MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvsincos Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvsincos 25834
Description: Derivative of the sine and cosine functions. (Contributed by Mario Carneiro, 21-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
dvsincos ((β„‚ D sin) = cos ∧ (β„‚ D cos) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜π‘₯)))

Proof of Theorem dvsincos
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnelprrecn 11209 . . . . . 6 β„‚ ∈ {ℝ, β„‚}
21a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ β„‚ ∈ {ℝ, β„‚})
3 ax-icn 11175 . . . . . . . . . 10 i ∈ β„‚
43a1i 11 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ i ∈ β„‚)
5 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
64, 5mulcld 11241 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (i Β· π‘₯) ∈ β„‚)
7 efcl 16033 . . . . . . . 8 ((i Β· π‘₯) ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(i Β· π‘₯)) ∈ β„‚)
86, 7syl 17 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (expβ€˜(i Β· π‘₯)) ∈ β„‚)
9 ine0 11656 . . . . . . . 8 i β‰  0
109a1i 11 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ i β‰  0)
118, 4, 10divcld 11997 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((expβ€˜(i Β· π‘₯)) / i) ∈ β„‚)
12 negicn 11468 . . . . . . . . . 10 -i ∈ β„‚
13 mulcl 11200 . . . . . . . . . 10 ((-i ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (-i Β· π‘₯) ∈ β„‚)
1412, 5, 13sylancr 586 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (-i Β· π‘₯) ∈ β„‚)
15 efcl 16033 . . . . . . . . 9 ((-i Β· π‘₯) ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(-i Β· π‘₯)) ∈ β„‚)
1614, 15syl 17 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (expβ€˜(-i Β· π‘₯)) ∈ β„‚)
1716, 4, 10divcld 11997 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) / i) ∈ β„‚)
1817negcld 11565 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ -((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) / i) ∈ β„‚)
1911, 18addcld 11240 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) / i) + -((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) / i)) ∈ β„‚)
208, 16addcld 11240 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((expβ€˜(i Β· π‘₯)) + (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) ∈ β„‚)
218, 4mulcld 11241 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((expβ€˜(i Β· π‘₯)) Β· i) ∈ β„‚)
22 efcl 16033 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜π‘¦) ∈ β„‚)
2322adantl 481 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (expβ€˜π‘¦) ∈ β„‚)
24 1cnd 11216 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ 1 ∈ β„‚)
252dvmptid 25810 . . . . . . . . . . 11 (⊀ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ π‘₯)) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ 1))
263a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊀ β†’ i ∈ β„‚)
272, 5, 24, 25, 26dvmptcmul 25817 . . . . . . . . . 10 (⊀ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (i Β· π‘₯))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (i Β· 1)))
283mulridi 11225 . . . . . . . . . . 11 (i Β· 1) = i
2928mpteq2i 5253 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (i Β· 1)) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ i)
3027, 29eqtrdi 2787 . . . . . . . . 9 (⊀ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (i Β· π‘₯))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ i))
31 eff 16032 . . . . . . . . . . . . 13 exp:β„‚βŸΆβ„‚
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (⊀ β†’ exp:β„‚βŸΆβ„‚)
3332feqmptd 6960 . . . . . . . . . . 11 (⊀ β†’ exp = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘¦)))
3433oveq2d 7428 . . . . . . . . . 10 (⊀ β†’ (β„‚ D exp) = (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘¦))))
35 dvef 25833 . . . . . . . . . . 11 (β„‚ D exp) = exp
3635, 33eqtrid 2783 . . . . . . . . . 10 (⊀ β†’ (β„‚ D exp) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘¦)))
3734, 36eqtr3d 2773 . . . . . . . . 9 (⊀ β†’ (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘¦))) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘¦)))
38 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (i Β· π‘₯) β†’ (expβ€˜π‘¦) = (expβ€˜(i Β· π‘₯)))
392, 2, 6, 4, 23, 23, 30, 37, 38, 38dvmptco 25825 . . . . . . . 8 (⊀ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜(i Β· π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((expβ€˜(i Β· π‘₯)) Β· i)))
409a1i 11 . . . . . . . 8 (⊀ β†’ i β‰  0)
412, 8, 21, 39, 26, 40dvmptdivc 25818 . . . . . . 7 (⊀ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((expβ€˜(i Β· π‘₯)) / i))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) Β· i) / i)))
428, 4, 10divcan4d 12003 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) Β· i) / i) = (expβ€˜(i Β· π‘₯)))
4342mpteq2dva 5248 . . . . . . 7 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) Β· i) / i)) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜(i Β· π‘₯))))
4441, 43eqtrd 2771 . . . . . 6 (⊀ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((expβ€˜(i Β· π‘₯)) / i))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜(i Β· π‘₯))))
