MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sinneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sinneg 16130
Description: The sine of a negative is the negative of the sine. (Contributed by NM, 30-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
sinneg (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜-𝐴) = -(sinβ€˜π΄))

Proof of Theorem sinneg
StepHypRef Expression
1 negcl 11498 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ -𝐴 ∈ β„‚)
2 sinval 16106 . . 3 (-𝐴 ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜-𝐴) = (((expβ€˜(i Β· -𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· -𝐴))) / (2 Β· i)))
31, 2syl 17 . 2 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜-𝐴) = (((expβ€˜(i Β· -𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· -𝐴))) / (2 Β· i)))
4 sinval 16106 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜π΄) = (((expβ€˜(i Β· 𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴))) / (2 Β· i)))
54negeqd 11492 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ -(sinβ€˜π΄) = -(((expβ€˜(i Β· 𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴))) / (2 Β· i)))
6 ax-icn 11205 . . . . . . . 8 i ∈ β„‚
7 mulcl 11230 . . . . . . . 8 ((i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (i Β· 𝐴) ∈ β„‚)
86, 7mpan 688 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (i Β· 𝐴) ∈ β„‚)
9 efcl 16066 . . . . . . 7 ((i Β· 𝐴) ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(i Β· 𝐴)) ∈ β„‚)
108, 9syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(i Β· 𝐴)) ∈ β„‚)
11 negicn 11499 . . . . . . . 8 -i ∈ β„‚
12 mulcl 11230 . . . . . . . 8 ((-i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (-i Β· 𝐴) ∈ β„‚)
1311, 12mpan 688 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (-i Β· 𝐴) ∈ β„‚)
14 efcl 16066 . . . . . . 7 ((-i Β· 𝐴) ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴)) ∈ β„‚)
1513, 14syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴)) ∈ β„‚)
1610, 15subcld 11609 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((expβ€˜(i Β· 𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴))) ∈ β„‚)
17 2mulicn 12473 . . . . . 6 (2 Β· i) ∈ β„‚
18 2muline0 12474 . . . . . 6 (2 Β· i) β‰  0
19 divneg 11944 . . . . . 6 ((((expβ€˜(i Β· 𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴))) ∈ β„‚ ∧ (2 Β· i) ∈ β„‚ ∧ (2 Β· i) β‰  0) β†’ -(((expβ€˜(i Β· 𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴))) / (2 Β· i)) = (-((expβ€˜(i Β· 𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴))) / (2 Β· i)))
2017, 18, 19mp3an23 1449 . . . . 5 (((expβ€˜(i Β· 𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴))) ∈ β„‚ β†’ -(((expβ€˜(i Β· 𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴))) / (2 Β· i)) = (-((expβ€˜(i Β· 𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴))) / (2 Β· i)))
2116, 20syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ -(((expβ€˜(i Β· 𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴))) / (2 Β· i)) = (-((expβ€˜(i Β· 𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴))) / (2 Β· i)))
225, 21eqtrd 2768 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ -(sinβ€˜π΄) = (-((expβ€˜(i Β· 𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴))) / (2 Β· i)))
23 mulneg12 11690 . . . . . . . . 9 ((i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (-i Β· 𝐴) = (i Β· -𝐴))
246, 23mpan 688 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (-i Β· 𝐴) = (i Β· -𝐴))
2524eqcomd 2734 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (i Β· -𝐴) = (-i Β· 𝐴))
2625fveq2d 6906 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(i Β· -𝐴)) = (expβ€˜(-i Β· 𝐴)))
27 mul2neg 11691 . . . . . . . 8 ((i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (-i Β· -𝐴) = (i Β· 𝐴))
286, 27mpan 688 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (-i Β· -𝐴) = (i Β· 𝐴))
2928fveq2d 6906 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(-i Β· -𝐴)) = (expβ€˜(i Β· 𝐴)))
3026, 29oveq12d 7444 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((expβ€˜(i Β· -𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· -𝐴))) = ((expβ€˜(-i Β· 𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(i Β· 𝐴))))
3110, 15negsubdi2d 11625 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ -((expβ€˜(i Β· 𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴))) = ((expβ€˜(-i Β· 𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(i Β· 𝐴))))
3230, 31eqtr4d 2771 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((expβ€˜(i Β· -𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· -𝐴))) = -((expβ€˜(i Β· 𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴))))
3332oveq1d 7441 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((expβ€˜(i Β· -𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· -𝐴))) / (2 Β· i)) = (-((expβ€˜(i Β· 𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴))) / (2 Β· i)))
3422, 33eqtr4d 2771 . 2 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ -(sinβ€˜π΄) = (((expβ€˜(i Β· -𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· -𝐴))) / (2 Β· i)))
353, 34eqtr4d 2771 1 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜-𝐴) = -(sinβ€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„‚cc 11144  0cc0 11146  ici 11148   Β· cmul 11151   βˆ’ cmin 11482  -cneg 11483   / cdiv 11909  2c2 12305  expce 16045  sincsin 16047
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-pm 8854  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-ico 13370  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-seq 14007  df-exp 14067  df-fac 14273  df-hash 14330  df-shft 15054  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-limsup 15455  df-clim 15472  df-rlim 15473  df-sum 15673  df-ef 16051  df-sin 16053
This theorem is referenced by:  tanneg  16132  sin0  16133  efmival  16137  sinsub  16152  cossub  16153  sincossq  16160  sin2pim  26440  reasinsin  26848  atantan  26875  sinccvglem  35309  dirkertrigeqlem2  45516  fourierdlem43  45567  fourierdlem44  45568  sqwvfoura  45645
  Copyright terms: Public domain W3C validator