MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eflegeo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eflegeo 16060
Description: The exponential function on the reals between 0 and 1 lies below the comparable geometric series sum. (Contributed by Paul Chapman, 11-Sep-2007.)
Hypotheses
Ref Expression
eflegeo.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
eflegeo.2 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
eflegeo.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด < 1)
Assertion
Ref Expression
eflegeo (๐œ‘ โ†’ (expโ€˜๐ด) โ‰ค (1 / (1 โˆ’ ๐ด)))

Proof of Theorem eflegeo
Dummy variables ๐‘˜ ๐‘› are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12860 . . 3 โ„•0 = (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
2 0zd 12566 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„ค)
3 eqid 2732 . . . . 5 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›))) = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))
43eftval 16016 . . . 4 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))โ€˜๐‘˜) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))
54adantl 482 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))โ€˜๐‘˜) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))
6 eflegeo.1 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
7 reeftcl 16014 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„)
86, 7sylan 580 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„)
9 oveq2 7413 . . . . 5 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘›) = (๐ดโ†‘๐‘˜))
10 eqid 2732 . . . . 5 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›)) = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›))
11 ovex 7438 . . . . 5 (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ V
129, 10, 11fvmpt 6995 . . . 4 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜) = (๐ดโ†‘๐‘˜))
1312adantl 482 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜) = (๐ดโ†‘๐‘˜))
14 reexpcl 14040 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„)
156, 14sylan 580 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„)
16 faccl 14239 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„•)
1716adantl 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„•)
1817nnred 12223 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
196adantr 481 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
20 simpr 485 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
21 eflegeo.2 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
2221adantr 481 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
2319, 20, 22expge0d 14125 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ 0 โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘˜))
2417nnge1d 12256 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ 1 โ‰ค (!โ€˜๐‘˜))
2515, 18, 23, 24lemulge12d 12148 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โ‰ค ((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)))
2617nngt0d 12257 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ 0 < (!โ€˜๐‘˜))
27 ledivmul 12086 . . . . 5 (((๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ โˆง (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ โˆง ((!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (!โ€˜๐‘˜))) โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘˜) โ†” (๐ดโ†‘๐‘˜) โ‰ค ((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜))))
2815, 15, 18, 26, 27syl112anc 1374 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘˜) โ†” (๐ดโ†‘๐‘˜) โ‰ค ((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜))))
2925, 28mpbird 256 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘˜))
306recnd 11238 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
313efcllem 16017 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ seq0( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))) โˆˆ dom โ‡ )
3230, 31syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ seq0( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))) โˆˆ dom โ‡ )
336, 21absidd 15365 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ด) = ๐ด)
34 eflegeo.3 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด < 1)
3533, 34eqbrtrd 5169 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ด) < 1)
3630, 35, 13geolim 15812 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ seq0( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›))) โ‡ (1 / (1 โˆ’ ๐ด)))
37 seqex 13964 . . . . 5 seq0( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›))) โˆˆ V
38 ovex 7438 . . . . 5 (1 / (1 โˆ’ ๐ด)) โˆˆ V
3937, 38breldm 5906 . . . 4 (seq0( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›))) โ‡ (1 / (1 โˆ’ ๐ด)) โ†’ seq0( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›))) โˆˆ dom โ‡ )
4036, 39syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ seq0( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›))) โˆˆ dom โ‡ )
411, 2, 5, 8, 13, 15, 29, 32, 40isumle 15786 . 2 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 ((๐ดโ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) โ‰ค ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (๐ดโ†‘๐‘˜))
42 efval 16019 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (expโ€˜๐ด) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 ((๐ดโ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))
4330, 42syl 17 . 2 (๐œ‘ โ†’ (expโ€˜๐ด) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 ((๐ดโ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))
44 expcl 14041 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
4530, 44sylan 580 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
461, 2, 13, 45, 36isumclim 15699 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (๐ดโ†‘๐‘˜) = (1 / (1 โˆ’ ๐ด)))
4746eqcomd 2738 . 2 (๐œ‘ โ†’ (1 / (1 โˆ’ ๐ด)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (๐ดโ†‘๐‘˜))
4841, 43, 473brtr4d 5179 1 (๐œ‘ โ†’ (expโ€˜๐ด) โ‰ค (1 / (1 โˆ’ ๐ด)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   class class class wbr 5147   โ†ฆ cmpt 5230  dom cdm 5675  โ€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11104  โ„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   ยท cmul 11111   < clt 11244   โ‰ค cle 11245   โˆ’ cmin 11440   / cdiv 11867  โ„•cn 12208  โ„•0cn0 12468  seqcseq 13962  โ†‘cexp 14023  !cfa 14229  abscabs 15177   โ‡ cli 15424  ฮฃcsu 15628  expce 16001
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-ico 13326  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-ef 16007
This theorem is referenced by:  birthdaylem3  26447  logdiflbnd  26488  emcllem2  26490
  Copyright terms: Public domain W3C validator