Theorem sinneg 16323

Description: The sine of a negative is the negative of the sine. (Contributed by NM, 30-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
sinneg	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘ -𝐴) = -(sin‘𝐴))

Proof of Theorem sinneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negcl 11564	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
2		sinval 16299	. . 3 ⊢ ( -𝐴 ∈ ℂ → (sin‘ -𝐴) = (((exp‘(i · -𝐴)) − (exp‘( -i · -𝐴))) / (2 · i)))
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘ -𝐴) = (((exp‘(i · -𝐴)) − (exp‘( -i · -𝐴))) / (2 · i)))
4		sinval 16299	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) / (2 · i)))
5	4	negeqd 11558	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(sin‘𝐴) = -(((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) / (2 · i)))
6		ax-icn 11266	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
7		mulcl 11291	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
8	6, 7	mpan 703	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
9		efcl 16257	. . . . . . 7 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
10	8, 9	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
11		negicn 11565	. . . . . . . 8 ⊢ -i ∈ ℂ
12		mulcl 11291	. . . . . . . 8 ⊢ (( -i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ( -i · 𝐴) ∈ ℂ)
13	11, 12	mpan 703	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ( -i · 𝐴) ∈ ℂ)
14		efcl 16257	. . . . . . 7 ⊢ (( -i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘( -i · 𝐴)) ∈ ℂ)
15	13, 14	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘( -i · 𝐴)) ∈ ℂ)
16	10, 15	subcld 11676	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) ∈ ℂ)
17		2mulicn 12577	. . . . . 6 ⊢ (2 · i) ∈ ℂ
18		2muline0 12578	. . . . . 6 ⊢ (2 · i) ≠ 0
19		divneg 12015	. . . . . 6 ⊢ ((((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) ∈ ℂ ∧ (2 · i) ∈ ℂ ∧ (2 · i) ≠ 0) → -(((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) / (2 · i)) = ( -((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) / (2 · i)))
20	17, 18, 19	mp3an23 1482	. . . . 5 ⊢ (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) ∈ ℂ → -(((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) / (2 · i)) = ( -((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) / (2 · i)))
21	16, 20	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) / (2 · i)) = ( -((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) / (2 · i)))
22	5, 21	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(sin‘𝐴) = ( -((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) / (2 · i)))
23		mulneg12 11761	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ( -i · 𝐴) = (i · -𝐴))
24	6, 23	mpan 703	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ( -i · 𝐴) = (i · -𝐴))
25	24	eqcomd 2766	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · -𝐴) = ( -i · 𝐴))
26	25	fveq2d 6894	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · -𝐴)) = (exp‘( -i · 𝐴)))
27		mul2neg 11762	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ( -i · -𝐴) = (i · 𝐴))
28	6, 27	mpan 703	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ( -i · -𝐴) = (i · 𝐴))
29	28	fveq2d 6894	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘( -i · -𝐴)) = (exp‘(i · 𝐴)))
30	26, 29	oveq12d 7442	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · -𝐴)) − (exp‘( -i · -𝐴))) = ((exp‘( -i · 𝐴)) − (exp‘(i · 𝐴))))
31	10, 15	negsubdi2d 11692	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) = ((exp‘( -i · 𝐴)) − (exp‘(i · 𝐴))))
32	30, 31	eqtr4d 2798	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · -𝐴)) − (exp‘( -i · -𝐴))) = -((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))))
33	32	oveq1d 7439	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · -𝐴)) − (exp‘( -i · -𝐴))) / (2 · i)) = ( -((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) / (2 · i)))
34	22, 33	eqtr4d 2798	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(sin‘𝐴) = (((exp‘(i · -𝐴)) − (exp‘( -i · -𝐴))) / (2 · i)))
35	3, 34	eqtr4d 2798	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘ -𝐴) = -(sin‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  ℂcc 11205  0cc0 11207  ici 11209   · cmul 11212   − cmin 11548   -cneg 11549   / cdiv 11980  2c2 12404  expce 16236  sincsin 16238

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-inf2 9649  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8483  df-er 8724  df-pm 8857  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-fin 8984  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9511  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-rp 13128  df-ico 13489  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-fl 13939  df-seq 14152  df-exp 14212  df-fac 14425  df-hash 14482  df-shft 15229  df-cj 15275  df-re 15276  df-im 15277  df-sqrt 15411  df-abs 15412  df-limsup 15647  df-clim 15664  df-rlim 15665  df-sum 15863  df-ef 16242  df-sin 16244

This theorem is used by:  tanneg  16325  sin0  16326  efmival  16330  sinsub  16345  cossub  16346  sincossq  16353  sin2pim  26823  reasinsin  27233  atantan  27260  sinccvglem  36527  sinpim  43510  dirkertrigeqlem2  47217  fourierdlem43  47268  fourierdlem44  47269  sqwvfoura  47346