Theorem tanval2 16060

Description: Express the tangent function directly in terms of exp. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tanval2	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))))

Proof of Theorem tanval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tanval 16055	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘𝐴) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
2		2cn 12221	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
3		ax-icn 11087	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
4	2, 3	mulcomi 11142	. . . . . 6 ⊢ (2 · i) = (i · 2)
5	4	oveq2i 7364	. . . . 5 ⊢ (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (i · 2))
6		sinval 16049	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)))
7	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (sin‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)))
8		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
9		mulcl 11112	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
10	3, 8, 9	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
11		efcl 16007	. . . . . . . 8 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
13		negicn 11382	. . . . . . . . 9 ⊢ -i ∈ ℂ
14		mulcl 11112	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
15	13, 8, 14	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
16		efcl 16007	. . . . . . . 8 ⊢ ((-i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) ∈ ℂ)
17	15, 16	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (exp‘(-i · 𝐴)) ∈ ℂ)
18	12, 17	subcld 11493	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ)
19	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → i ∈ ℂ)
20	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → 2 ∈ ℂ)
21		ine0 11573	. . . . . . 7 ⊢ i ≠ 0
22	21	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → i ≠ 0)
23		2ne0 12250	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
24	23	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → 2 ≠ 0)
25	18, 19, 20, 22, 24	divdiv1d 11949	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → ((((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / i) / 2) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (i · 2)))
26	5, 7, 25	3eqtr4a 2790	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (sin‘𝐴) = ((((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / i) / 2))
27		cosval 16050	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2))
28	27	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (cos‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2))
29	26, 28	oveq12d 7371	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)) = (((((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / i) / 2) / (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2)))
30	1, 29	eqtrd 2764	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘𝐴) = (((((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / i) / 2) / (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2)))
31	18, 19, 22	divcld 11918	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / i) ∈ ℂ)
32	12, 17	addcld 11153	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ)
33		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (cos‘𝐴) ≠ 0)
34	28, 33	eqnetrrd 2993	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2) ≠ 0)
35	32, 20, 24	diveq0ad 11928	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2) = 0 ↔ ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) = 0))
36	35	necon3bid 2969	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2) ≠ 0 ↔ ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) ≠ 0))
37	34, 36	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) ≠ 0)
38	31, 32, 20, 37, 24	divcan7d 11946	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (((((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / i) / 2) / (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2)) = ((((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / i) / ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴)))))
39	18, 19, 32, 22, 37	divdiv1d 11949	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → ((((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / i) / ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴)))) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))))
40	30, 38, 39	3eqtrd 2768	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  0cc0 11028  ici 11030   + caddc 11031   · cmul 11033   − cmin 11365  -cneg 11366   / cdiv 11795  2c2 12201  expce 15986  sincsin 15988  cosccos 15989  tanctan 15990

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-pm 8763  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9351  df-inf 9352  df-oi 9421  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-rp 12912  df-ico 13272  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-fl 13714  df-seq 13927  df-exp 13987  df-fac 14199  df-hash 14256  df-shft 14992  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-limsup 15396  df-clim 15413  df-rlim 15414  df-sum 15612  df-ef 15992  df-sin 15994  df-cos 15995  df-tan 15996

This theorem is referenced by:  tanval3  16061