MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvsincos Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvsincos 24035
Description: Derivative of the sine and cosine functions. (Contributed by Mario Carneiro, 21-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
dvsincos ((ℂ D sin) = cos ∧ (ℂ D cos) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑥)))

Proof of Theorem dvsincos
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnelprrecn 10282 . . . . . 6 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
21a1i 11 . . . . 5 (⊤ → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
3 ax-icn 10248 . . . . . . . . . 10 i ∈ ℂ
43a1i 11 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → i ∈ ℂ)
5 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
64, 5mulcld 10314 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (i · 𝑥) ∈ ℂ)
7 efcl 15097 . . . . . . . 8 ((i · 𝑥) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝑥)) ∈ ℂ)
86, 7syl 17 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (exp‘(i · 𝑥)) ∈ ℂ)
9 ine0 10719 . . . . . . . 8 i ≠ 0
109a1i 11 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → i ≠ 0)
118, 4, 10divcld 11055 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((exp‘(i · 𝑥)) / i) ∈ ℂ)
12 negicn 10536 . . . . . . . . . 10 -i ∈ ℂ
13 mulcl 10273 . . . . . . . . . 10 ((-i ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (-i · 𝑥) ∈ ℂ)
1412, 5, 13sylancr 581 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (-i · 𝑥) ∈ ℂ)
15 efcl 15097 . . . . . . . . 9 ((-i · 𝑥) ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝑥)) ∈ ℂ)
1614, 15syl 17 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (exp‘(-i · 𝑥)) ∈ ℂ)
1716, 4, 10divcld 11055 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((exp‘(-i · 𝑥)) / i) ∈ ℂ)
1817negcld 10633 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -((exp‘(-i · 𝑥)) / i) ∈ ℂ)
1911, 18addcld 10313 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) / i) + -((exp‘(-i · 𝑥)) / i)) ∈ ℂ)
208, 16addcld 10313 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((exp‘(i · 𝑥)) + (exp‘(-i · 𝑥))) ∈ ℂ)
218, 4mulcld 10314 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((exp‘(i · 𝑥)) · i) ∈ ℂ)
22 efcl 15097 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℂ → (exp‘𝑦) ∈ ℂ)
2322adantl 473 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (exp‘𝑦) ∈ ℂ)
24 1cnd 10288 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
252dvmptid 24011 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1))
263a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → i ∈ ℂ)
272, 5, 24, 25, 26dvmptcmul 24018 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 1)))
283mulid1i 10298 . . . . . . . . . . 11 (i · 1) = i
2928mpteq2i 4900 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ i)
3027, 29syl6eq 2815 . . . . . . . . 9 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ i))
31 eff 15096 . . . . . . . . . . . . 13 exp:ℂ⟶ℂ
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → exp:ℂ⟶ℂ)
3332feqmptd 6438 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → exp = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦)))
3433oveq2d 6858 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (ℂ D exp) = (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦))))
35 dvef 24034 . . . . . . . . . . 11 (ℂ D exp) = exp
3635, 33syl5eq 2811 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (ℂ D exp) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦)))
3734, 36eqtr3d 2801 . . . . . . . . 9 (⊤ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦)))
38 fveq2 6375 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (i · 𝑥) → (exp‘𝑦) = (exp‘(i · 𝑥)))
392, 2, 6, 4, 23, 23, 30, 37, 38, 38dvmptco 24026 . . . . . . . 8 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘(i · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i)))
409a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → i ≠ 0)
412, 8, 21, 39, 26, 40dvmptdivc 24019 . . . . . . 7 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) / i))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((exp‘(i · 𝑥)) · i) / i)))
428, 4, 10divcan4d 11061 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) · i) / i) = (exp‘(i · 𝑥)))
