addcld 10994	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵)) + ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵))) ∈ ℂ)
19	5, 7, 18	mulassd 10998	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((2 · i) · (((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵)) + ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)))) = (2 · (i · (((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵)) + ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵))))))
20	7, 12, 17	adddid 10999	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · (((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵)) + ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)))) = ((i · ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))) + (i · ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)))))
21	7, 9, 11	mul12d 11184	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))) = ((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))))
22	14, 16	mulcomd 10996	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) = ((cos‘𝐵) · (sin‘𝐴)))
23	22	oveq2d 7291	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵))) = (i · ((cos‘𝐵) · (sin‘𝐴))))
24	7, 16, 14	mul12d 11184	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · ((cos‘𝐵) · (sin‘𝐴))) = ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))
25	23, 24	eqtrd 2778	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵))) = ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))
26	21, 25	oveq12d 7293	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((i · ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))) + (i · ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)))) = (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴)))))
27	20, 26	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · (((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵)) + ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)))) = (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴)))))
28	27	oveq2d 7291	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · (i · (((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵)) + ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵))))) = (2 · (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))))
29	19, 28	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((2 · i) · (((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵)) + ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)))) = (2 · (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))))
30		mulcl 10955	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐵) ∈ ℂ) → (i · (sin‘𝐵)) ∈ ℂ)
31	6, 11, 30	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · (sin‘𝐵)) ∈ ℂ)
32	9, 31	mulcld 10995	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) ∈ ℂ)
33		mulcl 10955	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ)
34	6, 14, 33	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ)
35	16, 34	mulcld 10995	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))) ∈ ℂ)
36	32, 35	addcld 10994	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴)))) ∈ ℂ)
37		mulcl 10955	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴)))) ∈ ℂ) → (2 · (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))) ∈ ℂ)
38	4, 36, 37	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))) ∈ ℂ)
39		2mulicn 12196	. . . . . 6 ⊢ (2 · i) ∈ ℂ
40	39	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · i) ∈ ℂ)
41		2muline0 12197	. . . . . 6 ⊢ (2 · i) ≠ 0
42	41	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · i) ≠ 0)
43	38, 40, 18, 42	divmuld 11773	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((2 · (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))) / (2 · i)) = (((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵)) + ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵))) ↔ ((2 · i) · (((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵)) + ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)))) = (2 · (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴)))))))
44	29, 43	mpbird 256	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((2 · (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))) / (2 · i)) = (((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵)) + ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵))))
45	9, 16	mulcld 10995	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) ∈ ℂ)
46	31, 34	mulcld 10995	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((i · (sin‘𝐵)) · (i · (sin‘𝐴))) ∈ ℂ)
47	45, 46	addcld 10994	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((i · (sin‘𝐵)) · (i · (sin‘𝐴)))) ∈ ℂ)
48	47, 36, 36	pnncand 11371	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((i · (sin‘𝐵)) · (i · (sin‘𝐴)))) + (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))) − ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((i · (sin‘𝐵)) · (i · (sin‘𝐴)))) − (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴)))))) = ((((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴)))) + (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))))
49		adddi 10960	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · (𝐴 + 𝐵)) = ((i · 𝐴) + (i · 𝐵)))
50	6, 49	mp3an1 1447	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · (𝐴 + 𝐵)) = ((i · 𝐴) + (i · 𝐵)))
51	50	fveq2d 6778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (exp‘(i · (𝐴 + 𝐵))) = (exp‘((i · 𝐴) + (i · 𝐵))))
52		simpl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
53		mulcl 10955	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
54	6, 52, 53	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
55		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
56		mulcl 10955	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
57	6, 55, 56	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
58		efadd 15803	. . . . . . . 8 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · 𝐵) ∈ ℂ) → (exp‘((i · 𝐴) + (i · 𝐵))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐵))))
