Theorem sinasin 27217

Description: The arcsine function is an inverse to sin. This is the main property that justifies the notation arcsin or sin↑ -1. Because sin is not an injection, the other converse identity asinsin 27220 is only true under limited circumstances. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
sinasin	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(arcsin‘𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem sinasin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		asincl 27201	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (arcsin‘𝐴) ∈ ℂ)
2		sinval 16290	. . 3 ⊢ ((arcsin‘𝐴) ∈ ℂ → (sin‘(arcsin‘𝐴)) = (((exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) − (exp‘( -i · (arcsin‘𝐴)))) / (2 · i)))
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(arcsin‘𝐴)) = (((exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) − (exp‘( -i · (arcsin‘𝐴)))) / (2 · i)))
4		ax-icn 11259	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
5		mulcl 11284	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
6	4, 5	mpan 703	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
7	6	negcld 11656	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(i · 𝐴) ∈ ℂ)
8		ax-1cn 11258	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
9		sqcl 14261	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
10		subcl 11556	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → (1 − (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
11	8, 9, 10	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 − (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
12	11	sqrtcld 15607	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(1 − (𝐴↑2))) ∈ ℂ)
13	6, 7, 12	pnpcan2d 11707	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) − ( -(i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) = ((i · 𝐴) − -(i · 𝐴)))
14		efiasin 27216	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) = ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
15		mulneg12 11754	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (arcsin‘𝐴) ∈ ℂ) → ( -i · (arcsin‘𝐴)) = (i · -(arcsin‘𝐴)))
16	4, 1, 15	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ( -i · (arcsin‘𝐴)) = (i · -(arcsin‘𝐴)))
17		asinneg 27214	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (arcsin‘ -𝐴) = -(arcsin‘𝐴))
18	17	oveq2d 7436	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (arcsin‘ -𝐴)) = (i · -(arcsin‘𝐴)))
19	16, 18	eqtr4d 2799	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ( -i · (arcsin‘𝐴)) = (i · (arcsin‘ -𝐴)))
20	19	fveq2d 6889	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘( -i · (arcsin‘𝐴))) = (exp‘(i · (arcsin‘ -𝐴))))
21		negcl 11557	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
22		efiasin 27216	. . . . . . 7 ⊢ ( -𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (arcsin‘ -𝐴))) = ((i · -𝐴) + (√‘(1 − ( -𝐴↑2)))))
23	21, 22	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (arcsin‘ -𝐴))) = ((i · -𝐴) + (√‘(1 − ( -𝐴↑2)))))
24		mulneg2 11753	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · -𝐴) = -(i · 𝐴))
25	4, 24	mpan 703	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · -𝐴) = -(i · 𝐴))
26		sqneg 14258	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ( -𝐴↑2) = (𝐴↑2))
27	26	oveq2d 7436	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 − ( -𝐴↑2)) = (1 − (𝐴↑2)))
28	27	fveq2d 6889	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(1 − ( -𝐴↑2))) = (√‘(1 − (𝐴↑2))))
29	25, 28	oveq12d 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · -𝐴) + (√‘(1 − ( -𝐴↑2)))) = ( -(i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
30	20, 23, 29	3eqtrd 2800	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘( -i · (arcsin‘𝐴))) = ( -(i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
31	14, 30	oveq12d 7438	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) − (exp‘( -i · (arcsin‘𝐴)))) = (((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) − ( -(i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))
32	6	2timesd 12589	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (i · 𝐴)) = ((i · 𝐴) + (i · 𝐴)))
33		2cn 12418	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
34		mulass 11288	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((2 · i) · 𝐴) = (2 · (i · 𝐴)))
35	33, 4, 34	mp3an12 1480	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · i) · 𝐴) = (2 · (i · 𝐴)))
36	6, 6	subnegd 11676	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) − -(i · 𝐴)) = ((i · 𝐴) + (i · 𝐴)))
37	32, 35, 36	3eqtr4d 2806	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · i) · 𝐴) = ((i · 𝐴) − -(i · 𝐴)))
38	13, 31, 37	3eqtr4d 2806	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) − (exp‘( -i · (arcsin‘𝐴)))) = ((2 · i) · 𝐴))
39		mulcl 11284	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (arcsin‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (arcsin‘𝐴)) ∈ ℂ)
40	4, 1, 39	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (arcsin‘𝐴)) ∈ ℂ)
41		efcl 16248	. . . . . 6 ⊢ ((i · (arcsin‘𝐴)) ∈ ℂ → (exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) ∈ ℂ)
42	40, 41	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) ∈ ℂ)
43		negicn 11558	. . . . . . 7 ⊢ -i ∈ ℂ
44		mulcl 11284	. . . . . . 7 ⊢ (( -i ∈ ℂ ∧ (arcsin‘𝐴) ∈ ℂ) → ( -i · (arcsin‘𝐴)) ∈ ℂ)
45	43, 1, 44	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ( -i · (arcsin‘𝐴)) ∈ ℂ)
46		efcl 16248	. . . . . 6 ⊢ (( -i · (arcsin‘𝐴)) ∈ ℂ → (exp‘( -i · (arcsin‘𝐴))) ∈ ℂ)
47	45, 46	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘( -i · (arcsin‘𝐴))) ∈ ℂ)
48	42, 47	subcld 11669	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) − (exp‘( -i · (arcsin‘𝐴)))) ∈ ℂ)
49		id 23	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
50		2mulicn 12570	. . . . 5 ⊢ (2 · i) ∈ ℂ
51	50	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · i) ∈ ℂ)
52		2muline0 12571	. . . . 5 ⊢ (2 · i) ≠ 0
53	52	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · i) ≠ 0)
54	48, 49, 51, 53	divmul2d 12126	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) − (exp‘( -i · (arcsin‘𝐴)))) / (2 · i)) = 𝐴 ↔ ((exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) − (exp‘( -i · (arcsin‘𝐴)))) = ((2 · i) · 𝐴)))
55	38, 54	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) − (exp‘( -i · (arcsin‘𝐴)))) / (2 · i)) = 𝐴)
56	3, 55	eqtrd 2796	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(arcsin‘𝐴)) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  0cc0 11200  1c1 11201  ici 11202   + caddc 11203   · cmul 11205   − cmin 11541   -cneg 11542   / cdiv 11973  2c2 12397  ↑cexp 14204  √csqrt 15400  expce 16227  sincsin 16229  arcsincasin 27190

