MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eflegeo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eflegeo 16008
Description: The exponential function on the reals between 0 and 1 lies below the comparable geometric series sum. (Contributed by Paul Chapman, 11-Sep-2007.)
Hypotheses
Ref Expression
eflegeo.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
eflegeo.2 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
eflegeo.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด < 1)
Assertion
Ref Expression
eflegeo (๐œ‘ โ†’ (expโ€˜๐ด) โ‰ค (1 / (1 โˆ’ ๐ด)))

Proof of Theorem eflegeo
Dummy variables ๐‘˜ ๐‘› are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12810 . . 3 โ„•0 = (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
2 0zd 12516 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„ค)
3 eqid 2733 . . . . 5 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›))) = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))
43eftval 15964 . . . 4 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))โ€˜๐‘˜) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))
54adantl 483 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))โ€˜๐‘˜) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))
6 eflegeo.1 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
7 reeftcl 15962 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„)
86, 7sylan 581 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„)
9 oveq2 7366 . . . . 5 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘›) = (๐ดโ†‘๐‘˜))
10 eqid 2733 . . . . 5 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›)) = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›))
11 ovex 7391 . . . . 5 (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ V
129, 10, 11fvmpt 6949 . . . 4 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜) = (๐ดโ†‘๐‘˜))
1312adantl 483 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜) = (๐ดโ†‘๐‘˜))
14 reexpcl 13990 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„)
156, 14sylan 581 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„)
16 faccl 14189 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„•)
1716adantl 483 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„•)
1817nnred 12173 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
196adantr 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
20 simpr 486 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
21 eflegeo.2 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
2221adantr 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
2319, 20, 22expge0d 14075 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ 0 โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘˜))
2417nnge1d 12206 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ 1 โ‰ค (!โ€˜๐‘˜))
2515, 18, 23, 24lemulge12d 12098 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โ‰ค ((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)))
2617nngt0d 12207 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ 0 < (!โ€˜๐‘˜))
27 ledivmul 12036 . . . . 5 (((๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ โˆง (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ โˆง ((!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (!โ€˜๐‘˜))) โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘˜) โ†” (๐ดโ†‘๐‘˜) โ‰ค ((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜))))
2815, 15, 18, 26, 27syl112anc 1375 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘˜) โ†” (๐ดโ†‘๐‘˜) โ‰ค ((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜))))
2925, 28mpbird 257 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘˜))
306recnd 11188 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
313efcllem 15965 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ seq0( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))) โˆˆ dom โ‡ )
3230, 31syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ seq0( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))) โˆˆ dom โ‡ )
336, 21absidd 15313 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ด) = ๐ด)
34 eflegeo.3 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด < 1)
3533, 34eqbrtrd 5128 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ด) < 1)
3630, 35, 13geolim 15760 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ seq0( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›))) โ‡ (1 / (1 โˆ’ ๐ด)))
37 seqex 13914 . . . . 5 seq0( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›))) โˆˆ V
38 ovex 7391 . . . . 5 (1 / (1 โˆ’ ๐ด)) โˆˆ V
3937, 38breldm 5865 . . . 4 (seq0( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›))) โ‡ (1 / (1 โˆ’ ๐ด)) โ†’ seq0( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›))) โˆˆ dom โ‡ )
4036, 39syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ seq0( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›))) โˆˆ dom โ‡ )
411, 2, 5, 8, 13, 15, 29, 32, 40isumle 15734 . 2 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 ((๐ดโ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) โ‰ค ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (๐ดโ†‘๐‘˜))
42 efval 15967 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (expโ€˜๐ด) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 ((๐ดโ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))
4330, 42syl 17 . 2 (๐œ‘ โ†’ (expโ€˜๐ด) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 ((๐ดโ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))
44 expcl 13991 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
4530, 44sylan 581 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
461, 2, 13, 45, 36isumclim 15647 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (๐ดโ†‘๐‘˜) = (1 / (1 โˆ’ ๐ด)))
4746eqcomd 2739 . 2 (๐œ‘ โ†’ (1 / (1 โˆ’ ๐ด)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (๐ดโ†‘๐‘˜))
4841, 43, 473brtr4d 5138 1 (๐œ‘ โ†’ (expโ€˜๐ด) โ‰ค (1 / (1 โˆ’ ๐ด)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5106   โ†ฆ cmpt 5189  dom cdm 5634  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054  โ„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   ยท cmul 11061   < clt 11194   โ‰ค cle 11195   โˆ’ cmin 11390   / cdiv 11817  โ„•cn 12158  โ„•0cn0 12418  seqcseq 13912  โ†‘cexp 13973  !cfa 14179  abscabs 15125   โ‡ cli 15372  ฮฃcsu 15576  expce 15949
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-pm 8771  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-ico 13276  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-seq 13913  df-exp 13974  df-fac 14180  df-hash 14237  df-shft 14958  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-limsup 15359  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-ef 15955
This theorem is referenced by:  birthdaylem3  26319  logdiflbnd  26360  emcllem2  26362
  Copyright terms: Public domain W3C validator