45 mulcl 11200 . . . . . . . . . 10 (((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) ∈ β„‚ ∧ -i ∈ β„‚) β†’ ((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) Β· -i) ∈ β„‚)
4616, 12, 45sylancl 585 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) Β· -i) ∈ β„‚)
4746, 4, 10divcld 11997 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) Β· -i) / i) ∈ β„‚)
4812a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ -i ∈ β„‚)
4912a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (⊀ β†’ -i ∈ β„‚)
502, 5, 24, 25, 49dvmptcmul 25817 . . . . . . . . . . 11 (⊀ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (-i Β· π‘₯))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (-i Β· 1)))
5112mulridi 11225 . . . . . . . . . . . 12 (-i Β· 1) = -i
5251mpteq2i 5253 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (-i Β· 1)) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -i)
5350, 52eqtrdi 2787 . . . . . . . . . 10 (⊀ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (-i Β· π‘₯))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -i))
54 fveq2 6891 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (-i Β· π‘₯) β†’ (expβ€˜π‘¦) = (expβ€˜(-i Β· π‘₯)))
552, 2, 14, 48, 23, 23, 53, 37, 54, 54dvmptco 25825 . . . . . . . . 9 (⊀ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜(-i Β· π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) Β· -i)))
562, 16, 46, 55, 26, 40dvmptdivc 25818 . . . . . . . 8 (⊀ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) / i))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) Β· -i) / i)))
572, 17, 47, 56dvmptneg 25819 . . . . . . 7 (⊀ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) / i))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) Β· -i) / i)))
5846, 4, 10divneg2d 12011 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ -(((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) Β· -i) / i) = (((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) Β· -i) / -i))
593, 9negne0i 11542 . . . . . . . . . . 11 -i β‰  0
6059a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ -i β‰  0)
6116, 48, 60divcan4d 12003 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) Β· -i) / -i) = (expβ€˜(-i Β· π‘₯)))
6258, 61eqtrd 2771 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ -(((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) Β· -i) / i) = (expβ€˜(-i Β· π‘₯)))
6362mpteq2dva 5248 . . . . . . 7 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) Β· -i) / i)) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜(-i Β· π‘₯))))
6457, 63eqtrd 2771 . . . . . 6 (⊀ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) / i))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜(-i Β· π‘₯))))
652, 11, 8, 44, 18, 16, 64dvmptadd 25813 . . . . 5 (⊀ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) / i) + -((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) / i)))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((expβ€˜(i Β· π‘₯)) + (expβ€˜(-i Β· π‘₯)))))
66 2cnd 12297 . . . . 5 (⊀ β†’ 2 ∈ β„‚)
67 2ne0 12323 . . . . . 6 2 β‰  0
6867a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ 2 β‰  0)
692, 19, 20, 65, 66, 68dvmptdivc 25818 . . . 4 (⊀ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((((expβ€˜(i Β· π‘₯)) / i) + -((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) / i)) / 2))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) + (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) / 2)))
70 df-sin 16020 . . . . . 6 sin = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) / (2 Β· i)))
718, 16subcld 11578 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((expβ€˜(i Β· π‘₯)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) ∈ β„‚)
72 2cnd 12297 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ 2 ∈ β„‚)
7367a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ 2 β‰  0)
7471, 4, 72, 10, 73divdiv1d 12028 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((((expβ€˜(i Β· π‘₯)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) / i) / 2) = (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) / (i Β· 2)))
75 2cn 12294 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ β„‚
763, 75mulcomi 11229 . . . . . . . . . 10 (i Β· 2) = (2 Β· i)
7776oveq2i 7423 . . . . . . . . 9 (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) / (i Β· 2)) = (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) / (2 Β· i))
7874, 77eqtrdi 2787 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((((expβ€˜(i Β· π‘₯)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) / i) / 2) = (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) / (2 Β· i)))
798, 16, 4, 10divsubdird 12036 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) / i) = (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) / i) βˆ’ ((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) / i)))
8011, 17negsubd 11584 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) / i) + -((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) / i)) = (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) / i) βˆ’ ((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) / i)))
