Theorem dvsincos 25885

Description: Derivative of the sine and cosine functions. (Contributed by Mario Carneiro, 21-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
dvsincos	⊢ ((ℂ D sin) = cos ∧ (ℂ D cos) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑥)))

Proof of Theorem dvsincos

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnelprrecn 11161	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
3		ax-icn 11127	. . . . . . . . . 10 ⊢ i ∈ ℂ
4	3	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → i ∈ ℂ)
5		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
6	4, 5	mulcld 11194	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (i · 𝑥) ∈ ℂ)
7		efcl 16048	. . . . . . . 8 ⊢ ((i · 𝑥) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝑥)) ∈ ℂ)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (exp‘(i · 𝑥)) ∈ ℂ)
9		ine0 11613	. . . . . . . 8 ⊢ i ≠ 0
10	9	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → i ≠ 0)
11	8, 4, 10	divcld 11958	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((exp‘(i · 𝑥)) / i) ∈ ℂ)
12		negicn 11422	. . . . . . . . . 10 ⊢ -i ∈ ℂ
13		mulcl 11152	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-i ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (-i · 𝑥) ∈ ℂ)
14	12, 5, 13	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (-i · 𝑥) ∈ ℂ)
15		efcl 16048	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-i · 𝑥) ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝑥)) ∈ ℂ)
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (exp‘(-i · 𝑥)) ∈ ℂ)
17	16, 4, 10	divcld 11958	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((exp‘(-i · 𝑥)) / i) ∈ ℂ)
18	17	negcld 11520	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -((exp‘(-i · 𝑥)) / i) ∈ ℂ)
19	11, 18	addcld 11193	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) / i) + -((exp‘(-i · 𝑥)) / i)) ∈ ℂ)
20	8, 16	addcld 11193	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((exp‘(i · 𝑥)) + (exp‘(-i · 𝑥))) ∈ ℂ)
21	8, 4	mulcld 11194	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((exp‘(i · 𝑥)) · i) ∈ ℂ)
22		efcl 16048	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (exp‘𝑦) ∈ ℂ)
23	22	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (exp‘𝑦) ∈ ℂ)
24		1cnd 11169	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
25	2	dvmptid 25861	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1))
26	3	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → i ∈ ℂ)
27	2, 5, 24, 25, 26	dvmptcmul 25868	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 1)))
28	3	mulridi 11178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i · 1) = i
29	28	mpteq2i 5203	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ i)
30	27, 29	eqtrdi 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ i))
31		eff 16047	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ exp:ℂ⟶ℂ
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → exp:ℂ⟶ℂ)
33	32	feqmptd 6929	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → exp = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦)))
34	33	oveq2d 7403	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (ℂ D exp) = (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦))))
35		dvef 25884	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℂ D exp) = exp
36	35, 33	eqtrid 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (ℂ D exp) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦)))
37	34, 36	eqtr3d 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦)))
38		fveq2 6858	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (i · 𝑥) → (exp‘𝑦) = (exp‘(i · 𝑥)))
39	2, 2, 6, 4, 23, 23, 30, 37, 38, 38	dvmptco 25876	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘(i · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i)))
40	9	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → i ≠ 0)
41	2, 8, 21, 39, 26, 40	dvmptdivc 25869	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) / i))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((exp‘(i · 𝑥)) · i) / i)))
42	8, 4, 10	divcan4d 11964	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) · i) / i) = (exp‘(i · 𝑥)))
43	42	mpteq2dva 5200	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((exp‘(i · 𝑥)) · i) / i)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘(i · 𝑥))))
44	41, 43	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) / i))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘(i · 𝑥))))
45		mulcl 11152	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((exp‘(-i · 𝑥)) ∈ ℂ ∧ -i ∈ ℂ) → ((exp‘(-i · 𝑥)) · -i) ∈ ℂ)
46	16, 12, 45	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((exp‘(-i · 𝑥)) · -i) ∈ ℂ)
47	46, 4, 10	divcld 11958	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(-i · 𝑥)) · -i) / i) ∈ ℂ)
48	12	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -i ∈ ℂ)
49	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → -i ∈ ℂ)
50	2, 5, 24, 25, 49	dvmptcmul 25868	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (-i · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (-i · 1)))
51	12	mulridi 11178	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-i · 1) = -i
52	51	mpteq2i 5203	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (-i · 1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -i)
53	50, 52	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (-i · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -i))
54		fveq2 6858	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (-i · 𝑥) → (exp‘𝑦) = (exp‘(-i · 𝑥)))
55	2, 2, 14, 48, 23, 23, 53, 37, 54, 54	dvmptco 25876	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘(-i · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((exp‘(-i · 𝑥)) · -i)))
56	2, 16, 46, 55, 26, 40	dvmptdivc 25869	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((exp‘(-i · 𝑥)) / i))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((exp‘(-i · 𝑥)) · -i) / i)))
57	2, 17, 47, 56	dvmptneg 25870	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ -((exp‘(-i · 𝑥)) / i))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(((exp‘(-i · 𝑥)) · -i) / i)))
58	46, 4, 10	divneg2d 11972	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -(((exp‘(-i · 𝑥)) · -i) / i) = (((exp‘(-i · 𝑥)) · -i) / -i))
59	3, 9	negne0i 11497	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -i ≠ 0
60	59	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -i ≠ 0)
61	16, 48, 60	divcan4d 11964	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(-i · 𝑥)) · -i) / -i) = (exp‘(-i · 𝑥)))
62	58, 61	eqtrd 2764	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -(((exp‘(-i · 𝑥)) · -i) / i) = (exp‘(-i · 𝑥)))
63	62	mpteq2dva 5200	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(((exp‘(-i · 𝑥)) · -i) / i)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘(-i · 𝑥))))
64	57, 63	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ -((exp‘(-i · 𝑥)) / i))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘(-i · 𝑥))))
65	2, 11, 8, 44, 18, 16, 64	dvmptadd 25864	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((exp‘(i · 𝑥)) / i) + -((exp‘(-i · 𝑥)) / i)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) + (exp‘(-i · 𝑥)))))
66		2cnd 12264	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℂ)
67		2ne0 12290	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
68	67	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 2 ≠ 0)
69	2, 19, 20, 65, 66, 68	dvmptdivc 25869	. . . 4 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((((exp‘(i · 𝑥)) / i) + -((exp‘(-i · 𝑥)) / i)) / 2))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((exp‘(i · 𝑥)) + (exp‘(-i · 𝑥))) / 2)))
70		df-sin 16035	. . . . . 6 ⊢ sin = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / (2 · i)))
