Theorem sinasin 27274

Description: The arcsine function is an inverse to sin. This is the main property that justifies the notation arcsin or sin↑ -1. Because sin is not an injection, the other converse identity asinsin 27277 is only true under limited circumstances. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
sinasin	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(arcsin‘𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem sinasin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		asincl 27258	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (arcsin‘𝐴) ∈ ℂ)
2		sinval 16334	. . 3 ⊢ ((arcsin‘𝐴) ∈ ℂ → (sin‘(arcsin‘𝐴)) = (((exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) − (exp‘( -i · (arcsin‘𝐴)))) / (2 · i)))
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(arcsin‘𝐴)) = (((exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) − (exp‘( -i · (arcsin‘𝐴)))) / (2 · i)))
4		ax-icn 11298	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
5		mulcl 11323	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
6	4, 5	mpan 703	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
7	6	negcld 11695	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(i · 𝐴) ∈ ℂ)
8		ax-1cn 11297	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
9		sqcl 14301	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
10		subcl 11595	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → (1 − (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
11	8, 9, 10	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 − (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
12	11	sqrtcld 15651	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(1 − (𝐴↑2))) ∈ ℂ)
13	6, 7, 12	pnpcan2d 11746	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) − ( -(i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) = ((i · 𝐴) − -(i · 𝐴)))
14		efiasin 27273	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) = ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
15		mulneg12 11793	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (arcsin‘𝐴) ∈ ℂ) → ( -i · (arcsin‘𝐴)) = (i · -(arcsin‘𝐴)))
16	4, 1, 15	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ( -i · (arcsin‘𝐴)) = (i · -(arcsin‘𝐴)))
17		asinneg 27271	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (arcsin‘ -𝐴) = -(arcsin‘𝐴))
18	17	oveq2d 7467	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (arcsin‘ -𝐴)) = (i · -(arcsin‘𝐴)))
19	16, 18	eqtr4d 2801	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ( -i · (arcsin‘𝐴)) = (i · (arcsin‘ -𝐴)))
20	19	fveq2d 6920	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘( -i · (arcsin‘𝐴))) = (exp‘(i · (arcsin‘ -𝐴))))
21		negcl 11596	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
22		efiasin 27273	. . . . . . 7 ⊢ ( -𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (arcsin‘ -𝐴))) = ((i · -𝐴) + (√‘(1 − ( -𝐴↑2)))))
23	21, 22	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (arcsin‘ -𝐴))) = ((i · -𝐴) + (√‘(1 − ( -𝐴↑2)))))
24		mulneg2 11792	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · -𝐴) = -(i · 𝐴))
25	4, 24	mpan 703	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · -𝐴) = -(i · 𝐴))
26		sqneg 14298	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ( -𝐴↑2) = (𝐴↑2))
27	26	oveq2d 7467	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 − ( -𝐴↑2)) = (1 − (𝐴↑2)))
28	27	fveq2d 6920	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(1 − ( -𝐴↑2))) = (√‘(1 − (𝐴↑2))))
29	25, 28	oveq12d 7469	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · -𝐴) + (√‘(1 − ( -𝐴↑2)))) = ( -(i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
30	20, 23, 29	3eqtrd 2802	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘( -i · (arcsin‘𝐴))) = ( -(i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
31	14, 30	oveq12d 7469	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) − (exp‘( -i · (arcsin‘𝐴)))) = (((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) − ( -(i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))
32	6	2timesd 12629	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (i · 𝐴)) = ((i · 𝐴) + (i · 𝐴)))
33		2cn 12458	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
34		mulass 11327	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((2 · i) · 𝐴) = (2 · (i · 𝐴)))
35	33, 4, 34	mp3an12 1481	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · i) · 𝐴) = (2 · (i · 𝐴)))
36	6, 6	subnegd 11715	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) − -(i · 𝐴)) = ((i · 𝐴) + (i · 𝐴)))
37	32, 35, 36	3eqtr4d 2808	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · i) · 𝐴) = ((i · 𝐴) − -(i · 𝐴)))
38	13, 31, 37	3eqtr4d 2808	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) − (exp‘( -i · (arcsin‘𝐴)))) = ((2 · i) · 𝐴))
39		mulcl 11323	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (arcsin‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (arcsin‘𝐴)) ∈ ℂ)
40	4, 1, 39	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (arcsin‘𝐴)) ∈ ℂ)
41		efcl 16292	. . . . . 6 ⊢ ((i · (arcsin‘𝐴)) ∈ ℂ → (exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) ∈ ℂ)
42	40, 41	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) ∈ ℂ)
43		negicn 11597	. . . . . . 7 ⊢ -i ∈ ℂ
44		mulcl 11323	. . . . . . 7 ⊢ (( -i ∈ ℂ ∧ (arcsin‘𝐴) ∈ ℂ) → ( -i · (arcsin‘𝐴)) ∈ ℂ)
45	43, 1, 44	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ( -i · (arcsin‘𝐴)) ∈ ℂ)
46		efcl 16292	. . . . . 6 ⊢ (( -i · (arcsin‘𝐴)) ∈ ℂ → (exp‘( -i · (arcsin‘𝐴))) ∈ ℂ)
47	45, 46	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘( -i · (arcsin‘𝐴))) ∈ ℂ)
48	42, 47	subcld 11708	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) − (exp‘( -i · (arcsin‘𝐴)))) ∈ ℂ)
49		id 23	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
50		2mulicn 12610	. . . . 5 ⊢ (2 · i) ∈ ℂ
51	50	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · i) ∈ ℂ)
52		2muline0 12611	. . . . 5 ⊢ (2 · i) ≠ 0
53	52	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · i) ≠ 0)
54	48, 49, 51, 53	divmul2d 12166	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) − (exp‘( -i · (arcsin‘𝐴)))) / (2 · i)) = 𝐴 ↔ ((exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) − (exp‘( -i · (arcsin‘𝐴)))) = ((2 · i) · 𝐴)))
55	38, 54	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) − (exp‘( -i · (arcsin‘𝐴)))) / (2 · i)) = 𝐴)
56	3, 55	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(arcsin‘𝐴)) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℂcc 11237  0cc0 11239  1c1 11240  ici 11241   + caddc 11242   · cmul 11244   − cmin 11580   -cneg 11581   / cdiv 12013  2c2 12437  ↑cexp 14244  √csqrt 15443  expce 16271  sincsin 16273  arcsincasin 27247

