MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sinneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sinneg 16179
Description: The sine of a negative is the negative of the sine. (Contributed by NM, 30-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
sinneg (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘-𝐴) = -(sin‘𝐴))

Proof of Theorem sinneg
StepHypRef Expression
1 negcl 11506 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
2 sinval 16155 . . 3 (-𝐴 ∈ ℂ → (sin‘-𝐴) = (((exp‘(i · -𝐴)) − (exp‘(-i · -𝐴))) / (2 · i)))
31, 2syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘-𝐴) = (((exp‘(i · -𝐴)) − (exp‘(-i · -𝐴))) / (2 · i)))
4 sinval 16155 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)))
54negeqd 11500 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → -(sin‘𝐴) = -(((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)))
6 ax-icn 11212 . . . . . . . 8 i ∈ ℂ
7 mulcl 11237 . . . . . . . 8 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
86, 7mpan 690 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
9 efcl 16115 . . . . . . 7 ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
108, 9syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
11 negicn 11507 . . . . . . . 8 -i ∈ ℂ
12 mulcl 11237 . . . . . . . 8 ((-i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
1311, 12mpan 690 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
14 efcl 16115 . . . . . . 7 ((-i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) ∈ ℂ)
1513, 14syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) ∈ ℂ)
1610, 15subcld 11618 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ)
17 2mulicn 12487 . . . . . 6 (2 · i) ∈ ℂ
18 2muline0 12488 . . . . . 6 (2 · i) ≠ 0
19 divneg 11957 . . . . . 6 ((((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ ∧ (2 · i) ∈ ℂ ∧ (2 · i) ≠ 0) → -(((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)) = (-((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)))
2017, 18, 19mp3an23 1452 . . . . 5 (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ → -(((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)) = (-((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)))
2116, 20syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → -(((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)) = (-((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)))
225, 21eqtrd 2775 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → -(sin‘𝐴) = (-((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)))
23 mulneg12 11699 . . . . . . . . 9 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · 𝐴) = (i · -𝐴))
246, 23mpan 690 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (-i · 𝐴) = (i · -𝐴))
2524eqcomd 2741 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (i · -𝐴) = (-i · 𝐴))
2625fveq2d 6911 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · -𝐴)) = (exp‘(-i · 𝐴)))
27 mul2neg 11700 . . . . . . . 8 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · -𝐴) = (i · 𝐴))
286, 27mpan 690 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (-i · -𝐴) = (i · 𝐴))
2928fveq2d 6911 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · -𝐴)) = (exp‘(i · 𝐴)))
3026, 29oveq12d 7449 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · -𝐴)) − (exp‘(-i · -𝐴))) = ((exp‘(-i · 𝐴)) − (exp‘(i · 𝐴))))
3110, 15negsubdi2d 11634 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → -((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) = ((exp‘(-i · 𝐴)) − (exp‘(i · 𝐴))))
3230, 31eqtr4d 2778 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · -𝐴)) − (exp‘(-i · -𝐴))) = -((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))))
3332oveq1d 7446 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · -𝐴)) − (exp‘(-i · -𝐴))) / (2 · i)) = (-((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)))
3422, 33eqtr4d 2778 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → -(sin‘𝐴) = (((exp‘(i · -𝐴)) − (exp‘(-i · -𝐴))) / (2 · i)))
353, 34eqtr4d 2778 1 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘-𝐴) = -(sin‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  0cc0 11153  ici 11155   · cmul 11158  cmin 11490  -cneg 11491   / cdiv 11918  2c2 12319  expce 16094  sincsin 16096
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-ico 13390  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-hash 14367  df-shft 15103  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-ef 16100  df-sin 16102
This theorem is referenced by:  tanneg  16181  sin0  16182  efmival  16186  sinsub  16201  cossub  16202  sincossq  16209  sin2pim  26542  reasinsin  26954  atantan  26981  sinccvglem  35657  dirkertrigeqlem2  46055  fourierdlem43  46106  fourierdlem44  46107  sqwvfoura  46184
  Copyright terms: Public domain W3C validator