Theorem dvsincos 26020

Description: Derivative of the sine and cosine functions. (Contributed by Mario Carneiro, 21-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
dvsincos	⊢ ((ℂ D sin) = cos ∧ (ℂ D cos) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑥)))

Proof of Theorem dvsincos

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnelprrecn 11249	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
3		ax-icn 11215	. . . . . . . . . 10 ⊢ i ∈ ℂ
4	3	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → i ∈ ℂ)
5		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
6	4, 5	mulcld 11282	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (i · 𝑥) ∈ ℂ)
7		efcl 16119	. . . . . . . 8 ⊢ ((i · 𝑥) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝑥)) ∈ ℂ)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (exp‘(i · 𝑥)) ∈ ℂ)
9		ine0 11699	. . . . . . . 8 ⊢ i ≠ 0
10	9	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → i ≠ 0)
11	8, 4, 10	divcld 12044	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((exp‘(i · 𝑥)) / i) ∈ ℂ)
12		negicn 11510	. . . . . . . . . 10 ⊢ -i ∈ ℂ
13		mulcl 11240	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-i ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (-i · 𝑥) ∈ ℂ)
14	12, 5, 13	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (-i · 𝑥) ∈ ℂ)
15		efcl 16119	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-i · 𝑥) ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝑥)) ∈ ℂ)
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (exp‘(-i · 𝑥)) ∈ ℂ)
17	16, 4, 10	divcld 12044	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((exp‘(-i · 𝑥)) / i) ∈ ℂ)
18	17	negcld 11608	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -((exp‘(-i · 𝑥)) / i) ∈ ℂ)
19	11, 18	addcld 11281	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) / i) + -((exp‘(-i · 𝑥)) / i)) ∈ ℂ)
20	8, 16	addcld 11281	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((exp‘(i · 𝑥)) + (exp‘(-i · 𝑥))) ∈ ℂ)
21	8, 4	mulcld 11282	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((exp‘(i · 𝑥)) · i) ∈ ℂ)
22		efcl 16119	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (exp‘𝑦) ∈ ℂ)
23	22	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (exp‘𝑦) ∈ ℂ)
24		1cnd 11257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
25	2	dvmptid 25996	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1))
26	3	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → i ∈ ℂ)
27	2, 5, 24, 25, 26	dvmptcmul 26003	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 1)))
28	3	mulridi 11266	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i · 1) = i
29	28	mpteq2i 5246	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ i)
30	27, 29	eqtrdi 2792	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ i))
31		eff 16118	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ exp:ℂ⟶ℂ
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → exp:ℂ⟶ℂ)
33	32	feqmptd 6976	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → exp = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦)))
34	33	oveq2d 7448	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (ℂ D exp) = (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦))))
35		dvef 26019	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℂ D exp) = exp
36	35, 33	eqtrid 2788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (ℂ D exp) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦)))
37	34, 36	eqtr3d 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦)))
38		fveq2 6905	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (i · 𝑥) → (exp‘𝑦) = (exp‘(i · 𝑥)))
39	2, 2, 6, 4, 23, 23, 30, 37, 38, 38	dvmptco 26011	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘(i · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i)))
40	9	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → i ≠ 0)
41	2, 8, 21, 39, 26, 40	dvmptdivc 26004	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) / i))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((exp‘(i · 𝑥)) · i) / i)))
42	8, 4, 10	divcan4d 12050	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) · i) / i) = (exp‘(i · 𝑥)))
43	42	mpteq2dva 5241	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((exp‘(i · 𝑥)) · i) / i)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘(i · 𝑥))))