4342mpteq2dva 4903 . . . . . . 7 (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((exp‘(i · 𝑥)) · i) / i)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘(i · 𝑥))))
4441, 43eqtrd 2799 . . . . . 6 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) / i))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘(i · 𝑥))))
45 mulcl 10273 . . . . . . . . . 10 (((exp‘(-i · 𝑥)) ∈ ℂ ∧ -i ∈ ℂ) → ((exp‘(-i · 𝑥)) · -i) ∈ ℂ)
4616, 12, 45sylancl 580 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((exp‘(-i · 𝑥)) · -i) ∈ ℂ)
4746, 4, 10divcld 11055 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(-i · 𝑥)) · -i) / i) ∈ ℂ)
4812a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -i ∈ ℂ)
4912a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → -i ∈ ℂ)
502, 5, 24, 25, 49dvmptcmul 24018 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (-i · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (-i · 1)))
5112mulid1i 10298 . . . . . . . . . . . 12 (-i · 1) = -i
5251mpteq2i 4900 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (-i · 1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -i)
5350, 52syl6eq 2815 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (-i · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -i))
54 fveq2 6375 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (-i · 𝑥) → (exp‘𝑦) = (exp‘(-i · 𝑥)))
552, 2, 14, 48, 23, 23, 53, 37, 54, 54dvmptco 24026 . . . . . . . . 9 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘(-i · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((exp‘(-i · 𝑥)) · -i)))
562, 16, 46, 55, 26, 40dvmptdivc 24019 . . . . . . . 8 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((exp‘(-i · 𝑥)) / i))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((exp‘(-i · 𝑥)) · -i) / i)))
572, 17, 47, 56dvmptneg 24020 . . . . . . 7 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ -((exp‘(-i · 𝑥)) / i))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(((exp‘(-i · 𝑥)) · -i) / i)))
5846, 4, 10divneg2d 11069 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -(((exp‘(-i · 𝑥)) · -i) / i) = (((exp‘(-i · 𝑥)) · -i) / -i))
593, 9negne0i 10610 . . . . . . . . . . 11 -i ≠ 0
6059a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -i ≠ 0)
6116, 48, 60divcan4d 11061 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(-i · 𝑥)) · -i) / -i) = (exp‘(-i · 𝑥)))
6258, 61eqtrd 2799 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -(((exp‘(-i · 𝑥)) · -i) / i) = (exp‘(-i · 𝑥)))
6362mpteq2dva 4903 . . . . . . 7 (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(((exp‘(-i · 𝑥)) · -i) / i)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘(-i · 𝑥))))
6457, 63eqtrd 2799 . . . . . 6 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ -((exp‘(-i · 𝑥)) / i))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘(-i · 𝑥))))
652, 11, 8, 44, 18, 16, 64dvmptadd 24014 . . . . 5 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((exp‘(i · 𝑥)) / i) + -((exp‘(-i · 𝑥)) / i)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) + (exp‘(-i · 𝑥)))))
66 2cnd 11350 . . . . 5 (⊤ → 2 ∈ ℂ)
67 2ne0 11383 . . . . . 6 2 ≠ 0
6867a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 2 ≠ 0)
692, 19, 20, 65, 66, 68dvmptdivc 24019 . . . 4 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((((exp‘(i · 𝑥)) / i) + -((exp‘(-i · 𝑥)) / i)) / 2))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((exp‘(i · 𝑥)) + (exp‘(-i · 𝑥))) / 2)))
70 df-sin 15084 . . . . . 6 sin = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / (2 · i)))
718, 16subcld 10646 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) ∈ ℂ)
72 2cnd 11350 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 2 ∈ ℂ)
7367a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 2 ≠ 0)
7471, 4, 72, 10, 73divdiv1d 11086 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / i) / 2) = (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / (i · 2)))
75 2cn 11347 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
763, 75mulcomi 10302 . . . . . . . . . 10 (i · 2) = (2 · i)
7776oveq2i 6853 . . . . . . . . 9 (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / (i · 2)) = (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / (2 · i))
7874, 77syl6eq 2815 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / i) / 2) = (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / (2 · i)))
