MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sinasin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sinasin 26947
Description: The arcsine function is an inverse to sin. This is the main property that justifies the notation arcsin or sin↑-1. Because sin is not an injection, the other converse identity asinsin 26950 is only true under limited circumstances. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
sinasin (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(arcsin‘𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem sinasin
StepHypRef Expression
1 asincl 26931 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (arcsin‘𝐴) ∈ ℂ)
2 sinval 16155 . . 3 ((arcsin‘𝐴) ∈ ℂ → (sin‘(arcsin‘𝐴)) = (((exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) − (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴)))) / (2 · i)))
31, 2syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(arcsin‘𝐴)) = (((exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) − (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴)))) / (2 · i)))
4 ax-icn 11212 . . . . . 6 i ∈ ℂ
5 mulcl 11237 . . . . . 6 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
64, 5mpan 690 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
76negcld 11605 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → -(i · 𝐴) ∈ ℂ)
8 ax-1cn 11211 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
9 sqcl 14155 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
10 subcl 11505 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → (1 − (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
118, 9, 10sylancr 587 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (1 − (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
1211sqrtcld 15473 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(1 − (𝐴↑2))) ∈ ℂ)
136, 7, 12pnpcan2d 11656 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) − (-(i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) = ((i · 𝐴) − -(i · 𝐴)))
14 efiasin 26946 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) = ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
15 mulneg12 11699 . . . . . . . . 9 ((i ∈ ℂ ∧ (arcsin‘𝐴) ∈ ℂ) → (-i · (arcsin‘𝐴)) = (i · -(arcsin‘𝐴)))
164, 1, 15sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (-i · (arcsin‘𝐴)) = (i · -(arcsin‘𝐴)))
17 asinneg 26944 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (arcsin‘-𝐴) = -(arcsin‘𝐴))
1817oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (arcsin‘-𝐴)) = (i · -(arcsin‘𝐴)))
1916, 18eqtr4d 2778 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (-i · (arcsin‘𝐴)) = (i · (arcsin‘-𝐴)))
2019fveq2d 6911 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴))) = (exp‘(i · (arcsin‘-𝐴))))
21 negcl 11506 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
22 efiasin 26946 . . . . . . 7 (-𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (arcsin‘-𝐴))) = ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))
2321, 22syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (arcsin‘-𝐴))) = ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))
24 mulneg2 11698 . . . . . . . 8 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · -𝐴) = -(i · 𝐴))
254, 24mpan 690 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (i · -𝐴) = -(i · 𝐴))
26 sqneg 14153 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴↑2) = (𝐴↑2))
2726oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (1 − (-𝐴↑2)) = (1 − (𝐴↑2)))
2827fveq2d 6911 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(1 − (-𝐴↑2))) = (√‘(1 − (𝐴↑2))))
2925, 28oveq12d 7449 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))) = (-(i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
3020, 23, 293eqtrd 2779 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴))) = (-(i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
3114, 30oveq12d 7449 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) − (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴)))) = (((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) − (-(i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))
3262timesd 12507 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (i · 𝐴)) = ((i · 𝐴) + (i · 𝐴)))
33 2cn 12339 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
34 mulass 11241 . . . . . 6 ((2 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((2 · i) · 𝐴) = (2 · (i · 𝐴)))
3533, 4, 34mp3an12 1450 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · i) · 𝐴) = (2 · (i · 𝐴)))
366, 6subnegd 11625 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) − -(i · 𝐴)) = ((i · 𝐴) + (i · 𝐴)))
3732, 35, 363eqtr4d 2785 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · i) · 𝐴) = ((i · 𝐴) − -(i · 𝐴)))
3813, 31, 373eqtr4d 2785 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) − (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴)))) = ((2 · i) · 𝐴))
39 mulcl 11237 . . . . . . 7 ((i ∈ ℂ ∧ (arcsin‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (arcsin‘𝐴)) ∈ ℂ)
404, 1, 39sylancr 587 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (arcsin‘𝐴)) ∈ ℂ)
41 efcl 16115 . . . . . 6 ((i · (arcsin‘𝐴)) ∈ ℂ → (exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) ∈ ℂ)
4240, 41syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) ∈ ℂ)
43 negicn 11507 . . . . . . 7 -i ∈ ℂ
44 mulcl 11237 . . . . . . 7 ((-i ∈ ℂ ∧ (arcsin‘𝐴) ∈ ℂ) → (-i · (arcsin‘𝐴)) ∈ ℂ)
4543, 1, 44sylancr 587 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (-i · (arcsin‘𝐴)) ∈ ℂ)
46 efcl 16115 . . . . . 6 ((-i · (arcsin‘𝐴)) ∈ ℂ → (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴))) ∈ ℂ)
4745, 46syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴))) ∈ ℂ)
4842, 47subcld 11618 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) − (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴)))) ∈ ℂ)
49 id 22 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
50 2mulicn 12487 . . . . 5 (2 · i) ∈ ℂ
5150a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · i) ∈ ℂ)
52 2muline0 12488 . . . . 5 (2 · i) ≠ 0
5352a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · i) ≠ 0)
5448, 49, 51, 53divmul2d 12074 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) − (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴)))) / (2 · i)) = 𝐴 ↔ ((exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) − (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴)))) = ((2 · i) · 𝐴)))
5538, 54mpbird 257 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) − (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴)))) / (2 · i)) = 𝐴)
563, 55eqtrd 2775 1 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(arcsin‘𝐴)) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  0cc0 11153  1c1 11154  ici 11155   + caddc 11156   · cmul 11158  cmin 11490  -cneg 11491   / cdiv 11918  2c2 12319  cexp 14099  csqrt 15269  expce 16094  sincsin 16096  arcsincasin 26920
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15103  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-ef 16100  df-sin 16102  df-cos 16103  df-pi 16105  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-limc 25916  df-dv 25917  df-log 26613  df-asin 26923
This theorem is referenced by:  cosacos  26948  asinsinb  26955
  Copyright terms: Public domain W3C validator