Theorem sinasin 27224

Description: The arcsine function is an inverse to sin. This is the main property that justifies the notation arcsin or sin↑ -1. Because sin is not an injection, the other converse identity asinsin 27227 is only true under limited circumstances. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
sinasin	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(arcsin‘𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem sinasin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		asincl 27208	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (arcsin‘𝐴) ∈ ℂ)
2		sinval 16297	. . 3 ⊢ ((arcsin‘𝐴) ∈ ℂ → (sin‘(arcsin‘𝐴)) = (((exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) − (exp‘( -i · (arcsin‘𝐴)))) / (2 · i)))
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(arcsin‘𝐴)) = (((exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) − (exp‘( -i · (arcsin‘𝐴)))) / (2 · i)))
4		ax-icn 11264	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
5		mulcl 11289	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
6	4, 5	mpan 703	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
7	6	negcld 11661	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(i · 𝐴) ∈ ℂ)
8		ax-1cn 11263	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
9		sqcl 14266	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
10		subcl 11561	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → (1 − (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
11	8, 9, 10	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 − (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
12	11	sqrtcld 15614	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(1 − (𝐴↑2))) ∈ ℂ)
13	6, 7, 12	pnpcan2d 11712	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) − ( -(i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) = ((i · 𝐴) − -(i · 𝐴)))
14		efiasin 27223	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) = ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
15		mulneg12 11759	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (arcsin‘𝐴) ∈ ℂ) → ( -i · (arcsin‘𝐴)) = (i · -(arcsin‘𝐴)))
16	4, 1, 15	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ( -i · (arcsin‘𝐴)) = (i · -(arcsin‘𝐴)))
17		asinneg 27221	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (arcsin‘ -𝐴) = -(arcsin‘𝐴))
18	17	oveq2d 7438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (arcsin‘ -𝐴)) = (i · -(arcsin‘𝐴)))
19	16, 18	eqtr4d 2798	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ( -i · (arcsin‘𝐴)) = (i · (arcsin‘ -𝐴)))
20	19	fveq2d 6892	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘( -i · (arcsin‘𝐴))) = (exp‘(i · (arcsin‘ -𝐴))))
21		negcl 11562	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
22		efiasin 27223	. . . . . . 7 ⊢ ( -𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (arcsin‘ -𝐴))) = ((i · -𝐴) + (√‘(1 − ( -𝐴↑2)))))
23	21, 22	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (arcsin‘ -𝐴))) = ((i · -𝐴) + (√‘(1 − ( -𝐴↑2)))))
24		mulneg2 11758	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · -𝐴) = -(i · 𝐴))
25	4, 24	mpan 703	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · -𝐴) = -(i · 𝐴))
26		sqneg 14263	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ( -𝐴↑2) = (𝐴↑2))
27	26	oveq2d 7438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 − ( -𝐴↑2)) = (1 − (𝐴↑2)))
28	27	fveq2d 6892	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(1 − ( -𝐴↑2))) = (√‘(1 − (𝐴↑2))))
29	25, 28	oveq12d 7440	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · -𝐴) + (√‘(1 − ( -𝐴↑2)))) = ( -(i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
30	20, 23, 29	3eqtrd 2799	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘( -i · (arcsin‘𝐴))) = ( -(i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
31	14, 30	oveq12d 7440	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) − (exp‘( -i · (arcsin‘𝐴)))) = (((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) − ( -(i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))
32	6	2timesd 12594	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (i · 𝐴)) = ((i · 𝐴) + (i · 𝐴)))
33		2cn 12423	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
34		mulass 11293	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((2 · i) · 𝐴) = (2 · (i · 𝐴)))
35	33, 4, 34	mp3an12 1480	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · i) · 𝐴) = (2 · (i · 𝐴)))
36	6, 6	subnegd 11681	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) − -(i · 𝐴)) = ((i · 𝐴) + (i · 𝐴)))
37	32, 35, 36	3eqtr4d 2805	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · i) · 𝐴) = ((i · 𝐴) − -(i · 𝐴)))
38	13, 31, 37	3eqtr4d 2805	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) − (exp‘( -i · (arcsin‘𝐴)))) = ((2 · i) · 𝐴))
39		mulcl 11289	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (arcsin‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (arcsin‘𝐴)) ∈ ℂ)
40	4, 1, 39	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (arcsin‘𝐴)) ∈ ℂ)
41		efcl 16255	. . . . . 6 ⊢ ((i · (arcsin‘𝐴)) ∈ ℂ → (exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) ∈ ℂ)
42	40, 41	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) ∈ ℂ)
43		negicn 11563	. . . . . . 7 ⊢ -i ∈ ℂ
44		mulcl 11289	. . . . . . 7 ⊢ (( -i ∈ ℂ ∧ (arcsin‘𝐴) ∈ ℂ) → ( -i · (arcsin‘𝐴)) ∈ ℂ)
45	43, 1, 44	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ( -i · (arcsin‘𝐴)) ∈ ℂ)
46		efcl 16255	. . . . . 6 ⊢ (( -i · (arcsin‘𝐴)) ∈ ℂ → (exp‘( -i · (arcsin‘𝐴))) ∈ ℂ)
47	45, 46	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘( -i · (arcsin‘𝐴))) ∈ ℂ)
48	42, 47	subcld 11674	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) − (exp‘( -i · (arcsin‘𝐴)))) ∈ ℂ)
49		id 23	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
50		2mulicn 12575	. . . . 5 ⊢ (2 · i) ∈ ℂ
51	50	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · i) ∈ ℂ)
52		2muline0 12576	. . . . 5 ⊢ (2 · i) ≠ 0
53	52	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · i) ≠ 0)
54	48, 49, 51, 53	divmul2d 12131	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) − (exp‘( -i · (arcsin‘𝐴)))) / (2 · i)) = 𝐴 ↔ ((exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) − (exp‘( -i · (arcsin‘𝐴)))) = ((2 · i) · 𝐴)))
55	38, 54	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) − (exp‘( -i · (arcsin‘𝐴)))) / (2 · i)) = 𝐴)
56	3, 55	eqtrd 2795	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(arcsin‘𝐴)) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422  ℂcc 11203  0cc0 11205  1c1 11206  ici 11207   + caddc 11208   · cmul 11210   − cmin 11546   -cneg 11547   / cdiv 11978  2c2 12402  ↑cexp 14209  √csqrt 15407  expce 16234  sincsin 16236  arcsincasin 27197

