MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sinadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sinadd 16114
Description: Addition formula for sine. Equation 14 of [Gleason] p. 310. (Contributed by Steve Rodriguez, 10-Nov-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
sinadd ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (sinβ€˜(𝐴 + 𝐡)) = (((sinβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) + ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΅))))

Proof of Theorem sinadd
StepHypRef Expression
1 addcl 11198 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (𝐴 + 𝐡) ∈ β„‚)
2 sinval 16072 . . 3 ((𝐴 + 𝐡) ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜(𝐴 + 𝐡)) = (((expβ€˜(i Β· (𝐴 + 𝐡))) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· (𝐴 + 𝐡)))) / (2 Β· i)))
31, 2syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (sinβ€˜(𝐴 + 𝐡)) = (((expβ€˜(i Β· (𝐴 + 𝐡))) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· (𝐴 + 𝐡)))) / (2 Β· i)))
4 2cn 12294 . . . . . . 7 2 ∈ β„‚
54a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ 2 ∈ β„‚)
6 ax-icn 11175 . . . . . . 7 i ∈ β„‚
76a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ i ∈ β„‚)
8 coscl 16077 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (cosβ€˜π΄) ∈ β„‚)
98adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (cosβ€˜π΄) ∈ β„‚)
10 sincl 16076 . . . . . . . . 9 (𝐡 ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜π΅) ∈ β„‚)
1110adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (sinβ€˜π΅) ∈ β„‚)
129, 11mulcld 11241 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΅)) ∈ β„‚)
13 sincl 16076 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜π΄) ∈ β„‚)
1413adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (sinβ€˜π΄) ∈ β„‚)
15 coscl 16077 . . . . . . . . 9 (𝐡 ∈ β„‚ β†’ (cosβ€˜π΅) ∈ β„‚)
1615adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (cosβ€˜π΅) ∈ β„‚)
1714, 16mulcld 11241 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((sinβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) ∈ β„‚)
1812, 17addcld 11240 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΅)) + ((sinβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅))) ∈ β„‚)
195, 7, 18mulassd 11244 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((2 Β· i) Β· (((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΅)) + ((sinβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)))) = (2 Β· (i Β· (((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΅)) + ((sinβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅))))))
207, 12, 17adddid 11245 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (i Β· (((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΅)) + ((sinβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)))) = ((i Β· ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΅))) + (i Β· ((sinβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)))))
217, 9, 11mul12d 11430 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (i Β· ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΅))) = ((cosβ€˜π΄) Β· (i Β· (sinβ€˜π΅))))
2214, 16mulcomd 11242 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((sinβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) = ((cosβ€˜π΅) Β· (sinβ€˜π΄)))
2322oveq2d 7428 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (i Β· ((sinβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅))) = (i Β· ((cosβ€˜π΅) Β· (sinβ€˜π΄))))
247, 16, 14mul12d 11430 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (i Β· ((cosβ€˜π΅) Β· (sinβ€˜π΄))) = ((cosβ€˜π΅) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄))))
2523, 24eqtrd 2771 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (i Β· ((sinβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅))) = ((cosβ€˜π΅) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄))))
2621, 25oveq12d 7430 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((i Β· ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΅))) + (i Β· ((sinβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)))) = (((cosβ€˜π΄) Β· (i Β· (sinβ€˜π΅))) + ((cosβ€˜π΅) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄)))))
2720, 26eqtrd 2771 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (i Β· (((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΅)) + ((sinβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)))) = (((cosβ€˜π΄) Β· (i Β· (sinβ€˜π΅))) + ((cosβ€˜π΅) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄)))))
