MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvsincos Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvsincos 25497
Description: Derivative of the sine and cosine functions. (Contributed by Mario Carneiro, 21-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
dvsincos ((β„‚ D sin) = cos ∧ (β„‚ D cos) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜π‘₯)))

Proof of Theorem dvsincos
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnelprrecn 11202 . . . . . 6 β„‚ ∈ {ℝ, β„‚}
21a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ β„‚ ∈ {ℝ, β„‚})
3 ax-icn 11168 . . . . . . . . . 10 i ∈ β„‚
43a1i 11 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ i ∈ β„‚)
5 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
64, 5mulcld 11233 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (i Β· π‘₯) ∈ β„‚)
7 efcl 16025 . . . . . . . 8 ((i Β· π‘₯) ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(i Β· π‘₯)) ∈ β„‚)
86, 7syl 17 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (expβ€˜(i Β· π‘₯)) ∈ β„‚)
9 ine0 11648 . . . . . . . 8 i β‰  0
109a1i 11 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ i β‰  0)
118, 4, 10divcld 11989 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((expβ€˜(i Β· π‘₯)) / i) ∈ β„‚)
12 negicn 11460 . . . . . . . . . 10 -i ∈ β„‚
13 mulcl 11193 . . . . . . . . . 10 ((-i ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (-i Β· π‘₯) ∈ β„‚)
1412, 5, 13sylancr 587 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (-i Β· π‘₯) ∈ β„‚)
15 efcl 16025 . . . . . . . . 9 ((-i Β· π‘₯) ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(-i Β· π‘₯)) ∈ β„‚)
1614, 15syl 17 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (expβ€˜(-i Β· π‘₯)) ∈ β„‚)
1716, 4, 10divcld 11989 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) / i) ∈ β„‚)
1817negcld 11557 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ -((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) / i) ∈ β„‚)
1911, 18addcld 11232 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) / i) + -((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) / i)) ∈ β„‚)
208, 16addcld 11232 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((expβ€˜(i Β· π‘₯)) + (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) ∈ β„‚)
218, 4mulcld 11233 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((expβ€˜(i Β· π‘₯)) Β· i) ∈ β„‚)
22 efcl 16025 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜π‘¦) ∈ β„‚)
2322adantl 482 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (expβ€˜π‘¦) ∈ β„‚)
24 1cnd 11208 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ 1 ∈ β„‚)
252dvmptid 25473 . . . . . . . . . . 11 (⊀ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ π‘₯)) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ 1))
263a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊀ β†’ i ∈ β„‚)
272, 5, 24, 25, 26dvmptcmul 25480 . . . . . . . . . 10 (⊀ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (i Β· π‘₯))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (i Β· 1)))
283mulridi 11217 . . . . . . . . . . 11 (i Β· 1) = i
2928mpteq2i 5253 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (i Β· 1)) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ i)
3027, 29eqtrdi 2788 . . . . . . . . 9 (⊀ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (i Β· π‘₯))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ i))
31 eff 16024 . . . . . . . . . . . . 13 exp:β„‚βŸΆβ„‚
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (⊀ β†’ exp:β„‚βŸΆβ„‚)
3332feqmptd 6960 . . . . . . . . . . 11 (⊀ β†’ exp = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘¦)))
3433oveq2d 7424 . . . . . . . . . 10 (⊀ β†’ (β„‚ D exp) = (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘¦))))
35 dvef 25496 . . . . . . . . . . 11 (β„‚ D exp) = exp
3635, 33eqtrid 2784 . . . . . . . . . 10 (⊀ β†’ (β„‚ D exp) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘¦)))
3734, 36eqtr3d 2774 . . . . . . . . 9 (⊀ β†’ (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘¦))) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘¦)))
38 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (i Β· π‘₯) β†’ (expβ€˜π‘¦) = (expβ€˜(i Β· π‘₯)))
392, 2, 6, 4, 23, 23, 30, 37, 38, 38dvmptco 25488 . . . . . . . 8 (⊀ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜(i Β· π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((expβ€˜(i Β· π‘₯)) Β· i)))
409a1i 11 . . . . . . . 8 (⊀ β†’ i β‰  0)
412, 8, 21, 39, 26, 40dvmptdivc 25481 . . . . . . 7 (⊀ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((expβ€˜(i Β· π‘₯)) / i))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) Β· i) / i)))
428, 4, 10divcan4d 11995 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) Β· i) / i) = (expβ€˜(i Β· π‘₯)))
4342mpteq2dva 5248 . . . . . . 7 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) Β· i) / i)) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜(i Β· π‘₯))))