8179, 80eqtr4d 2774 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) / i) = (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) / i) + -((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) / i)))
8281oveq1d 7427 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((((expβ€˜(i Β· π‘₯)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) / i) / 2) = ((((expβ€˜(i Β· π‘₯)) / i) + -((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) / i)) / 2))
8378, 82eqtr3d 2773 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) / (2 Β· i)) = ((((expβ€˜(i Β· π‘₯)) / i) + -((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) / i)) / 2))
8483mpteq2dva 5248 . . . . . 6 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) / (2 Β· i))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((((expβ€˜(i Β· π‘₯)) / i) + -((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) / i)) / 2)))
8570, 84eqtrid 2783 . . . . 5 (⊀ β†’ sin = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((((expβ€˜(i Β· π‘₯)) / i) + -((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) / i)) / 2)))
8685oveq2d 7428 . . . 4 (⊀ β†’ (β„‚ D sin) = (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((((expβ€˜(i Β· π‘₯)) / i) + -((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) / i)) / 2))))
87 df-cos 16021 . . . . 5 cos = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) + (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) / 2))
8887a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ cos = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) + (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) / 2)))
8969, 86, 883eqtr4d 2781 . . 3 (⊀ β†’ (β„‚ D sin) = cos)
9021, 46addcld 11240 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) Β· i) + ((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) Β· -i)) ∈ β„‚)
912, 8, 21, 39, 16, 46, 55dvmptadd 25813 . . . . 5 (⊀ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((expβ€˜(i Β· π‘₯)) + (expβ€˜(-i Β· π‘₯))))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) Β· i) + ((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) Β· -i))))
922, 20, 90, 91, 66, 68dvmptdivc 25818 . . . 4 (⊀ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) + (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) / 2))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((((expβ€˜(i Β· π‘₯)) Β· i) + ((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) Β· -i)) / 2)))
9388oveq2d 7428 . . . 4 (⊀ β†’ (β„‚ D cos) = (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) + (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) / 2))))
9471, 4, 10divcld 11997 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) / i) ∈ β„‚)
9594, 72, 73divnegd 12010 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ -((((expβ€˜(i Β· π‘₯)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) / i) / 2) = (-(((expβ€˜(i Β· π‘₯)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) / i) / 2))
96 sinval 16072 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜π‘₯) = (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) / (2 Β· i)))
9796adantl 481 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (sinβ€˜π‘₯) = (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) / (2 Β· i)))
9897, 78eqtr4d 2774 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (sinβ€˜π‘₯) = ((((expβ€˜(i Β· π‘₯)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) / i) / 2))
9998negeqd 11461 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ -(sinβ€˜π‘₯) = -((((expβ€˜(i Β· π‘₯)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) / i) / 2))
1003negnegi 11537 . . . . . . . . . 10 --i = i
101100oveq2i 7423 . . . . . . . . 9 (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) Β· --i) = (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) Β· i)
102 mulneg2 11658 . . . . . . . . . 10 ((((expβ€˜(i Β· π‘₯)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) ∈ β„‚ ∧ -i ∈ β„‚) β†’ (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) Β· --i) = -(((expβ€˜(i Β· π‘₯)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) Β· -i))
10371, 12, 102sylancl 585 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) Β· --i) = -(((expβ€˜(i Β· π‘₯)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) Β· -i))
104101, 103eqtr3id 2785 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) Β· i) = -(((expβ€˜(i Β· π‘₯)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) Β· -i))
105 mulcl 11200 . . . . . . . . . . 11 (((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) ∈ β„‚ ∧ i ∈ β„‚) β†’ ((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) Β· i) ∈ β„‚)
10616, 3, 105sylancl 585 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) Β· i) ∈ β„‚)
10721, 106negsubd 11584 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) Β· i) + -((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) Β· i)) = (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) Β· i) βˆ’ ((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) Β· i)))