71	8, 16	subcld 11533	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) ∈ ℂ)
72		2cnd 12264	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 2 ∈ ℂ)
73	67	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 2 ≠ 0)
74	71, 4, 72, 10, 73	divdiv1d 11989	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / i) / 2) = (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / (i · 2)))
75		2cn 12261	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
76	3, 75	mulcomi 11182	. . . . . . . . . 10 ⊢ (i · 2) = (2 · i)
77	76	oveq2i 7398	. . . . . . . . 9 ⊢ (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / (i · 2)) = (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / (2 · i))
78	74, 77	eqtrdi 2780	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / i) / 2) = (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / (2 · i)))
79	8, 16, 4, 10	divsubdird 11997	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / i) = (((exp‘(i · 𝑥)) / i) − ((exp‘(-i · 𝑥)) / i)))
80	11, 17	negsubd 11539	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) / i) + -((exp‘(-i · 𝑥)) / i)) = (((exp‘(i · 𝑥)) / i) − ((exp‘(-i · 𝑥)) / i)))
81	79, 80	eqtr4d 2767	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / i) = (((exp‘(i · 𝑥)) / i) + -((exp‘(-i · 𝑥)) / i)))
82	81	oveq1d 7402	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / i) / 2) = ((((exp‘(i · 𝑥)) / i) + -((exp‘(-i · 𝑥)) / i)) / 2))
83	78, 82	eqtr3d 2766	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / (2 · i)) = ((((exp‘(i · 𝑥)) / i) + -((exp‘(-i · 𝑥)) / i)) / 2))
84	83	mpteq2dva 5200	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / (2 · i))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((((exp‘(i · 𝑥)) / i) + -((exp‘(-i · 𝑥)) / i)) / 2)))
85	70, 84	eqtrid 2776	. . . . 5 ⊢ (⊤ → sin = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((((exp‘(i · 𝑥)) / i) + -((exp‘(-i · 𝑥)) / i)) / 2)))
86	85	oveq2d 7403	. . . 4 ⊢ (⊤ → (ℂ D sin) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((((exp‘(i · 𝑥)) / i) + -((exp‘(-i · 𝑥)) / i)) / 2))))
87		df-cos 16036	. . . . 5 ⊢ cos = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((exp‘(i · 𝑥)) + (exp‘(-i · 𝑥))) / 2))
88	87	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → cos = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((exp‘(i · 𝑥)) + (exp‘(-i · 𝑥))) / 2)))
89	69, 86, 88	3eqtr4d 2774	. . 3 ⊢ (⊤ → (ℂ D sin) = cos)
90	21, 46	addcld 11193	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) · i) + ((exp‘(-i · 𝑥)) · -i)) ∈ ℂ)
91	2, 8, 21, 39, 16, 46, 55	dvmptadd 25864	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) + (exp‘(-i · 𝑥))))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((exp‘(i · 𝑥)) · i) + ((exp‘(-i · 𝑥)) · -i))))
92	2, 20, 90, 91, 66, 68	dvmptdivc 25869	. . . 4 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((exp‘(i · 𝑥)) + (exp‘(-i · 𝑥))) / 2))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((((exp‘(i · 𝑥)) · i) + ((exp‘(-i · 𝑥)) · -i)) / 2)))
93	88	oveq2d 7403	. . . 4 ⊢ (⊤ → (ℂ D cos) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((exp‘(i · 𝑥)) + (exp‘(-i · 𝑥))) / 2))))
94	71, 4, 10	divcld 11958	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / i) ∈ ℂ)
95	94, 72, 73	divnegd 11971	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -((((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / i) / 2) = (-(((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / i) / 2))
96		sinval 16090	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (sin‘𝑥) = (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / (2 · i)))
97	96	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (sin‘𝑥) = (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / (2 · i)))
98	97, 78	eqtr4d 2767	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (sin‘𝑥) = ((((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / i) / 2))
99	98	negeqd 11415	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -(sin‘𝑥) = -((((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / i) / 2))
100	3	negnegi 11492	. . . . . . . . . 10 ⊢ --i = i
101	100	oveq2i 7398	. . . . . . . . 9 ⊢ (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) · --i) = (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) · i)
102		mulneg2 11615	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) ∈ ℂ ∧ -i ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) · --i) = -(((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) · -i))
103	71, 12, 102	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) · --i) = -(((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) · -i))
104	101, 103	eqtr3id 2778	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) · i) = -(((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) · -i))
105		mulcl 11152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((exp‘(-i · 𝑥)) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → ((exp‘(-i · 𝑥)) · i) ∈ ℂ)
106	16, 3, 105	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((exp‘(-i · 𝑥)) · i) ∈ ℂ)
107	21, 106	negsubd 11539	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) · i) + -((exp‘(-i · 𝑥)) · i)) = (((exp‘(i · 𝑥)) · i) − ((exp‘(-i · 𝑥)) · i)))
108		mulneg2 11615	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((exp‘(-i · 𝑥)) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → ((exp‘(-i · 𝑥)) · -i) = -((exp‘(-i · 𝑥)) · i))
109	16, 3, 108	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((exp‘(-i · 𝑥)) · -i) = -((exp‘(-i · 𝑥)) · i))
110	109	oveq2d 7403	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) · i) + ((exp‘(-i · 𝑥)) · -i)) = (((exp‘(i · 𝑥)) · i) + -((exp‘(-i · 𝑥)) · i)))
111	8, 16, 4	subdird 11635	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) · i) = (((exp‘(i · 𝑥)) · i) − ((exp‘(-i · 𝑥)) · i)))
112	107, 110, 111	3eqtr4d 2774	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) · i) + ((exp‘(-i · 𝑥)) · -i)) = (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) · i))
113	71, 4, 10	divrecd 11961	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / i) = (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) · (1 / i)))
114		irec 14166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 / i) = -i
115	114	oveq2i 7398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) · (1 / i)) = (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) · -i)
116	113, 115	eqtrdi 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / i) = (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) · -i))
117	116	negeqd 11415	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -(((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / i) = -(((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) · -i))
118	104, 112, 117	3eqtr4d 2774	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) · i) + ((exp‘(-i · 𝑥)) · -i)) = -(((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / i))
119	118	oveq1d 7402	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((((exp‘(i · 𝑥)) · i) + ((exp‘(-i · 𝑥)) · -i)) / 2) = (-(((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / i) / 2))
120	95, 99, 119	3eqtr4d 2774	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -(sin‘𝑥) = ((((exp‘(i · 𝑥)) · i) + ((exp‘(-i · 𝑥)) · -i)) / 2))
121	120	mpteq2dva 5200	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((((exp‘(i · 𝑥)) · i) + ((exp‘(-i · 𝑥)) · -i)) / 2)))
122	92, 93, 121	3eqtr4d 2774	. . 3 ⊢ (⊤ → (ℂ D cos) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑥)))
123	89, 122	jca 511	. 2 ⊢ (⊤ → ((ℂ D sin) = cos ∧ (ℂ D cos) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑥))))
124	123	mptru 1547	1 ⊢ ((ℂ D sin) = cos ∧ (ℂ D cos) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑥)))

