Theorem tanval2 15842

Description: Express the tangent function directly in terms of exp. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tanval2	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))))

Proof of Theorem tanval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tanval 15837	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘𝐴) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
2		2cn 12048	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
3		ax-icn 10930	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
4	2, 3	mulcomi 10983	. . . . . 6 ⊢ (2 · i) = (i · 2)
5	4	oveq2i 7286	. . . . 5 ⊢ (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (i · 2))
6		sinval 15831	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)))
7	6	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (sin‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)))
8		simpl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
9		mulcl 10955	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
10	3, 8, 9	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
11		efcl 15792	. . . . . . . 8 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
13		negicn 11222	. . . . . . . . 9 ⊢ -i ∈ ℂ
14		mulcl 10955	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
15	13, 8, 14	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
16		efcl 15792	. . . . . . . 8 ⊢ ((-i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) ∈ ℂ)
17	15, 16	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (exp‘(-i · 𝐴)) ∈ ℂ)
18	12, 17	subcld 11332	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ)
19	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → i ∈ ℂ)
20	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → 2 ∈ ℂ)
21		ine0 11410	. . . . . . 7 ⊢ i ≠ 0
22	21	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → i ≠ 0)
23		2ne0 12077	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
24	23	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → 2 ≠ 0)
25	18, 19, 20, 22, 24	divdiv1d 11782	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → ((((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / i) / 2) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (i · 2)))
26	5, 7, 25	3eqtr4a 2804	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (sin‘𝐴) = ((((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / i) / 2))
27		cosval 15832	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2))
28	27	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (cos‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2))
29	26, 28	oveq12d 7293	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)) = (((((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / i) / 2) / (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2)))
30	1, 29	eqtrd 2778	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘𝐴) = (((((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / i) / 2) / (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2)))
31	18, 19, 22	divcld 11751	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / i) ∈ ℂ)
32	12, 17	addcld 10994	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ)
33		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (cos‘𝐴) ≠ 0)
34	28, 33	eqnetrrd 3012	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2) ≠ 0)
35	32, 20, 24	diveq0ad 11761	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2) = 0 ↔ ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) = 0))
36	35	necon3bid 2988	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2) ≠ 0 ↔ ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) ≠ 0))
37	34, 36	mpbid 231	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) ≠ 0)
38	31, 32, 20, 37, 24	divcan7d 11779	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (((((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / i) / 2) / (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2)) = ((((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / i) / ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴)))))
39	18, 19, 32, 22, 37	divdiv1d 11782	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → ((((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / i) / ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴)))) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))))
40	30, 38, 39	3eqtrd 2782	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  0cc0 10871  ici 10873   + caddc 10874   · cmul 10876   − cmin 11205  -cneg 11206   / cdiv 11632  2c2 12028  expce 15771  sincsin 15773  cosccos 15774  tanctan 15775

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-ico 13085  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-seq 13722  df-exp 13783  df-fac 13988  df-hash 14045  df-shft 14778  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-limsup 15180  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398  df-ef 15777  df-sin 15779  df-cos 15780  df-tan 15781

This theorem is referenced by:  tanval3  15843