44	41, 43	eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) / i))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘(i · 𝑥))))
45		mulcl 11240	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((exp‘(-i · 𝑥)) ∈ ℂ ∧ -i ∈ ℂ) → ((exp‘(-i · 𝑥)) · -i) ∈ ℂ)
46	16, 12, 45	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((exp‘(-i · 𝑥)) · -i) ∈ ℂ)
47	46, 4, 10	divcld 12044	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(-i · 𝑥)) · -i) / i) ∈ ℂ)
48	12	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -i ∈ ℂ)
49	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → -i ∈ ℂ)
50	2, 5, 24, 25, 49	dvmptcmul 26003	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (-i · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (-i · 1)))
51	12	mulridi 11266	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-i · 1) = -i
52	51	mpteq2i 5246	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (-i · 1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -i)
53	50, 52	eqtrdi 2792	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (-i · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -i))
54		fveq2 6905	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (-i · 𝑥) → (exp‘𝑦) = (exp‘(-i · 𝑥)))
55	2, 2, 14, 48, 23, 23, 53, 37, 54, 54	dvmptco 26011	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘(-i · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((exp‘(-i · 𝑥)) · -i)))
56	2, 16, 46, 55, 26, 40	dvmptdivc 26004	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((exp‘(-i · 𝑥)) / i))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((exp‘(-i · 𝑥)) · -i) / i)))
57	2, 17, 47, 56	dvmptneg 26005	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ -((exp‘(-i · 𝑥)) / i))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(((exp‘(-i · 𝑥)) · -i) / i)))
58	46, 4, 10	divneg2d 12058	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -(((exp‘(-i · 𝑥)) · -i) / i) = (((exp‘(-i · 𝑥)) · -i) / -i))
59	3, 9	negne0i 11585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -i ≠ 0
60	59	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -i ≠ 0)
61	16, 48, 60	divcan4d 12050	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(-i · 𝑥)) · -i) / -i) = (exp‘(-i · 𝑥)))
62	58, 61	eqtrd 2776	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -(((exp‘(-i · 𝑥)) · -i) / i) = (exp‘(-i · 𝑥)))
63	62	mpteq2dva 5241	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(((exp‘(-i · 𝑥)) · -i) / i)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘(-i · 𝑥))))
64	57, 63	eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ -((exp‘(-i · 𝑥)) / i))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘(-i · 𝑥))))
65	2, 11, 8, 44, 18, 16, 64	dvmptadd 25999	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((exp‘(i · 𝑥)) / i) + -((exp‘(-i · 𝑥)) / i)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) + (exp‘(-i · 𝑥)))))
66		2cnd 12345	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℂ)
67		2ne0 12371	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
68	67	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 2 ≠ 0)
69	2, 19, 20, 65, 66, 68	dvmptdivc 26004	. . . 4 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((((exp‘(i · 𝑥)) / i) + -((exp‘(-i · 𝑥)) / i)) / 2))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((exp‘(i · 𝑥)) + (exp‘(-i · 𝑥))) / 2)))
70		df-sin 16106	. . . . . 6 ⊢ sin = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / (2 · i)))
71	8, 16	subcld 11621	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) ∈ ℂ)
72		2cnd 12345	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 2 ∈ ℂ)
73	67	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 2 ≠ 0)
74	71, 4, 72, 10, 73	divdiv1d 12075	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / i) / 2) = (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / (i · 2)))
75		2cn 12342	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
76	3, 75	mulcomi 11270	. . . . . . . . . 10 ⊢ (i · 2) = (2 · i)
77	76	oveq2i 7443	. . . . . . . . 9 ⊢ (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / (i · 2)) = (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / (2 · i))
