MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sinasin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sinasin 26383
Description: The arcsine function is an inverse to sin. This is the main property that justifies the notation arcsin or sin↑-1. Because sin is not an injection, the other converse identity asinsin 26386 is only true under limited circumstances. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
sinasin (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜(arcsinβ€˜π΄)) = 𝐴)

Proof of Theorem sinasin
StepHypRef Expression
1 asincl 26367 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (arcsinβ€˜π΄) ∈ β„‚)
2 sinval 16061 . . 3 ((arcsinβ€˜π΄) ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜(arcsinβ€˜π΄)) = (((expβ€˜(i Β· (arcsinβ€˜π΄))) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· (arcsinβ€˜π΄)))) / (2 Β· i)))
31, 2syl 17 . 2 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜(arcsinβ€˜π΄)) = (((expβ€˜(i Β· (arcsinβ€˜π΄))) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· (arcsinβ€˜π΄)))) / (2 Β· i)))
4 ax-icn 11165 . . . . . 6 i ∈ β„‚
5 mulcl 11190 . . . . . 6 ((i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (i Β· 𝐴) ∈ β„‚)
64, 5mpan 688 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (i Β· 𝐴) ∈ β„‚)
76negcld 11554 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ -(i Β· 𝐴) ∈ β„‚)
8 ax-1cn 11164 . . . . . . 7 1 ∈ β„‚
9 sqcl 14079 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝐴↑2) ∈ β„‚)
10 subcl 11455 . . . . . . 7 ((1 ∈ β„‚ ∧ (𝐴↑2) ∈ β„‚) β†’ (1 βˆ’ (𝐴↑2)) ∈ β„‚)
118, 9, 10sylancr 587 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (1 βˆ’ (𝐴↑2)) ∈ β„‚)
1211sqrtcld 15380 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2))) ∈ β„‚)
136, 7, 12pnpcan2d 11605 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))) βˆ’ (-(i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2))))) = ((i Β· 𝐴) βˆ’ -(i Β· 𝐴)))
14 efiasin 26382 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(i Β· (arcsinβ€˜π΄))) = ((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))
15 mulneg12 11648 . . . . . . . . 9 ((i ∈ β„‚ ∧ (arcsinβ€˜π΄) ∈ β„‚) β†’ (-i Β· (arcsinβ€˜π΄)) = (i Β· -(arcsinβ€˜π΄)))
164, 1, 15sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (-i Β· (arcsinβ€˜π΄)) = (i Β· -(arcsinβ€˜π΄)))
17 asinneg 26380 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (arcsinβ€˜-𝐴) = -(arcsinβ€˜π΄))
1817oveq2d 7421 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (i Β· (arcsinβ€˜-𝐴)) = (i Β· -(arcsinβ€˜π΄)))
1916, 18eqtr4d 2775 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (-i Β· (arcsinβ€˜π΄)) = (i Β· (arcsinβ€˜-𝐴)))
2019fveq2d 6892 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(-i Β· (arcsinβ€˜π΄))) = (expβ€˜(i Β· (arcsinβ€˜-𝐴))))
21 negcl 11456 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ -𝐴 ∈ β„‚)
22 efiasin 26382 . . . . . . 7 (-𝐴 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(i Β· (arcsinβ€˜-𝐴))) = ((i Β· -𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (-𝐴↑2)))))
2321, 22syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(i Β· (arcsinβ€˜-𝐴))) = ((i Β· -𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (-𝐴↑2)))))
24 mulneg2 11647 . . . . . . . 8 ((i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (i Β· -𝐴) = -(i Β· 𝐴))
254, 24mpan 688 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (i Β· -𝐴) = -(i Β· 𝐴))
26 sqneg 14077 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (-𝐴↑2) = (𝐴↑2))
2726oveq2d 7421 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (1 βˆ’ (-𝐴↑2)) = (1 βˆ’ (𝐴↑2)))
2827fveq2d 6892 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (-𝐴↑2))) = (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2))))
2925, 28oveq12d 7423 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((i Β· -𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (-𝐴↑2)))) = (-(i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))