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278  ax-addf 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-ioo 13480  df-ioc 13481  df-ico 13482  df-icc 13483  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-mod 14010  df-seq 14145  df-exp 14205  df-fac 14418  df-bc 14447  df-hash 14475  df-shft 15220  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-limsup 15638  df-clim 15655  df-rlim 15656  df-sum 15854  df-ef 16233  df-sin 16235  df-cos 16236  df-pi 16238  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-hom 17452  df-cco 17453  df-rest 17593  df-topn 17594  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-topgen 17614  df-pt 17615  df-prds 17618  df-xrs 17674  df-qtop 17679  df-imas 17680  df-xps 17682  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-mulg 19278  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-fbas 21675  df-fg 21676  df-cnfld 21679  df-top 23212  df-topon 23229  df-topsp 23251  df-bases 23264  df-cld 23337  df-ntr 23338  df-cls 23339  df-nei 23416  df-lp 23454  df-perf 23455  df-cn 23545  df-cnp 23546  df-haus 23633  df-tx 23881  df-hmeo 24074  df-fil 24165  df-fm 24257  df-flim 24258  df-flf 24259  df-xms 24639  df-ms 24640  df-tms 24641  df-cncf 25199  df-limc 26186  df-dv 26187  df-log 26884  df-asin 27193

This theorem is used by:  cosacos  27218  asinsinb  27225