Theorem dvsincos 25948

Description: Derivative of the sine and cosine functions. (Contributed by Mario Carneiro, 21-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
dvsincos	⊢ ((ℂ D sin) = cos ∧ (ℂ D cos) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑥)))

Proof of Theorem dvsincos

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnelprrecn 11131	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
3		ax-icn 11097	. . . . . . . . . 10 ⊢ i ∈ ℂ
4	3	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → i ∈ ℂ)
5		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
6	4, 5	mulcld 11165	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (i · 𝑥) ∈ ℂ)
7		efcl 16047	. . . . . . . 8 ⊢ ((i · 𝑥) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝑥)) ∈ ℂ)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (exp‘(i · 𝑥)) ∈ ℂ)
9		ine0 11585	. . . . . . . 8 ⊢ i ≠ 0
10	9	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → i ≠ 0)
11	8, 4, 10	divcld 11931	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((exp‘(i · 𝑥)) / i) ∈ ℂ)
12		negicn 11394	. . . . . . . . . 10 ⊢ -i ∈ ℂ
13		mulcl 11122	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-i ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (-i · 𝑥) ∈ ℂ)
14	12, 5, 13	sylancr 588	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (-i · 𝑥) ∈ ℂ)
15		efcl 16047	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-i · 𝑥) ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝑥)) ∈ ℂ)
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (exp‘(-i · 𝑥)) ∈ ℂ)
17	16, 4, 10	divcld 11931	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((exp‘(-i · 𝑥)) / i) ∈ ℂ)
18	17	negcld 11492	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -((exp‘(-i · 𝑥)) / i) ∈ ℂ)
19	11, 18	addcld 11164	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) / i) + -((exp‘(-i · 𝑥)) / i)) ∈ ℂ)
20	8, 16	addcld 11164	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((exp‘(i · 𝑥)) + (exp‘(-i · 𝑥))) ∈ ℂ)
21	8, 4	mulcld 11165	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((exp‘(i · 𝑥)) · i) ∈ ℂ)
22		efcl 16047	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (exp‘𝑦) ∈ ℂ)
23	22	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (exp‘𝑦) ∈ ℂ)
24		1cnd 11139	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
25	2	dvmptid 25924	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1))
26	3	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → i ∈ ℂ)
27	2, 5, 24, 25, 26	dvmptcmul 25931	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 1)))
28	3	mulridi 11149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i · 1) = i
29	28	mpteq2i 5181	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ i)
30	27, 29	eqtrdi 2787	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ i))
31		eff 16046	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ exp:ℂ⟶ℂ
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → exp:ℂ⟶ℂ)
33	32	feqmptd 6908	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → exp = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦)))
34	33	oveq2d 7383	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (ℂ D exp) = (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦))))
35		dvef 25947	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℂ D exp) = exp
36	35, 33	eqtrid 2783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (ℂ D exp) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦)))
37	34, 36	eqtr3d 2773	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦)))
38		fveq2 6840	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (i · 𝑥) → (exp‘𝑦) = (exp‘(i · 𝑥)))
39	2, 2, 6, 4, 23, 23, 30, 37, 38, 38	dvmptco 25939	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘(i · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i)))
40	9	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → i ≠ 0)
41	2, 8, 21, 39, 26, 40	dvmptdivc 25932	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) / i))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((exp‘(i · 𝑥)) · i) / i)))
42	8, 4, 10	divcan4d 11937	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) · i) / i) = (exp‘(i · 𝑥)))
43	42	mpteq2dva 5178	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((exp‘(i · 𝑥)) · i) / i)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘(i · 𝑥))))
44	41, 43	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) / i))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘(i · 𝑥))))
45		mulcl 11122	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((exp‘(-i · 𝑥)) ∈ ℂ ∧ -i ∈ ℂ) → ((exp‘(-i · 𝑥)) · -i) ∈ ℂ)
46	16, 12, 45	sylancl 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((exp‘(-i · 𝑥)) · -i) ∈ ℂ)
47	46, 4, 10	divcld 11931	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(-i · 𝑥)) · -i) / i) ∈ ℂ)
48	12	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -i ∈ ℂ)
49	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → -i ∈ ℂ)
50	2, 5, 24, 25, 49	dvmptcmul 25931	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (-i · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (-i · 1)))
51	12	mulridi 11149	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-i · 1) = -i
52	51	mpteq2i 5181	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (-i · 1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -i)
53	50, 52	eqtrdi 2787	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (-i · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -i))
54		fveq2 6840	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (-i · 𝑥) → (exp‘𝑦) = (exp‘(-i · 𝑥)))
55	2, 2, 14, 48, 23, 23, 53, 37, 54, 54	dvmptco 25939	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘(-i · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((exp‘(-i · 𝑥)) · -i)))
56	2, 16, 46, 55, 26, 40	dvmptdivc 25932	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((exp‘(-i · 𝑥)) / i))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((exp‘(-i · 𝑥)) · -i) / i)))
57	2, 17, 47, 56	dvmptneg 25933	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ -((exp‘(-i · 𝑥)) / i))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(((exp‘(-i · 𝑥)) · -i) / i)))
58	46, 4, 10	divneg2d 11945	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -(((exp‘(-i · 𝑥)) · -i) / i) = (((exp‘(-i · 𝑥)) · -i) / -i))
59	3, 9	negne0i 11469	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -i ≠ 0
60	59	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -i ≠ 0)
61	16, 48, 60	divcan4d 11937	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(-i · 𝑥)) · -i) / -i) = (exp‘(-i · 𝑥)))
62	58, 61	eqtrd 2771	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -(((exp‘(-i · 𝑥)) · -i) / i) = (exp‘(-i · 𝑥)))
63	62	mpteq2dva 5178	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(((exp‘(-i · 𝑥)) · -i) / i)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘(-i · 𝑥))))
64	57, 63	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ -((exp‘(-i · 𝑥)) / i))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘(-i · 𝑥))))
65	2, 11, 8, 44, 18, 16, 64	dvmptadd 25927	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((exp‘(i · 𝑥)) / i) + -((exp‘(-i · 𝑥)) / i)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) + (exp‘(-i · 𝑥)))))
66		2cnd 12259	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℂ)
67		2ne0 12285	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
68	67	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 2 ≠ 0)
69	2, 19, 20, 65, 66, 68	dvmptdivc 25932	. . . 4 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((((exp‘(i · 𝑥)) / i) + -((exp‘(-i · 𝑥)) / i)) / 2))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((exp‘(i · 𝑥)) + (exp‘(-i · 𝑥))) / 2)))
70		df-sin 16034	. . . . . 6 ⊢ sin = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / (2 · i)))