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317  ax-addf 11318

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-supp 8215  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8755  df-map 8887  df-pm 8888  df-ixp 8964  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fsupp 9392  df-fi 9440  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9541  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-q 13116  df-rp 13161  df-xneg 13281  df-xadd 13282  df-xmul 13283  df-ioo 13520  df-ioc 13521  df-ico 13522  df-icc 13523  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-fl 13972  df-mod 14050  df-seq 14185  df-exp 14245  df-fac 14459  df-bc 14488  df-hash 14516  df-shft 15263  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-limsup 15682  df-clim 15699  df-rlim 15700  df-sum 15898  df-ef 16277  df-sin 16279  df-cos 16280  df-pi 16282  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-starv 17488  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-ip 17491  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-unif 17496  df-hom 17497  df-cco 17498  df-euf 17499  df-rest 17643  df-topn 17644  df-0g 17662  df-gsum 17663  df-topgen 17664  df-pt 17665  df-prds 17668  df-xrs 17724  df-qtop 17729  df-imas 17730  df-xps 17732  df-mre 17806  df-mrc 17807  df-acs 17809  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-submnd 19029  df-mulg 19328  df-cntz 19582  df-cmn 20047  df-psmet 21721  df-xmet 21722  df-met 21723  df-bl 21724  df-mopn 21725  df-fbas 21726  df-fg 21727  df-cnfld 21730  df-top 23267  df-topon 23284  df-topsp 23306  df-bases 23319  df-cld 23392  df-ntr 23393  df-cls 23394  df-nei 23471  df-lp 23509  df-perf 23510  df-cn 23600  df-cnp 23601  df-haus 23688  df-tx 23936  df-hmeo 24129  df-fil 24220  df-fm 24312  df-flim 24313  df-flf 24314  df-xms 24694  df-ms 24695  df-tms 24696  df-cncf 25254  df-limc 26241  df-dv 26242  df-log 26941  df-asin 27250

This theorem is used by:  cosacos  27275  asinsinb  27282