108 mulneg2 11658 . . . . . . . . . . 11 (((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) ∈ β„‚ ∧ i ∈ β„‚) β†’ ((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) Β· -i) = -((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) Β· i))
10916, 3, 108sylancl 585 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) Β· -i) = -((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) Β· i))
110109oveq2d 7428 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) Β· i) + ((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) Β· -i)) = (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) Β· i) + -((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) Β· i)))
1118, 16, 4subdird 11678 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) Β· i) = (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) Β· i) βˆ’ ((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) Β· i)))
112107, 110, 1113eqtr4d 2781 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) Β· i) + ((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) Β· -i)) = (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) Β· i))
11371, 4, 10divrecd 12000 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) / i) = (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) Β· (1 / i)))
114 irec 14172 . . . . . . . . . . 11 (1 / i) = -i
115114oveq2i 7423 . . . . . . . . . 10 (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) Β· (1 / i)) = (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) Β· -i)
116113, 115eqtrdi 2787 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) / i) = (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) Β· -i))
117116negeqd 11461 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ -(((expβ€˜(i Β· π‘₯)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) / i) = -(((expβ€˜(i Β· π‘₯)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) Β· -i))
118104, 112, 1173eqtr4d 2781 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (((expβ€˜(i Β· π‘₯)) Β· i) + ((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) Β· -i)) = -(((expβ€˜(i Β· π‘₯)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) / i))
119118oveq1d 7427 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((((expβ€˜(i Β· π‘₯)) Β· i) + ((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) Β· -i)) / 2) = (-(((expβ€˜(i Β· π‘₯)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· π‘₯))) / i) / 2))
12095, 99, 1193eqtr4d 2781 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ -(sinβ€˜π‘₯) = ((((expβ€˜(i Β· π‘₯)) Β· i) + ((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) Β· -i)) / 2))
121120mpteq2dva 5248 . . . 4 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((((expβ€˜(i Β· π‘₯)) Β· i) + ((expβ€˜(-i Β· π‘₯)) Β· -i)) / 2)))
12292, 93, 1213eqtr4d 2781 . . 3 (⊀ β†’ (β„‚ D cos) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜π‘₯)))
12389, 122jca 511 . 2 (⊀ β†’ ((β„‚ D sin) = cos ∧ (β„‚ D cos) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜π‘₯))))
124123mptru 1547 1 ((β„‚ D sin) = cos ∧ (β„‚ D cos) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜π‘₯)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540  βŠ€wtru 1541   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  {cpr 4630   ↦ cmpt 5231  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  β„‚cc 11114  β„cr 11115  0cc0 11116  1c1 11117  ici 11118   + caddc 11119   Β· cmul 11121   βˆ’ cmin 11451  -cneg 11452   / cdiv 11878  2c2 12274  expce 16012  sincsin 16014  cosccos 16015   D cdv 25713
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194  ax-addf 11195
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-2o 8473  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-fi 9412  df-sup 9443  df-inf 9444  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-xneg 13099  df-xadd 13100  df-xmul 13101  df-ico 13337  df-icc 13338  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-fl 13764  df-seq 13974  df-exp 14035  df-fac 14241  df-bc 14270  df-hash 14298  df-shft 15021  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-limsup 15422  df-clim 15439  df-rlim 15440  df-sum 15640  df-ef 16018  df-sin 16020  df-cos 16021  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-rest 17375  df-topn 17376  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-topgen 17396  df-pt 17397  df-prds 17400  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-mulg 18994  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-psmet 21226  df-xmet 21227  df-met 21228  df-bl 21229  df-mopn 21230  df-fbas 21231  df-fg 21232  df-cnfld 21235  df-top 22717  df-topon 22734  df-topsp 22756  df-bases 22770  df-cld 22844  df-ntr 22845  df-cls 22846  df-nei 22923  df-lp 22961  df-perf 22962  df-cn 23052  df-cnp 23053  df-haus 23140  df-tx 23387  df-hmeo 23580  df-fil 23671  df-fm 23763  df-flim 23764  df-flf 23765  df-xms 24147  df-ms 24148  df-tms 24149  df-cncf 24719  df-limc 25716  df-dv 25717
This theorem is referenced by:  dvsin  25835  dvcos  25836
  Copyright terms: Public domain W3C validator