4441, 43eqtrd 2772 . . . . . 6 (⊀ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((expβ€˜(i Β· π‘₯)) / i))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜(i Β· π‘₯))))
45 mulcl 11193 . . . . . . . . . 10 (((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) ∈ β„‚ ∧ -i ∈ β„‚) β†’ ((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) Β· -i) ∈ β„‚)
4616, 12, 45sylancl 586 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) Β· -i) ∈ β„‚)
4746, 4, 10divcld 11989 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) Β· -i) / i) ∈ β„‚)
4812a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ -i ∈ β„‚)
4912a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (⊀ β†’ -i ∈ β„‚)
502, 5, 24, 25, 49dvmptcmul 25480 . . . . . . . . . . 11 (⊀ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (-i Β· π‘₯))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (-i Β· 1)))
5112mulridi 11217 . . . . . . . . . . . 12 (-i Β· 1) = -i
5251mpteq2i 5253 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (-i Β· 1)) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -i)
5350, 52eqtrdi 2788 . . . . . . . . . 10 (⊀ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (-i Β· π‘₯))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -i))
54 fveq2 6891 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (-i Β· π‘₯) β†’ (expβ€˜π‘¦) = (expβ€˜(-i Β· π‘₯)))
552, 2, 14, 48, 23, 23, 53, 37, 54, 54dvmptco 25488 . . . . . . . . 9 (⊀ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜(-i Β· π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) Β· -i)))
562, 16, 46, 55, 26, 40dvmptdivc 25481 . . . . . . . 8 (⊀ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) / i))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) Β· -i) / i)))
572, 17, 47, 56dvmptneg 25482 . . . . . . 7 (⊀ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) / i))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) Β· -i) / i)))
5846, 4, 10divneg2d 12003 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ -(((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) Β· -i) / i) = (((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) Β· -i) / -i))
593, 9negne0i 11534 . . . . . . . . . . 11 -i β‰  0
6059a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ -i β‰  0)
6116, 48, 60divcan4d 11995 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) Β· -i) / -i) = (expβ€˜(-i Β· π‘₯)))
6258, 61eqtrd 2772 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ -(((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) Β· -i) / i) = (expβ€˜(-i Β· π‘₯)))
6362mpteq2dva 5248 . . . . . . 7 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) Β· -i) / i)) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜(-i Β· π‘₯))))
6457, 63eqtrd 2772 . . . . . 6 (⊀ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) / i))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜(-i Β· π‘₯))))
652, 11, 8, 44, 18, 16, 64dvmptadd 25476 . . . . 5 (⊀ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) / i) + -((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) / i)))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((expβ€˜(i Β· π‘₯)) + (expβ€˜(-i Β· π‘₯)))))
66 2cnd 12289 . . . . 5 (⊀ β†’ 2 ∈ β„‚)
67 2ne0 12315 . . . . . 6 2 β‰  0
6867a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ 2 β‰  0)
692, 19, 20, 65, 66, 68dvmptdivc 25481 . . . 4 (⊀ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((((expβ€˜(i Β· π‘₯)) / i) + -((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) / i)) / 2))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) + (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) / 2)))
70 df-sin 16012 . . . . . 6 sin = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) / (2 Β· i)))
718, 16subcld 11570 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((expβ€˜(i Β· π‘₯)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) ∈ β„‚)
72 2cnd 12289 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ 2 ∈ β„‚)
7367a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ 2 β‰  0)
7471, 4, 72, 10, 73divdiv1d 12020 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((((expβ€˜(i Β· π‘₯)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) / i) / 2) = (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) / (i Β· 2)))
75 2cn 12286 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ β„‚
763, 75mulcomi 11221 . . . . . . . . . 10 (i Β· 2) = (2 Β· i)
7776oveq2i 7419 . . . . . . . . 9 (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) / (i Β· 2)) = (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) / (2 Β· i))
7874, 77eqtrdi 2788 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((((expβ€˜(i Β· π‘₯)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) / i) / 2) = (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) / (2 Β· i)))
798, 16, 4, 10divsubdird 12028 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) / i) = (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) / i) βˆ’ ((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) / i)))