3020, 23, 293eqtrd 2776 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(-i Β· (arcsinβ€˜π΄))) = (-(i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))
3114, 30oveq12d 7423 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((expβ€˜(i Β· (arcsinβ€˜π΄))) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· (arcsinβ€˜π΄)))) = (((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))) βˆ’ (-(i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2))))))
3262timesd 12451 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (2 Β· (i Β· 𝐴)) = ((i Β· 𝐴) + (i Β· 𝐴)))
33 2cn 12283 . . . . . 6 2 ∈ β„‚
34 mulass 11194 . . . . . 6 ((2 ∈ β„‚ ∧ i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((2 Β· i) Β· 𝐴) = (2 Β· (i Β· 𝐴)))
3533, 4, 34mp3an12 1451 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((2 Β· i) Β· 𝐴) = (2 Β· (i Β· 𝐴)))
366, 6subnegd 11574 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((i Β· 𝐴) βˆ’ -(i Β· 𝐴)) = ((i Β· 𝐴) + (i Β· 𝐴)))
3732, 35, 363eqtr4d 2782 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((2 Β· i) Β· 𝐴) = ((i Β· 𝐴) βˆ’ -(i Β· 𝐴)))
3813, 31, 373eqtr4d 2782 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((expβ€˜(i Β· (arcsinβ€˜π΄))) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· (arcsinβ€˜π΄)))) = ((2 Β· i) Β· 𝐴))
39 mulcl 11190 . . . . . . 7 ((i ∈ β„‚ ∧ (arcsinβ€˜π΄) ∈ β„‚) β†’ (i Β· (arcsinβ€˜π΄)) ∈ β„‚)
404, 1, 39sylancr 587 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (i Β· (arcsinβ€˜π΄)) ∈ β„‚)
41 efcl 16022 . . . . . 6 ((i Β· (arcsinβ€˜π΄)) ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(i Β· (arcsinβ€˜π΄))) ∈ β„‚)
4240, 41syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(i Β· (arcsinβ€˜π΄))) ∈ β„‚)
43 negicn 11457 . . . . . . 7 -i ∈ β„‚
44 mulcl 11190 . . . . . . 7 ((-i ∈ β„‚ ∧ (arcsinβ€˜π΄) ∈ β„‚) β†’ (-i Β· (arcsinβ€˜π΄)) ∈ β„‚)
4543, 1, 44sylancr 587 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (-i Β· (arcsinβ€˜π΄)) ∈ β„‚)
46 efcl 16022 . . . . . 6 ((-i Β· (arcsinβ€˜π΄)) ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(-i Β· (arcsinβ€˜π΄))) ∈ β„‚)
4745, 46syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(-i Β· (arcsinβ€˜π΄))) ∈ β„‚)
4842, 47subcld 11567 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((expβ€˜(i Β· (arcsinβ€˜π΄))) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· (arcsinβ€˜π΄)))) ∈ β„‚)
49 id 22 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
50 2mulicn 12431 . . . . 5 (2 Β· i) ∈ β„‚
5150a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (2 Β· i) ∈ β„‚)
52 2muline0 12432 . . . . 5 (2 Β· i) β‰  0
5352a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (2 Β· i) β‰  0)
5448, 49, 51, 53divmul2d 12019 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((((expβ€˜(i Β· (arcsinβ€˜π΄))) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· (arcsinβ€˜π΄)))) / (2 Β· i)) = 𝐴 ↔ ((expβ€˜(i Β· (arcsinβ€˜π΄))) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· (arcsinβ€˜π΄)))) = ((2 Β· i) Β· 𝐴)))
5538, 54mpbird 256 . 2 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((expβ€˜(i Β· (arcsinβ€˜π΄))) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· (arcsinβ€˜π΄)))) / (2 Β· i)) = 𝐴)
563, 55eqtrd 2772 1 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜(arcsinβ€˜π΄)) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„‚cc 11104  0cc0 11106  1c1 11107  ici 11108   + caddc 11109   Β· cmul 11111   βˆ’ cmin 11440  -cneg 11441   / cdiv 11867  2c2 12263  β†‘cexp 14023  βˆšcsqrt 15176  expce 16001  sincsin 16003  arcsincasin 26356
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-ef 16007  df-sin 16009  df-cos 16010  df-pi 16012  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-lp 22631  df-perf 22632  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-haus 22810  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-cncf 24385  df-limc 25374  df-dv 25375  df-log 26056  df-asin 26359
This theorem is referenced by:  cosacos  26384  asinsinb  26391
  Copyright terms: Public domain W3C validator