Theorem sinadd 16245

Description: Addition formula for sine. Equation 14 of [Gleason] p. 310. (Contributed by Steve Rodriguez, 10-Nov-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sinadd	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sin‘(𝐴 + 𝐵)) = (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))))

Proof of Theorem sinadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcl 11200	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
2		sinval 16203	. . 3 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ → (sin‘(𝐴 + 𝐵)) = (((exp‘(i · (𝐴 + 𝐵))) − (exp‘(-i · (𝐴 + 𝐵)))) / (2 · i)))
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sin‘(𝐴 + 𝐵)) = (((exp‘(i · (𝐴 + 𝐵))) − (exp‘(-i · (𝐴 + 𝐵)))) / (2 · i)))
4		2cn 12334	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
5	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 2 ∈ ℂ)
6		ax-icn 11177	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → i ∈ ℂ)
8		coscl 16208	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
9	8	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
10		sincl 16207	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (sin‘𝐵) ∈ ℂ)
11	10	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sin‘𝐵) ∈ ℂ)
12	9, 11	mulcld 11247	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵)) ∈ ℂ)
13		sincl 16207	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
14	13	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
15		coscl 16208	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (cos‘𝐵) ∈ ℂ)
16	15	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (cos‘𝐵) ∈ ℂ)
17	14, 16	mulcld 11247	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) ∈ ℂ)
18	12, 17	addcld 11246	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵)) + ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵))) ∈ ℂ)
19	5, 7, 18	mulassd 11250	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((2 · i) · (((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵)) + ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)))) = (2 · (i · (((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵)) + ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵))))))
20	7, 12, 17	adddid 11251	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · (((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵)) + ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)))) = ((i · ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))) + (i · ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)))))
21	7, 9, 11	mul12d 11437	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))) = ((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))))
22	14, 16	mulcomd 11248	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) = ((cos‘𝐵) · (sin‘𝐴)))
23	22	oveq2d 7439	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵))) = (i · ((cos‘𝐵) · (sin‘𝐴))))
24	7, 16, 14	mul12d 11437	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · ((cos‘𝐵) · (sin‘𝐴))) = ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))
25	23, 24	eqtrd 2801	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵))) = ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))
26	21, 25	oveq12d 7441	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((i · ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))) + (i · ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)))) = (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴)))))
27	20, 26	eqtrd 2801	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · (((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵)) + ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)))) = (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴)))))
28	27	oveq2d 7439	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · (i · (((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵)) + ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵))))) = (2 · (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))))
29	19, 28	eqtrd 2801	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((2 · i) · (((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵)) + ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)))) = (2 · (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))))
30		mulcl 11202	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐵) ∈ ℂ) → (i · (sin‘𝐵)) ∈ ℂ)
31	6, 11, 30	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · (sin‘𝐵)) ∈ ℂ)
32	9, 31	mulcld 11247	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) ∈ ℂ)
33		mulcl 11202	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ)
34	6, 14, 33	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ)
35	16, 34	mulcld 11247	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))) ∈ ℂ)
36	32, 35	addcld 11246	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴)))) ∈ ℂ)
37		mulcl 11202	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴)))) ∈ ℂ) → (2 · (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))) ∈ ℂ)
38	4, 36, 37	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))) ∈ ℂ)
39		2mulicn 12486	. . . . . 6 ⊢ (2 · i) ∈ ℂ
40	39	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · i) ∈ ℂ)
41		2muline0 12487	. . . . . 6 ⊢ (2 · i) ≠ 0
42	41	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · i) ≠ 0)
43	38, 40, 18, 42	divmuld 12031	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((2 · (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))) / (2 · i)) = (((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵)) + ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵))) ↔ ((2 · i) · (((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵)) + ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)))) = (2 · (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴)))))))
44	29, 43	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((2 · (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))) / (2 · i)) = (((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵)) + ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵))))
45	9, 16	mulcld 11247	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) ∈ ℂ)
46	31, 34	mulcld 11247	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((i · (sin‘𝐵)) · (i · (sin‘𝐴))) ∈ ℂ)
47	45, 46	addcld 11246	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((i · (sin‘𝐵)) · (i · (sin‘𝐴)))) ∈ ℂ)
48	47, 36, 36	pnncand 11626	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((i · (sin‘𝐵)) · (i · (sin‘𝐴)))) + (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))) − ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((i · (sin‘𝐵)) · (i · (sin‘𝐴)))) − (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴)))))) = ((((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴)))) + (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))))
49		adddi 11207	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · (𝐴 + 𝐵)) = ((i · 𝐴) + (i · 𝐵)))
