MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sinneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sinneg 16033
Description: The sine of a negative is the negative of the sine. (Contributed by NM, 30-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
sinneg (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜-𝐴) = -(sinβ€˜π΄))

Proof of Theorem sinneg
StepHypRef Expression
1 negcl 11406 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ -𝐴 ∈ β„‚)
2 sinval 16009 . . 3 (-𝐴 ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜-𝐴) = (((expβ€˜(i Β· -𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· -𝐴))) / (2 Β· i)))
31, 2syl 17 . 2 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜-𝐴) = (((expβ€˜(i Β· -𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· -𝐴))) / (2 Β· i)))
4 sinval 16009 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜π΄) = (((expβ€˜(i Β· 𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴))) / (2 Β· i)))
54negeqd 11400 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ -(sinβ€˜π΄) = -(((expβ€˜(i Β· 𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴))) / (2 Β· i)))
6 ax-icn 11115 . . . . . . . 8 i ∈ β„‚
7 mulcl 11140 . . . . . . . 8 ((i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (i Β· 𝐴) ∈ β„‚)
86, 7mpan 689 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (i Β· 𝐴) ∈ β„‚)
9 efcl 15970 . . . . . . 7 ((i Β· 𝐴) ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(i Β· 𝐴)) ∈ β„‚)
108, 9syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(i Β· 𝐴)) ∈ β„‚)
11 negicn 11407 . . . . . . . 8 -i ∈ β„‚
12 mulcl 11140 . . . . . . . 8 ((-i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (-i Β· 𝐴) ∈ β„‚)
1311, 12mpan 689 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (-i Β· 𝐴) ∈ β„‚)
14 efcl 15970 . . . . . . 7 ((-i Β· 𝐴) ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴)) ∈ β„‚)
1513, 14syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴)) ∈ β„‚)
1610, 15subcld 11517 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((expβ€˜(i Β· 𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴))) ∈ β„‚)
17 2mulicn 12381 . . . . . 6 (2 Β· i) ∈ β„‚
18 2muline0 12382 . . . . . 6 (2 Β· i) β‰  0
19 divneg 11852 . . . . . 6 ((((expβ€˜(i Β· 𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴))) ∈ β„‚ ∧ (2 Β· i) ∈ β„‚ ∧ (2 Β· i) β‰  0) β†’ -(((expβ€˜(i Β· 𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴))) / (2 Β· i)) = (-((expβ€˜(i Β· 𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴))) / (2 Β· i)))
2017, 18, 19mp3an23 1454 . . . . 5 (((expβ€˜(i Β· 𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴))) ∈ β„‚ β†’ -(((expβ€˜(i Β· 𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴))) / (2 Β· i)) = (-((expβ€˜(i Β· 𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴))) / (2 Β· i)))
2116, 20syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ -(((expβ€˜(i Β· 𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴))) / (2 Β· i)) = (-((expβ€˜(i Β· 𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴))) / (2 Β· i)))
225, 21eqtrd 2773 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ -(sinβ€˜π΄) = (-((expβ€˜(i Β· 𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴))) / (2 Β· i)))
23 mulneg12 11598 . . . . . . . . 9 ((i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (-i Β· 𝐴) = (i Β· -𝐴))
246, 23mpan 689 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (-i Β· 𝐴) = (i Β· -𝐴))
2524eqcomd 2739 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (i Β· -𝐴) = (-i Β· 𝐴))
2625fveq2d 6847 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(i Β· -𝐴)) = (expβ€˜(-i Β· 𝐴)))
27 mul2neg 11599 . . . . . . . 8 ((i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (-i Β· -𝐴) = (i Β· 𝐴))
286, 27mpan 689 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (-i Β· -𝐴) = (i Β· 𝐴))
2928fveq2d 6847 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(-i Β· -𝐴)) = (expβ€˜(i Β· 𝐴)))
3026, 29oveq12d 7376 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((expβ€˜(i Β· -𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· -𝐴))) = ((expβ€˜(-i Β· 𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(i Β· 𝐴))))
3110, 15negsubdi2d 11533 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ -((expβ€˜(i Β· 𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴))) = ((expβ€˜(-i Β· 𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(i Β· 𝐴))))
3230, 31eqtr4d 2776 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((expβ€˜(i Β· -𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· -𝐴))) = -((expβ€˜(i Β· 𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴))))
3332oveq1d 7373 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((expβ€˜(i Β· -𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· -𝐴))) / (2 Β· i)) = (-((expβ€˜(i Β· 𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴))) / (2 Β· i)))
3422, 33eqtr4d 2776 . 2 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ -(sinβ€˜π΄) = (((expβ€˜(i Β· -𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· -𝐴))) / (2 Β· i)))
353, 34eqtr4d 2776 1 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜-𝐴) = -(sinβ€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„‚cc 11054  0cc0 11056  ici 11058   Β· cmul 11061   βˆ’ cmin 11390  -cneg 11391   / cdiv 11817  2c2 12213  expce 15949  sincsin 15951
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-pm 8771  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-ico 13276  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-seq 13913  df-exp 13974  df-fac 14180  df-hash 14237  df-shft 14958  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-limsup 15359  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-ef 15955  df-sin 15957
This theorem is referenced by:  tanneg  16035  sin0  16036  efmival  16040  sinsub  16055  cossub  16056  sincossq  16063  sin2pim  25858  reasinsin  26262  atantan  26289  sinccvglem  34317  dirkertrigeqlem2  44426  fourierdlem43  44477  fourierdlem44  44478  sqwvfoura  44555
  Copyright terms: Public domain W3C validator