8011, 17negsubd 11576 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) / i) + -((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) / i)) = (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) / i) βˆ’ ((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) / i)))
8179, 80eqtr4d 2775 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) / i) = (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) / i) + -((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) / i)))
8281oveq1d 7423 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((((expβ€˜(i Β· π‘₯)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) / i) / 2) = ((((expβ€˜(i Β· π‘₯)) / i) + -((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) / i)) / 2))
8378, 82eqtr3d 2774 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) / (2 Β· i)) = ((((expβ€˜(i Β· π‘₯)) / i) + -((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) / i)) / 2))
8483mpteq2dva 5248 . . . . . 6 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) / (2 Β· i))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((((expβ€˜(i Β· π‘₯)) / i) + -((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) / i)) / 2)))
8570, 84eqtrid 2784 . . . . 5 (⊀ β†’ sin = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((((expβ€˜(i Β· π‘₯)) / i) + -((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) / i)) / 2)))
8685oveq2d 7424 . . . 4 (⊀ β†’ (β„‚ D sin) = (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((((expβ€˜(i Β· π‘₯)) / i) + -((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) / i)) / 2))))
87 df-cos 16013 . . . . 5 cos = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) + (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) / 2))
8887a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ cos = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) + (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) / 2)))
8969, 86, 883eqtr4d 2782 . . 3 (⊀ β†’ (β„‚ D sin) = cos)
9021, 46addcld 11232 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) Β· i) + ((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) Β· -i)) ∈ β„‚)
912, 8, 21, 39, 16, 46, 55dvmptadd 25476 . . . . 5 (⊀ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((expβ€˜(i Β· π‘₯)) + (expβ€˜(-i Β· π‘₯))))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) Β· i) + ((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) Β· -i))))
922, 20, 90, 91, 66, 68dvmptdivc 25481 . . . 4 (⊀ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) + (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) / 2))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((((expβ€˜(i Β· π‘₯)) Β· i) + ((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) Β· -i)) / 2)))
9388oveq2d 7424 . . . 4 (⊀ β†’ (β„‚ D cos) = (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) + (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) / 2))))
9471, 4, 10divcld 11989 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) / i) ∈ β„‚)
9594, 72, 73divnegd 12002 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ -((((expβ€˜(i Β· π‘₯)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) / i) / 2) = (-(((expβ€˜(i Β· π‘₯)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) / i) / 2))
96 sinval 16064 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜π‘₯) = (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) / (2 Β· i)))
9796adantl 482 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (sinβ€˜π‘₯) = (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) / (2 Β· i)))
9897, 78eqtr4d 2775 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (sinβ€˜π‘₯) = ((((expβ€˜(i Β· π‘₯)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) / i) / 2))
9998negeqd 11453 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ -(sinβ€˜π‘₯) = -((((expβ€˜(i Β· π‘₯)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) / i) / 2))
1003negnegi 11529 . . . . . . . . . 10 --i = i
101100oveq2i 7419 . . . . . . . . 9 (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) Β· --i) = (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) Β· i)
102 mulneg2 11650 . . . . . . . . . 10 ((((expβ€˜(i Β· π‘₯)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) ∈ β„‚ ∧ -i ∈ β„‚) β†’ (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) Β· --i) = -(((expβ€˜(i Β· π‘₯)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) Β· -i))
10371, 12, 102sylancl 586 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) Β· --i) = -(((expβ€˜(i Β· π‘₯)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) Β· -i))
104101, 103eqtr3id 2786 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) Β· i) = -(((expβ€˜(i Β· π‘₯)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) Β· -i))
105 mulcl 11193 . . . . . . . . . . 11 (((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) ∈ β„‚ ∧ i ∈ β„‚) β†’ ((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) Β· i) ∈ β„‚)
