MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sinneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sinneg 16094
Description: The sine of a negative is the negative of the sine. (Contributed by NM, 30-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
sinneg (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜-𝐴) = -(sinβ€˜π΄))

Proof of Theorem sinneg
StepHypRef Expression
1 negcl 11461 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ -𝐴 ∈ β„‚)
2 sinval 16070 . . 3 (-𝐴 ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜-𝐴) = (((expβ€˜(i Β· -𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· -𝐴))) / (2 Β· i)))
31, 2syl 17 . 2 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜-𝐴) = (((expβ€˜(i Β· -𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· -𝐴))) / (2 Β· i)))
4 sinval 16070 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜π΄) = (((expβ€˜(i Β· 𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴))) / (2 Β· i)))
54negeqd 11455 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ -(sinβ€˜π΄) = -(((expβ€˜(i Β· 𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴))) / (2 Β· i)))
6 ax-icn 11168 . . . . . . . 8 i ∈ β„‚
7 mulcl 11193 . . . . . . . 8 ((i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (i Β· 𝐴) ∈ β„‚)
86, 7mpan 687 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (i Β· 𝐴) ∈ β„‚)
9 efcl 16030 . . . . . . 7 ((i Β· 𝐴) ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(i Β· 𝐴)) ∈ β„‚)
108, 9syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(i Β· 𝐴)) ∈ β„‚)
11 negicn 11462 . . . . . . . 8 -i ∈ β„‚
12 mulcl 11193 . . . . . . . 8 ((-i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (-i Β· 𝐴) ∈ β„‚)
1311, 12mpan 687 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (-i Β· 𝐴) ∈ β„‚)
14 efcl 16030 . . . . . . 7 ((-i Β· 𝐴) ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴)) ∈ β„‚)
1513, 14syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴)) ∈ β„‚)
1610, 15subcld 11572 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((expβ€˜(i Β· 𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴))) ∈ β„‚)
17 2mulicn 12436 . . . . . 6 (2 Β· i) ∈ β„‚
18 2muline0 12437 . . . . . 6 (2 Β· i) β‰  0
19 divneg 11907 . . . . . 6 ((((expβ€˜(i Β· 𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴))) ∈ β„‚ ∧ (2 Β· i) ∈ β„‚ ∧ (2 Β· i) β‰  0) β†’ -(((expβ€˜(i Β· 𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴))) / (2 Β· i)) = (-((expβ€˜(i Β· 𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴))) / (2 Β· i)))
2017, 18, 19mp3an23 1449 . . . . 5 (((expβ€˜(i Β· 𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴))) ∈ β„‚ β†’ -(((expβ€˜(i Β· 𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴))) / (2 Β· i)) = (-((expβ€˜(i Β· 𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴))) / (2 Β· i)))
2116, 20syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ -(((expβ€˜(i Β· 𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴))) / (2 Β· i)) = (-((expβ€˜(i Β· 𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴))) / (2 Β· i)))
225, 21eqtrd 2766 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ -(sinβ€˜π΄) = (-((expβ€˜(i Β· 𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴))) / (2 Β· i)))
23 mulneg12 11653 . . . . . . . . 9 ((i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (-i Β· 𝐴) = (i Β· -𝐴))
246, 23mpan 687 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (-i Β· 𝐴) = (i Β· -𝐴))
2524eqcomd 2732 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (i Β· -𝐴) = (-i Β· 𝐴))
2625fveq2d 6888 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(i Β· -𝐴)) = (expβ€˜(-i Β· 𝐴)))
27 mul2neg 11654 . . . . . . . 8 ((i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (-i Β· -𝐴) = (i Β· 𝐴))
286, 27mpan 687 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (-i Β· -𝐴) = (i Β· 𝐴))
2928fveq2d 6888 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(-i Β· -𝐴)) = (expβ€˜(i Β· 𝐴)))
3026, 29oveq12d 7422 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((expβ€˜(i Β· -𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· -𝐴))) = ((expβ€˜(-i Β· 𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(i Β· 𝐴))))
3110, 15negsubdi2d 11588 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ -((expβ€˜(i Β· 𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴))) = ((expβ€˜(-i Β· 𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(i Β· 𝐴))))
3230, 31eqtr4d 2769 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((expβ€˜(i Β· -𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· -𝐴))) = -((expβ€˜(i Β· 𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴))))
3332oveq1d 7419 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((expβ€˜(i Β· -𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· -𝐴))) / (2 Β· i)) = (-((expβ€˜(i Β· 𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴))) / (2 Β· i)))
3422, 33eqtr4d 2769 . 2 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ -(sinβ€˜π΄) = (((expβ€˜(i Β· -𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· -𝐴))) / (2 Β· i)))
353, 34eqtr4d 2769 1 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜-𝐴) = -(sinβ€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  β„‚cc 11107  0cc0 11109  ici 11111   Β· cmul 11114   βˆ’ cmin 11445  -cneg 11446   / cdiv 11872  2c2 12268  expce 16009  sincsin 16011
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-ico 13333  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-seq 13970  df-exp 14031  df-fac 14237  df-hash 14294  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-ef 16015  df-sin 16017
This theorem is referenced by:  tanneg  16096  sin0  16097  efmival  16101  sinsub  16116  cossub  16117  sincossq  16124  sin2pim  26371  reasinsin  26779  atantan  26806  sinccvglem  35185  dirkertrigeqlem2  45368  fourierdlem43  45419  fourierdlem44  45420  sqwvfoura  45497
  Copyright terms: Public domain W3C validator