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-inf2 9647  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282  ax-pre-sup 11283  ax-addf 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-of 7695  df-om 7880  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-supp 8182  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-1o 8481  df-2o 8482  df-er 8722  df-map 8854  df-pm 8855  df-ixp 8931  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-fsupp 9359  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9509  df-card 10025  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-div 11979  df-nn 12341  df-2 12410  df-3 12411  df-4 12412  df-5 12413  df-6 12414  df-7 12415  df-8 12416  df-9 12417  df-n0 12612  df-z 12699  df-dec 12820  df-uz 12971  df-q 13081  df-rp 13126  df-xneg 13246  df-xadd 13247  df-xmul 13248  df-ioo 13485  df-ioc 13486  df-ico 13487  df-icc 13488  df-fz 13645  df-fzo 13794  df-fl 13937  df-mod 14015  df-seq 14150  df-exp 14210  df-fac 14423  df-bc 14452  df-hash 14480  df-shft 15227  df-cj 15273  df-re 15274  df-im 15275  df-sqrt 15409  df-abs 15410  df-limsup 15645  df-clim 15662  df-rlim 15663  df-sum 15861  df-ef 16240  df-sin 16242  df-cos 16243  df-pi 16245  df-struct 17332  df-sets 17349  df-slot 17367  df-ndx 17379  df-base 17395  df-ress 17416  df-plusg 17448  df-mulr 17449  df-starv 17450  df-sca 17451  df-vsca 17452  df-ip 17453  df-tset 17454  df-ple 17455  df-ds 17457  df-unif 17458  df-hom 17459  df-cco 17460  df-rest 17600  df-topn 17601  df-0g 17619  df-gsum 17620  df-topgen 17621  df-pt 17622  df-prds 17625  df-xrs 17681  df-qtop 17686  df-imas 17687  df-xps 17689  df-mre 17763  df-mrc 17764  df-acs 17766  df-mgm 18823  df-sgrp 18915  df-mnd 18931  df-submnd 18986  df-mulg 19285  df-cntz 19538  df-cmn 20003  df-psmet 21677  df-xmet 21678  df-met 21679  df-bl 21680  df-mopn 21681  df-fbas 21682  df-fg 21683  df-cnfld 21686  df-top 23219  df-topon 23236  df-topsp 23258  df-bases 23271  df-cld 23344  df-ntr 23345  df-cls 23346  df-nei 23423  df-lp 23461  df-perf 23462  df-cn 23552  df-cnp 23553  df-haus 23640  df-tx 23888  df-hmeo 24081  df-fil 24172  df-fm 24264  df-flim 24265  df-flf 24266  df-xms 24646  df-ms 24647  df-tms 24648  df-cncf 25206  df-limc 26193  df-dv 26194  df-log 26891  df-asin 27200

This theorem is used by:  cosacos  27225  asinsinb  27232