MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eflegeo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eflegeo 16105
Description: The exponential function on the reals between 0 and 1 lies below the comparable geometric series sum. (Contributed by Paul Chapman, 11-Sep-2007.)
Hypotheses
Ref Expression
eflegeo.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
eflegeo.2 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
eflegeo.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด < 1)
Assertion
Ref Expression
eflegeo (๐œ‘ โ†’ (expโ€˜๐ด) โ‰ค (1 / (1 โˆ’ ๐ด)))

Proof of Theorem eflegeo
Dummy variables ๐‘˜ ๐‘› are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12902 . . 3 โ„•0 = (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
2 0zd 12608 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„ค)
3 eqid 2728 . . . . 5 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›))) = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))
43eftval 16060 . . . 4 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))โ€˜๐‘˜) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))
54adantl 480 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))โ€˜๐‘˜) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))
6 eflegeo.1 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
7 reeftcl 16058 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„)
86, 7sylan 578 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„)
9 oveq2 7434 . . . . 5 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘›) = (๐ดโ†‘๐‘˜))
10 eqid 2728 . . . . 5 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›)) = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›))
11 ovex 7459 . . . . 5 (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ V
129, 10, 11fvmpt 7010 . . . 4 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜) = (๐ดโ†‘๐‘˜))
1312adantl 480 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜) = (๐ดโ†‘๐‘˜))
14 reexpcl 14083 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„)
156, 14sylan 578 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„)
16 faccl 14282 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„•)
1716adantl 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„•)
1817nnred 12265 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
196adantr 479 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
20 simpr 483 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
21 eflegeo.2 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
2221adantr 479 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
2319, 20, 22expge0d 14168 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ 0 โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘˜))
2417nnge1d 12298 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ 1 โ‰ค (!โ€˜๐‘˜))
2515, 18, 23, 24lemulge12d 12190 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โ‰ค ((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)))
2617nngt0d 12299 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ 0 < (!โ€˜๐‘˜))
27 ledivmul 12128 . . . . 5 (((๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ โˆง (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ โˆง ((!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (!โ€˜๐‘˜))) โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘˜) โ†” (๐ดโ†‘๐‘˜) โ‰ค ((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜))))
2815, 15, 18, 26, 27syl112anc 1371 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘˜) โ†” (๐ดโ†‘๐‘˜) โ‰ค ((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜))))
2925, 28mpbird 256 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘˜))
306recnd 11280 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
313efcllem 16061 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ seq0( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))) โˆˆ dom โ‡ )
3230, 31syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ seq0( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))) โˆˆ dom โ‡ )
336, 21absidd 15409 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ด) = ๐ด)
34 eflegeo.3 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด < 1)
3533, 34eqbrtrd 5174 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ด) < 1)
3630, 35, 13geolim 15856 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ seq0( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›))) โ‡ (1 / (1 โˆ’ ๐ด)))
37 seqex 14008 . . . . 5 seq0( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›))) โˆˆ V
38 ovex 7459 . . . . 5 (1 / (1 โˆ’ ๐ด)) โˆˆ V
3937, 38breldm 5915 . . . 4 (seq0( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›))) โ‡ (1 / (1 โˆ’ ๐ด)) โ†’ seq0( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›))) โˆˆ dom โ‡ )
4036, 39syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ seq0( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›))) โˆˆ dom โ‡ )
411, 2, 5, 8, 13, 15, 29, 32, 40isumle 15830 . 2 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 ((๐ดโ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) โ‰ค ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (๐ดโ†‘๐‘˜))
42 efval 16063 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (expโ€˜๐ด) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 ((๐ดโ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))
4330, 42syl 17 . 2 (๐œ‘ โ†’ (expโ€˜๐ด) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 ((๐ดโ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))
44 expcl 14084 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
4530, 44sylan 578 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
461, 2, 13, 45, 36isumclim 15743 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (๐ดโ†‘๐‘˜) = (1 / (1 โˆ’ ๐ด)))
4746eqcomd 2734 . 2 (๐œ‘ โ†’ (1 / (1 โˆ’ ๐ด)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (๐ดโ†‘๐‘˜))
4841, 43, 473brtr4d 5184 1 (๐œ‘ โ†’ (expโ€˜๐ด) โ‰ค (1 / (1 โˆ’ ๐ด)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5152   โ†ฆ cmpt 5235  dom cdm 5682  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  โ„‚cc 11144  โ„cr 11145  0cc0 11146  1c1 11147   + caddc 11149   ยท cmul 11151   < clt 11286   โ‰ค cle 11287   โˆ’ cmin 11482   / cdiv 11909  โ„•cn 12250  โ„•0cn0 12510  seqcseq 14006  โ†‘cexp 14066  !cfa 14272  abscabs 15221   โ‡ cli 15468  ฮฃcsu 15672  expce 16045
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-pm 8854  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-ico 13370  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-seq 14007  df-exp 14067  df-fac 14273  df-hash 14330  df-shft 15054  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-limsup 15455  df-clim 15472  df-rlim 15473  df-sum 15673  df-ef 16051
This theorem is referenced by:  birthdaylem3  26905  logdiflbnd  26947  emcllem2  26949
  Copyright terms: Public domain W3C validator