50	6, 49	mp3an1 1477	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · (𝐴 + 𝐵)) = ((i · 𝐴) + (i · 𝐵)))
51	50	fveq2d 6892	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (exp‘(i · (𝐴 + 𝐵))) = (exp‘((i · 𝐴) + (i · 𝐵))))
52		simpl 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
53		mulcl 11202	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
54	6, 52, 53	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
55		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
56		mulcl 11202	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
57	6, 55, 56	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
58		efadd 16173	. . . . . . . 8 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · 𝐵) ∈ ℂ) → (exp‘((i · 𝐴) + (i · 𝐵))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐵))))
59	54, 57, 58	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (exp‘((i · 𝐴) + (i · 𝐵))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐵))))
60		efival 16233	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))))
61		efival 16233	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐵)) = ((cos‘𝐵) + (i · (sin‘𝐵))))
62	60, 61	oveqan12d 7442	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐵))) = (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) · ((cos‘𝐵) + (i · (sin‘𝐵)))))
63	9, 34, 16, 31	muladdd 11690	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) · ((cos‘𝐵) + (i · (sin‘𝐵)))) = ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((i · (sin‘𝐵)) · (i · (sin‘𝐴)))) + (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))))
64	62, 63	eqtrd 2801	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐵))) = ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((i · (sin‘𝐵)) · (i · (sin‘𝐴)))) + (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))))
65	51, 59, 64	3eqtrd 2805	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (exp‘(i · (𝐴 + 𝐵))) = ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((i · (sin‘𝐵)) · (i · (sin‘𝐴)))) + (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))))
66		negicn 11476	. . . . . . . . 9 ⊢ -i ∈ ℂ
67		adddi 11207	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-i · (𝐴 + 𝐵)) = ((-i · 𝐴) + (-i · 𝐵)))
68	66, 67	mp3an1 1477	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-i · (𝐴 + 𝐵)) = ((-i · 𝐴) + (-i · 𝐵)))
69	68	fveq2d 6892	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (exp‘(-i · (𝐴 + 𝐵))) = (exp‘((-i · 𝐴) + (-i · 𝐵))))
70		mulcl 11202	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
71	66, 52, 70	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
72		mulcl 11202	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-i ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-i · 𝐵) ∈ ℂ)
73	66, 55, 72	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-i · 𝐵) ∈ ℂ)
74		efadd 16173	. . . . . . . 8 ⊢ (((-i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (-i · 𝐵) ∈ ℂ) → (exp‘((-i · 𝐴) + (-i · 𝐵))) = ((exp‘(-i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐵))))
75	71, 73, 74	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (exp‘((-i · 𝐴) + (-i · 𝐵))) = ((exp‘(-i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐵))))
76		efmival 16234	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) = ((cos‘𝐴) − (i · (sin‘𝐴))))
77		efmival 16234	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐵)) = ((cos‘𝐵) − (i · (sin‘𝐵))))
78	76, 77	oveqan12d 7442	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((exp‘(-i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐵))) = (((cos‘𝐴) − (i · (sin‘𝐴))) · ((cos‘𝐵) − (i · (sin‘𝐵)))))
79	9, 34, 16, 31	mulsubd 11691	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((cos‘𝐴) − (i · (sin‘𝐴))) · ((cos‘𝐵) − (i · (sin‘𝐵)))) = ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((i · (sin‘𝐵)) · (i · (sin‘𝐴)))) − (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))))
80	78, 79	eqtrd 2801	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((exp‘(-i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐵))) = ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((i · (sin‘𝐵)) · (i · (sin‘𝐴)))) − (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))))
81	69, 75, 80	3eqtrd 2805	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (exp‘(-i · (𝐴 + 𝐵))) = ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((i · (sin‘𝐵)) · (i · (sin‘𝐴)))) − (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))))
82	65, 81	oveq12d 7441	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((exp‘(i · (𝐴 + 𝐵))) − (exp‘(-i · (𝐴 + 𝐵)))) = (((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((i · (sin‘𝐵)) · (i · (sin‘𝐴)))) + (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))) − ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((i · (sin‘𝐵)) · (i · (sin‘𝐴)))) − (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴)))))))
83	36	2timesd 12505	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))) = ((((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴)))) + (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))))
84	48, 82, 83	3eqtr4d 2811	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((exp‘(i · (𝐴 + 𝐵))) − (exp‘(-i · (𝐴 + 𝐵)))) = (2 · (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))))
85	84	oveq1d 7438	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · (𝐴 + 𝐵))) − (exp‘(-i · (𝐴 + 𝐵)))) / (2 · i)) = ((2 · (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))) / (2 · i)))
86	17, 12	addcomd 11430	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))) = (((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵)) + ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵))))
87	44, 85, 86	3eqtr4d 2811	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · (𝐴 + 𝐵))) − (exp‘(-i · (𝐴 + 𝐵)))) / (2 · i)) = (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
88	3, 87	eqtrd 2801	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sin‘(𝐴 + 𝐵)) = (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℂcc 11116  0cc0 11118  ici 11120   + caddc 11121   · cmul 11123   − cmin 11459  -cneg 11460   / cdiv 11889  2c2 12313  expce 16140  sincsin 16142  cosccos 16143

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-inf2 9620  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-pm 8836  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-rp 13035  df-ico 13396  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-seq 14058  df-exp 14118  df-fac 14330  df-bc 14359  df-hash 14387  df-shft 15130  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-limsup 15548  df-clim 15565  df-rlim 15566  df-sum 15764  df-ef 16146  df-sin 16148  df-cos 16149

This theorem is used by:  tanadd  16248  sinsub  16249  addsin  16251  subsin  16252  sin2t  16258  demoivreALT  16282  sinppi  26691  sinhalfpip  26694  sinmulcos  46620  sin3t  47649  sin5t  47656