Theorem sinneg 15855

Description: The sine of a negative is the negative of the sine. (Contributed by NM, 30-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
sinneg	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘-𝐴) = -(sin‘𝐴))

Proof of Theorem sinneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negcl 11221	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
2		sinval 15831	. . 3 ⊢ (-𝐴 ∈ ℂ → (sin‘-𝐴) = (((exp‘(i · -𝐴)) − (exp‘(-i · -𝐴))) / (2 · i)))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘-𝐴) = (((exp‘(i · -𝐴)) − (exp‘(-i · -𝐴))) / (2 · i)))
4		sinval 15831	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)))
5	4	negeqd 11215	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(sin‘𝐴) = -(((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)))
6		ax-icn 10930	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
7		mulcl 10955	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
8	6, 7	mpan 687	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
9		efcl 15792	. . . . . . 7 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
10	8, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
11		negicn 11222	. . . . . . . 8 ⊢ -i ∈ ℂ
12		mulcl 10955	. . . . . . . 8 ⊢ ((-i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
13	11, 12	mpan 687	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
14		efcl 15792	. . . . . . 7 ⊢ ((-i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) ∈ ℂ)
15	13, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) ∈ ℂ)
16	10, 15	subcld 11332	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ)
17		2mulicn 12196	. . . . . 6 ⊢ (2 · i) ∈ ℂ
18		2muline0 12197	. . . . . 6 ⊢ (2 · i) ≠ 0
19		divneg 11667	. . . . . 6 ⊢ ((((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ ∧ (2 · i) ∈ ℂ ∧ (2 · i) ≠ 0) → -(((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)) = (-((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)))
20	17, 18, 19	mp3an23 1452	. . . . 5 ⊢ (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ → -(((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)) = (-((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)))
21	16, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)) = (-((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)))
22	5, 21	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(sin‘𝐴) = (-((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)))
23		mulneg12 11413	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · 𝐴) = (i · -𝐴))
24	6, 23	mpan 687	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-i · 𝐴) = (i · -𝐴))
25	24	eqcomd 2744	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · -𝐴) = (-i · 𝐴))
26	25	fveq2d 6778	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · -𝐴)) = (exp‘(-i · 𝐴)))
27		mul2neg 11414	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · -𝐴) = (i · 𝐴))
28	6, 27	mpan 687	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-i · -𝐴) = (i · 𝐴))
29	28	fveq2d 6778	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · -𝐴)) = (exp‘(i · 𝐴)))
30	26, 29	oveq12d 7293	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · -𝐴)) − (exp‘(-i · -𝐴))) = ((exp‘(-i · 𝐴)) − (exp‘(i · 𝐴))))
31	10, 15	negsubdi2d 11348	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) = ((exp‘(-i · 𝐴)) − (exp‘(i · 𝐴))))
32	30, 31	eqtr4d 2781	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · -𝐴)) − (exp‘(-i · -𝐴))) = -((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))))
33	32	oveq1d 7290	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · -𝐴)) − (exp‘(-i · -𝐴))) / (2 · i)) = (-((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)))
34	22, 33	eqtr4d 2781	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(sin‘𝐴) = (((exp‘(i · -𝐴)) − (exp‘(-i · -𝐴))) / (2 · i)))
35	3, 34	eqtr4d 2781	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘-𝐴) = -(sin‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  0cc0 10871  ici 10873   · cmul 10876   − cmin 11205  -cneg 11206   / cdiv 11632  2c2 12028  expce 15771  sincsin 15773

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-ico 13085  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-seq 13722  df-exp 13783  df-fac 13988  df-hash 14045  df-shft 14778  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-limsup 15180  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398  df-ef 15777  df-sin 15779

This theorem is referenced by:  tanneg  15857  sin0  15858  efmival  15862  sinsub  15877  cossub  15878  sincossq  15885  sin2pim  25642  reasinsin  26046  atantan  26073  sinccvglem  33630  dirkertrigeqlem2  43640  fourierdlem43  43691  fourierdlem44  43692  sqwvfoura  43769