MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sinasin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sinasin 25473
Description: The arcsine function is an inverse to sin. This is the main property that justifies the notation arcsin or sin↑-1. Because sin is not an injection, the other converse identity asinsin 25476 is only true under limited circumstances. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
sinasin (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(arcsin‘𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem sinasin
StepHypRef Expression
1 asincl 25457 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (arcsin‘𝐴) ∈ ℂ)
2 sinval 15466 . . 3 ((arcsin‘𝐴) ∈ ℂ → (sin‘(arcsin‘𝐴)) = (((exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) − (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴)))) / (2 · i)))
31, 2syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(arcsin‘𝐴)) = (((exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) − (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴)))) / (2 · i)))
4 ax-icn 10585 . . . . . 6 i ∈ ℂ
5 mulcl 10610 . . . . . 6 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
64, 5mpan 689 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
76negcld 10973 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → -(i · 𝐴) ∈ ℂ)
8 ax-1cn 10584 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
9 sqcl 13480 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
10 subcl 10874 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → (1 − (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
118, 9, 10sylancr 590 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (1 − (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
1211sqrtcld 14788 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(1 − (𝐴↑2))) ∈ ℂ)
136, 7, 12pnpcan2d 11024 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) − (-(i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) = ((i · 𝐴) − -(i · 𝐴)))
14 efiasin 25472 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) = ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
15 mulneg12 11067 . . . . . . . . 9 ((i ∈ ℂ ∧ (arcsin‘𝐴) ∈ ℂ) → (-i · (arcsin‘𝐴)) = (i · -(arcsin‘𝐴)))
164, 1, 15sylancr 590 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (-i · (arcsin‘𝐴)) = (i · -(arcsin‘𝐴)))
17 asinneg 25470 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (arcsin‘-𝐴) = -(arcsin‘𝐴))
1817oveq2d 7156 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (arcsin‘-𝐴)) = (i · -(arcsin‘𝐴)))
1916, 18eqtr4d 2860 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (-i · (arcsin‘𝐴)) = (i · (arcsin‘-𝐴)))
2019fveq2d 6656 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴))) = (exp‘(i · (arcsin‘-𝐴))))
21 negcl 10875 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
22 efiasin 25472 . . . . . . 7 (-𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (arcsin‘-𝐴))) = ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))
2321, 22syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (arcsin‘-𝐴))) = ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))
24 mulneg2 11066 . . . . . . . 8 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · -𝐴) = -(i · 𝐴))
254, 24mpan 689 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (i · -𝐴) = -(i · 𝐴))
26 sqneg 13478 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴↑2) = (𝐴↑2))
2726oveq2d 7156 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (1 − (-𝐴↑2)) = (1 − (𝐴↑2)))
2827fveq2d 6656 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(1 − (-𝐴↑2))) = (√‘(1 − (𝐴↑2))))
2925, 28oveq12d 7158 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))) = (-(i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
3020, 23, 293eqtrd 2861 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴))) = (-(i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
3114, 30oveq12d 7158 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) − (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴)))) = (((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) − (-(i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))
3262timesd 11868 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (i · 𝐴)) = ((i · 𝐴) + (i · 𝐴)))
33 2cn 11700 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
34 mulass 10614 . . . . . 6 ((2 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((2 · i) · 𝐴) = (2 · (i · 𝐴)))
3533, 4, 34mp3an12 1448 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · i) · 𝐴) = (2 · (i · 𝐴)))
366, 6subnegd 10993 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) − -(i · 𝐴)) = ((i · 𝐴) + (i · 𝐴)))
3732, 35, 363eqtr4d 2867 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · i) · 𝐴) = ((i · 𝐴) − -(i · 𝐴)))
3813, 31, 373eqtr4d 2867 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) − (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴)))) = ((2 · i) · 𝐴))
39 mulcl 10610 . . . . . . 7 ((i ∈ ℂ ∧ (arcsin‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (arcsin‘𝐴)) ∈ ℂ)
404, 1, 39sylancr 590 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (arcsin‘𝐴)) ∈ ℂ)
41 efcl 15427 . . . . . 6 ((i · (arcsin‘𝐴)) ∈ ℂ → (exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) ∈ ℂ)
4240, 41syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) ∈ ℂ)
43 negicn 10876 . . . . . . 7 -i ∈ ℂ
44 mulcl 10610 . . . . . . 7 ((-i ∈ ℂ ∧ (arcsin‘𝐴) ∈ ℂ) → (-i · (arcsin‘𝐴)) ∈ ℂ)
4543, 1, 44sylancr 590 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (-i · (arcsin‘𝐴)) ∈ ℂ)
46 efcl 15427 . . . . . 6 ((-i · (arcsin‘𝐴)) ∈ ℂ → (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴))) ∈ ℂ)
4745, 46syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴))) ∈ ℂ)
4842, 47subcld 10986 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) − (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴)))) ∈ ℂ)
49 id 22 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
50 2mulicn 11848 . . . . 5 (2 · i) ∈ ℂ
5150a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · i) ∈ ℂ)
52 2muline0 11849 . . . . 5 (2 · i) ≠ 0
5352a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · i) ≠ 0)
5448, 49, 51, 53divmul2d 11438 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) − (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴)))) / (2 · i)) = 𝐴 ↔ ((exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) − (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴)))) = ((2 · i) · 𝐴)))
5538, 54mpbird 260 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) − (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴)))) / (2 · i)) = 𝐴)
563, 55eqtrd 2857 1 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(arcsin‘𝐴)) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2114  wne 3011  cfv 6334  (class class class)co 7140  cc 10524  0cc0 10526  1c1 10527  ici 10528   + caddc 10529   · cmul 10531  cmin 10859  -cneg 10860   / cdiv 11286  2c2 11680  cexp 13425  csqrt 14583  expce 15406  sincsin 15408  arcsincasin 25446
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-inf2 9092  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-iin 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-se 5492  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-isom 6343  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7394  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13426  df-fac 13630  df-bc 13659  df-hash 13687  df-shft 14417  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-limsup 14819  df-clim 14836  df-rlim 14837  df-sum 15034  df-ef 15412  df-sin 15414  df-cos 15415  df-pi 15417  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-starv 16571  df-sca 16572  df-vsca 16573  df-ip 16574  df-tset 16575  df-ple 16576  df-ds 16578  df-unif 16579  df-hom 16580  df-cco 16581  df-rest 16687  df-topn 16688  df-0g 16706  df-gsum 16707  df-topgen 16708  df-pt 16709  df-prds 16712  df-xrs 16766  df-qtop 16771  df-imas 16772  df-xps 16774  df-mre 16848  df-mrc 16849  df-acs 16851  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-submnd 17948  df-mulg 18216  df-cntz 18438  df-cmn 18899  df-psmet 20081  df-xmet 20082  df-met 20083  df-bl 20084  df-mopn 20085  df-fbas 20086  df-fg 20087  df-cnfld 20090  df-top 21497  df-topon 21514  df-topsp 21536  df-bases 21549  df-cld 21622  df-ntr 21623  df-cls 21624  df-nei 21701  df-lp 21739  df-perf 21740  df-cn 21830  df-cnp 21831  df-haus 21918  df-tx 22165  df-hmeo 22358  df-fil 22449  df-fm 22541  df-flim 22542  df-flf 22543  df-xms 22925  df-ms 22926  df-tms 22927  df-cncf 23481  df-limc 24467  df-dv 24468  df-log 25146  df-asin 25449
This theorem is referenced by:  cosacos  25474  asinsinb  25481
  Copyright terms: Public domain W3C validator