Theorem sinneg 16164

Description: The sine of a negative is the negative of the sine. (Contributed by NM, 30-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
sinneg	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘-𝐴) = -(sin‘𝐴))

Proof of Theorem sinneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negcl 11490	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
2		sinval 16140	. . 3 ⊢ (-𝐴 ∈ ℂ → (sin‘-𝐴) = (((exp‘(i · -𝐴)) − (exp‘(-i · -𝐴))) / (2 · i)))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘-𝐴) = (((exp‘(i · -𝐴)) − (exp‘(-i · -𝐴))) / (2 · i)))
4		sinval 16140	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)))
5	4	negeqd 11484	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(sin‘𝐴) = -(((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)))
6		ax-icn 11196	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
7		mulcl 11221	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
8	6, 7	mpan 690	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
9		efcl 16100	. . . . . . 7 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
10	8, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
11		negicn 11491	. . . . . . . 8 ⊢ -i ∈ ℂ
12		mulcl 11221	. . . . . . . 8 ⊢ ((-i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
13	11, 12	mpan 690	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
14		efcl 16100	. . . . . . 7 ⊢ ((-i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) ∈ ℂ)
15	13, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) ∈ ℂ)
16	10, 15	subcld 11602	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ)
17		2mulicn 12473	. . . . . 6 ⊢ (2 · i) ∈ ℂ
18		2muline0 12474	. . . . . 6 ⊢ (2 · i) ≠ 0
19		divneg 11941	. . . . . 6 ⊢ ((((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ ∧ (2 · i) ∈ ℂ ∧ (2 · i) ≠ 0) → -(((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)) = (-((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)))
20	17, 18, 19	mp3an23 1454	. . . . 5 ⊢ (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ → -(((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)) = (-((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)))
21	16, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)) = (-((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)))
22	5, 21	eqtrd 2769	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(sin‘𝐴) = (-((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)))
23		mulneg12 11683	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · 𝐴) = (i · -𝐴))
24	6, 23	mpan 690	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-i · 𝐴) = (i · -𝐴))
25	24	eqcomd 2740	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · -𝐴) = (-i · 𝐴))
26	25	fveq2d 6890	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · -𝐴)) = (exp‘(-i · 𝐴)))
27		mul2neg 11684	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · -𝐴) = (i · 𝐴))
28	6, 27	mpan 690	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-i · -𝐴) = (i · 𝐴))
29	28	fveq2d 6890	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · -𝐴)) = (exp‘(i · 𝐴)))
30	26, 29	oveq12d 7431	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · -𝐴)) − (exp‘(-i · -𝐴))) = ((exp‘(-i · 𝐴)) − (exp‘(i · 𝐴))))
31	10, 15	negsubdi2d 11618	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) = ((exp‘(-i · 𝐴)) − (exp‘(i · 𝐴))))
32	30, 31	eqtr4d 2772	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · -𝐴)) − (exp‘(-i · -𝐴))) = -((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))))
33	32	oveq1d 7428	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · -𝐴)) − (exp‘(-i · -𝐴))) / (2 · i)) = (-((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)))
34	22, 33	eqtr4d 2772	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(sin‘𝐴) = (((exp‘(i · -𝐴)) − (exp‘(-i · -𝐴))) / (2 · i)))
35	3, 34	eqtr4d 2772	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘-𝐴) = -(sin‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413  ℂcc 11135  0cc0 11137  ici 11139   · cmul 11142   − cmin 11474  -cneg 11475   / cdiv 11902  2c2 12303  expce 16079  sincsin 16081

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-inf2 9663  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214  ax-pre-sup 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-er 8727  df-pm 8851  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-fin 8971  df-sup 9464  df-inf 9465  df-oi 9532  df-card 9961  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11903  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-n0 12510  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13017  df-ico 13375  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-fl 13814  df-seq 14025  df-exp 14085  df-fac 14295  df-hash 14352  df-shft 15088  df-cj 15120  df-re 15121  df-im 15122  df-sqrt 15256  df-abs 15257  df-limsup 15489  df-clim 15506  df-rlim 15507  df-sum 15705  df-ef 16085  df-sin 16087

This theorem is referenced by:  tanneg  16166  sin0  16167  efmival  16171  sinsub  16186  cossub  16187  sincossq  16194  sin2pim  26463  reasinsin  26875  atantan  26902  sinccvglem  35636  dirkertrigeqlem2  46071  fourierdlem43  46122  fourierdlem44  46123  sqwvfoura  46200