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  {cpr 4591   ↦ cmpt 5188  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069  ici 11070   + caddc 11071   · cmul 11073   − cmin 11405  -cneg 11406   / cdiv 11835  2c2 12241  expce 16027  sincsin 16029  cosccos 16030   D cdv 25764

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146  ax-addf 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-fi 9362  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-xneg 13072  df-xadd 13073  df-xmul 13074  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-fl 13754  df-seq 13967  df-exp 14027  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15033  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-limsup 15437  df-clim 15454  df-rlim 15455  df-sum 15653  df-ef 16033  df-sin 16035  df-cos 16036  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17465  df-qtop 17470  df-imas 17471  df-xps 17473  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-acs 17550  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-mulg 19000  df-cntz 19249  df-cmn 19712  df-psmet 21256  df-xmet 21257  df-met 21258  df-bl 21259  df-mopn 21260  df-fbas 21261  df-fg 21262  df-cnfld 21265  df-top 22781  df-topon 22798  df-topsp 22820  df-bases 22833  df-cld 22906  df-ntr 22907  df-cls 22908  df-nei 22985  df-lp 23023  df-perf 23024  df-cn 23114  df-cnp 23115  df-haus 23202  df-tx 23449  df-hmeo 23642  df-fil 23733  df-fm 23825  df-flim 23826  df-flf 23827  df-xms 24208  df-ms 24209  df-tms 24210  df-cncf 24771  df-limc 25767  df-dv 25768

This theorem is referenced by:  dvsin  25886  dvcos  25887