Theorem eflegeo 16153

Description: The exponential function on the reals between 0 and 1 lies below the comparable geometric series sum. (Contributed by Paul Chapman, 11-Sep-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
eflegeo.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
eflegeo.2	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
eflegeo.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 1)

Assertion

Ref	Expression
eflegeo	⊢ (𝜑 → (exp‘𝐴) ≤ (1 / (1 − 𝐴)))

Proof of Theorem eflegeo

Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12917	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		0zd 12622	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
4	3	eftval 16108	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
5	4	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
6		eflegeo.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
7		reeftcl 16106	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
8	6, 7	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
9		oveq2 7438	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐴↑𝑛) = (𝐴↑𝑘))
10		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))
11		ovex 7463	. . . . 5 ⊢ (𝐴↑𝑘) ∈ V
12	9, 10, 11	fvmpt 7015	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))
13	12	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))
14		reexpcl 14115	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℝ)
15	6, 14	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℝ)
16		faccl 14318	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
17	16	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
18	17	nnred 12278	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℝ)
19	6	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
20		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
21		eflegeo.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
22	21	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐴)
23	19, 20, 22	expge0d 14200	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐴↑𝑘))
24	17	nnge1d 12311	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 1 ≤ (!‘𝑘))
25	15, 18, 23, 24	lemulge12d 12203	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ≤ ((!‘𝑘) · (𝐴↑𝑘)))
26	17	nngt0d 12312	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 < (!‘𝑘))
27		ledivmul 12141	. . . . 5 ⊢ (((𝐴↑𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐴↑𝑘) ∈ ℝ ∧ ((!‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (!‘𝑘))) → (((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ≤ (𝐴↑𝑘) ↔ (𝐴↑𝑘) ≤ ((!‘𝑘) · (𝐴↑𝑘))))
28	15, 15, 18, 26, 27	syl112anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ≤ (𝐴↑𝑘) ↔ (𝐴↑𝑘) ≤ ((!‘𝑘) · (𝐴↑𝑘))))
29	25, 28	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ≤ (𝐴↑𝑘))
30	6	recnd 11286	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
31	3	efcllem 16109	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
32	30, 31	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
33	6, 21	absidd 15457	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) = 𝐴)
34		eflegeo.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 1)
35	33, 34	eqbrtrd 5169	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
36	30, 35, 13	geolim 15902	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))) ⇝ (1 / (1 − 𝐴)))
37		seqex 14040	. . . . 5 ⊢ seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))) ∈ V
38		ovex 7463	. . . . 5 ⊢ (1 / (1 − 𝐴)) ∈ V
39	37, 38	breldm 5921	. . . 4 ⊢ (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))) ⇝ (1 / (1 − 𝐴)) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))) ∈ dom ⇝ )
40	36, 39	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))) ∈ dom ⇝ )
41	1, 2, 5, 8, 13, 15, 29, 32, 40	isumle 15876	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ≤ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴↑𝑘))
42		efval 16111	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
43	30, 42	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (exp‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
44		expcl 14116	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
45	30, 44	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
46	1, 2, 13, 45, 36	isumclim 15789	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴↑𝑘) = (1 / (1 − 𝐴)))
47	46	eqcomd 2740	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 / (1 − 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴↑𝑘))
48	41, 43, 47	3brtr4d 5179	1 ⊢ (𝜑 → (exp‘𝐴) ≤ (1 / (1 − 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  dom cdm 5688  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  ℂcc 11150  ℝcr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157   < clt 11292   ≤ cle 11293   − cmin 11489   / cdiv 11917  ℕcn 12263  ℕ₀cn0 12523  seqcseq 14038  ↑cexp 14098  !cfa 14308  abscabs 15269   ⇝ cli 15516  Σcsu 15718  expce 16093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-pm 8867  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-ico 13389  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-hash 14366  df-shft 15102  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-limsup 15503  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-ef 16099

This theorem is referenced by:  birthdaylem3  27010  logdiflbnd  27052  emcllem2  27054