2827oveq2d 7428 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (2 Β· (i Β· (((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΅)) + ((sinβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅))))) = (2 Β· (((cosβ€˜π΄) Β· (i Β· (sinβ€˜π΅))) + ((cosβ€˜π΅) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄))))))
2919, 28eqtrd 2771 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((2 Β· i) Β· (((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΅)) + ((sinβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)))) = (2 Β· (((cosβ€˜π΄) Β· (i Β· (sinβ€˜π΅))) + ((cosβ€˜π΅) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄))))))
30 mulcl 11200 . . . . . . . . 9 ((i ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΅) ∈ β„‚) β†’ (i Β· (sinβ€˜π΅)) ∈ β„‚)
316, 11, 30sylancr 586 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (i Β· (sinβ€˜π΅)) ∈ β„‚)
329, 31mulcld 11241 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((cosβ€˜π΄) Β· (i Β· (sinβ€˜π΅))) ∈ β„‚)
33 mulcl 11200 . . . . . . . . 9 ((i ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) ∈ β„‚) β†’ (i Β· (sinβ€˜π΄)) ∈ β„‚)
346, 14, 33sylancr 586 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (i Β· (sinβ€˜π΄)) ∈ β„‚)
3516, 34mulcld 11241 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((cosβ€˜π΅) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄))) ∈ β„‚)
3632, 35addcld 11240 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (((cosβ€˜π΄) Β· (i Β· (sinβ€˜π΅))) + ((cosβ€˜π΅) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄)))) ∈ β„‚)
37 mulcl 11200 . . . . . 6 ((2 ∈ β„‚ ∧ (((cosβ€˜π΄) Β· (i Β· (sinβ€˜π΅))) + ((cosβ€˜π΅) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄)))) ∈ β„‚) β†’ (2 Β· (((cosβ€˜π΄) Β· (i Β· (sinβ€˜π΅))) + ((cosβ€˜π΅) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄))))) ∈ β„‚)
384, 36, 37sylancr 586 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (2 Β· (((cosβ€˜π΄) Β· (i Β· (sinβ€˜π΅))) + ((cosβ€˜π΅) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄))))) ∈ β„‚)
39 2mulicn 12442 . . . . . 6 (2 Β· i) ∈ β„‚
4039a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (2 Β· i) ∈ β„‚)
41 2muline0 12443 . . . . . 6 (2 Β· i) β‰  0
4241a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (2 Β· i) β‰  0)
4338, 40, 18, 42divmuld 12019 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (((2 Β· (((cosβ€˜π΄) Β· (i Β· (sinβ€˜π΅))) + ((cosβ€˜π΅) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄))))) / (2 Β· i)) = (((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΅)) + ((sinβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅))) ↔ ((2 Β· i) Β· (((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΅)) + ((sinβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)))) = (2 Β· (((cosβ€˜π΄) Β· (i Β· (sinβ€˜π΅))) + ((cosβ€˜π΅) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄)))))))
4429, 43mpbird 257 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((2 Β· (((cosβ€˜π΄) Β· (i Β· (sinβ€˜π΅))) + ((cosβ€˜π΅) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄))))) / (2 Β· i)) = (((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΅)) + ((sinβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅))))
459, 16mulcld 11241 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) ∈ β„‚)
4631, 34mulcld 11241 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((i Β· (sinβ€˜π΅)) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄))) ∈ β„‚)
4745, 46addcld 11240 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) + ((i Β· (sinβ€˜π΅)) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄)))) ∈ β„‚)
4847, 36, 36pnncand 11617 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (((((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) + ((i Β· (sinβ€˜π΅)) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄)))) + (((cosβ€˜π΄) Β· (i Β· (sinβ€˜π΅))) + ((cosβ€˜π΅) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄))))) βˆ’ ((((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) + ((i Β· (sinβ€˜π΅)) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄)))) βˆ’ (((cosβ€˜π΄) Β· (i Β· (sinβ€˜π΅))) + ((cosβ€˜π΅) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄)))))) = ((((cosβ€˜π΄) Β· (i Β· (sinβ€˜π΅))) + ((cosβ€˜π΅) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄)))) + (((cosβ€˜π΄) Β· (i Β· (sinβ€˜π΅))) + ((cosβ€˜π΅) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄))))))