59	54, 57, 58	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (exp‘((i · 𝐴) + (i · 𝐵))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐵))))
60		efival 15861	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))))
61		efival 15861	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐵)) = ((cos‘𝐵) + (i · (sin‘𝐵))))
62	60, 61	oveqan12d 7294	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐵))) = (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) · ((cos‘𝐵) + (i · (sin‘𝐵)))))
63	9, 34, 16, 31	muladdd 11433	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) · ((cos‘𝐵) + (i · (sin‘𝐵)))) = ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((i · (sin‘𝐵)) · (i · (sin‘𝐴)))) + (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))))
64	62, 63	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐵))) = ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((i · (sin‘𝐵)) · (i · (sin‘𝐴)))) + (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))))
65	51, 59, 64	3eqtrd 2782	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (exp‘(i · (𝐴 + 𝐵))) = ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((i · (sin‘𝐵)) · (i · (sin‘𝐴)))) + (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))))
66		negicn 11222	. . . . . . . . 9 ⊢ -i ∈ ℂ
67		adddi 10960	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-i · (𝐴 + 𝐵)) = ((-i · 𝐴) + (-i · 𝐵)))
68	66, 67	mp3an1 1447	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-i · (𝐴 + 𝐵)) = ((-i · 𝐴) + (-i · 𝐵)))
69	68	fveq2d 6778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (exp‘(-i · (𝐴 + 𝐵))) = (exp‘((-i · 𝐴) + (-i · 𝐵))))
70		mulcl 10955	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
71	66, 52, 70	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
72		mulcl 10955	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-i ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-i · 𝐵) ∈ ℂ)
73	66, 55, 72	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-i · 𝐵) ∈ ℂ)
74		efadd 15803	. . . . . . . 8 ⊢ (((-i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (-i · 𝐵) ∈ ℂ) → (exp‘((-i · 𝐴) + (-i · 𝐵))) = ((exp‘(-i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐵))))
75	71, 73, 74	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (exp‘((-i · 𝐴) + (-i · 𝐵))) = ((exp‘(-i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐵))))
76		efmival 15862	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) = ((cos‘𝐴) − (i · (sin‘𝐴))))
77		efmival 15862	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐵)) = ((cos‘𝐵) − (i · (sin‘𝐵))))
78	76, 77	oveqan12d 7294	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((exp‘(-i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐵))) = (((cos‘𝐴) − (i · (sin‘𝐴))) · ((cos‘𝐵) − (i · (sin‘𝐵)))))
79	9, 34, 16, 31	mulsubd 11434	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((cos‘𝐴) − (i · (sin‘𝐴))) · ((cos‘𝐵) − (i · (sin‘𝐵)))) = ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((i · (sin‘𝐵)) · (i · (sin‘𝐴)))) − (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))))
80	78, 79	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((exp‘(-i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐵))) = ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((i · (sin‘𝐵)) · (i · (sin‘𝐴)))) − (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))))
81	69, 75, 80	3eqtrd 2782	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (exp‘(-i · (𝐴 + 𝐵))) = ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((i · (sin‘𝐵)) · (i · (sin‘𝐴)))) − (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))))
82	65, 81	oveq12d 7293	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((exp‘(i · (𝐴 + 𝐵))) − (exp‘(-i · (𝐴 + 𝐵)))) = (((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((i · (sin‘𝐵)) · (i · (sin‘𝐴)))) + (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))) − ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((i · (sin‘𝐵)) · (i · (sin‘𝐴)))) − (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴)))))))
83	36	2timesd 12216	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))) = ((((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴)))) + (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))))
84	48, 82, 83	3eqtr4d 2788	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((exp‘(i · (𝐴 + 𝐵))) − (exp‘(-i · (𝐴 + 𝐵)))) = (2 · (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))))
85	84	oveq1d 7290	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · (𝐴 + 𝐵))) − (exp‘(-i · (𝐴 + 𝐵)))) / (2 · i)) = ((2 · (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))) / (2 · i)))
86	17, 12	addcomd 11177	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))) = (((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵)) + ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵))))
87	44, 85, 86	3eqtr4d 2788	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · (𝐴 + 𝐵))) − (exp‘(-i · (𝐴 + 𝐵)))) / (2 · i)) = (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
88	3, 87	eqtrd 2778	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sin‘(𝐴 + 𝐵)) = (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  0cc0 10871  ici 10873   + caddc 10874   · cmul 10876   − cmin 11205  -cneg 11206   / cdiv 11632  2c2 12028  expce 15771  sincsin 15773  cosccos 15774

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-ico 13085  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-seq 13722  df-exp 13783  df-fac 13988  df-bc 14017  df-hash 14045  df-shft 14778  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-limsup 15180  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398  df-ef 15777  df-sin 15779  df-cos 15780

This theorem is referenced by:  tanadd  15876  sinsub  15877  addsin  15879  subsin  15880  sin2t  15886  demoivreALT  15910  sinppi  25646  sinhalfpip  25649  sinmulcos  43406