71	8, 16	subcld 11505	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) ∈ ℂ)
72		2cnd 12259	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 2 ∈ ℂ)
73	67	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 2 ≠ 0)
74	71, 4, 72, 10, 73	divdiv1d 11962	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / i) / 2) = (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / (i · 2)))
75		2cn 12256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
76	3, 75	mulcomi 11153	. . . . . . . . . 10 ⊢ (i · 2) = (2 · i)
77	76	oveq2i 7378	. . . . . . . . 9 ⊢ (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / (i · 2)) = (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / (2 · i))
78	74, 77	eqtrdi 2787	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / i) / 2) = (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / (2 · i)))
79	8, 16, 4, 10	divsubdird 11970	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / i) = (((exp‘(i · 𝑥)) / i) − ((exp‘(-i · 𝑥)) / i)))
80	11, 17	negsubd 11511	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) / i) + -((exp‘(-i · 𝑥)) / i)) = (((exp‘(i · 𝑥)) / i) − ((exp‘(-i · 𝑥)) / i)))
81	79, 80	eqtr4d 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / i) = (((exp‘(i · 𝑥)) / i) + -((exp‘(-i · 𝑥)) / i)))
82	81	oveq1d 7382	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / i) / 2) = ((((exp‘(i · 𝑥)) / i) + -((exp‘(-i · 𝑥)) / i)) / 2))
83	78, 82	eqtr3d 2773	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / (2 · i)) = ((((exp‘(i · 𝑥)) / i) + -((exp‘(-i · 𝑥)) / i)) / 2))
84	83	mpteq2dva 5178	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / (2 · i))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((((exp‘(i · 𝑥)) / i) + -((exp‘(-i · 𝑥)) / i)) / 2)))
85	70, 84	eqtrid 2783	. . . . 5 ⊢ (⊤ → sin = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((((exp‘(i · 𝑥)) / i) + -((exp‘(-i · 𝑥)) / i)) / 2)))
86	85	oveq2d 7383	. . . 4 ⊢ (⊤ → (ℂ D sin) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((((exp‘(i · 𝑥)) / i) + -((exp‘(-i · 𝑥)) / i)) / 2))))
87		df-cos 16035	. . . . 5 ⊢ cos = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((exp‘(i · 𝑥)) + (exp‘(-i · 𝑥))) / 2))
88	87	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → cos = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((exp‘(i · 𝑥)) + (exp‘(-i · 𝑥))) / 2)))
89	69, 86, 88	3eqtr4d 2781	. . 3 ⊢ (⊤ → (ℂ D sin) = cos)
90	21, 46	addcld 11164	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) · i) + ((exp‘(-i · 𝑥)) · -i)) ∈ ℂ)
91	2, 8, 21, 39, 16, 46, 55	dvmptadd 25927	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) + (exp‘(-i · 𝑥))))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((exp‘(i · 𝑥)) · i) + ((exp‘(-i · 𝑥)) · -i))))
92	2, 20, 90, 91, 66, 68	dvmptdivc 25932	. . . 4 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((exp‘(i · 𝑥)) + (exp‘(-i · 𝑥))) / 2))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((((exp‘(i · 𝑥)) · i) + ((exp‘(-i · 𝑥)) · -i)) / 2)))
93	88	oveq2d 7383	. . . 4 ⊢ (⊤ → (ℂ D cos) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((exp‘(i · 𝑥)) + (exp‘(-i · 𝑥))) / 2))))
94	71, 4, 10	divcld 11931	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / i) ∈ ℂ)
95	94, 72, 73	divnegd 11944	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -((((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / i) / 2) = (-(((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / i) / 2))
96		sinval 16089	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (sin‘𝑥) = (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / (2 · i)))
97	96	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (sin‘𝑥) = (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / (2 · i)))
98	97, 78	eqtr4d 2774	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (sin‘𝑥) = ((((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / i) / 2))
99	98	negeqd 11387	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -(sin‘𝑥) = -((((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / i) / 2))
100	3	negnegi 11464	. . . . . . . . . 10 ⊢ --i = i
101	100	oveq2i 7378	. . . . . . . . 9 ⊢ (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) · --i) = (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) · i)
102		mulneg2 11587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) ∈ ℂ ∧ -i ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) · --i) = -(((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) · -i))
103	71, 12, 102	sylancl 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) · --i) = -(((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) · -i))
104	101, 103	eqtr3id 2785	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) · i) = -(((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) · -i))
105		mulcl 11122	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((exp‘(-i · 𝑥)) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → ((exp‘(-i · 𝑥)) · i) ∈ ℂ)
106	16, 3, 105	sylancl 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((exp‘(-i · 𝑥)) · i) ∈ ℂ)
107	21, 106	negsubd 11511	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) · i) + -((exp‘(-i · 𝑥)) · i)) = (((exp‘(i · 𝑥)) · i) − ((exp‘(-i · 𝑥)) · i)))
108		mulneg2 11587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((exp‘(-i · 𝑥)) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → ((exp‘(-i · 𝑥)) · -i) = -((exp‘(-i · 𝑥)) · i))
109	16, 3, 108	sylancl 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((exp‘(-i · 𝑥)) · -i) = -((exp‘(-i · 𝑥)) · i))
110	109	oveq2d 7383	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) · i) + ((exp‘(-i · 𝑥)) · -i)) = (((exp‘(i · 𝑥)) · i) + -((exp‘(-i · 𝑥)) · i)))
111	8, 16, 4	subdird 11607	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) · i) = (((exp‘(i · 𝑥)) · i) − ((exp‘(-i · 𝑥)) · i)))
112	107, 110, 111	3eqtr4d 2781	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) · i) + ((exp‘(-i · 𝑥)) · -i)) = (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) · i))
113	71, 4, 10	divrecd 11934	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / i) = (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) · (1 / i)))
114		irec 14163	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 / i) = -i
115	114	oveq2i 7378	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) · (1 / i)) = (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) · -i)
116	113, 115	eqtrdi 2787	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / i) = (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) · -i))
117	116	negeqd 11387	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -(((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / i) = -(((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) · -i))
118	104, 112, 117	3eqtr4d 2781	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) · i) + ((exp‘(-i · 𝑥)) · -i)) = -(((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / i))
119	118	oveq1d 7382	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((((exp‘(i · 𝑥)) · i) + ((exp‘(-i · 𝑥)) · -i)) / 2) = (-(((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / i) / 2))
120	95, 99, 119	3eqtr4d 2781	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -(sin‘𝑥) = ((((exp‘(i · 𝑥)) · i) + ((exp‘(-i · 𝑥)) · -i)) / 2))
121	120	mpteq2dva 5178	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((((exp‘(i · 𝑥)) · i) + ((exp‘(-i · 𝑥)) · -i)) / 2)))
122	92, 93, 121	3eqtr4d 2781	. . 3 ⊢ (⊤ → (ℂ D cos) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑥)))
123	89, 122	jca 511	. 2 ⊢ (⊤ → ((ℂ D sin) = cos ∧ (ℂ D cos) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑥))))
124	123	mptru 1549	1 ⊢ ((ℂ D sin) = cos ∧ (ℂ D cos) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑥)))