798, 16, 4, 10divsubdird 11094 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / i) = (((exp‘(i · 𝑥)) / i) − ((exp‘(-i · 𝑥)) / i)))
8011, 17negsubd 10652 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) / i) + -((exp‘(-i · 𝑥)) / i)) = (((exp‘(i · 𝑥)) / i) − ((exp‘(-i · 𝑥)) / i)))
8179, 80eqtr4d 2802 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / i) = (((exp‘(i · 𝑥)) / i) + -((exp‘(-i · 𝑥)) / i)))
8281oveq1d 6857 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / i) / 2) = ((((exp‘(i · 𝑥)) / i) + -((exp‘(-i · 𝑥)) / i)) / 2))
8378, 82eqtr3d 2801 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / (2 · i)) = ((((exp‘(i · 𝑥)) / i) + -((exp‘(-i · 𝑥)) / i)) / 2))
8483mpteq2dva 4903 . . . . . 6 (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / (2 · i))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((((exp‘(i · 𝑥)) / i) + -((exp‘(-i · 𝑥)) / i)) / 2)))
8570, 84syl5eq 2811 . . . . 5 (⊤ → sin = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((((exp‘(i · 𝑥)) / i) + -((exp‘(-i · 𝑥)) / i)) / 2)))
8685oveq2d 6858 . . . 4 (⊤ → (ℂ D sin) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((((exp‘(i · 𝑥)) / i) + -((exp‘(-i · 𝑥)) / i)) / 2))))
87 df-cos 15085 . . . . 5 cos = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((exp‘(i · 𝑥)) + (exp‘(-i · 𝑥))) / 2))
8887a1i 11 . . . 4 (⊤ → cos = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((exp‘(i · 𝑥)) + (exp‘(-i · 𝑥))) / 2)))
8969, 86, 883eqtr4d 2809 . . 3 (⊤ → (ℂ D sin) = cos)
9021, 46addcld 10313 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) · i) + ((exp‘(-i · 𝑥)) · -i)) ∈ ℂ)
912, 8, 21, 39, 16, 46, 55dvmptadd 24014 . . . . 5 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) + (exp‘(-i · 𝑥))))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((exp‘(i · 𝑥)) · i) + ((exp‘(-i · 𝑥)) · -i))))
922, 20, 90, 91, 66, 68dvmptdivc 24019 . . . 4 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((exp‘(i · 𝑥)) + (exp‘(-i · 𝑥))) / 2))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((((exp‘(i · 𝑥)) · i) + ((exp‘(-i · 𝑥)) · -i)) / 2)))
9388oveq2d 6858 . . . 4 (⊤ → (ℂ D cos) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((exp‘(i · 𝑥)) + (exp‘(-i · 𝑥))) / 2))))
9471, 4, 10divcld 11055 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / i) ∈ ℂ)
9594, 72, 73divnegd 11068 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -((((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / i) / 2) = (-(((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / i) / 2))
96 sinval 15136 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℂ → (sin‘𝑥) = (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / (2 · i)))
9796adantl 473 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (sin‘𝑥) = (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / (2 · i)))
9897, 78eqtr4d 2802 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (sin‘𝑥) = ((((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / i) / 2))
9998negeqd 10529 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -(sin‘𝑥) = -((((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / i) / 2))
1003negnegi 10605 . . . . . . . . . 10 --i = i
101100oveq2i 6853 . . . . . . . . 9 (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) · --i) = (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) · i)
102 mulneg2 10721 . . . . . . . . . 10 ((((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) ∈ ℂ ∧ -i ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) · --i) = -(((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) · -i))
10371, 12, 102sylancl 580 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) · --i) = -(((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) · -i))
104101, 103syl5eqr 2813 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) · i) = -(((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) · -i))
105 mulcl 10273 . . . . . . . . . . 11 (((exp‘(-i · 𝑥)) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → ((exp‘(-i · 𝑥)) · i) ∈ ℂ)
10616, 3, 105sylancl 580 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((exp‘(-i · 𝑥)) · i) ∈ ℂ)
10721, 106negsubd 10652 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) · i) + -((exp‘(-i · 𝑥)) · i)) = (((exp‘(i · 𝑥)) · i) − ((exp‘(-i · 𝑥)) · i)))
