Theorem eflegeo 16068

Description: The exponential function on the reals between 0 and 1 lies below the comparable geometric series sum. (Contributed by Paul Chapman, 11-Sep-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
eflegeo.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
eflegeo.2	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
eflegeo.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 1)

Assertion

Ref	Expression
eflegeo	⊢ (𝜑 → (exp‘𝐴) ≤ (1 / (1 − 𝐴)))

Proof of Theorem eflegeo

Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12865	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		0zd 12571	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
4	3	eftval 16023	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
5	4	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
6		eflegeo.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
7		reeftcl 16021	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
8	6, 7	sylan 579	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
9		oveq2 7412	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐴↑𝑛) = (𝐴↑𝑘))
10		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))
11		ovex 7437	. . . . 5 ⊢ (𝐴↑𝑘) ∈ V
12	9, 10, 11	fvmpt 6991	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))
13	12	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))
14		reexpcl 14046	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℝ)
15	6, 14	sylan 579	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℝ)
16		faccl 14245	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
17	16	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
18	17	nnred 12228	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℝ)
19	6	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
20		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
21		eflegeo.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
22	21	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐴)
23	19, 20, 22	expge0d 14131	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐴↑𝑘))
24	17	nnge1d 12261	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 1 ≤ (!‘𝑘))
25	15, 18, 23, 24	lemulge12d 12153	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ≤ ((!‘𝑘) · (𝐴↑𝑘)))
26	17	nngt0d 12262	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 < (!‘𝑘))
27		ledivmul 12091	. . . . 5 ⊢ (((𝐴↑𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐴↑𝑘) ∈ ℝ ∧ ((!‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (!‘𝑘))) → (((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ≤ (𝐴↑𝑘) ↔ (𝐴↑𝑘) ≤ ((!‘𝑘) · (𝐴↑𝑘))))
28	15, 15, 18, 26, 27	syl112anc 1371	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ≤ (𝐴↑𝑘) ↔ (𝐴↑𝑘) ≤ ((!‘𝑘) · (𝐴↑𝑘))))
29	25, 28	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ≤ (𝐴↑𝑘))
30	6	recnd 11243	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
31	3	efcllem 16024	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
32	30, 31	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
33	6, 21	absidd 15372	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) = 𝐴)
34		eflegeo.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 1)
35	33, 34	eqbrtrd 5163	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
36	30, 35, 13	geolim 15819	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))) ⇝ (1 / (1 − 𝐴)))
37		seqex 13971	. . . . 5 ⊢ seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))) ∈ V
38		ovex 7437	. . . . 5 ⊢ (1 / (1 − 𝐴)) ∈ V
39	37, 38	breldm 5901	. . . 4 ⊢ (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))) ⇝ (1 / (1 − 𝐴)) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))) ∈ dom ⇝ )
40	36, 39	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))) ∈ dom ⇝ )
41	1, 2, 5, 8, 13, 15, 29, 32, 40	isumle 15793	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ≤ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴↑𝑘))
42		efval 16026	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
43	30, 42	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (exp‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
44		expcl 14047	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
45	30, 44	sylan 579	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
46	1, 2, 13, 45, 36	isumclim 15706	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴↑𝑘) = (1 / (1 − 𝐴)))
47	46	eqcomd 2732	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 / (1 − 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴↑𝑘))
48	41, 43, 47	3brtr4d 5173	1 ⊢ (𝜑 → (exp‘𝐴) ≤ (1 / (1 − 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  dom cdm 5669  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  ℂcc 11107  ℝcr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   · cmul 11114   < clt 11249   ≤ cle 11250   − cmin 11445   / cdiv 11872  ℕcn 12213  ℕ₀cn0 12473  seqcseq 13969  ↑cexp 14029  !cfa 14235  abscabs 15184   ⇝ cli 15431  Σcsu 15635  expce 16008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-ico 13333  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-seq 13970  df-exp 14030  df-fac 14236  df-hash 14293  df-shft 15017  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-limsup 15418  df-clim 15435  df-rlim 15436  df-sum 15636  df-ef 16014

This theorem is referenced by:  birthdaylem3  26835  logdiflbnd  26877  emcllem2  26879