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1542  ⊤wtru 1543   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  {cpr 4569   ↦ cmpt 5166  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039  ici 11040   + caddc 11041   · cmul 11043   − cmin 11377  -cneg 11378   / cdiv 11807  2c2 12236  expce 16026  sincsin 16028  cosccos 16029   D cdv 25830

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-fi 9324  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-ico 13304  df-icc 13305  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-seq 13964  df-exp 14024  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15029  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-limsup 15433  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-sum 15649  df-ef 16032  df-sin 16034  df-cos 16035  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17466  df-qtop 17471  df-imas 17472  df-xps 17474  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-mulg 19044  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-psmet 21344  df-xmet 21345  df-met 21346  df-bl 21347  df-mopn 21348  df-fbas 21349  df-fg 21350  df-cnfld 21353  df-top 22859  df-topon 22876  df-topsp 22898  df-bases 22911  df-cld 22984  df-ntr 22985  df-cls 22986  df-nei 23063  df-lp 23101  df-perf 23102  df-cn 23192  df-cnp 23193  df-haus 23280  df-tx 23527  df-hmeo 23720  df-fil 23811  df-fm 23903  df-flim 23904  df-flf 23905  df-xms 24285  df-ms 24286  df-tms 24287  df-cncf 24845  df-limc 25833  df-dv 25834

This theorem is referenced by:  dvsin  25949  dvcos  25950