108 mulneg2 10721 . . . . . . . . . . 11 (((exp‘(-i · 𝑥)) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → ((exp‘(-i · 𝑥)) · -i) = -((exp‘(-i · 𝑥)) · i))
10916, 3, 108sylancl 580 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((exp‘(-i · 𝑥)) · -i) = -((exp‘(-i · 𝑥)) · i))
110109oveq2d 6858 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) · i) + ((exp‘(-i · 𝑥)) · -i)) = (((exp‘(i · 𝑥)) · i) + -((exp‘(-i · 𝑥)) · i)))
1118, 16, 4subdird 10741 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) · i) = (((exp‘(i · 𝑥)) · i) − ((exp‘(-i · 𝑥)) · i)))
112107, 110, 1113eqtr4d 2809 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) · i) + ((exp‘(-i · 𝑥)) · -i)) = (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) · i))
11371, 4, 10divrecd 11058 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / i) = (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) · (1 / i)))
114 irec 13171 . . . . . . . . . . 11 (1 / i) = -i
115114oveq2i 6853 . . . . . . . . . 10 (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) · (1 / i)) = (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) · -i)
116113, 115syl6eq 2815 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / i) = (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) · -i))
117116negeqd 10529 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -(((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / i) = -(((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) · -i))
118104, 112, 1173eqtr4d 2809 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) · i) + ((exp‘(-i · 𝑥)) · -i)) = -(((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / i))
119118oveq1d 6857 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((((exp‘(i · 𝑥)) · i) + ((exp‘(-i · 𝑥)) · -i)) / 2) = (-(((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / i) / 2))
12095, 99, 1193eqtr4d 2809 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -(sin‘𝑥) = ((((exp‘(i · 𝑥)) · i) + ((exp‘(-i · 𝑥)) · -i)) / 2))
121120mpteq2dva 4903 . . . 4 (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((((exp‘(i · 𝑥)) · i) + ((exp‘(-i · 𝑥)) · -i)) / 2)))
12292, 93, 1213eqtr4d 2809 . . 3 (⊤ → (ℂ D cos) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑥)))
12389, 122jca 507 . 2 (⊤ → ((ℂ D sin) = cos ∧ (ℂ D cos) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑥))))
124123mptru 1660 1 ((ℂ D sin) = cos ∧ (ℂ D cos) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 384   = wceq 1652  wtru 1653  wcel 2155  wne 2937  {cpr 4336  cmpt 4888  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  cc 10187  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190  ici 10191   + caddc 10192   · cmul 10194  cmin 10520  -cneg 10521   / cdiv 10938  2c2 11327  expce 15076  sincsin 15078  cosccos 15079   D cdv 23918
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268  ax-mulf 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-fi 8524  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-ico 12383  df-icc 12384  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-shft 14094  df-cj 14126  df-re 14127  df-im 14128  df-sqrt 14262  df-abs 14263  df-limsup 14489  df-clim 14506  df-rlim 14507  df-sum 14704  df-ef 15082  df-sin 15084  df-cos 15085  df-struct 16134  df-ndx 16135  df-slot 16136  df-base 16138  df-sets 16139  df-ress 16140  df-plusg 16229  df-mulr 16230  df-starv 16231  df-sca 16232  df-vsca 16233  df-ip 16234  df-tset 16235  df-ple 16236  df-ds 16238  df-unif 16239  df-hom 16240  df-cco 16241  df-rest 16351  df-topn 16352  df-0g 16370  df-gsum 16371  df-topgen 16372  df-pt 16373  df-prds 16376  df-xrs 16430  df-qtop 16435  df-imas 16436  df-xps 16438  df-mre 16514  df-mrc 16515  df-acs 16517  df-mgm 17510  df-sgrp 17552  df-mnd 17563  df-submnd 17604  df-mulg 17810  df-cntz 18015  df-cmn 18461  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-mopn 20015  df-fbas 20016  df-fg 20017  df-cnfld 20020  df-top 20978  df-topon 20995  df-topsp 21017  df-bases 21030  df-cld 21103  df-ntr 21104  df-cls 21105  df-nei 21182  df-lp 21220  df-perf 21221  df-cn 21311  df-cnp 21312  df-haus 21399  df-tx 21645  df-hmeo 21838  df-fil 21929  df-fm 22021  df-flim 22022  df-flf 22023  df-xms 22404  df-ms 22405  df-tms 22406  df-cncf 22960  df-limc 23921  df-dv 23922
This theorem is referenced by:  dvsin  24036  dvcos  24037
  Copyright terms: Public domain W3C validator