49 adddi 11205 . . . . . . . . 9 ((i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (i Β· (𝐴 + 𝐡)) = ((i Β· 𝐴) + (i Β· 𝐡)))
506, 49mp3an1 1447 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (i Β· (𝐴 + 𝐡)) = ((i Β· 𝐴) + (i Β· 𝐡)))
5150fveq2d 6895 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (expβ€˜(i Β· (𝐴 + 𝐡))) = (expβ€˜((i Β· 𝐴) + (i Β· 𝐡))))
52 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
53 mulcl 11200 . . . . . . . . 9 ((i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (i Β· 𝐴) ∈ β„‚)
546, 52, 53sylancr 586 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (i Β· 𝐴) ∈ β„‚)
55 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
56 mulcl 11200 . . . . . . . . 9 ((i ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (i Β· 𝐡) ∈ β„‚)
576, 55, 56sylancr 586 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (i Β· 𝐡) ∈ β„‚)
58 efadd 16044 . . . . . . . 8 (((i Β· 𝐴) ∈ β„‚ ∧ (i Β· 𝐡) ∈ β„‚) β†’ (expβ€˜((i Β· 𝐴) + (i Β· 𝐡))) = ((expβ€˜(i Β· 𝐴)) Β· (expβ€˜(i Β· 𝐡))))
5954, 57, 58syl2anc 583 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (expβ€˜((i Β· 𝐴) + (i Β· 𝐡))) = ((expβ€˜(i Β· 𝐴)) Β· (expβ€˜(i Β· 𝐡))))
60 efival 16102 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(i Β· 𝐴)) = ((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄))))
61 efival 16102 . . . . . . . . 9 (𝐡 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(i Β· 𝐡)) = ((cosβ€˜π΅) + (i Β· (sinβ€˜π΅))))
6260, 61oveqan12d 7431 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((expβ€˜(i Β· 𝐴)) Β· (expβ€˜(i Β· 𝐡))) = (((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄))) Β· ((cosβ€˜π΅) + (i Β· (sinβ€˜π΅)))))
639, 34, 16, 31muladdd 11679 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄))) Β· ((cosβ€˜π΅) + (i Β· (sinβ€˜π΅)))) = ((((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) + ((i Β· (sinβ€˜π΅)) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄)))) + (((cosβ€˜π΄) Β· (i Β· (sinβ€˜π΅))) + ((cosβ€˜π΅) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄))))))
6462, 63eqtrd 2771 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((expβ€˜(i Β· 𝐴)) Β· (expβ€˜(i Β· 𝐡))) = ((((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) + ((i Β· (sinβ€˜π΅)) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄)))) + (((cosβ€˜π΄) Β· (i Β· (sinβ€˜π΅))) + ((cosβ€˜π΅) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄))))))
6551, 59, 643eqtrd 2775 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (expβ€˜(i Β· (𝐴 + 𝐡))) = ((((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) + ((i Β· (sinβ€˜π΅)) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄)))) + (((cosβ€˜π΄) Β· (i Β· (sinβ€˜π΅))) + ((cosβ€˜π΅) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄))))))
66 negicn 11468 . . . . . . . . 9 -i ∈ β„‚
67 adddi 11205 . . . . . . . . 9 ((-i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (-i Β· (𝐴 + 𝐡)) = ((-i Β· 𝐴) + (-i Β· 𝐡)))
6866, 67mp3an1 1447 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (-i Β· (𝐴 + 𝐡)) = ((-i Β· 𝐴) + (-i Β· 𝐡)))
6968fveq2d 6895 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (expβ€˜(-i Β· (𝐴 + 𝐡))) = (expβ€˜((-i Β· 𝐴) + (-i Β· 𝐡))))
70 mulcl 11200 . . . . . . . . 9 ((-i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (-i Β· 𝐴) ∈ β„‚)
7166, 52, 70sylancr 586 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (-i Β· 𝐴) ∈ β„‚)
72 mulcl 11200 . . . . . . . . 9 ((-i ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (-i Β· 𝐡) ∈ β„‚)
7366, 55, 72sylancr 586 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (-i Β· 𝐡) ∈ β„‚)
74 efadd 16044 . . . . . . . 8 (((-i Β· 𝐴) ∈ β„‚ ∧ (-i Β· 𝐡) ∈ β„‚) β†’ (expβ€˜((-i Β· 𝐴) + (-i Β· 𝐡))) = ((expβ€˜(-i Β· 𝐴)) Β· (expβ€˜(-i Β· 𝐡))))
7571, 73, 74syl2anc 583 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (expβ€˜((-i Β· 𝐴) + (-i Β· 𝐡))) = ((expβ€˜(-i Β· 𝐴)) Β· (expβ€˜(-i Β· 𝐡))))
76 efmival 16103 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴)) = ((cosβ€˜π΄) βˆ’ (i Β· (sinβ€˜π΄))))
77 efmival 16103 . . . . . . . . 9 (𝐡 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(-i Β· 𝐡)) = ((cosβ€˜π΅) βˆ’ (i Β· (sinβ€˜π΅))))
7876, 77oveqan12d 7431 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((expβ€˜(-i Β· 𝐴)) Β· (expβ€˜(-i Β· 𝐡))) = (((cosβ€˜π΄) βˆ’ (i Β· (sinβ€˜π΄))) Β· ((cosβ€˜π΅) βˆ’ (i Β· (sinβ€˜π΅)))))