10616, 3, 105sylancl 586 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) Β· i) ∈ β„‚)
10721, 106negsubd 11576 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) Β· i) + -((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) Β· i)) = (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) Β· i) βˆ’ ((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) Β· i)))
108 mulneg2 11650 . . . . . . . . . . 11 (((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) ∈ β„‚ ∧ i ∈ β„‚) β†’ ((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) Β· -i) = -((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) Β· i))
10916, 3, 108sylancl 586 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) Β· -i) = -((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) Β· i))
110109oveq2d 7424 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) Β· i) + ((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) Β· -i)) = (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) Β· i) + -((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) Β· i)))
1118, 16, 4subdird 11670 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) Β· i) = (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) Β· i) βˆ’ ((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) Β· i)))
112107, 110, 1113eqtr4d 2782 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) Β· i) + ((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) Β· -i)) = (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) Β· i))
11371, 4, 10divrecd 11992 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) / i) = (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) Β· (1 / i)))
114 irec 14164 . . . . . . . . . . 11 (1 / i) = -i
115114oveq2i 7419 . . . . . . . . . 10 (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) Β· (1 / i)) = (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) Β· -i)
116113, 115eqtrdi 2788 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) / i) = (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) Β· -i))
117116negeqd 11453 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ -(((expβ€˜(i Β· π‘₯)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) / i) = -(((expβ€˜(i Β· π‘₯)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) Β· -i))
118104, 112, 1173eqtr4d 2782 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) Β· i) + ((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) Β· -i)) = -(((expβ€˜(i Β· π‘₯)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) / i))
119118oveq1d 7423 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((((expβ€˜(i Β· π‘₯)) Β· i) + ((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) Β· -i)) / 2) = (-(((expβ€˜(i Β· π‘₯)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) / i) / 2))
12095, 99, 1193eqtr4d 2782 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ -(sinβ€˜π‘₯) = ((((expβ€˜(i Β· π‘₯)) Β· i) + ((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) Β· -i)) / 2))
121120mpteq2dva 5248 . . . 4 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((((expβ€˜(i Β· π‘₯)) Β· i) + ((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) Β· -i)) / 2)))
12292, 93, 1213eqtr4d 2782 . . 3 (⊀ β†’ (β„‚ D cos) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜π‘₯)))
12389, 122jca 512 . 2 (⊀ β†’ ((β„‚ D sin) = cos ∧ (β„‚ D cos) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜π‘₯))))
124123mptru 1548 1 ((β„‚ D sin) = cos ∧ (β„‚ D cos) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜π‘₯)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 396   = wceq 1541  βŠ€wtru 1542   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  {cpr 4630   ↦ cmpt 5231  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  β„‚cc 11107  β„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110  ici 11111   + caddc 11112   Β· cmul 11114   βˆ’ cmin 11443  -cneg 11444   / cdiv 11870  2c2 12266  expce 16004  sincsin 16006  cosccos 16007   D cdv 25379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-seq 13966  df-exp 14027  df-fac 14233  df-bc 14262  df-hash 14290  df-shft 15013  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-limsup 15414  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-sum 15632  df-ef 16010  df-sin 16012  df-cos 16013  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-mulg 18950  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-fbas 20940  df-fg 20941  df-cnfld 20944  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cld 22522  df-ntr 22523  df-cls 22524  df-nei 22601  df-lp 22639  df-perf 22640  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-haus 22818  df-tx 23065  df-hmeo 23258  df-fil 23349  df-fm 23441  df-flim 23442  df-flf 23443  df-xms 23825  df-ms 23826  df-tms 23827  df-cncf 24393  df-limc 25382  df-dv 25383
This theorem is referenced by:  dvsin  25498  dvcos  25499
  Copyright terms: Public domain W3C validator