78	74, 77	eqtrdi 2792	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / i) / 2) = (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / (2 · i)))
79	8, 16, 4, 10	divsubdird 12083	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / i) = (((exp‘(i · 𝑥)) / i) − ((exp‘(-i · 𝑥)) / i)))
80	11, 17	negsubd 11627	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) / i) + -((exp‘(-i · 𝑥)) / i)) = (((exp‘(i · 𝑥)) / i) − ((exp‘(-i · 𝑥)) / i)))
81	79, 80	eqtr4d 2779	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / i) = (((exp‘(i · 𝑥)) / i) + -((exp‘(-i · 𝑥)) / i)))
82	81	oveq1d 7447	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / i) / 2) = ((((exp‘(i · 𝑥)) / i) + -((exp‘(-i · 𝑥)) / i)) / 2))
83	78, 82	eqtr3d 2778	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / (2 · i)) = ((((exp‘(i · 𝑥)) / i) + -((exp‘(-i · 𝑥)) / i)) / 2))
84	83	mpteq2dva 5241	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / (2 · i))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((((exp‘(i · 𝑥)) / i) + -((exp‘(-i · 𝑥)) / i)) / 2)))
85	70, 84	eqtrid 2788	. . . . 5 ⊢ (⊤ → sin = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((((exp‘(i · 𝑥)) / i) + -((exp‘(-i · 𝑥)) / i)) / 2)))
86	85	oveq2d 7448	. . . 4 ⊢ (⊤ → (ℂ D sin) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((((exp‘(i · 𝑥)) / i) + -((exp‘(-i · 𝑥)) / i)) / 2))))
87		df-cos 16107	. . . . 5 ⊢ cos = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((exp‘(i · 𝑥)) + (exp‘(-i · 𝑥))) / 2))
88	87	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → cos = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((exp‘(i · 𝑥)) + (exp‘(-i · 𝑥))) / 2)))
89	69, 86, 88	3eqtr4d 2786	. . 3 ⊢ (⊤ → (ℂ D sin) = cos)
90	21, 46	addcld 11281	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) · i) + ((exp‘(-i · 𝑥)) · -i)) ∈ ℂ)
91	2, 8, 21, 39, 16, 46, 55	dvmptadd 25999	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) + (exp‘(-i · 𝑥))))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((exp‘(i · 𝑥)) · i) + ((exp‘(-i · 𝑥)) · -i))))
92	2, 20, 90, 91, 66, 68	dvmptdivc 26004	. . . 4 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((exp‘(i · 𝑥)) + (exp‘(-i · 𝑥))) / 2))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((((exp‘(i · 𝑥)) · i) + ((exp‘(-i · 𝑥)) · -i)) / 2)))
93	88	oveq2d 7448	. . . 4 ⊢ (⊤ → (ℂ D cos) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((exp‘(i · 𝑥)) + (exp‘(-i · 𝑥))) / 2))))
94	71, 4, 10	divcld 12044	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / i) ∈ ℂ)
95	94, 72, 73	divnegd 12057	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -((((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / i) / 2) = (-(((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / i) / 2))
96		sinval 16159	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (sin‘𝑥) = (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / (2 · i)))
97	96	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (sin‘𝑥) = (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / (2 · i)))
98	97, 78	eqtr4d 2779	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (sin‘𝑥) = ((((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / i) / 2))
99	98	negeqd 11503	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -(sin‘𝑥) = -((((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / i) / 2))
100	3	negnegi 11580	. . . . . . . . . 10 ⊢ --i = i
101	100	oveq2i 7443	. . . . . . . . 9 ⊢ (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) · --i) = (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) · i)
102		mulneg2 11701	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) ∈ ℂ ∧ -i ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) · --i) = -(((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) · -i))
103	71, 12, 102	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) · --i) = -(((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) · -i))
104	101, 103	eqtr3id 2790	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) · i) = -(((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) · -i))
105		mulcl 11240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((exp‘(-i · 𝑥)) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → ((exp‘(-i · 𝑥)) · i) ∈ ℂ)
