MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sinasin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sinasin 26932
Description: The arcsine function is an inverse to sin. This is the main property that justifies the notation arcsin or sin↑-1. Because sin is not an injection, the other converse identity asinsin 26935 is only true under limited circumstances. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
sinasin (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(arcsin‘𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem sinasin
StepHypRef Expression
1 asincl 26916 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (arcsin‘𝐴) ∈ ℂ)
2 sinval 16158 . . 3 ((arcsin‘𝐴) ∈ ℂ → (sin‘(arcsin‘𝐴)) = (((exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) − (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴)))) / (2 · i)))
31, 2syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(arcsin‘𝐴)) = (((exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) − (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴)))) / (2 · i)))
4 ax-icn 11214 . . . . . 6 i ∈ ℂ
5 mulcl 11239 . . . . . 6 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
64, 5mpan 690 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
76negcld 11607 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → -(i · 𝐴) ∈ ℂ)
8 ax-1cn 11213 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
9 sqcl 14158 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
10 subcl 11507 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → (1 − (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
118, 9, 10sylancr 587 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (1 − (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
1211sqrtcld 15476 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(1 − (𝐴↑2))) ∈ ℂ)
136, 7, 12pnpcan2d 11658 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) − (-(i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) = ((i · 𝐴) − -(i · 𝐴)))
14 efiasin 26931 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) = ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
15 mulneg12 11701 . . . . . . . . 9 ((i ∈ ℂ ∧ (arcsin‘𝐴) ∈ ℂ) → (-i · (arcsin‘𝐴)) = (i · -(arcsin‘𝐴)))
164, 1, 15sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (-i · (arcsin‘𝐴)) = (i · -(arcsin‘𝐴)))
17 asinneg 26929 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (arcsin‘-𝐴) = -(arcsin‘𝐴))
1817oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (arcsin‘-𝐴)) = (i · -(arcsin‘𝐴)))
1916, 18eqtr4d 2780 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (-i · (arcsin‘𝐴)) = (i · (arcsin‘-𝐴)))
2019fveq2d 6910 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴))) = (exp‘(i · (arcsin‘-𝐴))))
21 negcl 11508 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
22 efiasin 26931 . . . . . . 7 (-𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (arcsin‘-𝐴))) = ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))
2321, 22syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (arcsin‘-𝐴))) = ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))
24 mulneg2 11700 . . . . . . . 8 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · -𝐴) = -(i · 𝐴))
254, 24mpan 690 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (i · -𝐴) = -(i · 𝐴))
26 sqneg 14156 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴↑2) = (𝐴↑2))
2726oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (1 − (-𝐴↑2)) = (1 − (𝐴↑2)))
2827fveq2d 6910 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(1 − (-𝐴↑2))) = (√‘(1 − (𝐴↑2))))
2925, 28oveq12d 7449 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))) = (-(i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
3020, 23, 293eqtrd 2781 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴))) = (-(i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
3114, 30oveq12d 7449 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) − (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴)))) = (((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) − (-(i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))
3262timesd 12509 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (i · 𝐴)) = ((i · 𝐴) + (i · 𝐴)))
33 2cn 12341 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
34 mulass 11243 . . . . . 6 ((2 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((2 · i) · 𝐴) = (2 · (i · 𝐴)))
3533, 4, 34mp3an12 1453 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · i) · 𝐴) = (2 · (i · 𝐴)))
366, 6subnegd 11627 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) − -(i · 𝐴)) = ((i · 𝐴) + (i · 𝐴)))
3732, 35, 363eqtr4d 2787 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · i) · 𝐴) = ((i · 𝐴) − -(i · 𝐴)))
3813, 31, 373eqtr4d 2787 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) − (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴)))) = ((2 · i) · 𝐴))
39 mulcl 11239 . . . . . . 7 ((i ∈ ℂ ∧ (arcsin‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (arcsin‘𝐴)) ∈ ℂ)
404, 1, 39sylancr 587 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (arcsin‘𝐴)) ∈ ℂ)
41 efcl 16118 . . . . . 6 ((i · (arcsin‘𝐴)) ∈ ℂ → (exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) ∈ ℂ)
4240, 41syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) ∈ ℂ)
43 negicn 11509 . . . . . . 7 -i ∈ ℂ
44 mulcl 11239 . . . . . . 7 ((-i ∈ ℂ ∧ (arcsin‘𝐴) ∈ ℂ) → (-i · (arcsin‘𝐴)) ∈ ℂ)
4543, 1, 44sylancr 587 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (-i · (arcsin‘𝐴)) ∈ ℂ)
46 efcl 16118 . . . . . 6 ((-i · (arcsin‘𝐴)) ∈ ℂ → (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴))) ∈ ℂ)
4745, 46syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴))) ∈ ℂ)
4842, 47subcld 11620 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) − (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴)))) ∈ ℂ)
49 id 22 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
50 2mulicn 12489 . . . . 5 (2 · i) ∈ ℂ
5150a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · i) ∈ ℂ)
52 2muline0 12490 . . . . 5 (2 · i) ≠ 0
5352a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · i) ≠ 0)
5448, 49, 51, 53divmul2d 12076 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) − (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴)))) / (2 · i)) = 𝐴 ↔ ((exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) − (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴)))) = ((2 · i) · 𝐴)))
5538, 54mpbird 257 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) − (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴)))) / (2 · i)) = 𝐴)
563, 55eqtrd 2777 1 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(arcsin‘𝐴)) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  0cc0 11155  1c1 11156  ici 11157   + caddc 11158   · cmul 11160  cmin 11492  -cneg 11493   / cdiv 11920  2c2 12321  cexp 14102  csqrt 15272  expce 16097  sincsin 16099  arcsincasin 26905
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-log 26598  df-asin 26908
This theorem is referenced by:  cosacos  26933  asinsinb  26940
  Copyright terms: Public domain W3C validator