799, 34, 16, 31mulsubd 11680 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (((cosβ€˜π΄) βˆ’ (i Β· (sinβ€˜π΄))) Β· ((cosβ€˜π΅) βˆ’ (i Β· (sinβ€˜π΅)))) = ((((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) + ((i Β· (sinβ€˜π΅)) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄)))) βˆ’ (((cosβ€˜π΄) Β· (i Β· (sinβ€˜π΅))) + ((cosβ€˜π΅) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄))))))
8078, 79eqtrd 2771 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((expβ€˜(-i Β· 𝐴)) Β· (expβ€˜(-i Β· 𝐡))) = ((((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) + ((i Β· (sinβ€˜π΅)) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄)))) βˆ’ (((cosβ€˜π΄) Β· (i Β· (sinβ€˜π΅))) + ((cosβ€˜π΅) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄))))))
8169, 75, 803eqtrd 2775 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (expβ€˜(-i Β· (𝐴 + 𝐡))) = ((((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) + ((i Β· (sinβ€˜π΅)) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄)))) βˆ’ (((cosβ€˜π΄) Β· (i Β· (sinβ€˜π΅))) + ((cosβ€˜π΅) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄))))))
8265, 81oveq12d 7430 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((expβ€˜(i Β· (𝐴 + 𝐡))) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· (𝐴 + 𝐡)))) = (((((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) + ((i Β· (sinβ€˜π΅)) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄)))) + (((cosβ€˜π΄) Β· (i Β· (sinβ€˜π΅))) + ((cosβ€˜π΅) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄))))) βˆ’ ((((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) + ((i Β· (sinβ€˜π΅)) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄)))) βˆ’ (((cosβ€˜π΄) Β· (i Β· (sinβ€˜π΅))) + ((cosβ€˜π΅) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄)))))))
83362timesd 12462 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (2 Β· (((cosβ€˜π΄) Β· (i Β· (sinβ€˜π΅))) + ((cosβ€˜π΅) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄))))) = ((((cosβ€˜π΄) Β· (i Β· (sinβ€˜π΅))) + ((cosβ€˜π΅) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄)))) + (((cosβ€˜π΄) Β· (i Β· (sinβ€˜π΅))) + ((cosβ€˜π΅) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄))))))
8448, 82, 833eqtr4d 2781 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((expβ€˜(i Β· (𝐴 + 𝐡))) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· (𝐴 + 𝐡)))) = (2 Β· (((cosβ€˜π΄) Β· (i Β· (sinβ€˜π΅))) + ((cosβ€˜π΅) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄))))))
8584oveq1d 7427 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (((expβ€˜(i Β· (𝐴 + 𝐡))) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· (𝐴 + 𝐡)))) / (2 Β· i)) = ((2 Β· (((cosβ€˜π΄) Β· (i Β· (sinβ€˜π΅))) + ((cosβ€˜π΅) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄))))) / (2 Β· i)))
8617, 12addcomd 11423 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (((sinβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) + ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΅))) = (((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΅)) + ((sinβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅))))
8744, 85, 863eqtr4d 2781 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (((expβ€˜(i Β· (𝐴 + 𝐡))) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· (𝐴 + 𝐡)))) / (2 Β· i)) = (((sinβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) + ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΅))))
883, 87eqtrd 2771 1 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (sinβ€˜(𝐴 + 𝐡)) = (((sinβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) + ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΅))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  β„‚cc 11114  0cc0 11116  ici 11118   + caddc 11119   Β· cmul 11121   βˆ’ cmin 11451  -cneg 11452   / cdiv 11878  2c2 12274  expce 16012  sincsin 16014  cosccos 16015
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9443  df-inf 9444  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-rp 12982  df-ico 13337  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-fl 13764  df-seq 13974  df-exp 14035  df-fac 14241  df-bc 14270  df-hash 14298  df-shft 15021  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-limsup 15422  df-clim 15439  df-rlim 15440  df-sum 15640  df-ef 16018  df-sin 16020  df-cos 16021
This theorem is referenced by:  tanadd  16117  sinsub  16118  addsin  16120  subsin  16121  sin2t  16127  demoivreALT  16151  sinppi  26339  sinhalfpip  26342  sinmulcos  45042
  Copyright terms: Public domain W3C validator