106	16, 3, 105	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((exp‘(-i · 𝑥)) · i) ∈ ℂ)
107	21, 106	negsubd 11627	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) · i) + -((exp‘(-i · 𝑥)) · i)) = (((exp‘(i · 𝑥)) · i) − ((exp‘(-i · 𝑥)) · i)))
108		mulneg2 11701	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((exp‘(-i · 𝑥)) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → ((exp‘(-i · 𝑥)) · -i) = -((exp‘(-i · 𝑥)) · i))
109	16, 3, 108	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((exp‘(-i · 𝑥)) · -i) = -((exp‘(-i · 𝑥)) · i))
110	109	oveq2d 7448	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) · i) + ((exp‘(-i · 𝑥)) · -i)) = (((exp‘(i · 𝑥)) · i) + -((exp‘(-i · 𝑥)) · i)))
111	8, 16, 4	subdird 11721	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) · i) = (((exp‘(i · 𝑥)) · i) − ((exp‘(-i · 𝑥)) · i)))
112	107, 110, 111	3eqtr4d 2786	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) · i) + ((exp‘(-i · 𝑥)) · -i)) = (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) · i))
113	71, 4, 10	divrecd 12047	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / i) = (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) · (1 / i)))
114		irec 14241	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 / i) = -i
115	114	oveq2i 7443	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) · (1 / i)) = (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) · -i)
116	113, 115	eqtrdi 2792	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / i) = (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) · -i))
117	116	negeqd 11503	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -(((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / i) = -(((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) · -i))
118	104, 112, 117	3eqtr4d 2786	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) · i) + ((exp‘(-i · 𝑥)) · -i)) = -(((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / i))
119	118	oveq1d 7447	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((((exp‘(i · 𝑥)) · i) + ((exp‘(-i · 𝑥)) · -i)) / 2) = (-(((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / i) / 2))
120	95, 99, 119	3eqtr4d 2786	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -(sin‘𝑥) = ((((exp‘(i · 𝑥)) · i) + ((exp‘(-i · 𝑥)) · -i)) / 2))
121	120	mpteq2dva 5241	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((((exp‘(i · 𝑥)) · i) + ((exp‘(-i · 𝑥)) · -i)) / 2)))
122	92, 93, 121	3eqtr4d 2786	. . 3 ⊢ (⊤ → (ℂ D cos) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑥)))
123	89, 122	jca 511	. 2 ⊢ (⊤ → ((ℂ D sin) = cos ∧ (ℂ D cos) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑥))))
124	123	mptru 1546	1 ⊢ ((ℂ D sin) = cos ∧ (ℂ D cos) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑥)))

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1539  ⊤wtru 1540   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939  {cpr 4627   ↦ cmpt 5224  ⟶wf 6556  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  ℂcc 11154  ℝcr 11155  0cc0 11156  1c1 11157  ici 11158   + caddc 11159   · cmul 11161   − cmin 11493  -cneg 11494   / cdiv 11921  2c2 12322  expce 16098  sincsin 16100  cosccos 16101   D cdv 25899

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234  ax-addf 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-fi 9452  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-fl 13833  df-seq 14044  df-exp 14104  df-fac 14314  df-bc 14343  df-hash 14371  df-shft 15107  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-limsup 15508  df-clim 15525  df-rlim 15526  df-sum 15724  df-ef 16104  df-sin 16106  df-cos 16107  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-submnd 18798  df-mulg 19087  df-cntz 19336  df-cmn 19801  df-psmet 21357  df-xmet 21358  df-met 21359  df-bl 21360  df-mopn 21361  df-fbas 21362  df-fg 21363  df-cnfld 21366  df-top 22901  df-topon 22918  df-topsp 22940  df-bases 22954  df-cld 23028  df-ntr 23029  df-cls 23030  df-nei 23107  df-lp 23145  df-perf 23146  df-cn 23236  df-cnp 23237  df-haus 23324  df-tx 23571  df-hmeo 23764  df-fil 23855  df-fm 23947  df-flim 23948  df-flf 23949  df-xms 24331  df-ms 24332  df-tms 24333  df-cncf 24905  df-limc 25902  df-dv 25903

This theorem is referenced by:  dvsin  26021  dvcos  26022